第2章控制系统的传递函数

1、第二章第二章 控制系统的传递函数控制系统的传递函数(MathematicalModel) 常见函数的常见函数的Laplace变换变换u1 u2 u3u4u5st1)( 121st aseat122sinst22cossstu线性系统：系统的数学模型能用线性微线性系统：系统的数学模型能用线性微分方程描述。分方程描述。u线性定常系统：微分方程的系数为常数。线性定常系统：微分方程的系数为常数。u线性系统满足叠加原理。线性系统满足叠加原理。u建立数学模型的方法：建立数学模型的方法：分析法分析法和实验法。和实验法。控制系统概念控制系统概念(Introduction)2.1 传递函数概述传递函数概述 (T

2、ransferFunction)一、一、 传递函数定义传递函数定义在外界输入作用前，在外界输入作用前，输入、输出的初始条件为零输入、输出的初始条件为零时，时，线性定常系统、环节或元件的输出线性定常系统、环节或元件的输出xo(t)的的Laplace变换变换Xo(s)与输入与输入xi(t)的的Laplace变换变换Xi(s)之比，称为该系统、环节或元件的传递函数之比，称为该系统、环节或元件的传递函数G(s)。01110111.)()()()()(asasasabsbsbsbsXsXtxLtxLsGnnnnmmmmioiou输入、输出和传递函数之间的关系为输入、输出和传递函数之间的关系为 ( )(

3、)( )oiXsG s X su一般外界输入作用前的输出初始条件一般外界输入作用前的输出初始条件 称为系统的初始状态或初态，在计算时作为输称为系统的初始状态或初态，在计算时作为输入考虑。入考虑。 (0 )ox(1)(0 )ox(1)(0 )nox传递函数特点：传递函数特点：u(1)传递函数分母传递函数分母(左端左端阶数及各项系数阶数及各项系数)只取决于系只取决于系统本身与外界无关的固有特性；统本身与外界无关的固有特性；传递函数的分子传递函数的分子(右右端端阶数及各项系数阶数及各项系数)只取决于系统与外界之间的关系。只取决于系统与外界之间的关系。u(2)若输入已经给定，则系统的输出完全取决于其传

4、若输入已经给定，则系统的输出完全取决于其传递函数。递函数。u(3)传递函数分母中传递函数分母中s的阶数的阶数n必不小于分子中必不小于分子中s的阶的阶数数m，即，即nm，因为实际系统或元件总有惯性。，因为实际系统或元件总有惯性。u(4)传递函数可以是有量纲，也可以是无量纲的。传递函数可以是有量纲，也可以是无量纲的。u(5)物理性质不同的系统、环节或元件，可以具有相物理性质不同的系统、环节或元件，可以具有相同类型的传递函数。同类型的传递函数。)()()()(11sXsGLsXLtxioo二、传递函数形式二、传递函数形式 系统的传递函数系统的传递函数G（s）是以复变函数）是以复变函数s作为自作为自变

5、量的函数。经因式分解后可以写成变量的函数。经因式分解后可以写成 )().)().()()(2121nmpspspszszszsKsGK为常数为常数 当当s=zj 时，均能使时，均能使G(s)=0 ， zj称为称为G(s)的的零点零点。当当s=pi 时，均能使时，均能使G(s)的分母为的分母为0 ，pi称为称为G(s)极点极点。 传递函数的传递函数的极点极点就是微分方程的就是微分方程的特征根特征根。 1传递函数的零点、极点形式传递函数的零点、极点形式 根据微分方程的解可知，系统的瞬态响应，由以根据微分方程的解可知，系统的瞬态响应，由以下形式的分量构成下形式的分量构成teteettptcossin

6、,，式中：式中：p和和+j是系统传递函数极点，也是微分方是系统传递函数极点，也是微分方程的特征根。程的特征根。n假定所有的极点是负数或具有负实部的复数，即假定所有的极点是负数或具有负实部的复数，即p0， 0，当，当t时，上述分量趋向于零，瞬态时，上述分量趋向于零，瞬态响应是收敛的。因此说系统是稳定的。响应是收敛的。因此说系统是稳定的。n系统是否稳定由极点性质决定。系统是否稳定由极点性质决定。n当系统输入信号一定时，系统的零、极点决定着系当系统输入信号一定时，系统的零、极点决定着系统的动态性能，即零点对系统的稳定性没有影响，统的动态性能，即零点对系统的稳定性没有影响，但它对瞬态响应曲线的形状有影

