高等数学A-第1章-8-1(函数及其性质).

1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学高等数学A A1.1 1.1 函数及其性质函数及其性质 1.1.1 映射映射 1.1.2 函数的概念函数的概念 1.1.3 函数的特性函数的特性 1.1.4 函数的运算函数的运算 1.1.5 函数的四则运算函数的四则运算 1.1.6 初等函数初等函数 1.1 1.1 函数及其性质函数及其性质1.1.2 函数的概念函数的概念 1.1.1 映射映射 定义定义单射、满射、一一映射、可数集，算子、泛函、变换、函数单射、满射、一一映射、可数集，算子、泛函、变换、函数 逆映射与复合映射逆映射与复合映射 函数定义函数定义

2、函数定义域和函数图形函数定义域和函数图形表示函数关系式的方法及分段函数表示函数关系式的方法及分段函数1.1.6 初等函数初等函数 1.1.5 函数的四则运算函数的四则运算 复合函数复合函数 1.1.3 函数的特性函数的特性 函数的单调性函数的单调性函数的有界性函数的有界性函数的奇偶性函数的奇偶性函数的周期性函数的周期性1.1.4 函数的运算函数的运算 反函数反函数基本初等函数基本初等函数初等函数初等函数函数及其性质习例函数及其性质习例1-7函数及其性函数及其性质质1. 函数的定义函数的定义一、函数的概念一、函数的概念设设D是实数集，称映射是实数集，称映射 为定义在为定义在D上的函数上的函数,

3、通常简记为通常简记为:f DRDxxfyxfDxxfy),(|: ),(或因变量因变量自变量自变量数集数集D叫做函数叫做函数f的的定义域定义域,记作记作 ，即，即 D fDfD可见可见, 函数是从实数集到实数集的映射函数是从实数集到实数集的映射, 其值域总在其值域总在 内，因此构成函数的要素是：内，因此构成函数的要素是：定义域与对应法则定义域与对应法则R),()()( ),()()(DxxfyyDffRDffRfxf即或记作的值域，为函数的全体所构成的数集称函数值单值函数与多值函数单值函数与多值函数 如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这如果自变量在定义域内任取一个数

4、值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数；否则叫做多值函数种函数叫做单值函数；否则叫做多值函数例例如如，222ayx 只有一个自变量的函数，称为一元函数只有一个自变量的函数，称为一元函数. 故若两个函数的定义域相同故若两个函数的定义域相同, 对应法则也相同对应法则也相同, 则这两个函数就是相同的则这两个函数就是相同的, 否则就是不同的否则就是不同的. 表示函数的记号是可以任意选取的表示函数的记号是可以任意选取的, 除了常用的除了常用的 外外, 还可以用其他的英还可以用其他的英文字母或希腊字母文字母或希腊字母, 比如比如“ 、 、 ”等，等，相应的函数可记为相应的函数可记为gF ,y

5、g xyF xyxf判断函数判断函数 f 与与 g 是否是同一函数？是否是同一函数？3334221)(,)()3()(,)()2(lg2)(,lg)()1( xxxgxxxfxxgxxfxxgxxf(2)自然定义域自然定义域. 理论研究中理论研究中, 对应法则是用数学公式表示的对应法则是用数学公式表示的函数函数, 这种函数的定义域是使数学公式有意义的自变量的所这种函数的定义域是使数学公式有意义的自变量的所有值构成的实数集有值构成的实数集. 即即当函数由公式（表达式）给出时，使当函数由公式（表达式）给出时，使公式有意义的自变量的取值范围就是函数的定义域公式有意义的自变量的取值范围就是函数的定义域

6、. 如：如：分式的分母不为分式的分母不为0； ;0)(, )(2 xfnxfn要要求求为为正正整整数数 ;0)(,10),(log xfaaxfa且且要要求求 ;1)(),(arccos),(arcsin xfxfxf要要求求 .0)(,)()( xfxfyxg要要求求(3)定义域的表示法：定义域的表示法：不等式法，集合法，区间法，叙述法与图示法不等式法，集合法，区间法，叙述法与图示法. 2. 函数定义域的确定函数定义域的确定(1)由实际问题决定由实际问题决定. 区间区间: :是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.,

