高等数学学习方法指导(研究函数与极限的基本方法)

1、1 第二讲第二讲 研究函数与极限研究函数与极限 的的 基本方法基本方法2函数函数研究的对象研究的对象极限极限研究的工具研究的工具连续连续研究的桥梁研究的桥梁微积分学的基础微积分学的基础参考参考 : 第一章 (第一节, 第二节)(英 1642-1727)(德1646-1716)(法1789-1857)3 1-1 函数和连续的概念、性质和应用函数和连续的概念、性质和应用一一. 方法指导方法指导1. 对函数的理解和讨论对函数的理解和讨论(1) 定义定义XxfXxxfyyYy, )(定义域 对应规律值域基本要素基本要素定义域定义域使表达式及实际问题有意义的自变量取值集合 .对应规律对应规律表示方式:图

2、象法; 表格法 .解析法;值域值域4(2) 基本特性基本特性有界性 ,单调性 ,奇偶性,周期性.(3) 基本结构基本结构基本初等函数复合运算反演运算初等函数非初等函数分段函数级数表示的函数四则运算有限次运算且用一个式子表示5(4) 常用的等式与不等式常用的等式与不等式1(1)12nkn nk、21(1)(21)6nkn nnk2、1212nnnxxxx xxn3、62. 函数的连续与间断函数的连续与间断(1) 连续性的等价形式连续性的等价形式)(xfy 在0 x连续)()(lim00 xfxfxx0lim0yx)()(00 xfxfyxxx000()()()f xf xf x,0,0当0 xx

3、时)()(0 xfxf7(2) 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质(P4 , 5)有界定理 ; 最值定理 ;介值定理 ;零点定理 (3) 函数的间断点函数的间断点第一类间断点第一类间断点可去间断点:00()()f xf x跳跃间断点:00()()f xf x第二类间断点第二类间断点无穷间断点振荡间断点二二. 实例分析实例分析8例例1. 设,2)()(xfxfxx 1其中,1 ,0 x求. )(xf解解: 令令t,1xx则x,11t代入原方程得)()(tfft11,12t即)()(xffx11x12再令再令,11ux则,111uux代入上式得即)()(ffu11,)1(2uuuu 1)

4、()(ffx11xx)1(2xx 1将将 , 两式与原方程原方程联立,解得1)( xxfx1x119例例2. 设其中)(,1,0 xaa满足, )()()(yxyx判断)(xf的奇偶性.解解: 令,2111)(xaxg则)()(xgxg)2111)()(xaxxf2111xa211xxaa0故)(xg为奇函数为奇函数 .又令 y = 0 ,得, )0()()0(xx故,0)0(而)0(0)(xx)()(xx故)(x为奇函数为奇函数 .因此)()()(xgxxf为偶函数 .10例例3. 求常数k及函数g(x),使函数2,0( ),( ),0 xekxf xg xx为连续的奇函数。解解: 连续的奇

5、函数有 f (0) = 0, 即( )f x0 x 21,xe0 x ( ),g x而( )()g xfx 22()11xxee 所以0 x 21,xe0 x 21,xe( )f x 10,1,kk 11例例4. 设31,1( ),1xxf xxx求( ( ).f f x解解:)(f( )f x( )1f x 3 ( ) 1,f x ( )1f x ( ),f x当( )1f x 时0 x ; 当( )1f x 时,1,01xx0 x 94,x01x31,x1x ,x)(f( )f x12例例5. 设,1sin1)(xxxf证明)(xf但.)(lim0 xfx证证: 在 (0,1) 中取点列在

6、 (0,1 上无界,212kxk,2, 1 ,0k则有)2sin()2()(22kkxfk22 k显然 ,2, 1 ,0k)(xf在 (0,1 上无界 .但 , 若取点列,1nxn,2, 1 ,0n则, )(0nxn而,0)(nxf故.)(lim0 xfx02. 0, 7 . 07 . 0,02. 0(P8.例例4)13的间断点 , 并) 1)(1(sin)1 (lim1xxxxxx, 1sin21 x = 1 为第一类可去间断点可去间断点,)(lim1xfx x = 1 为第二类无穷间断点无穷间断点, 1)(lim0 xfx, 1)(lim0 xfx x = 0 为第一类跳跃间断点跳跃间断点