7、响。但它对瞬态响应曲线的形状有影响。2、传递函数的标准形式及放大系数、传递函数的标准形式及放大系数 经变换将常数项化为经变换将常数项化为1后可得系统的传递函数标准后可得系统的传递函数标准形式为形式为 ( )(1)1011( )(1)0111(1)(.1)( )(.1)(1)mjnnjnnnnnnniisb b sbsbsG sKa a sasa sTsK系统的放大增益，或称放大系数系统的放大增益，或称放大系数00bKa 当当s=0时时000011101110.)()0(abasasasabsbsbsbsGGsnnnnmmmms)0()()()()()()(limlimlimlim000GsGs

8、XssGssXxtxsisosoot假如系统输入为单位阶跃信号，系统的稳态输出为假如系统输入为单位阶跃信号，系统的稳态输出为uG(0)决定着系统的稳态输出值，决定着系统的稳态输出值，G(0)就是系统的就是系统的放大系数放大系数，它是由系统微分方程系数决定的。，它是由系统微分方程系数决定的。u系统传递函数的零点、极点和放大系数决定着系系统传递函数的零点、极点和放大系数决定着系统的瞬态性能和稳态性能。统的瞬态性能和稳态性能。2.2 传递函数的建立传递函数的建立 一一 、列写传递函数的一般方法、列写传递函数的一般方法u列写系统（或元件）的传递函数，目的在于确列写系统（或元件）的传递函数，目的在于确定

9、系统的输出量与给定输入量或扰动输入量之定系统的输出量与给定输入量或扰动输入量之间的函数关系。间的函数关系。u确定系统（或元件）的输入量和输出量；确定系统（或元件）的输入量和输出量；u从系统输入端开始，列写各个环节的动态微分从系统输入端开始，列写各个环节的动态微分方程；方程；u将微分方程进行拉氏变换；将微分方程进行拉氏变换；u消除中间变量，整理得出输入输出之间关系的消除中间变量，整理得出输入输出之间关系的传递函数。传递函数。例例1 RLC电路电路 dtduciuuLRioiodtdiiooouudtduRcdtudLc22根据电路基本原理根据电路基本原理)()()()()()(scsUsIsUs

10、UsLsIsRIoio11)()(2RcsLcssUsUio例例2 质量弹簧阻尼系统质量弹簧阻尼系统由牛顿定律：由牛顿定律： maF22dtydmdtdyckyffkydtdycdtydm22kcsmssFsY21)()(22221122221211111)(11)(1udtiCdtiiCdtiCRiudtiiCRi根据克希荷夫定律根据克希荷夫定律1222122112222211)(uudtduCRCRCRdtudCRCR)()(1)()(1)(1)()()()(1)(2222112222121111sUsIsCsIsIsCsIsCRsIsUsIsIsCRsI1)(1)()(212211222

11、1112sCRCRCRsCRCRsUsU例例3 RC电路电路若孤立地分别写出两个环节的微分方程，则若孤立地分别写出两个环节的微分方程，则2111111111udtiCudtiCRi2222222211udtiCudtiCRi) 1)(1)()(22112221112sCRCRsCRCRsUsU这就是负载效应的结果。这就是负载效应的结果。负载效应就是物理环节之间的信息反馈作用。负载效应就是物理环节之间的信息反馈作用。例例4 电枢控制式直流电机电枢控制式直流电机根据克希荷夫定律根据克希荷夫定律adaaueRidtdiLddke adaaukRidtdiLLMMdtdJamikM LamMikdtd

12、JLmdLmdadmdmdMkkRdtdMkkLukdtdkkRJdtdkkLJ122mmddmmdaCJTCkTkkRJTRL,1,LmLamadmmaMCdtdMTCuCdtdTdtdTT22电动机电动机特性特性KxyxKyxdxdfxxdxdfxfxfyxxdxfdxxdxdfxfxfyxxxxxxxx0000|)(|)()(.)(|! 21)(|)()(00202200二、非线性微分方程的线性化二、非线性微分方程的线性化2211221122112211201021202101201021202101202101202101202101202101202101|;|),(),(.)(|)

13、(|),(),(xKxKyxfKxfKxKxKyxxfxxfxxfxxfyxxxfxxxfxxfxxfyxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx一、传递函数方框图一、传递函数方框图(BlockDiagram) 1. 方框图的结构要素方框图的结构要素（1）信号线：带箭头的线段，箭头表示信号的流向）信号线：带箭头的线段，箭头表示信号的流向 （2）综合点）综合点 ：信号之间求和运算的图解表示：信号之间求和运算的图解表示（3）分支点）分支点 ：信号向不同方向传递：信号向不同方向传递（4）函数方框）函数方框 ：传递函数的图解表示：传递函数的图解表示 2.3 传递函数方框图及简化传递函数方框图及简

