D二重积分概念实用教案

1、解法: 类似(li s)定积分解决问题的思想:一、引例一、引例(yn l)1.曲顶柱体的体积(tj) 给定曲顶柱体:底： xOy 面上的闭区域 D顶: 连续曲面侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面求其体积.“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限” D),(yxfz 第1页/共28页第一页，共29页。1)“大化(d hu)小”用任意曲线(qxin)网分D为 n 个区域以它们(t men)为底把曲顶柱体分为 n 个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体k),(kk第2页/共28页第二页，共29页。4)“取极限(jxin)”令),(yxfz ),(kkfk),

2、(kk第3页/共28页第三页，共29页。2. 平面平面(pngmin)薄片的质量薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xOy 平面上占有(zhnyu)区域 D ,计算(j sun)该薄片的质量 M .度为设D 的面积为 ,则若非常数 ,仍可用其面密 “大化小, 常代变,近似和, 求极限” 解决.1)“大化小”用任意曲线网分D 为 n 个小区域相应把薄片也分为小块 .yxO第4页/共28页第四页，共29页。yx2)“常代变”中任取一点(y din)3)“近似(jn s)和”4)“取极限(jxin)”k),(kk则第 k 小块的质量第5页/共28页第五页，共29页。两个(lin )问题的共性：(1)

3、解决问题的步骤(bzhu)相同(2) 所求量的结构式相同(xin tn)“大化小, 常代变, 近似和,取极限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 第6页/共28页第六页，共29页。二、二重积分的定义二、二重积分的定义(dngy)及可积性及可积性定义(dngy):将区域(qy) D 任意分成 n 个小区域(qy)任取一点若存在一个常数 I , 使可积 , 在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数 , 第7页/共28页第七页，共29页。引例(yn l)1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板(bo

4、 bn)的质量:如果(rgu) 在D上可积,元素d也常记作二重积分记作这时分区域 D , 因此面积 可用平行坐标轴的直线来划 yxO第8页/共28页第八页，共29页。二重积分存在二重积分存在(cnzi)定理定理:若函数(hnsh),(yxf定理(dngl)2.),(yxf(证明略)定理1.在D上可积.限个点或有限条光滑曲线外都连续 ,积.在有界闭区域 D上连续,则若有界函数在有界闭区域 D 上除去有 y1x1DO第9页/共28页第九页，共29页。三、二重积分的性质三、二重积分的性质(xngzh)( k 为常数(chngsh) 为D 的面积(min j), 则 第10页/共28页第十页，共29页

5、。特别(tbi), 由于则5. 若在D上),(yxf6. 设D 的面积(min j)为 ,则有第11页/共28页第十一页，共29页。7.(二重积分的中值(zhn zh)定理)证: 由性质(xngzh)6 可知,由连续函数介值定理(dngl), 至少有一点在闭区域D上 为D 的面积 ,则至少存在一点使使连续,因此第12页/共28页第十二页，共29页。例例1. 比较比较(bjio)下列积下列积分的大小分的大小:其中(qzhng)解: 积分(jfn)域 D 的边界为圆周它在与 x 轴的交点 (1,0) 处与直线从而而域 D 位于直线的上方, 故在 D 上y2x1OD第13页/共28页第十三页，共29

6、页。例例2. 估计下列估计下列(xili)积分之值积分之值解: D 的面积(min j)为由于(yuy)积分性质5即: 1.96 I 210101010DxyO第14页/共28页第十四页，共29页。例例3. 判断判断(pndun)积积分分的正负号.解: 分积分(jfn)域为则原式 =3D311D猜想结果为负 但不好(b ho)估计 .舍去此项yxO第15页/共28页第十五页，共29页。xyO8. 设函数设函数(hnsh),(yxfD 位于 x 轴上方(shn fn)的部分为D1 , 当区域关于(guny) y 轴对称, 函数关于(guny)变量 x 有奇偶性时, 仍1D在 D 上在闭区域上连续

7、,域D 关于x 轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分, 则有第16页/共28页第十六页，共29页。四、曲顶柱体体积四、曲顶柱体体积(tj)的的计算计算设曲顶柱的底为任取平面(pngmin)故曲顶柱体体积(tj)为截面积为截柱体的)(2xy)(1xy0 xzxyabDO记作 第17页/共28页第十七页，共29页。同样(tngyng), 曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分(jfn)计算DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21Oydcx)(2yx)(1yxy记作 第18页/共28页第十八页，共29页。例例4. 求两个求两个(lin )底圆半径为底圆半径为R 的直交圆柱的直交圆柱面所围的

8、体积面所围的体积.解: 设两个(lin )直圆柱方程为利用对称性, 考虑(kol)第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为222RzxDxyzRRO第19页/共28页第十九页，共29页。内容内容(nirng)小结小结1. 二重积分的定义(dngy)2. 二重积分的性质(xngzh)(与定积分性质相似)3. 曲顶柱体体积的计算二次积分法第20页/共28页第二十页，共29页。被积函数(hnsh)相同, 且非负, 思考思考(sko)与练习与练习解: 由它们(t men)的积分域范围可知11xyO1. 比较下列积分值的大小关系:第21页/共28页第二十一页，共29页。2. 设设D 是第二是第二(d

9、r)象限的一个有界闭域象限的一个有界闭域 , 且且 0 y 1, 则则的大小(dxio)顺序为 ( )提示(tsh): 因 0 y 1, 故故在D上有yOx1D第22页/共28页第二十二页，共29页。3. 计算计算(j sun)解:02第23页/共28页第二十三页，共29页。4. 证明证明(zhngmng):其中(qzhng)D 为解: 利用(lyng)题中 x , y 位置的对称性, 有又 D 的面积为 1 , 故结论成立 .yOx1D1第24页/共28页第二十四页，共29页。 P135 2，4，5 P152 1(1), 8第二节 作业作业(zuy)第25页/共28页第二十五页，共29页。备用备用(biyng)题题1. 估计(gj) 的值, 其中(qzhng) D 为解: 被积函数D 的面积的最大值),(yxf的最小值yOx2D1第26页/共28页第二十六页，共29页。2. 判断判断(pndun)的正负(zhn f).解：当时，故又当时，于是(ysh)1111xyOD第27页/共28页第二十七页，共29页。感谢您的欣赏(xnshng)！第28页/共28页第二十八页，共29页。NoImage内容(nirng)总结解法: 类似(li s)定积分解决问题的思想:。第1页/共28页。用任意曲线网分D为 n 个区域。以它们为底把曲顶柱体分为 n 个。计算该