大学物理第7章机械波课件

1、中国国家管弦乐团在联合国总部的演出中国国家管弦乐团在联合国总部的演出机械波产产生生条条件件平面简谐波平面简谐波基本原理基本原理惠更斯原理叠加原理定义特征量描述方法能量波的反射、折射、衍射波的干涉驻波几何法图线法解析法能量能流 条件条件7.1 机械波的产生和传播机械波的产生和传播一一. . 机械机械波的产生波的产生 二二. . 横波和纵波横波和纵波介质质点的振动方向与波传播方向介质质点的振动方向与波传播方向相互垂直相互垂直的波；的波；如柔绳上传播的波。如柔绳上传播的波。介质质点的介质质点的振动方向和波传播方向振动方向和波传播方向相互平行相互平行的波；的波；如空气中传播的声波。如空气中传播的声波。

2、波源：波源：作机械振动的物体作机械振动的物体横波：横波：纵波：纵波：机械波机械波: : 机械振动以一定速度在弹性介质中由近及远地机械振动以一定速度在弹性介质中由近及远地传播出去，就形成传播出去，就形成机械波机械波。弹性媒质：弹性媒质：承担传播振动的物质承担传播振动的物质振动曲线振动曲线ty结论结论 0t4Tt 2Tt Tt43Tt Tt451 2 3 4 5 6 7 8 91011121314151617184Tt 2Tt Tt43Tt Tt45Tt230t 1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415161718横横 波波纵纵 波波(1) 波动中各质点并不随波前进；波动中各质点

3、并不随波前进；yux波动曲线波动曲线(2) 各个质点的相位依次落后各个质点的相位依次落后, ,波波 动是相位的传播，是振动状态的动是相位的传播，是振动状态的传播；传播；(3) 波动曲线与振动曲线不同。波动曲线与振动曲线不同。auau波面波面三三. . 波面和波线波面和波线在波传播过程中，任一时刻媒质中在波传播过程中，任一时刻媒质中振动相位相同的点联结成的面。振动相位相同的点联结成的面。沿波的传播方向作的有方向的线段。沿波的传播方向作的有方向的线段。球面波球面波柱面波柱面波波面波面波线波线波面波面波线波线在各向同性均匀媒质中，波线在各向同性均匀媒质中，波线波面。波面。波面波面波线波线波前波前 在

4、某一时刻，波传播到的最前面的波面。在某一时刻，波传播到的最前面的波面。波线波线注意注意xyz同一波线上相邻两个相位差为同一波线上相邻两个相位差为 2 2 的质点的质点之间的之间的距离；即波源作一次完全振动，波前进的距离。距离；即波源作一次完全振动，波前进的距离。四四. .描述波动的物理量描述波动的物理量波前进一个波长距离所需的时间。波前进一个波长距离所需的时间。周期表征了周期表征了波的时间周期性。波的时间周期性。单位时间内，波前进距离中完整波的数目。单位时间内，波前进距离中完整波的数目。频率频率与周期的关系为与周期的关系为T1振动状态在媒质中的传播速度。振动状态在媒质中的传播速度。波速与波长、

5、周波速与波长、周期和频率的关系为期和频率的关系为Tu:）波波长长（ :）周期（周期（T:）频率（频率（ :）波速（波速（u波长反映了波的空间周期性。波长反映了波的空间周期性。(1) 波的周期和频率与媒质的性质无关；一般情况下，与波的周期和频率与媒质的性质无关；一般情况下，与波源振动的周期和频率相同。波源振动的周期和频率相同。Yula. 拉紧的绳子或弦线中横波的波速为：拉紧的绳子或弦线中横波的波速为： Tutb. 均匀细棒中，纵波的波速为：均匀细棒中，纵波的波速为：(2) 波速实质上是相位传播的速度，故称为波速实质上是相位传播的速度，故称为相速度相速度； 其大其大小主要决定于媒质的性质，与波的频

6、率无关。小主要决定于媒质的性质，与波的频率无关。说明说明T 张力张力 线密度线密度Y 固体棒的杨氏模量固体棒的杨氏模量 固体棒的密度固体棒的密度例如：例如：Buld. 液体和气体只能传播纵波，其波速由下式给出液体和气体只能传播纵波，其波速由下式给出c. 固体媒质中传播的横波速率由下式给出：固体媒质中传播的横波速率由下式给出：Gut 固体的切变弹性模量固体的切变弹性模量G 固体密度固体密度 流体的容变弹性模量流体的容变弹性模量B 流体的密度流体的密度 e. 稀薄大气中的纵波波速为稀薄大气中的纵波波速为pMRTul 气体摩尔热容比气体摩尔热容比M 气体摩尔质量气体摩尔质量R 气体摩尔常数气体摩尔常