14、化 2 传递函数方框图的建立传递函数方框图的建立u 建立系统的原始微分方程建立系统的原始微分方程u 对原始微分方程进行对原始微分方程进行Laplace变换，并绘出相变换，并绘出相应的方框图应的方框图u 按照信号在系统中传递、变换的过程，依次将按照信号在系统中传递、变换的过程，依次将方框图连结起来。方框图连结起来。)()()()()()()()(2sPKsXKsQsAsYsQsAPsYcsmscq例例1 阀控缸阀控缸adaaueRidtdiLddke LMMdtdJamikM 例例2 直流电机直流电机)()()()()()()()()()()()(sIksMsMsMsJsssksEsUsEsIR

15、LsamLddadaR1R2C1C2eeieoi1i2iEiEE0I1II2+11RsC1121RsC21建立系统方框图建立系统方框图I1II2EIsC11EoI2sC21EiI111REEI221REo二、传递函数方框图的等效变换二、传递函数方框图的等效变换1.串联环节的等效变换规则串联环节的等效变换规则串联时等效传递函数等于各串联环节传递函数之积。串联时等效传递函数等于各串联环节传递函数之积。 并联时等效传递函数等于各串联环节传并联时等效传递函数等于各串联环节传递函数之和。递函数之和。2 并联环节的等效变换原则并联环节的等效变换原则3 反馈连接及其等效原则反馈连接及其等效原则( )( )

16、( )( )( )( )( )( )( )( )oiioXsG s E sG sX sB sG sX sH s Xs( )( )( )( )1( )( )oBiXsG sGsX sG s H s反馈回路传递函数反馈回路传递函数：反馈信号反馈信号B(s)与输出与输出X0(s)之比之比)()()(sXsBsHo开环传递函数开环传递函数：前向通道传递函数与反馈回路传递函数乘积前向通道传递函数与反馈回路传递函数乘积)()()()()(sHsGsEsBsGK闭环传递函数闭环传递函数：输出输出X0(s)与输入与输入Xi(s)之比之比)()()(sXsXsGioB前向通道传递函数前向通道传递函数：输出输出X

17、0(s)与偏差与偏差E(s)之比之比)()()(sEsXsGo)()(1)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(sHsGsGsXsXsGsHsXsGsXsGsHsXsXsGsEsGsXsHsXsXsBsXsEioBoioiooii4 分支点移动原则分支点移动原则分支点后移分支点后移 分支点前移分支点前移 5 综合点移动原则综合点移动原则综合点后移综合点后移 综合点前移综合点前移 6 综合点之间移动原则综合点之间移动原则例例123121232123( )( )( )( )( )1( )( )( )( )( )( )( )( )( )oiXsG s

18、G s G sX sG s G s H sG s G s HsG s G s G s 含有多个局部反馈回路的闭环传递函数也可含有多个局部反馈回路的闭环传递函数也可用下列公式求取用下列公式求取1)()()(递函数每一反馈回路的开环传积前向通道的传递函数之sXsXsGioB3212321213211)()()(GGGHGGHGGGGGsXsXsGioB 特别注意特别注意n整个方框图只有一条前向通道整个方框图只有一条前向通道n各局部反馈回路存在公共的传递函数方框各局部反馈回路存在公共的传递函数方框 特别注意特别注意n整个方框图只有一条前向通道整个方框图只有一条前向通道n各局部反馈回路存在公共的传递函

19、数方框各局部反馈回路存在公共的传递函数方框R1C2S+-EiEoSCR111SCR221例例 求传递函数求传递函数EiEEo+R1C2s+11RsC1121RsC21R1C2S+-EiEo)SCR)(SCR(1112211EiEo1121221122121S)CRCRCR(SCCRRR1C2S+-EiEoSCRSCR1111111SCRSCR2222111三、系统信号流图及梅逊公式三、系统信号流图及梅逊公式u当系统方框图比较复杂时，可以将之转化为信号当系统方框图比较复杂时，可以将之转化为信号流图，并据此采用梅逊公式求出系统的传递函数。流图，并据此采用梅逊公式求出系统的传递函数。u节点：表示变量

