量子力学复习题

1、 Chap.1.绪论绪论The birth of quantum mechanism Ex.1Ex.1 求经电势差为求经电势差为V V伏特的电场加速后的电子的波长。伏特的电场加速后的电子的波长。 )(25.122AVeVh1910)2(60210. 1e库仑库仑 3110)13(10908. 9em千克千克 SJh341062559. 6若若V=150V=150伏，伏， 0101A 100.1m-=纳米纳米 若若V=100000V=100000伏，伏， 3104纳米纳米 （1 1纳米纳米=10=10-9-9m m） eVE 能量能量 Chap.1.绪论绪论The birth of quantu

2、m mechanism 电子波长比可见光的波长（电子波长比可见光的波长（1010-7-7m m）小）小5 5个数个数量级，比原子的半径（量级，比原子的半径（0.1 - 0.20.1 - 0.2纳米）还小得多。纳米）还小得多。251.3 102hhnmmvmE波长太小波长太小, , 在宏观上在宏观上测不到！测不到！21v2EmEx.2 Ex.2 求飞行的子弹求飞行的子弹 ，速度，速度V=5.0V=5.0 10102 2m/s m/s 对应的德布罗意波长对应的德布罗意波长-2m=10 kg Chapter 2The wave function and Schrdinger EquationEx.1

3、 已知一维粒子状态波函数为已知一维粒子状态波函数为221( , )exp22ir tAa xt求归一化的波函数，粒子的几率分布，粒子在何处求归一化的波函数，粒子的几率分布，粒子在何处出现的几率最大。出现的几率最大。 dxeAdxtrxa2222),(22Aa2/ 1/aA归一化常数归一化常数Solve: 12 211/222( , )/ia xtr tae 归一化的波函数归一化的波函数(1).求求归一化的波函数归一化的波函数2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续1313） Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation（2

4、2）几率分布）几率分布： 222),(),(xaeatxtx（3 3）由几率密度的极值条件）由几率密度的极值条件 2 22( , )20a xdx taa xedx 由于由于 220( , )0 xdx tdx0 x 故故 处，粒子出现几率最大。处，粒子出现几率最大。0 x2.1 2.1 波函数的统计解释波函数的统计解释（续续1414） Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation12sin()| |( )1,2,3,20| |sin()| |( )1,2,3,20| |nAx axaxnaxanAx axaxnaxa2.2.已知下列两个

5、波函数已知下列两个波函数试判断试判断: (1)(1)波函数波函数 和和 是否描述同一状态是否描述同一状态? ? (2) (2)对对 取取 两种情况两种情况, ,得到的两个波函得到的两个波函 数是否等价数是否等价? ?1( ) x2( ) x1( ) x2n1. 1. 下列一组波函数共描写粒子的几个不同状态下列一组波函数共描写粒子的几个不同状态? ? 并指出每并指出每个状态由哪几个波函数描写个状态由哪几个波函数描写。2/2/(2)/1233/2/2/456,3,(42 ).ixixixi xixixeeeeei e 补 充 作 业 题补 充 作 业 题 Chapter 2The wave fun

6、ction and Schrdinger Equation下列波函数所描述的状态是否为定态？为什么？下列波函数所描述的状态是否为定态？为什么？EtiixtEiixexvexux)()()(1（1） tEitEiexuexux21)()()(2（2） tEitEiexuexux)()()(3（3） 思 考 题思 考 题 Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism（2 2）电子的第）电子的第n n 个能级个能级 E En n 是是 n n2 2 度简并的度简并的 粒子处在束缚态，对于第粒子处在束缚态，对于第 个能级个能级 ，角量子数，角量子

7、数取取 ，共，共 个值；对于一个个值；对于一个 值，磁量子值，磁量子数数 可取可取 ，共，共 个值。因此，对于个值。因此，对于第第 个能级个能级 ，共有共有1, 2, 1 , 0nl, 2, 1, 0) 12(lnnElnlmnnE102) 12(531) 12(nlnnl个波函数，即个波函数，即 的简并度为的简并度为n n2 2nE121210211200,Ex.Ex.n n = 2 = 2 时，时，E E2 2 是是4 4度简并的，对应的波函数有度简并的，对应的波函数有 库仑场中电子的能级库仑场中电子的能级 只与只与 有关，与有关，与 无无关，对关，对 简并，这是库仑场所特有的。简并，这是

8、库仑场所特有的。nEn( ,)l ml m、3.3 电子在库仑场中的运动（续13）Chap.3 The Dynamical variable in Quantum MechanismdCCFnnn22 求在能量本征态求在能量本征态 下，动下，动量和动能的平均值量和动能的平均值2( )sin()nn xxLLEX*002020( )( )( )( )2sin()cos()2sin0LLnnnnLLdPx Px dxixx dxdxnn xn xidxLLLi nn xdxLLSolveSolve3.6 算符与力学量的关系（续）Chap.3 The Dynamical variable in Qu