7、数解：声波的周期为解：声波的周期为例：例： 在室温下空气中的声速为在室温下空气中的声速为 ，设波源频率，设波源频率为为 ，求该声波的周期及在空气中的波长。，求该声波的周期及在空气中的波长。Hz20001340smusT3105 . 0200011声波在空气中波长声波在空气中波长mu17. 02000340波程差与相位差波程差与相位差质点的振动状态经历的路程质点的振动状态经历的路程波程波程2121r波程差波程差相位差相位差:）波波长长（ :）周期（周期（T:）波速（波速（u）相位（2）、波程差（xr）相位差（) t传递时间（x2txTtT2tux波面为平面的简谐波波面为平面的简谐波7.2 平面简

8、谐波平面简谐波简谐波简谐波 介质传播的是谐振动，且波所到之处，介质中各介质传播的是谐振动，且波所到之处，介质中各质点作同频率的谐振动。质点作同频率的谐振动。本节主要讨论在无吸收（即不吸收所传播的振动能量）、本节主要讨论在无吸收（即不吸收所传播的振动能量）、各向同性、均匀无限大媒质中传播的平面简谐波。各向同性、均匀无限大媒质中传播的平面简谐波。平面简谐波平面简谐波平面简谐波平面简谐波说明说明简谐波是一种最简单、最基本简谐波是一种最简单、最基本的波，研究简谐波的波动规律的波，研究简谐波的波动规律是研究更复杂波的基础。是研究更复杂波的基础。一一. 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数),(txfy

9、)cos(0tAyo一般波函数一般波函数yxxuP PO O简谐振动简谐振动从时间看从时间看, , P 点点 t 时刻的位移是时刻的位移是O 点点uxt 简谐振动简谐振动)cos(tAy平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数时刻的位移时刻的位移; ;)(cos),(0uxtAtxyP从相位看，从相位看，P 点处质点振动相位较点处质点振动相位较O 点处质点相位落后点处质点相位落后ux 若已知若已知t t时刻时刻o o点点)(cos),(0uxtAtxyP P 为任意点为任意点(波函数波函数)(cos),(0uxtAtxyT2xTuxux22)(2cos),(0 xTtAtxy)(2cos),(0

10、xutAtxy)(2cos),(0 xtAtxy)(2cos),(0 xTtAtxy波函数的波函数的其它形式其它形式 由波函数可知波的传播过程中任意两质点由波函数可知波的传播过程中任意两质点 x1 和和 x2 振动振动的相位差为的相位差为)()()(210102xxuuxtuxt深入探讨深入探讨 (1) Tu)(cos),(0uxtAtxy x2x1, ，说明说明 x2 处质点振动的相位总落后于处质点振动的相位总落后于x1 处质点的振动；处质点的振动；0u 实际上是振动相位的传播速度，实际上是振动相位的传播速度，相速相速。(2) t1 时刻时刻x1 处的振动状态经处的振动状态经t 时间传播到时

11、间传播到x1+x 处，则处，则)()(1111uxxttuxt可得到可得到txu(3) 若波沿轴负向传播时，同样可得到波函数若波沿轴负向传播时，同样可得到波函数: :X=0处处)cos(tAyuxt )(cos),(0uxtAtxy)(cos),(0uxtAtxy其其 它它 形形 式式)(2cos),(0 xtAtxy)(2cos),(0 xTtAtxy)(2cos),(0 xutAtxyX=0处处)cos(tAyX处处uxt 超前超前二二. 波函数的意义波函数的意义)(cosuxtAy波函数是用数学（形式）或方程描述平面简谐波在传波函数是用数学（形式）或方程描述平面简谐波在传播过程中任一时刻

12、、任一质点的振动情况。播过程中任一时刻、任一质点的振动情况。(1) 振动状态的空间周期性振动状态的空间周期性),(),(txytxy 说明波线上振动状态的空间周期性说明波线上振动状态的空间周期性(2) 波形传播的时间周期性波形传播的时间周期性),(),(txyTtxy说明波形传播的时间周期性说明波形传播的时间周期性)(cos0uxtAy2cos0 xtA)2(cos0 xtA0tt t 给定给定， y = y(x) 表示表示 时刻的时刻的波形图波形图0t)(2cos0 xTtAy22cos0 xTtA2)2cos(0 xTtA波形曲线波形曲线（3） 给定给定x0 xx 0 xx x 给定给定，

