2021-2022学年新教材高中数学第三章函数3.1.1函数及其表示方法(第3课时)分段函数教师用书

1、第3课时分段函数导I学I聚樵考点学习目标核心素养分段函数求值理解分段函数的概念，会求分段函数的函数值数学运算分段函数的图像能画出分段函数的图像，并会应用解决问题直观想象陨习案T。问题导学预习教材P90 P92的内容，思考以下问题：1 .什么是分段函数？2 .分段函数是一个函数还是多个函数？新知初探1 .分段函数如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，那么 称其为分段函数.名师点拨(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数.处理分段函数问题时，要先确定自变量的取 值在哪个区间，从而选取相应的对应关系.(2)分段函数在书写时要用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，

2、并且必须指明各 段函数自变量的取值范围.(3)分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集 合的形式，不能分开写成几个集合的形式.(4)分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集.2.分段函数的图像分段函数有几段，它的图像就由几条曲线组成.在同一直角坐标系中，根据每段的定义 区间和表达式依次画出图像，要注意每段图像的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得 到整个分段函数的图像.名师点拨在画每一段函数图像时，可以先不管定义域的限制，用虚线作出其图像，再用实线保存 其在该段定义区间内的相应图像即可，即"分段作图.3.常数函数值域只有一个元素的

3、函数,通常称为常数函数.g判断正误(正确的打“(1)分段函数由几个函数构成.1, x>0, (2)函数 f (x)=-1, x<0、自我检,错误的打“X”是分段函数.(3)分段函数的定义域是各段上自变量取值的并集.答案：(1) X (2) V (3) V以下给出的式子是分段函数的是 f (x)=x2+1, 1<x<5, 2x, x<1. f (x)=x+1, xCR, x2, x>2. f(x) =f (x)=2x+3, 1<x< 5, x2, x< 1.x2+3, x<0,x- 1x>5.A.B.C.D.答案：B函数f(x)

4、=那么f (2)等于(A. 0C. 1解析：选yx - 1, x>iD. 2C.f (2) =J2-1 = 1.x2, x>0,-2, x<0，值域为例I)的定义域为| xl(1)函数f(x)=,那么其定义域为()A. Rx (0 , +8)C. (8, 0)D. (8, 0) U (0 , +OO)x + 1, 0<x<1,(2)函数f(x) = 0, x = 0,的定义域为 ，值域为x2 1, 1<x<0【解析】(1)要使f(x)有意义，需xwo,故定义域为(8, 0) U (0 , +8).(2)由得,f(x)的定义域为x0<x<1U

5、0 U x| 1<x<0 =x| 1<x<1,即(一1, 1), 又 0Vx<1 时，0<-x2+ 1<1, 1<x<0 时，1<x21<0, x=0 时，f (x) =0,故值域为(1, 0) U0 U(0, 1) = (-1, 1).【答案】(1)D (2)( 1, 1) ( 1,1)(1)分段函数定义域、值域的求法分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；分段函数的值域是各段函数值域的并集.(2)绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决.跟踪训练x , 1 W x W 1 , 函数f(x)= 一那么函数的定义域为1

6、, x>1 或x<1,，值域为解析：由得，f(x)的定义域为 1, 1U(1, +8)U(8, 1)=R,又 xe 1, 1 时，x2e 0,1,故函数的值域为0,1.答案：R 0, 15- 21十5- 2挥究点团一 分段函数的求值问题x+ 1, x< - 2,例工1 函数 f(x)= x2+2x, -2<x<2,试求 f( 5) , f (。3) , f f -2 的值.2x- 1, x>2. .【斛】 由一5C(一00, 2,一旷3c(2, 2) , (°°, 2,知 f ( 5) = - 5 + 1 = 4,f(-<3)=(-

7、忖+ 2(一73) = 3-273.-2<-3<2,2 ，.53所以 ff-2 =f-2=-22+2x互前保究(变问法)本例条件不变，假设 f(a)=3,求实数a的值.解：当 aw 2 时，f(a) = a+1,所以a+1 = 3,所以a=2> 2不合题意，舍去.当一2<a<2 时，a2+2a= 3,即 a + 2a3=0,所以(a 1)( a+3) = 0,所以a=1或a= 3.因为 1C( 2, 2), -3?( -2, 2),所以a=1符合题意.当 a>2 时，2a1 = 3,所以a= 2符合题意.综合知，当 f(a)=3时，a=1或a=2.(i)分段