7、例例6.求函数判别间断点的类型 .解解:) 1(sin)1 ()(2xxxxxf所以 f (x) 有间断点 ) 1)(1(sin)1 ()(xxxxxxf1,0, 1x14例例7.7.设函数 (2008(2008考研考研) )解解: :只有两个间断点ln( )sin1xf xxx( )f xA.A.B.C.D0,1xx00lnlnlimsinlim011xxxxxxxx0 x 11lnln 1(1)limsinsin1limsin111xxxxxxx 则 有（ ）；1个可去间断点，1个跳跃间断点； 1个可去间断点，1个无穷间断点；2个跳跃间断点； 2个无穷间断点。为可去间断点；11lnln 1

8、(1)limsinsin1limsin111xxxxxxx1x 为跳跃间断点。15例例8. 讨论下述函数的连续与间断问题),0) 1)(1( ()11(lim)(txtxtxxftxtxt(P8.例例5(1)解解:txtttxxfxt)11(lim)(1limx tttx ttxe1xxe显然 ,)(xf在区域), 1 () 1,(上连续 .因11(1 )limxxxfe,011(1 )limxxxfe故 x =1 为第二类无穷间断点.1161-2 求极限的方法求极限的方法 (P13 第二节第二节)一一. 方法指导方法指导1. 求极限的基本方法求极限的基本方法 (P16-P19)(1) 已知极

9、限值利用极限定义验证(用“ - N ” 或 “ - ”语言)(2) 未知极限值先判别极限存在后再求极限根据法则演算, 判定与计算同时进行.17求极限的基本方法求极限的基本方法 1）用验证极限的定义。8) 用极限运算法则与函数的连续性求极限。2）用消去不定型法求极限。3）用有界函数与无穷小乘积仍为无穷小的结论求极限。5）用等价无穷小的替代定理求极限。6）用变量代换求极限。4）用两个重要极限公式求极限。7）用左、右极限存在且相等的方法求极限。9）用函数极限和数列极限的关系求极限。10）利用极限存在准则求极限。1812）用导数的定义或定积分定义求极限。13）利用微分中值定理求极限。14）利用泰勒公式

10、求极限。16）用无穷级数的有关知识求极限。11）用洛必达法则求极限。15）用积分中值定理求极限。17） 其他。192.求未定式的极限的方法求未定式的极限的方法通分通分转化转化000取倒数取倒数转化转化0010取对数取对数转化转化3. 求极限的基本技巧求极限的基本技巧(1) 定式部分应尽早求出; 各种方法注意综合使用.(2) 注意利用已知极限的结果 . 例如, 当 时00!lim!limlimlnlimnnnnnnnnnneennnlnlimlimlim0 xxxxxxxxexexn时nnnnenn, !,ln速度一个比一个快 .20(3) 善于利用等价无穷小替换利用麦克劳林公式找等价无穷小)(

11、!)0(!2)0()0()0()()(2nnnxoxnfxfxffxf 当0 x时)(xfnnxnf!)0()(xff)0()0(替换定理替换定理（整个分子、整个分母或分子分母乘积的因子）211xe;xxex1;221x)1ln(x;xxx )1ln( ;221x1)1 (x.xxtan;xxarcsin;xxsin;xxx sin;3!31xxcos1;221x当 x 0 时, 有下列常用等价无穷小 : ( P16)一般形式，如：( )0f x ln(1( )f x( );f x(1( )1( )f xf xxarctan;x22设对同一变化过程 , , 为无穷小 ,说明说明:无穷小的性质,

12、 (1) 和差取大规则和差取大规则: 由等价可得简化某些极限运算的下述规则. 若 = o() , 例如例如,xxxx3sinlim30 xxx3lim031则证明证明lim）（1lim120ln(12)limsinxxxx02lim2xxx练习练习、求 23,不等价与且若,则,limlim且.时此结论未必成立但例如例如,11sin2tanlim0 xxxxxxxx2102lim2(2) 和差代替规则和差代替规则: 24(3) 因式代替规则因式代替规则:极限存在或有且若)(,x界, 则)(limx)(limx例如例如,.sintanlim30 xxxx30limxxxx原式30)cos1 (ta

13、nlimxxxx2132210limxxxx例例4. 求01limarcsinsinxxx解解: 原式 01limsin0 xxx25如, 利用导数定义 ,微分中值定理 ,泰勒公式等求极限 .3. 判断极限不存在的主要方法判断极限不存在的主要方法 (P22, 6)(1) 对分段函数, 在界点处讨论左右极限 ;(2) 利用数列极限与函数极限的关系 ;(3) 利用反证法 , 设极限存在推出矛盾.(4) 注意用求极限的特殊方法 26例例1. 求).1sin(lim2nn解解:原式2limsin(1)nnnn)1(sin) 1(lim2nnnnnnnn1sin) 1(lim20二二. 实例分析实例分析