13、 y = y (t) 是是 处处振动方程振动方程0 x（4） 给定给定t0tt 波形曲线波形曲线0tt t1时刻的波形时刻的波形Oyxuxx 1t1+t时刻的波形时刻的波形x1(5) x和和 t 都在变化，都在变化， 表明波形传播和表明波形传播和分布的时空周期性。分布的时空周期性。常常tx)(cosuxtAy 例例： 一平面简谐波的波函数一平面简谐波的波函数 , 单位单位为为m，t的单位为的单位为s。求该波的波幅、波速、频率和波长。求该波的波幅、波速、频率和波长解：解：波函数波函数Hz52xty410cos05. 05 . 210cos05. 0410cos05. 0 xtxty得得mA05.

14、 01015 . 2smumu5 . 0uxtAycos如图，如图，波沿波沿x正向传播，在下列情况下试求波函数：正向传播，在下列情况下试求波函数：)81(4costAyA(3) 若若 u 沿沿 x 轴负向，以上两种情况又如何？轴负向，以上两种情况又如何？例例 (1) 以以 A 为原点；为原点；(2) 以以 B 为原点；为原点；BA1xx已知已知A 点的振动方程为：点的振动方程为： 在在 x 轴上任取一点轴上任取一点P ，该点，该点 振动方程为：振动方程为：)81(4cosuxtAyp)81(4cos),(uxtAtxy波函数为：波函数为：解解 uP1xBAx (2) B 点为原点：点为原点：波

15、函数为波函数为:)81(4cos),(1uxxtAtxy)81(4costAyA任意任意P点点,坐标坐标x，uP1xBAx 比比A点滞后点滞后uxxt1任意任意P点点,坐标坐标x，比比A点超前点超前uxxt1波函数为波函数为:)81(4cos),(1uxxtAtxy注意注意x前符号前符号(3) 若若 u 沿沿 x 轴负向，以上两种情况又如何？轴负向，以上两种情况又如何？以以 A 为原点：为原点：)81(4cos),(uxtAtxy)81(4costAyA任意任意P点点,坐标坐标x， 比比A点超前点超前uxt 任意任意P点点,坐标坐标x， 比比A点滞后点滞后uxt 任意点通常任意点通常不选在不选

16、在x0以以 B 为原点：为原点：)81(4cos),(1uxxtAtxy)81(4costAyA任意任意P点点,坐标坐标x， 比比A点超前点超前uxxt1任意任意P点点,坐标坐标x，比比A点滞后点滞后uxxt1)81(4cos),(1uxxtAtxy注意注意x前符号前符号例例 波函数波函数)(cosuxtAy中中)(uxtuxux各表示什么意义？各表示什么意义？解：解：1.00txcosAy 处的初相处的初相0 x2.ux前为前为“”，ux表示表示x比比x=0振动滞后的时间振动滞后的时间即即x=0处的振动状态传到处的振动状态传到x所需的时间所需的时间3.ux表示表示x处比处比x=0处相位滞后处

17、相位滞后4.)(uxt表示任一时刻、任一点的相位表示任一时刻、任一点的相位一平面简谐波沿一平面简谐波沿x轴正方向传播，已知其波函数为轴正方向传播，已知其波函数为m )10. 050(cos04. 0 xty)210.0250(2cos04.0 xtym 04. 0As 04.0502Tm 2010. 02m/s 500Tua. 比较法比较法(与标准形式比较）与标准形式比较）)(2cos),(0 xTtAtxy标准形式标准形式波函数为波函数为比较可得比较可得例例解解(1) 波的振幅、波长、周期及波速；波的振幅、波长、周期及波速； (2) 质点振动的最大速度。质点振动的最大速度。求求(1)2)10

18、. 050()10. 050(12xtxts 04. 012ttT2)10. 050()10. 050(21xtxtm 2012xx)10. 050()10. 050(1122xtxtm/s 5001212ttxxu)10. 050(sin5004. 0 xttyvm/s max28. 65004. 0vb.b.分析法（由各量物理意义，分析相位关系）分析法（由各量物理意义，分析相位关系）m .yA040max振幅振幅波长波长周期周期波速波速(2)ut = 0一平面简谐波沿一平面简谐波沿 x 轴正方向传播，已知其振幅和频率轴正方向传播，已知其振幅和频率例例解解(1) t=0 时如图所示，求波函数

