RJASXXX1-20302复数代数形式的加减运算及其几何意义

1、yyyy年年M月月d日星期日星期W下面我们就来进一步讨论复数的运算性质下面我们就来进一步讨论复数的运算性质规定规定1：复数的加法规则：复数的加法规则：z1=a+bi,z2=c+di是任意的两个复数，那么是任意的两个复数，那么(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i因此，两个复数的和仍然是一个确定的复数因此，两个复数的和仍然是一个确定的复数复数的加法满足交换律和结合律吗？复数的加法满足交换律和结合律吗？1.加法的代数运算：设，加法的代数运算：设，z1,z2,z3R，有：，有：z1+z2=z2+z1(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)(交换律交换律)(结合律结合律)2加法的加法的

2、几何意义几何意义：z1=a+bi,z2=c+dixyoz1=a+biz2=c+diz=(a+c)+(b+d)i3.减法的运算：减法的运算：如何理解复数的减法？如何理解复数的减法？1.代数式：代数式：z=a+bi,z1=c+di,且且z1+z2=z,则则z2=x+yi,z1+z2=z(c+x)(d+y)i=a+bix=a-cy=b-d2.几何意义几何意义：xyoz1=(a-c)+(b-d)iz2=c+diz=a+bi例例1.计算计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)解解 原式原式5+(-2)-(3)+(-6)+(-1)-4i=0+(-11)i=-11i例例2如图向量如图向量Z表示复数表示复

3、数Z，试作出下列向量：，试作出下列向量：xyz1.z+12.z-i3.z+(2-i)规定规定2:复数的乘法法则：复数的乘法法则：因此，两个复数的乘积仍然是一个确定的复数，因此，两个复数的乘积仍然是一个确定的复数，它和多项式的运算规则一致它和多项式的运算规则一致复数的乘法是否满足复数的乘法是否满足交换律交换律、结合律结合律以及对加法的以及对加法的分配律分配律？复数的乘法法则：复数的乘法法则： 设设 ， 是任意两个复数，那么它们的积是任意两个复数，那么它们的积biaz 1dicz 2ibcadbdacbdiadibciadicbia)()()(2 我们比较容易证明这些性质：我们比较容易证明这些性质

4、：1.交换律：交换律：z1z2=z2z12.结合律结合律:(z1z2) z3=z1 (z2z3)3.分配律分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3例例3 3 计算计算 )2)(43)(21(iii 解：解：iiiiii1520)2)(211()2)(43)(21( 例例4求求 )(biabia 解：解：2222222)()(baibabiabiabia 两个两个 的积是一个实数，这个实数等于每个复的积是一个实数，这个实数等于每个复数的模的平方，即数的模的平方，即22|zzzz zz,两个实部相等，虚部互为相反两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数复数数的复数互为共轭复数复数z的共

5、轭复数记作的共轭复数记作 z若若z za ab bi(i(a a，b bR)R)，则，则z abi共轭复数所对应的点关于实轴对称容易证明有以下特点：共轭复数所对应的点关于实轴对称容易证明有以下特点：nnzzzzzz21211.2.3.4.2121zzzznnzzzzzz21212121zzzz ( (z z2 20)0)实数的除法是其乘法的实数的除法是其乘法的逆运算逆运算，而向量是，而向量是没有除法运算没有除法运算的，的，那么复数的除法运算情况怎样的呢？那么复数的除法运算情况怎样的呢？复数的除法法则为：复数的除法法则为：)0()()()()(2222dicidcadbcdcbdacdicdic

6、dicbiadicbiadicbia共轭复数有理化共轭复数有理化iiiiiiiiiii52512510i5- 434683)43)(43()43)(21 (4321)43()21 (221.复数加法的代数运算法则及其几何意义复数加法的代数运算法则及其几何意义2.复数的乘法以及除法的代数运算复数的乘法以及除法的代数运算3.共轭复数共轭复数例例4 4 设设 ，求证：，求证： （1） ；（；（2） i2321 012 . 13 证明：证明： （1）22)2321()2321(11ii ; 0 4323412321 ii22)23(23212)21(2321iii 33)2321(i )2321()2321(2ii )2321)(2321(ii 22)23()21(i 14341 (2)复数的乘方：复数的乘方：对任何对任何 及及 ，有，有Czzz 21, Nnm,nmnmzzz mn