14、27例例2. 求01limxxx limttt. 1lim0 xxx0型解解:令 1tx有1例例3. 求.lim100021xexx00型解解:不能直接用洛必达法则 !令,12xt 则ttet50lim原式0说明说明: 有许多极限问题可通过变量代换使其简化 . 再如, P27 例728例例4. 求sinsin2cossin2240sinsin(sin )sinlimxxxxx30sinsin(sin )limxxxx（洛必达法则或泰勒公式）2008考研考研30sinlimxxxx1629例例5. 设)(xf解解: 利用前一极限式可令bxaxxxf2322)(再利用后一极限式 , 得xxfx)(

15、lim30可见0,3ba是多项式 , 且,22)(lim23xxxfx,3)(lim0 xxfx求. )(xf)(lim0 xbax故xxxxf322)(2330例例6. 求.sin12lim410 xxeexxx解解:xxeexxxsin12lim4100sinlim 0 xxx1xxeexxxsin12lim4100sinlim 2xxx1原式 = 1 .310 x例例7. 求函数xxx解解:xxx1214381xxx当0 x时的等价无穷小.81 xxxx0 x sin cos cos2xxxxkCx01sin cos cos2limkxxxxxCx1011cos4limkxxCkx210

16、18lim1kxxCkx3,8 3.kC时 与小，求C. 解 是等价无穷01sin414limkxxxCx则例例832练习练习 已知11( ),sinxf xxx0lim( )xaf xa0 x ( )f xakxk011lim()sinxxaxx220sinlimxxxxx012coslim12xxxx，(1)求的值，(2)当时，是求常数解解 由题意 (1)；的同阶无穷小,的值。2012考研33(2) 因为33sin()6xxxo x0( )limkxf xx220sinsinlimkxxxxxxx322320()()6limkxxxxxxo xx3320()6limkxxo xx32k(

17、)f xa1.k ，则可知当 时，因此 与x是同阶无穷小，20sin1sinlimkxxxxxxx34nne21例例9. 求.lim120 xneeexnxxx1型证证:原式120lim 1xxxnxxeeenn( )( )1( )lim( )u xf xu xf x ex0lim对指数用洛必达法则) 1(21nexnneeexnxx2( )lim1 ( ( ) 1)u xf xlim( ) 1 ( )f xu xe35例例10、求21lim( arctan)xxxx21lim( arctan)xxxx21lim(1( arctan1)xxxx21( arctan1)limxxxxe1, tx

18、21lim( arctan1)xxxx30arctanlimtttt13 2131lim( arctan)xxxex解解 令 则36例例11 求极限求极限21) lim()()xxxxa xb()lim1()()xxab xabxa xb()lim()()xx a b x aba bx ax bee2010考研考研37解解110ln(1)2)limxexxIx2011考研考研10ln(1)lim 1xxxxIx20ln(1)limxxxxe0111lim2xxxe01lim22xxxee38当当lnln(1)lnln1xxxye11ln(1)xexyx0(1)ln(1)lim(1)ln(1)x

19、xxxxxx00lnln(1)lnlim lnlimxxxxyx0 x 110ln(1)2) limxexxx011lim(1)ln(1)xxxx12 2011考研考研设时，20(1)ln(1)limxxxxx01 ln(1) 1lim2xxxln ln(1)ln()ln1xxxye10 x 同样可得时，00ln ln(1)ln()1lim lnlim2xxxxyx 当原式12e393、1cossin4lim (tan )xxxx1cossin4lim (1(tan1)xxxxtan1cossin4limxxxxe4tan1limcossinxxxx41tan1limcos1tanxxxx2

20、1cossin4lim (tan )xxxxtan12cossin4limxxxxee所以因为2012考研考研40.sinlimsin0 xxeeIxxx解解: sinsin01limsinxxxxeIexxxxexxsin1sin1例例12 1、 求一般，若lim( ), lim ( )f xag xa( )( )lim( )( )f xg xeeIf xg x则( )( )1lim( )( )f xg xaeef xg xae412、计算22 2cos40limxxxeex22 2cos2 2cos401limxxxxeex 24022coslimxxxx30sinlim2xxxx301c