20、或信号的点。节点：表示变量或信号的点。u支路：连接两个节点的定向线段。支路：连接两个节点的定向线段。u输入支路：指向节点的支路。输入支路：指向节点的支路。u输出支路：离开节点的支路。输出支路：离开节点的支路。u源节点：只有输出支路的节点。源节点：只有输出支路的节点。u汇节点：只有输入支路的节点。汇节点：只有输入支路的节点。u混合节点：即有输入又有输出支路的节点。混合节点：即有输入又有输出支路的节点。u通道：沿着支路箭头方向通过各个相连支路的途通道：沿着支路箭头方向通过各个相连支路的途径。径。u前向通道：从源节点到汇节点的通道中，通过任前向通道：从源节点到汇节点的通道中，通过任何节点不多于一次的

21、通道。何节点不多于一次的通道。u回路：如果通道的起点和终点为同一节点，且通回路：如果通道的起点和终点为同一节点，且通道中每个节点仅通过一次，则称此通道为回路。道中每个节点仅通过一次，则称此通道为回路。路后的特征式。条前向通道相接触的回中，除去与第表示在子式。条前向通道特征式的余第条前向通道的传递函数第传递函数乘积之和每三个互不接触回路传递函数乘积之和每两个互不接触回路数乘积之和所有不同回路传递函特征式kPLLLLLLLLLLLLPsGkkfedcbafedcbaknkkkk11)(1o从输入到输出系统传递函数可由梅逊公式求得，其公式为从输入到输出系统传递函数可由梅逊公式求得，其公式为sCRLs

22、CRLsCRLsCRsCRP123222111221111111111sCRsCRsCRsCRsCRLLLLL221112221121321111111)()(1例111)(11111111)(1222112212122111222112212111sCRCRCRsCCRRsCRsCRsCRsCRsCRsCCRRPsG3213232212113211GGGLHGGLHGGLGGGP321232213211)(1GGGHGGHGGLLL11321232121321111)(GGGHGGHGGGGGPsG2.4 典型反馈控制系统传递函数典型反馈控制系统传递函数u 控制系统在工作过程中，会受到两类输

23、入作用，控制系统在工作过程中，会受到两类输入作用，一类是有用输入，或称给定输入、参考输入以及一类是有用输入，或称给定输入、参考输入以及理想输入等；另一类则是干扰。理想输入等；另一类则是干扰。u 给定输入、参考输入给定输入、参考输入xi(t)通常加在控制装置的输通常加在控制装置的输入端，而干扰入端，而干扰n(t)一般作用在被控对象上。一般作用在被控对象上。u为了尽可能消除干扰对系统输出的影响，一般采为了尽可能消除干扰对系统输出的影响，一般采用反馈控制的方式，将系统设计成闭环系统。用反馈控制的方式，将系统设计成闭环系统。典型闭环控制系统方框图典型闭环控制系统方框图 为系统的输入信号为系统的输入信号

24、( )iX s为系统的输入信号为系统的输入信号为系统的输入信号为系统的输入信号为系统的输入信号为系统的输入信号为系统的输入信号为系统的输入信号( )oXs( )N s( )E s( )B s对给定输入的开环传递函数对给定输入的开环传递函数 12( )( )( )( )( )( )KB sGsG s G s H sE s对给定输入的闭环传递函数对给定输入的闭环传递函数 对给定输入的偏差传递函数对给定输入的偏差传递函数 1212( )( )( )( )( )1( )( )( )oiBiXsG s GsGsX sG s Gs H s12( )1( )( )1( )( )( )EiiE sGsX sG

25、 s G s H sXi(S)作用下系统的传递函数作用下系统的传递函数0)()()()(1)()()()(21211sNsHsGsGsGsGsXsXGioXi此时认为N(S)作用下系统的传递函数作用下系统的传递函数0)()()()(1)()()(2122sXsHsGsGsGsNsXGioN此时认为总输出为总输出为)()()()()()(1)()()()()()(1)()()()()(1)()()()()(1212212212121sNsXsGsHsGsGsGsXsNsHsGsGsGsXsHsGsGsGsGsXsXsXioiooo)()()()(1)()()()()()()()()(1)()(1

26、)()()(1)()(12122122211sNsNsHsGsNsHsGsGsGsNsHsGsGsGsXsHsGsGsHsGo干扰引起的输出为，且若设计确保u为极小值。可见闭环系统的优点之一是能使干扰为极小值。可见闭环系统的优点之一是能使干扰引起的输出极小，也就是使干扰引起的误差极小。引起的输出极小，也就是使干扰引起的误差极小。u此时通过反馈回路组成的闭环系统能使输出只跟随此时通过反馈回路组成的闭环系统能使输出只跟随输入而变化，不管外来的干扰怎样，只要输入不变，输入而变化，不管外来的干扰怎样，只要输入不变，输出总保持不变或变化很小。输出总保持不变或变化很小。u如果系统没有反馈回路，则系统成为一