19、；时如图所示，求波函数；求求 (2) t =t时如图所示，求波函数。时如图所示，求波函数。(1) t=0 时，原点振动方程时，原点振动方程)cos(0tAy由波动方向，判断原点运动由波动方向，判断原点运动方向向下方向向下Oxuy00y0由旋转矢量得由旋转矢量得2原点振动方程为原点振动方程为)2cos(0tAy波波函数函数为为2)(cosuxtAy和振动不同和振动不同 (2) t =t 时如图所示，求波函数。时如图所示，求波函数。原点振动方程原点振动方程)cos(0tAyt =t 时原点的相位（时原点的相位（非初相位非初相位）为）为2ttt2即即t2原点振动方程为原点振动方程为)2cos(0tt

20、Ay波函数为波函数为2)(costuxtAyOxuy内容回顾内容回顾:）波波长长（ :）周期（周期（T:）波速（波速（u）相位（2）、波程差（xr）相位差（) t传递时间（x2txTtT2tux波函数的建立波函数的建立1.已知某点的振动方程已知某点的振动方程)cos(tAy波的传播方向波的传播方向uxt2.已知某时刻的波形曲线已知某时刻的波形曲线找出某点的振动方程找出某点的振动方程例：一简谐波沿例：一简谐波沿x轴正方向传播，轴正方向传播，T =T/ 4时的波形曲线时的波形曲线如图所示。若振动以余弦函数表示，且此题各点振动如图所示。若振动以余弦函数表示，且此题各点振动的初相位取的初相位取到到之间

21、的值，则：之间的值，则：00(1) 0点的初位相为点的初位相为211（2）1点的初位相为点的初位相为2（3）2点的初位相为点的初位相为213(4)3点的初位相为点的初位相为。20t01t2122t0203t23解：解： 由波形知道由波形知道A=2m，波长，波长例：例： 平面简谐波沿平面简谐波沿x轴正方向传播，在轴正方向传播，在t=2s时的波形如时的波形如图，波速为图，波速为 ，求原点处的振动方程，并写出，求原点处的振动方程，并写出波函数波函数110smuxyo12123421m4频率频率Hzu5 . 2圆频率圆频率52故该波传到原点时，原点振动方程为故该波传到原点时，原点振动方程为ttAyo5

22、cos2cosxyo12123421t=2s，x=0处位移为零处位移为零025cos2oy由波形曲线，该时刻原点处质点振动速度为负由波形曲线，该时刻原点处质点振动速度为负2原点处质点振动方程原点处质点振动方程025cos2tyo沿沿x轴正方向传播，相应波函数为轴正方向传播，相应波函数为2105cos2xtyo*三三. 平面波的波动微分方程平面波的波动微分方程)(cos),(0uxtAtxy)(cos0222uxtAty)(cos02222uxtuAxy222221tyuxy由由知知 (2) 不仅适用于机械波，也广泛地适用于电磁波、热传导、不仅适用于机械波，也广泛地适用于电磁波、热传导、化学中的

23、扩散等过程；化学中的扩散等过程；(1) 上式是一切平面波所满足的微分方程上式是一切平面波所满足的微分方程（正、反传播）（正、反传播）；(3) 若物理量是在若物理量是在三维三维空间中以波空间中以波的形式传播，波函数为右式的形式传播，波函数为右式2222222221tuzyx说明说明7.3 波的能量波的能量一一. 波的能量和能量密度波的能量和能量密度波动波动过程过程质元由静止开始振动质元由静止开始振动质元发生形变质元发生形变波动过程是能波动过程是能量的传播过程量的传播过程以绳索上传播的横波为例：以绳索上传播的横波为例： yx0 x y =Acos (t-x/u)0ux x+ x y yyy xm)

24、(xlTWpOxy22)(2121tymmWkv线元的动能为线元的动能为线元的线元的势能势能（原长为势能零点）为（原长为势能零点）为设波沿设波沿x 方向传播，取线元方向传播，取线元T2T1lyxu以绳索上传播的横波为例：以绳索上传播的横波为例：22)()(yxl其中其中2/12)(1xyx)(sin210222uxtxA)(sin210222uxtxA2)(21tyxWk2)(21xyxTWp)(cos0uxtAy将将代入代入、 、 2uT 22)()(yxl线元的机械能为线元的机械能为和和pkWWW2)(21xyxTWp2/12)(1xyx)(211)(122/12xyxxyx)(xlTWp