8、函数求函数值的方法确定要求值的自变量属于哪一段区间；f(f(Xo)的形式时，应从内到外依代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现 次求值.(2)函数值求字母取值的步骤先对字母的取值范围分类讨论；然后代入到不同的解析式中；通过解方程求出字母的值；检验所求的值是否在所讨论的区间内.跟踪训练1 .函数f ( X)x-2, x<2,f(x1), x>2,那么f(2)=(A.C.解析：选 A.f(2) =f(2 1) =f(1) =1-2=- 1.x+ 2)x > 2,2. f(x)=假设f(x)>2,求x的取值范围.-x- 2, x<- 2.解：当 x>2 时，

9、f(x)=x+2,由 f (x)>2 ,得 x+2>2,解得 x>0,故 x>0;当 x< 2 时，f(x)=x2,由 f (x)>2 ,得一x-2>2,解得 x<-4,故 x<4.综上可得：x>0或x<4.究点分段函数的图像及应用角度二角度一分段函数图像的识别2【解析】A例3分段函数图像的画法分别作出以下分段函数的图像，并写出定义域及值域.1(1) y=x, 0<x<1,x, x> 1.3, x<-2,(2) y= -3x, -2< x<2, 3, x>2.【解】各函数对应图像如下图:

10、由图像知，（1）的定义域是（0, +8）,值域是1 ,+8）;)，值域是(6, 6.(2)的定义域是(一8, +OO角度三分段函数图像的应用例国 某地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费方法，假设某户居民每月应交电费y(元)关于用电量x(度)的函数图像是一条折线(如下图)，根据图像解以下问题：(1)求y关于x的函数关系式；(2)利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；(3)假设该用户某月用电 62度，那么应交费多少元？假设该用户某月交费105元，那么该用户该月用了多少度电？【解】 当0wxwi00时，设函数关系式为 y= kx.将 x=100, y=65 代入，

11、得k,所以yx.当x>100时，设函数关系式为 y=ax+b.将 x=100, y=65x=130, y=89 代入，100a+b=65,a,得 130a+b=89,解得 b=-15.所以yx 15.综上可得丫 =错误！(2)由(1)知电力公司采取的收费标准为：用户月用电量不超过 100度时，每度电0.65元;超过100度时，超出的局部，每度电元.(3)当 x=62 时,y=62X 0.65= 40.3(元)；当y= 105时，因为 0.65 X 100= 65<105,故 x>100,x 15, x=150.即假设用户月用电 62度时，那么用户应交费 40.3元；假设用户月

12、交费 105元，那么该 用户该月用了 150度电.分段函数图像的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图像，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将 函数转化为分段函数，然后分段作出函数图像.(2)作分段函数的图像时，分别作出各段的图像，在作每一段图像时，先不管定义域的限 制，作出其图像，再保存定义域内的一段图像即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保 证不重不漏.函数f(x)=I x| 一 x2+ 1( -2<x<2). 利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数;(2)在坐标系中画出该函数的图像，并写出函数的值域.,x x解：当 0WxW2 时，f(x)=-2+1 =

13、1.一x x当一2<x<0 时，f(x)=2+1 = -x+1.故 f (x)=1, 0<x<2, -x+1, 2<x<0.(2)函数f (x)的图像如下图:由图可知，函数f(x)的值域为1 , 3).验证+反情达标 A. -2C. 2 或一23函数y=x+?的图像是（）I x|x+ 1 , x>0,解析：选C.对于y= x +,当x>0时，y = x+1;当x<0时，y = xy=故其xx- 1, x<0,图像应为C.x2-4, 0WxW2,4.函数 f (x)= 2x, x>2.(1)求 f(2) , f(f(2)的值；(2

14、)假设f (x0)=8,求x0的值.解：(1)因为 0WxW2 时，f(x)=x24,所以 f(2) =22 4=0,f (f (2) =f(0) =02-4=- 4.(2)当 0Wx0W2 时，由 x2-4= 8,得 x0=±2j3(舍去)；当 x0>2 时，由 2x0 = 8,得 xox。=4.应用泉1. 一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开场匀速行驶，过了一段时间，火 车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，以下图像解析：选B.根据题意，知这列火车从静止开场匀加速行驶，所以排除B. 3A 根底达标A, D.然后匀速行C,应选B.驶

15、一段时间后又停顿了一段时间，排除x2 + 1, x< 1那么 f(f (3)=()1 A.513D.?222 2413解析：选 D.f (3) =3, f (f (3) = f 3 = 3 +1=9+1 ="9".x+2, xw。，3 . （2021 广东深圳中学期中考试）函数f（x）= 2假设f（x） = 3,那么x的值x , 0<x< 3,是（）B. 9A. ；3C. - 1 或 1解析：选A.依题意，假设xw。，那么x + 2=3,解得x= 1,不合题意，舍去.假设0<xW3,那么x2=3,解得x=一，3（舍去）或x=术.应选A.4 .函数f