27、开环系统，如果系统没有反馈回路，则系统成为一开环系统，此时干扰引起的输出无法被消除，全部形成误差。此时干扰引起的输出无法被消除，全部形成误差。2.5 典型环节的传递函数典型环节的传递函数1.比例环节：比例环节：ksG)(KRRsGtuRRtui12120)()()(KzzsGzxzx212211)(mkcmkssmksmcskcsmsmsXsXsGsmXsXkcsmsmxxmkxxcxmkxxcxxmnnnioioioooooo2211)()()()()()(0)(22222 121121121)(222222sssssssGnnnnnn被测物体的加速度作被测物体的加速度作为输入，质量块相对为

28、输入，质量块相对壳体位移作为输出。壳体位移作为输出。idtcutuidtcRioi1)(111)(TssG)()()(tKxtxdttdxTioo2.惯性环节惯性环节11)(TssGT=RC为惯性环为惯性环节的时间常数节的时间常数例例 弹簧阻尼系统弹簧阻尼系统根据牛顿定律根据牛顿定律)()()(tkxtkxdttdxCioo)()()(skxsxkCsio11)()()(TssXsXsGioT=c/k为惯性环节的时间常数为惯性环节的时间常数3.微分环节微分环节 dttdxTtxio)()(11RudtduCiioidtduCRuio1CsRsXsXsGio1)()()(TssG)(例例 机械机

29、械液压阻尼器液压阻尼器液压缸的平衡方程液压缸的平衡方程 okxppA)(12通过节流阀的流量通过节流阀的流量 RppxxAqoi12)(ooixRAkxx2)( ioosXsXXRAk21)()()()(22TsTssGkRATRAksssXsXsGio微分环节对系统的控制作用：微分环节对系统的控制作用：（1）使输出提前）使输出提前u 对比例环节施加斜坡输入，当比例系数为对比例环节施加斜坡输入，当比例系数为1时，时，其输出为其输出为45度斜线。度斜线。u若在并联一微分环节时，其传递函数为若在并联一微分环节时，其传递函数为 1)()()(TssXsXsGiou它所增加的输出为它所增加的输出为 )

30、()()()()()(11111tTutrTssRTLsTsRLsRsGLxo（2） 增加系统阻尼增加系统阻尼（3）强化噪声）强化噪声KKsTsKKTssKKTssKKsGpppp21) 1(1) 1()(KKsKTKTssTKKTsssTKKTsssTKKsGpdpdpdpdp)1 () 1() 1() 1(1) 1() 1()(21 因为它对输入能预测，所以对噪声（即干扰）也能预因为它对输入能预测，所以对噪声（即干扰）也能预测，对噪声灵敏度提高，增大了因干扰引起的误差。测，对噪声灵敏度提高，增大了因干扰引起的误差。未加微分未加微分环节环节加微分环加微分环节节4.积分环节积分环节TssG1)

31、(dttxTtxi)(1)(0 在系统中凡有储存或积累特点的元件，都有积分在系统中凡有储存或积累特点的元件，都有积分环节的特性。环节的特性。 例例7 以流量以流量q(t)=Q1(t)-Q2(t)为输入，液面高度变化量为输入，液面高度变化量h(t)为输出。为输出。AssQsHsGsAsHsQtAhdttq1)()()()()()()(质量守恒质量守恒例例 有源积分网络有源积分网络RCksksUsUsGdttduCRtuii/1)()()()()(00例例 如图忽略负载和泄漏的影响如图忽略负载和泄漏的影响TssKsXsXsGxKxKxAKxxAqxKqioioiqooiq1)()()(121)(22TssTsG5 振荡环节振荡环节2222)(nnnsssGu特征方程的根特征方程的根 一对共轭复根（实部为负）一对共轭复根（实部为负） 衰减振荡衰减振荡 一对共轭虚根一对共轭虚根 等幅振荡等幅振荡 两个相等负实根两个相等负实根 单调下降单调下降 两个不相等的负实根两个不相等的负实根(可分解为两个惯性环节可分解为两个惯性环节) 单调下降单调下降u说明：系统动态响应的性质取决于其特征根的性质说明：系统动态响应的性质取决于其特征根的性质22222 . 12442TTTTs10011 例例 旋转运动的旋转运动的惯性惯性阻尼阻尼弹簧弹簧系统系统JKJkcJksKkcsJ