25、)(sin0222uxtxAWWWpk(1) 在波的传播过程中，在波的传播过程中，媒质中任一质元的动能和势能是同媒质中任一质元的动能和势能是同步变化的步变化的，即，即Wk=Wp，与简谐弹簧振子的振动能量变化与简谐弹簧振子的振动能量变化规律是不同的；如图所示规律是不同的；如图所示讨论讨论xyuOAB , A 点质元点质元的动能、势能同时的动能、势能同时 达到最小；达到最小；B 点质元点质元的动能、势能同时达到最大；的动能、势能同时达到最大；机械能机械能也也最最小小最最小小xy ,v也也最最大大最最大大xy ,v(2) 质元机械能随质元机械能随时空时空周期性变化，表明质元在波传播过程周期性变化，表

26、明质元在波传播过程中不断吸收和放出能量；中不断吸收和放出能量；因此，因此，波动过程是能量的传播波动过程是能量的传播过程过程。二二. 能流密度能流密度1. 能量密度能量密度220211AtwTwT d设介质的横截面为设介质的横截面为S ，体密度为，体密度为),()(sin0222txwuxtAxSWw ，则线元单位体积，则线元单位体积中的机械能中的机械能（能量密度）能量密度）为为平均能量密度平均能量密度2. 能流能流在一个周期中的在一个周期中的平均能流平均能流为为usutttSwutVwPwuSuSwtPTPT01 d能流密度能流密度通过垂直于波线截面单位面积上的能流。通过垂直于波线截面单位面积

27、上的能流。wuSPJdd大小：大小：方向：波的传播方向方向：波的传播方向uwJ矢量表示式：矢量表示式：在单位时间内通过一定截面的波动能量为在单位时间内通过一定截面的波动能量为能流能流JuS波的波的强度强度 一个周期内能流密度大小的平均值。一个周期内能流密度大小的平均值。wutwTutJTJITT001dduA22212A* *三三. 平面波和球面波的振幅平面波和球面波的振幅1. 平面波平面波1S2Su （不吸收能量不吸收能量）21WW 21AA 由由得得uSAuSwSIW221111121uSAuSwSIW222222221这表明平面波在媒质不吸收的情况下这表明平面波在媒质不吸收的情况下, ,

28、 振幅不变。振幅不变。2. 球面波球面波222212212121uSAuSA由由1S2S1r2r222221214 4rArA2211rArA0,)(cos),(00rurtrAtry令令得得球面波的振幅在媒质不吸收的情况下球面波的振幅在媒质不吸收的情况下, ,随随 r 增大而减小增大而减小. .则则球面简谐波的波函数为球面简谐波的波函数为0AAr （A0为离原点（波源）单位距离处波的振幅）为离原点（波源）单位距离处波的振幅）* *四四. 波的吸收波的吸收吸收媒质吸收媒质, ,实验表明实验表明xIIddxeII00IxIxOdx 为介质吸收系数，与介质的性质、温度、及波的频率有关。为介质吸收系

29、数，与介质的性质、温度、及波的频率有关。IxIxI0I0 xO(1) 知某一时刻波前，知某一时刻波前，可用几何方法决定可用几何方法决定下一时刻波前；下一时刻波前；说明说明R1R2S1S2O1S2Sttttur7.4 惠更斯原理惠更斯原理惠更斯提出：惠更斯提出：(1) 行进中的波面上任意一点都行进中的波面上任意一点都 可可看作是新的子波源；看作是新的子波源；(3) 各个子波所形成的包络面，就各个子波所形成的包络面，就是原波面在一定时间内所传播是原波面在一定时间内所传播到的新波面。到的新波面。(2) 所有子波源各自向外发出许多所有子波源各自向外发出许多子波；子波；(2) 亦适用于电磁波，非均匀和各