7、baRba 且且bxax 称为开区间称为开区间,),(ba记作记作bxax 称为闭区间称为闭区间,ba记作记作oxaboxabbxax bxax 称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,),ba记作记作,(ba记作记作),xaxa ),(bxxb oxaoxb有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度的定义区间长度的定义: :两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.邻域邻域: :. 0, 且且是两个实数是两个实数与与设设a).,( aU记作记作,叫做这邻域的中心叫做这邻域的中心点点a.叫叫做做这这邻邻域域的的半半径径 . ),( axaxaU

8、xa a a ,邻邻域域的的去去心心的的点点 a. 0)(),( axxaUaU,邻域邻域的的称为点称为点数集数集 aaxx 例例 求函数的定义域求函数的定义域解：解：0104 ) 1 (2xx要求21 x所以函数的定义域为所以函数的定义域为(1,2. 11111)( )2(.xxf 114 )1(2 xxy要求 )2(0 x011x01111x .21, 1, 0 x3. 函数的图形函数的图形.)(),(),(的图形称为函数点集xfyDxxfyyxCoxy),(yxxyWD 4. 分段函数分段函数对于自变量的不同值（或在不同区间上），函数的表对于自变量的不同值（或在不同区间上），函数的表达式

9、不同，这种函数称为分段函数达式不同，这种函数称为分段函数.(1) 绝对值函数绝对值函数 0 ,0 ,xxxxxyoxy(2) 符号函数符号函数 0, 10, 00, 1sgnxxxxy11xyo(3) 取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过x的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo(4) Dirichlet(狄利克雷狄利克雷)函数函数 是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy01)(有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(5) 取最值函数取最值函数)(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy

10、yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg(6) 整标函数整标函数)(nfy 以自然数为自变量的函数以自然数为自变量的函数:图形为一些离散的点构成图形为一些离散的点构成. 二、函数的特性二、函数的特性1. 函数的单调性函数的单调性 ,),()(上上有有定定义义开开或或闭闭有有限限或或无无限限在在区区间间设设函函数数Ixfy 有有若若对任意对任意, , 2121xxIxx )()( )()(2121xfxfxfxf 或或则则称称 f(x)在在I上严格单调上升或严格单调递增（严格单调上严格单调上升或严格单调递增（严格单调下降或严格单调下降或严格单调递递减）减）.有有若若对任意对任意, , 212

11、1xxIxx )()( )()(2121xfxfxfxf 或或则则称称 f(x)在在I上单调上升或单调上单调上升或单调递递增增(单调下降或单调单调下降或单调递递减减).单增和单减的函数统称为单调函数，单增和单减的函数统称为单调函数，I称为单调区间称为单调区间. 由有限个单调函数组成的函数，称为分段单调函数由有限个单调函数组成的函数，称为分段单调函数. 如如 xy 2. 函数的有界性函数的有界性,)(, 0,成立成立有有若若MxfXxMDX .)(否否则则称称无无界界上上有有界界在在则则称称函函数数Xxf,)(, 0,11成立成立有有即若即若MxfXxMDX .)(上无界上无界在在则称函数则称函

12、数Xxf通常函数的有界性与区间有关，通常函数的有界性与区间有关，,1 2xy 如如.)1 ,101,)1 , 0(上有界上有界而在而在内无界内无界在在3. 函数的奇偶性函数的奇偶性偶函数图形关于偶函数图形关于y轴对称轴对称有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD )()(xfxf yx)( xf )(xfy ox-x)(xf;)(为偶函数为偶函数称称xf有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD )()(xfxf .)(为奇函数为奇函数称称xf奇函数图形关于原点对称奇函数图形关于原点对称)( xf yx)(xfox-x)(xfy 注意：注意：(1) 若若f(x)的定义域关于原点不

13、对称，则的定义域关于原点不对称，则f(x)一定不是奇函数或偶函数一定不是奇函数或偶函数.则则上上的的任任意意函函数数对对于于),()0)(,()2(xfaaa ,)()()(为为偶偶函函数数xfxfxg ,)()()(为为奇奇函函数数xfxfxh ),()(21)(xhxgxf 从从而而即即f(x)可表示为一个偶函数与一个奇函数之和可表示为一个偶函数与一个奇函数之和. (3) 奇偶函数的性质奇偶函数的性质 偶函数的和与差仍是偶函数，偶函数的和与差仍是偶函数，奇函数的和与差仍是奇函数；奇函数的和与差仍是奇函数；两个奇（或偶）函数的商是偶函数；两个奇（或偶）函数的商是偶函数；奇函数与偶函数的积（或