9、antum Mechanism2222*20022222220( )( )( )( )222()sin ()2LLnnnnLpPdxx dxxx dxdxnn xndxLLLL在能量本征态下测量到的在能量本征态下测量到的动能动能平均值等于该态所对应平均值等于该态所对应的能量本征值的能量本征值求氢原子处于基态时电子动量的几率分布求氢原子处于基态时电子动量的几率分布EXSolve:Solve:0301001area基态波函数基态波函数：动量算符的本征函数动量算符的本征函数： rpiper23)2()(3.6 算符与力学量的关系（续）Chap.3 The Dynamical variable in

10、Quantum MechanismpdrCrpp3100)()(ddrdreeapriarsin)2(120 0cos2023020drrCpp)()(100*其中其中01cos2320102cos(2)ripraeer drda3.6 算符与力学量的关系（续）032002(2)riiprpraireeedrp aChap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism22220230)2(paa42220253028)(paaCpWp 与动量值与动量值 的大小有关，与的大小有关，与 的方向无关，的方向无关，由此得到动量由此得到动量 的几率分布的几率

11、分布ppCPp3.6 算符与力学量的关系（续）Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism证明对易关系式证明对易关系式 xxUipxUx)(),(ExProve设设 为任一可微函数为任一可微函数, ,f x y z ,xxxxxU xPfUPPUfUP fPUf ,xUU x Pix Uffi UixxUUi fifxx特别地，当特别地，当 代入上对易式，即证得代入上对易式，即证得 U xx,xx Pi同理可证：同理可证：,yy Pi,zz Pi3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关

12、系测不准关系（续）（续）fUfi Ui fi UxxxChap.3 The Dynamical variable in Quantum MechanismEx.2Ex.2 角动量算符角动量算符 和和 对易，即对易，即 因此它们有共同的本征函数完备系因此它们有共同的本征函数完备系 。0,2LLz( , ) l mY zL2L22(1)zLl lLm，3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续9）( )pr同时有确定值。同时有确定值。,xyzppp在在 描述的状态中，描述的状态中，在在 描述的状态中，描述的状态中，,lmY 和和

13、可同时有确定值可同时有确定值: :2LzLEx.1Ex.1动量算符动量算符 彼此对易，它们有共同的彼此对易，它们有共同的本征函数完备系本征函数完备系 ,xyzp p prpiper23)2()(Chap.3 The Dynamical variable in Quantum MechanismEx.5Ex.5 彼此不对易，故彼此不对易，故 一般不一般不可能同时有确定值。可能同时有确定值。zyxLLL,zyxLLL, Ex.4 坐标算符与动量算符不对易坐标算符与动量算符不对易 ，故故 一般不可同时具有确定值。一般不可同时具有确定值。 iPxx,xPx,3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测

14、的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续10）42222,(1),2snzeELl lLmn Ex.3 氢原子的算符氢原子的算符 彼此对易：彼此对易：2zHL L、 、0,2LH0,zLH0,2zLL它们有共同的本征函数完备系它们有共同的本征函数完备系 ( , , ) nlmr 故故 可可同时有确定值同时有确定值: :zLLH,2在在 状态中，状态中，, ,nlmr Chap.3 The Dynamical variable in Quantum MechanismProve:22224)xzyxzyLLLLiLL （，则测不准关系：则测不准关系：222224040)

15、xxyLLL （平均值的平方平均值的平方为非负数为非负数欲保证不等式成立，必有：欲保证不等式成立，必有：0 xL同 理同 理0 yL由于在由于在 本征态本征态 中，测量力学量中，测量力学量 有确定值，有确定值，所以所以 均方偏差必为零，即均方偏差必为零，即zLlmYzLzLEx.1 利用测不准关系证明，在利用测不准关系证明，在 本征态本征态 下，下，zLlmY0 xL0 yLChap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism（1 1）若两个厄米算符有共同本征态，它们是否就彼）若两个厄米算符有共同本征态，它们是否就彼此对易。此对易。（2 2）若两

16、个厄米算符不对易，是否一定就没有共同）若两个厄米算符不对易，是否一定就没有共同本征态。本征态。（3 3）若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都）若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值。同时具有确定值。（4 4）若）若 = =常数，常数， 和和 能否有共同本征态。能否有共同本征态。（5 5）角动量分量）角动量分量 和和 能否有共同本征态。能否有共同本征态。,BAAByLxL思 考 题思 考 题3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续8) Chap.4 The representation for the st

17、ates and dynamical variable17证证1*( , ) ( , )x tx t dx( ,)( )*( ,) ( ) ppC p tx dpC p tx dpdx ( ,)* ( ,)C p tC p tdp()pp（归一化条件）（归一化条件）命题命题若若 是归一化波函数，则是归一化波函数，则 也归一。也归一。( , )C P t(,)rt4.1 4.1 态的表象态的表象（续）（续）( ,)* ( ,)C p t C ptdpdp ( ,) (,)( ) ( )ppC p t C ptdpdpxxdx Chap.4 The representation for the s