30、向异性媒质；亦适用于电磁波，非均匀和各向异性媒质；(4) 不足之处（未涉及振幅，不足之处（未涉及振幅，相位等的分布规律）。相位等的分布规律）。(3) 解释衍射、反射、折射现象；解释衍射、反射、折射现象；2121sinsinuututuiBCiA由几何关系知：由几何关系知：DEFu1u2u2td = u1t( (反射反射) )1. .几列波相遇后仍保持它们原有的特性（频率、波长、几列波相遇后仍保持它们原有的特性（频率、波长、振幅、传播方向）不变，互不干扰。好象在各自传播振幅、传播方向）不变，互不干扰。好象在各自传播过程中没有遇到其它波一样。过程中没有遇到其它波一样。2. .在相遇区域内，介质任一

31、点的振动为各列波单独存在相遇区域内，介质任一点的振动为各列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和。在时在该点所引起的振动位移的矢量和。波的独立性原理。波的独立性原理。波的叠加原理。波的叠加原理。7.5 7.5 波的干涉波的干涉频率相同、振动方向相同、相位差恒定。频率相同、振动方向相同、相位差恒定。一般情况下，各个波的振动方向和频率均不同，相位关系一般情况下，各个波的振动方向和频率均不同，相位关系不确定，叠加的合成波较为复杂。不确定，叠加的合成波较为复杂。当两列（或多列）相干波叠加的结果，其合振幅当两列（或多列）相干波叠加的结果，其合振幅 A A 和合和合强度强度 I I 将在空间形成一种稳

32、定的分布，即某些点上的振将在空间形成一种稳定的分布，即某些点上的振动始终加强，某些点上的振动始终减弱。动始终加强，某些点上的振动始终减弱。 波的干涉波的干涉满足相干条件的波满足相干条件的波产生相干波的波源产生相干波的波源1.1.波的干涉现象波的干涉现象2.2.相干条件相干条件3.3.相干波相干波4.4.相干波源相干波源)cos(1101tAy)2cos(1111rtAy2cos212122122212rrAAAAA)cos(21tAyyy根据叠加原理可知，根据叠加原理可知，P 点处振动方程为点处振动方程为1r2r1S2SS1S2)2cos(2222rtAy P点合振动的振幅点合振动的振幅)co

33、s(2202tAyPP, 2 , 1 , 022)(1212kkrr21maxAAA, 2 , 1 , 0 ) 12(2)(1212kkrr|21minAAA12122)(rr 相位差相位差当当干涉相长干涉相长当当干涉相消干涉相消 空间点振动的情况分析空间点振动的情况分析讨论讨论, 2 , 1 , 0,2221kkkrr21(1) 若若(2) 若若AAA21, 2 , 1 , 0,2) 12(21kkrr干涉相长干涉相长干涉相消干涉相消0minAAA2max干涉相长干涉相长干涉相消干涉相消12122)(rr 122rrk2）（12 k从能量上看，当两相干波发生干涉时，在两波交叠的区从能量上看，

34、当两相干波发生干涉时，在两波交叠的区域，合成波在空间各处的强度并不等于两个分波强度之域，合成波在空间各处的强度并不等于两个分波强度之和，而是发生重新分布。这种新的强度分布是时间上稳和，而是发生重新分布。这种新的强度分布是时间上稳定的、空间上强弱相间具有周期性的一种分布。定的、空间上强弱相间具有周期性的一种分布。满足相干条件的波满足相干条件的波源称为源称为相干波源相干波源。研究相干问题的一般方法研究相干问题的一般方法问题：问题：屏上任一点屏上任一点x是相长是相长还是相消？还是相消？ass2112rr Da xoobss21bss12波程差波程差sin212absrrtan aDxtanDxarr

35、1212rr3, 2, 1, 0nn相长相长3, 2, 12) 12 (nn相消相消x2, 1,0nnaD相长相长, 2 , 12) 12(nnaD相消相消A、B 为两相干波源，距离为为两相干波源，距离为 30 m ，振幅振幅相同，相同， 相同，相同，初相差为初相差为 , ,u = 400 m/s, ,f =100 Hz 。例例A、B 连线上因干涉而静止的各点位置。连线上因干涉而静止的各点位置。求求m 3012rr解解BAP30mm 4fu141630422（P 在在A 左侧）左侧）（P 在在B 右侧）右侧）即在两侧干涉相长，不会出现静止点即在两侧干涉相长，不会出现静止点r1r22 114r