14、商）是奇函数；奇函数与偶函数的积（或商）是奇函数；有限个偶函数的积仍是偶函数；有限个偶函数的积仍是偶函数；偶数个奇函数的积是偶函数偶数个奇函数的积是偶函数. 4. 函数的周期性函数的周期性.,)(),()( , 0,)(为周期为周期为周期函数为周期函数则称则称都有都有若若上有定义上有定义在在设函数设函数TxfxfTxfDxTDxfy 任一任一周期函数都有无穷多个周期周期函数都有无穷多个周期. 若在无穷多个周期若在无穷多个周期中，存在一个最小的正数，则这个正数称为最小正周中，存在一个最小的正数，则这个正数称为最小正周期，简称周期期，简称周期.并非所有周期函数都有最小正周期并非所有周期函数都有最小

15、正周期, 如如Dirichlet函数函数 1,0,CxyD xxQQ,容易验证这是一个周期函数容易验证这是一个周期函数, 任何正有理数任何正有理数都是它的周都是它的周期期, 因为不存在最小的正有理数因为不存在最小的正有理数, 所以所以Dirichlet函数没函数没有最小正周期有最小正周期. r三、函数的运算三、函数的运算1. 反函数反函数 定义：定义：.)(,)(YXfXxfy 值值域域上上有有定定义义在在设设,)(,yxfXxYy 使使得得都都有有唯唯一一确确定定的的若若对对任任一一个个.),(1Yyyfx 注意：注意：(1)反函数的定义域和值域恰好是原来函数的值域和定义域反函数的定义域和值

16、域恰好是原来函数的值域和定义域.0 x0y0 x0yxyDW)(xfy 函数函数oxyWD)(yx 反函数反函数o设函数设函数 是单射，则它存在逆映射是单射，则它存在逆映射 , 称此映称此映射射 为函数为函数 的反函数的反函数. :fDf D1:ff DD1ff亦即亦即)(xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ),(baP)(xy 反函数反函数(2)直接函数与反函数的直接函数与反函数的图形关于图形关于y=x对称对称.反函数的求法：反函数的求法：(1)一般先从方程一般先从方程y=f(x)中解出中解出x, 然后再将所得结果中的然后再将所得结果中的 x与与y互换位置即可互换位置即可;(2)对分段

17、函数对分段函数,只要分段求出反函数便得只要分段求出反函数便得. (3) 反函数的反函数的对应法则是对应法则是完全由原函数的对应法完全由原函数的对应法则所确定则所确定 .2. 复合函数复合函数 定义：定义： ),)()( XxxguUuufy 与与设有两个函数设有两个函数 ,)()(UXgxgu 的值域的值域且函数且函数 ,),( XxxgfyX 上上确确定定了了函函数数则则在在 .)()( 的复合函数的复合函数与与称为称为xguufy gfy 记为记为注意：注意：UXg )(:)1(复复合合函函数数关关键键是是(2)复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成复合函数可以由两个以上的函数经过复合构

18、成.即不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的即不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的. fggf 3)(一般一般复合函数的求法：复合函数的求法：(1)对于非分段函数常用直接代入的方法；对于非分段函数常用直接代入的方法；(2)对于分段函数常用讨论的方法对于分段函数常用讨论的方法. 四、函数的四则运算四、函数的四则运算 函数的四则运算函数的四则运算 这四种运算称为函数的四则运算这四种运算称为函数的四则运算.设函数设函数 的定义域分别为的定义域分别为 ，则可以定义这两个函数的下列运算则可以定义这两个函数的下列运算:1212,D D DDD ,f xg x :,;fgfgxf xg xxD和和

19、 :,;fgfgxf xg xxD差差 :,;fgfgxfxg xxD积积 :,0,.fxffxxDx g xxDggg x商商五、初等函数五、初等函数1.基本初等函数基本初等函数(1)常数函数常数函数.),( ,为常数为常数cxcy (2)幂函数幂函数)( 是常数是常数 xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy (3)指数函数指数函数)1, 0( aaayxxey xay xay)1( )1( a)1 , 0( (4)对数函数对数函数)1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( (5)三角函数三角函数正弦函数正弦函数xysin