16、（x） = x22| x|的图像是（）-A.1B.- 3C.2 D.3解析：选B.由题图可知，函数f （x）的解析式为f (x)=x- 1 , 0<x<1, 所以x+ 1, 1<x<0,112f 3 =3T = 3所以f 3+1 = 3.n-3, n>10,6. f ( n)=那么 f (8)=f (f ( n+ 5) , n<10,解析：因为 8<10,所以代入 f (n) =f(f (n+5),即 f(8) =f(f(13).因为 13>10,所以代入 f(n) =n-3,彳# f(13) =10,故得 f(8) =f(10) =10-3=7

17、.答案：73X+2, x<i,7.函数f(x)= 2假设f(f(0) =a>,那么实数a=.x ax, x> 1,解析：依题意知 f(0) =3X0+2=2,那么 f(f(0) =f(2) =22-2a=a,求得 a= 4. 34答案：38.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米 m元收费；用水量超过 10立方米的，超过局部按每立方米 2m元收费.某 职工某月交水费16m元，那么该职工这个月实际用水量为 立方米.mx 0<x< 10,解析：该单位职工每月应交水费y与实际用水量x满足的关系式为v=2mx- 10m,

18、 x> 10.由 y=16m,可知 xmx- 10m= 16m,解得 x= 13.答案：13x2, -1< x< 1,9. f (x)=1, x>1 或x< 1.(1)画出f (x)的图像；1(2)假设f (x) >求x的取值范围；4(3)求f (x)的值域.7 01 n解：(1)利用描点法，作出f(x)的图像，如下图.(2)由于f ±1 =1,结合此函数图像可知，使f(x)>1的x的取值范围是 8, - -1 U2442因为一3<0,所以 f(f(5) =f( -3) = - 3+4=1.因为0<1<4,所以 f(f(f(

19、5) =f(1) =12-2X1 = - 1, 即 f(f(f(5) =- 1.(2)图像如下图.B 能力提升I, x>0,II, f(x)=那么不等式xf (x)+xW2的解集是()0, x<0,A. x|xW1B. x|xW2C. x|0 <x< 1D. x| x<0解析：选A.当x>0时，f (x) = 1,xf (x) +x<2? x< 1,所以0WxW1;当 x<0 时，f(x) = 0, xf(x)+xW2? x<2,所以x, x<1.2x+a, x<1,12.实数aw。，函数f(x) =x 2a, x >

20、; 1,假设f(1 a) =f (1 +a),那么a的值为.解析：当 a>0 时，1a<1, 1+a>1,一，一-3,由 f (1 a) =f (1 + a)可得 2 2a+a= 1 a 2a,解得 a= -2,不合题息；当 a<0 时,一,一31 - a>1, 1 + a<1,由 f (1 a) = f(1 + a)可得一1 + a2a= 2+2a+a,解得 a= %.3答案：一413.如图， OAB边长为4的正三角形，记 OA由于直线x=t(0<t<6)左侧的图形的 面积为f(t),求函数f(t)的解析式.解：当 o<tw2 时，f(t

21、) =；xt ><73t =|;当 2<tW4 时，f(t)=；X4X2小一2(41)><73(4 t)=当t2 + 473t4木;1当 4Vt<6 时，f(t)=2*4X24=4/.所以函数f(t)的解析式为3t2等一,0<tW2,f(t)_兴2+4而_ 4g 2<t<44 3, 4<t <6.114.设集合 A= 0, 212, 1 ,函数 f (x)=1 x+-, xe a,2假设xo e a,且2(1 x) , xC B,f ( f ( xo) RA,求xo的取值范围.解：因为xoCA,1所以 owxo<2,且 f ( xo) = xo+ 5,11又/ xo+2<1,1所以xo+2e b,11所以 f (f (xo) = 2 1 xo2 = 2 2 xo ,又 f ( f (xo) 6 A,所以 0W2 2-xo <2,-111解得 4<xoW2,又 owxo<2,.11所以 4<xo<2.C 拓展探究15.讨论方程x24|x| +5=m的实根的个数.解：将方程x24| x| + 5= m的实根个数问题转化为函数y = x24| x| + 5的图像与直线y=m的交点个数问题.2x2-4x+ 5, x>