21、os1lim126xxx2012考研考研42例例13. 求.)(sinlim30 xxxxxx( P43 题题21(3) )解解:原式=3sin0)(1 limxxxxxxx30 limxxxxeln1 sinlnxxxe利用ln0lim1,xxxeueu12sin0lnlimxxxx)1sin(1lnsinlnxxxx1sinxx2sin01limxxxx30sinlimxxxx33!310limxxx3! 31sinxxx6143例例14. ln(1)xxx lnxx解解: 因为当或所以所以)sinlnarctan(limxxxx1|sin|xxlnsinxxxlnsinxxxlim ar

22、ctan(lnsin )2xxxxlnsin(1)xxxx 44例例15. 设)(xf在 x = 0 的某邻域内二阶可导, 且,21)(sinlim30 xxfxxx求)0(),0(ff及)0(f 的值.解解:)(sin3!33xoxxx)()0()0()0()(22!21xoxfxffxf 301limxx(1(0)fx2)0(xf 36121)0(xf )(3xo2121)(sin1lim30 xfxxxx代入, 得, 1)0(f,0)0( f.34)0( f45例例16. 求. )1 (cossin1lim34222260 xxxxxx00型直接用洛必达法则繁 !解决办法巧用泰勒公式巧用

23、泰勒公式解解:xx22cossinx2sin241)4cos1 (81x812!21)4( x4!41)4( x6!61)4( x)(6xo34)1 (22xx2x见见 P70见见 P702341x43134! 21x)(4xo6924342xxx)(6xo 原式601limxx)()(66924532xox 452246说明说明 利用泰勒公式求极限 (P31例例12) 利用导数定义求极限(P29例例9(1) ; P30 例例10) 利用微分中值定理求极限(P31例例11) 求极限的特殊方法求极限的特殊方法: 利用定积分定义求极限 (P29例例9(2) 47例例1720lncos3arctan

24、4limln(1 2 ) lncos5xxxxxx20ln(1 cos31)4lim2ln(1 cos51)xxxxxx0(cos31)2lim2(cos51)xxxxx01cos31lim4cos51xxx 2201(3 ) /2lim4(5 ) /2xxx 9100 48例例18.解解: 原式xexxexxxx2)ln()ln(sinlim2220 xexexxeexxxxx2) 1(ln) 1(sinlnlim22220) 1ln() 1ln(sinlim2220 xxxexxe2220sinlimxxxx ex e1lim20 xxxee2220ln(sin1)lim2ln(1)2xx

25、xxxexxx ex49例例19. 解法解法1: 原式0)1(lim313xbaxxx0)1(lim313xbaxx故,01a于是1a而)1(lim33xxbx2333231)1 (1limxxxxx试确定常数 a , b 使.0)1(lim33bxaxx(P34 例例14)050例例19. 解法解法2: 因x3133311xxx试确定常数 a , b 使0)1(lim33bxaxx(P34 例例14)利用时)(121xox)1(lim033bxaxx)1()1(limxobxax得.0, 1ba51例例20. 解解: 设由夹逼准则得,122) 1(nnknkxlim.nnx222) 1(1.

26、111nnnxn222222(1)nnnxnn222lim2nnn222lim2(1)nnn2limnnx求52例例21. 设证明证明:严格单调增加，且有界，则 x1210( )( )fxfxx且)(limnfn21110( )xxf t dtdtt10( )(1)1f xfx ( )0,fx)(xf)(limxfx)(limnfn10( )(1)11f nfn )(limnfn证明存在。 时，有连续存在，严格单调增加，且有界，所以存在，则存在。或者存在。53例例2222 设数列 nx110,sin(1,2,)nnxxxnlimnnx211limnxnnnxx212sin,01,xxx2n 1

27、sin,nnnxxx nx 0,nnxxlimnnxAsin,0.AA A221100sinsinlimlim(1)ttttttttt30sinlimtt tte20cos1lim3ttte0sinlim6ttte16e满足（1）证明存在，并求之，（2）计算解解（1）因为 则当时，单调减少。又有下界，根据准则，存在，（2）递推公式两边取极限得2009考研考研54例例23. 设证明证明:设11114, lim.2nnnnnxxxxx求2212211111nnnnnxxxxxnnnnnxxxxx211nnxx22202222nx1nnxxnxnnxlim axnnlim )21(lim lim 11nnnnnxxxaaa21 2.a 得则单调减少，且有下界，存在。即55例例24) 1()1(lim323231xxxIx)(22bababa)(2233babababa1111133333lim