20、xycos 余弦函数余弦函数xycos xysin 正切函数正切函数xytan xytan xycot 余切函数余切函数xycot 正割函数正割函数xxycos1sec xysec xxysin1csc 余割函数余割函数xycsc xyarcsin 反反正正弦弦函函数数(6)反三角函数反三角函数xyarcsin xyarccos 反反余余弦弦函函数数xyarccos xyarctan 反正切函数反正切函数xyarctan xycot 反反余余切切函函数数arcxycot arc 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三角函数和反三角函数统称为三角函数统称为基本初等函数基

21、本初等函数.基本初等函数基本初等函数2. 初等函数初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示一个式子表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.并非所有的函数都是初等函数并非所有的函数都是初等函数,分段函数一般不是初等函数分段函数一般不是初等函数. 但也有例外但也有例外!3. 双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数-都是初等函数都是初等函数.六、函数及其性质六、函数及其性质举例举例 . 1 求下列函数的定义域求下列函数的定义域例例 49)3ln(1)(1)(2xxxf )

22、2(sin,)(10)2(的定义域的定义域求求有定义有定义时函数时函数设设xfufu 21 ,210 ,0 ,11)()3(xxxxxxf).1(, 35)1( . 22242 xfxxxf求求设设例例).2(cos,cos1)2(sin . 3xfxxf求求设设例例 ,)1()( . 4bacbaxcxbfxaf 且且为常数为常数其中其中设设例例).()( :xfxf 求证求证 ,),()()(),( . 5上的单增函数上的单增函数为为及及设设例例xxxf :),()()(求求证证且且xxfx ).()()(xxffx .,21 ,210 ,ln01 , . 612求反函数求反函数已知已知例

23、例 xexxxxyx,)( ,1 , 11 , 01 , 1)( . 7xexgxxxxf 设设例例).(),(xfgxgf求求 . 1 求下列函数的定义域求下列函数的定义域例例 49)3ln(1)(1)(2xxxf 解：解： 13030492xxx由由 2377xxx得得)3 , 2()2 , 7 故所求定义域为故所求定义域为 )2(sin,)(10)2(的定义域的定义域求求有定义有定义时函数时函数设设xfufu 解：解：, 12sin0: x依题意要求依题意要求由此可求得由此可求得x的取值范围，即为定义域的取值范围，即为定义域. 21 ,210 ,0 ,11)()3(xxxxxxf解：解：

24、 易知该易知该函数的定义域为：函数的定义域为： 2 , 0()0 , 1()1,( ).1(, 35)1( . 22242 xfxxxf求求设设例例解：解：13312)1(2242 xxxxf1)1(3)1(222 xx13)(2 xxxf1)1(3)1()1(2222 xxxf故故. 324 xx).2(cos,cos1)2(sin . 3xfxxf求求设设例例 解：解：因为因为2cos2cos1)2(sin2xxxf )2sin1(22x 所以所以)2cos1(2)2(cos2xxf 2sin22x .cos1x ,)1()( . 4bacbaxcxbfxaf 且且为常数为常数其中其中设设

25、例例).()(:xfxf 求证求证证明：证明： 1代入已知表达式得代入已知表达式得以以x )()1(cxxbfxaf 两式联立可两式联立可求得，求得，)()(22bxxabacxf )()(22bxxabacxf 而而)(22bxxabac )(xf ).()(xfxf ,),()()(),( . 5上上的的单单增增函函数数为为及及设设例例 xxxf :),()()(求求证证且且xxfx ).()()(xxffx 证明：证明：,0 x ),()()(000 xxfx 有有由由单调性及已知不等式有，单调性及已知不等式有， )()(00 xfx )(0 xff )()(00 xfxff )(0 x )()()(000 xxffx .0的任意性可知结论成立的任意性可知结论成立由由x.,21 ,210 ,ln01 , . 612求反函数求反函数已知已知例例 xexxxxyx解：解：得得由由2xy ,1 , 0( y, 01 x由于由于, yx 1 , 0(, xxy写成写成得得由由xyln ,0 ,( y0 ,(, xeyx写成写成得得再由再由12 xey,2ln1yx 2 , 2(,2ln1 exxy 写成写成故所求故所求反函数为反函数为 exx