36、) 12(k干涉相消干涉相消) 12(141kr7, 2 , 1 , 0k( (在在 A，B 之间距离之间距离A 点为点为 r1 =1,3,5,29 m 处出现静止点处出现静止点) )P 在在A、B 中间中间12rr 112302rrLBAP30mr1r27.6 驻波驻波)(2cos)(2cos2211xtAyxtAy一一. 弦线上的驻波实验弦线上的驻波实验波腹波腹波节波节两列等振幅相干波相向传播时叠加形成驻波两列等振幅相干波相向传播时叠加形成驻波驻波条件：驻波条件：2nL 3 ,2, 1n二二. 驻波波函数驻波波函数2LL23L(a)(b)(c)AAABBBC1C2C3C1C2D1D4D2D

37、3D1D2D3)(2cos)(2cos2121xtAxtAyyytxA2cos)2cos2()cos(212212221AAAAA21AA 22212x1cos22cos2振幅振幅tAyyy2cos21xAxA2cos2)(，即驻波是各质点振幅按余弦分布，即驻波是各质点振幅按余弦分布(1)波腹波腹(A= Amax) ：kx2, 2, 1, 0,2kkx讨论讨论时时当当 12cosx2) 12(2kx, 2, 1, 0,4) 12(kkx波节波节(A= Amin) ：时时当当 02cosx的特殊谐振动的特殊谐振动 ；222) 1(1kkxxkk相邻两波腹之间的距离：相邻两波腹之间的距离：的许多段

38、，每段中各的许多段，每段中各(2) 所有波节点将媒质划分为长所有波节点将媒质划分为长2/质点的振动振幅不同，但相位皆相同；而相邻段间各质质点的振动振幅不同，但相位皆相同；而相邻段间各质点的振动相位相反点的振动相位相反; ; 即驻波中不存在相位的传播。即驻波中不存在相位的传播。24) 12(4 1) 1(21kkxxkk相邻两波节之间的距离：相邻两波节之间的距离：txAycos2cos2 时间部分提供的相位对于所有的时间部分提供的相位对于所有的 x x是相同的。是相同的。在在434 x范围内，范围内，02cos2xA 是波节，是波节，4x考查波节两边的振幅，如考查波节两边的振幅，如；02cos2

39、xA44x内，内，在范围在范围结论：结论： 在波节两侧点的振动相位相反。同时达到反向最在波节两侧点的振动相位相反。同时达到反向最大或同时达到反向最小。速度方向相反。大或同时达到反向最小。速度方向相反。 两个波节之间的点其振动相位相同。两个波节之间的点其振动相位相同。 同时达到最同时达到最大或同时达到最小。速度方向相同。大或同时达到最小。速度方向相同。(4) 没有能量的定向传播。能量只是在两波节之间，进行动没有能量的定向传播。能量只是在两波节之间，进行动能和势能的转化。能和势能的转化。0t4Tt 2Tt 势能势能动能动能势能势能 驻波不传播能量，它是媒质的一种特殊的运动状态，稳定态。驻波不传播能

40、量，它是媒质的一种特殊的运动状态，稳定态。例：一平面简谐波以例：一平面简谐波以 的速度传播，其波函数为：的速度传播，其波函数为：sm/1)()4(cos05. 01mtuxy并在并在x=0 x=0处反射。反射波方程处反射。反射波方程)()4(cos05. 02mtuxy求：求：1.合成波的波函数，及波腹、波节的位置；合成波的波函数，及波腹、波节的位置； 2.在在x=1.2(m)处振幅的大小。处振幅的大小。解：解：1.21yyy)4cos()cos(1 .0tux波腹：波腹：1)cos(uxnux)(mnnux2, 1,0n波节波节)21( nux)(21mnx2, 1,0n2.xAcos1 .

41、 0在在x=1.2(m)处振幅的大小。处振幅的大小。)4cos()cos(1 .0tuxy)(08. 02 . 1cos1 . 0m4. .半波损失半波损失 入射波在反射时反射波相位突变了入射波在反射时反射波相位突变了，相当于波程损，相当于波程损失了半个波长的失了半个波长的现象称为现象称为半波损失半波损失。 在绳与墙壁固定处，为在绳与墙壁固定处，为波节位置。波节位置。 这一现象说明，在反射端，入射波与反射波在该点这一现象说明，在反射端，入射波与反射波在该点各自引起的两个振动位相相反，两位相相差为各自引起的两个振动位相相反，两位相相差为 ，相当于波，相当于波程相差程相差 /2/2。 反射波与入射