18、tates and dynamical variable18121)(nnta1),(32rdtr归一化条件归一化条件( , ) ( , ) 1q tq t（归一化条件的矩阵（归一化条件的矩阵 表述形式）表述形式）粒子处于一维无限深势阱的基态：粒子处于一维无限深势阱的基态： 12sin0 xxx aaa求该态在动量和能量表象中的表示形式求该态在动量和能量表象中的表示形式。Ex.1.4.1 4.1 态的表象态的表象（续）（续） Chap.4 The representation for the states and dynamical variable19 1/212ipxpxe动量本征函数动量

19、本征函数SolveSolve选择动量表象选择动量表象: :10( )( )( )apxC px dp展开系数展开系数： 1pC pxx dx1/2012sin.2iapxxedxaa22221/ipaaep a4.1 4.1 态的表象态的表象（续）（续） Chap.4 The representation for the states and dynamical variable20能量表象能量表象： 2sinnnxxaa本征函数本征函数 1nnnxaEx nnndxxxEa, 1*1)(可见能量算符的本征函数在能量自身表象中取可见能量算符的本征函数在能量自身表象中取符号形式。符号形式。4.1

20、 4.1 态的表象态的表象（续）（续） Chap.4 The representation for the states and dynamical variable21Ex.2:3/212 ip rPeSolve：自由粒子自由粒子动动量量算符的算符的本本征函数征函数3( )( )( )PPrC Pr d P( )( )( )PPC Prr d 求自由粒子动量算符求自由粒子动量算符 具有确定本征值具有确定本征值 的本征函数在动量自身表象中的形式的本征函数在动量自身表象中的形式PPCh.4 The representation for the states and dynamical varia

21、ble()PP 动量算符动量算符 具有确定本征值具有确定本征值 的本征函数的本征函数: :PP可见，动量算符具有确定本征动量值可见，动量算符具有确定本征动量值 的本征函数的本征函数在动量自身表象中是以动量在动量自身表象中是以动量 为变量的为变量的函数。函数。PP4.1 4.1 态的表象态的表象（续）（续） Chap.4 The representation for the states and dynamical variable22量子力学表象量子力学表象几何空间坐标系几何空间坐标系某一表象本征态矢量某一表象本征态矢量某一坐标系的一组基矢 12,nu xu xu x123,eee mnmnu

22、x ux dx正交正交归一归一正交正交归一归一ijije e ,nnnx ta t ux31 12 23 31i iiA AeAeAeAe ,nna tuxx t dxiiAAe量子态矢量：量子态矢量： 1na ta t矢量矢量: : 123AAAA4.1 4.1 态的表象态的表象（续）（续） Chap.4 The representation for the states and dynamical variable23讨 论讨 论1 1 是厄米矩阵是厄米矩阵)(mnFFProveProve：dxxuFxuFmnnm)()(*( )( )nmnmFu x Fu xdx显而易见，对角矩阵元为实

23、数显而易见，对角矩阵元为实数*nnnnFF可见，算符可见，算符 在在Q Q表象中是一个矩阵表象中是一个矩阵 ，其矩，其矩阵元为阵元为F()mnFFdxxuxixFxuFmnnm)(),()(* FF即即 是厄米矩阵。是厄米矩阵。F4.2 4.2 算符的矩阵表示算符的矩阵表示（续（续3）*( )( )mnu x Fu x dxmnF Chap.4 The representation for the states and dynamical variable24例题例题: :在在Q Q表象的正交归一的基矢只有两个表象的正交归一的基矢只有两个: : 算符算符 有如下性质有如下性质: :F 21,

24、解解: 由公式由公式 dxFFnmmn *12211223 FF的矩阵的矩阵求求F32321*11*111dxdxFF221*12*112dxdxFF22321*21*221dxdxFF021*22*222dxdxFF得到矩阵得到矩阵:0223F Chap.4 The representation for the states and dynamical variable25例题例题: :在在Q Q表象的正交归一的基矢只有两个表象的正交归一的基矢只有两个: : 算符算符 有如下性质有如下性质: :F 21, 解解: 由公式由公式 dxFFnmmn *12211223 FF的矩阵的矩阵求求F32

25、321*11*111dxdxFF221*12*112dxdxFF22321*21*221dxdxFF021*22*222dxdxFF得到矩阵得到矩阵:0223F Chap.4 The representation for the states and dynamical variable260 1 0221 0 1220 1 0aabbcc 要使本征波函数不为零，亦即要求要使本征波函数不为零，亦即要求a,b,ca,b,c不全为零，不全为零，其条件是（其条件是（1 1）中的系数矩阵的行列式为零。）中的系数矩阵的行列式为零。 1011001abc （1 1）1011001320久期方程久期方程12

26、3202 2 本征值本征值 4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续8） Chap.4 The representation for the states and dynamical variable271122330,222,2101210012abc 22babc当当 时，时， 由（由（2 2）有）有124.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续9）112112babc Chap.4 The representation for the states and dynamical variable28*12111112212bb111 由归一化条件由归一化条件: :4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续10）*12bb12b归一化常数归一化常数111221归一化的波函数归一化的波函数 Chap.4 The representation for the states and dynamical variable29当当 时时, ,由（由（2 2）有）有200101010010abc 4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续11）0bca2101a12aabc *2221a a 归一化条件归