42、波形成的驻波在介质分界处是波节还是波反射波与入射波形成的驻波在介质分界处是波节还是波腹与这分界处两边的介质性质有关。腹与这分界处两边的介质性质有关。 当波从波疏媒质垂直入射到波密媒质界面上反射时，当波从波疏媒质垂直入射到波密媒质界面上反射时，有半波损失，形成的驻波在界面处是波节。有半波损失，形成的驻波在界面处是波节。 当波从波密媒质垂直入射到波疏媒质界面上反射时，当波从波密媒质垂直入射到波疏媒质界面上反射时，无半波损失，界面处出现波腹。无半波损失，界面处出现波腹。)207(10cos7ty反)()20(10cos1SIxtAy例：如图所示，有一沿例：如图所示，有一沿X轴正向传播的轴正向传播的平

43、面简谐波，其波动方程为：平面简谐波，其波动方程为：此波在此波在x=7m处受到波密介质平面的反射（设反射时波的强处受到波密介质平面的反射（设反射时波的强度不变）。求：（度不变）。求：（1）反射波的波动方程；（）反射波的波动方程；（2）在）在x=6m处处介质质元的振动方程；（介质质元的振动方程；（3）在区间）在区间0 x7m，干涉相消点，干涉相消点的位置。的位置。解解: : (1)(1)在反射点在反射点)207(10cos7ty入2070 xuxxt滞后滞后)207207(10cos2xty7)20(10cosxt(2)(2)在在x=6m处介质质元的振动方程处介质质元的振动方程26166yyy)(

44、)20(10cos1SIxtAy)72610cos()2610cos(6tty即：即：)10cos(26ty（3）在区间）在区间0 x7m，干涉相消点的位置。，干涉相消点的位置。021yyy因为因为在在x=7mx=7m处为波密反射点，该处为波密反射点，该处为波节点。处为波节点。因为两相邻波节之间的间隔为因为两相邻波节之间的间隔为 /2 /2 。)(41040220muT所以在所以在0 x7m区间的干涉相消点为：区间的干涉相消点为：)(7 , 5 , 3 , 1mx )()20(10cos1SIxtAy*例：如图所示，有一沿例：如图所示，有一沿X轴正向传播的轴正向传播的平面简谐波，在平面简谐波，

45、在x=L(B处处)发生反射，反发生反射，反射点为固定端。设波在传播和反射过程射点为固定端。设波在传播和反射过程中振幅不变，且反射波的表达式为中振幅不变，且反射波的表达式为)()2cos(2mxtAy则入射波的表达式是什么？则入射波的表达式是什么？解：解：反射波在反射波在B点引起的振动点引起的振动2cos2LtAyB入射波在入射波在B点引起的振动点引起的振动2cos1LtAyB任一点任一点x比比B点超前点超前uxLt2)(cos1LuxLtAy42cosLxtA*7.7 多普勒效应多普勒效应一、多普勒效应的成因一、多普勒效应的成因 声源完成一次全振动，向外发出一个波长的波，频声源完成一次全振动，

46、向外发出一个波长的波，频率表示单位时间内完成的全振动的次数，因此波源率表示单位时间内完成的全振动的次数，因此波源的频率等于单位时间内波源发出的完全波的个数，的频率等于单位时间内波源发出的完全波的个数，而观察者听到的声音的音调，是由观察者接收到的而观察者听到的声音的音调，是由观察者接收到的频率，即单位时间接收到的完全波的个数决定的频率，即单位时间接收到的完全波的个数决定的多普勒效应是指由于波源和观察者之间有相对运动，多普勒效应是指由于波源和观察者之间有相对运动，使观察者感到频率发生变化的现象，它是奥地利物理使观察者感到频率发生变化的现象，它是奥地利物理学家多普勒在学家多普勒在1842年发现的年发

47、现的 1 1、当波源和观察者相对介质都静止不动、当波源和观察者相对介质都静止不动 即二者没有相对运动时即二者没有相对运动时 单位时间内波源发出单位时间内波源发出几个完全波，观察者几个完全波，观察者在单位时间内就接收在单位时间内就接收到几个完全波观察到几个完全波观察者接收到的频率等于者接收到的频率等于波源的频率波源的频率2 2、波源相对介质不动，观察者朝波源运动时（或观察者不、波源相对介质不动，观察者朝波源运动时（或观察者不动，波源朝观察者运动时）动，波源朝观察者运动时） 观察者在单位时观察者在单位时间内接收到的完间内接收到的完全波的个数增多，全波的个数增多，即接收到的频率即接收到的频率增大增大 3 3、波源相对介质不动，观