第4章动能定理

1、1第四章第四章 动能定理动能定理 功能原理功能原理4.1 动能定理动能定理4.2 保守力和非保守力保守力和非保守力 势能势能4.3 功能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律4.4 三种宇宙速度三种宇宙速度4.5 能量守恒定律能量守恒定律24.1动能定理动能定理1. .物体作物体作直线直线运动，运动，恒力恒力做功做功cosAFs2. .物体作曲线物体作曲线运动运动，变力变力做功做功abFd r元功：元功：总功：总功：( )dba LAA|d | drsFr一、功一、功 功率功率dcosdAFrdFrFrabsrs ( )dba LFr( )cos dba LFs质点同时受几个力作用质点同时

2、受几个力作用12NFFFF()dbaLAFr12()() dbNaLFFFr12()()()dddbbbNaLaLaLAFrFrFr合力的功合力的功等于等于各分力沿同一路径各分力沿同一路径所做功的所做功的代数和代数和。3. 功率功率APt 0limtAPt ddFrt312NAAA平均功率平均功率瞬时功率瞬时功率ddAtF v二、动能定理二、动能定理1. .质点的动能定理质点的动能定理()dbaLAFr合合()cosdbaLFr()dbtaLFr由牛顿第二定律由牛顿第二定律221122bamvmv4()dbtaLAFr合()dddbaLvmrt()dbaLmvv定义定义质点动能质点动能212k

3、Emv或或22kpEmkbkakAEEE 合质点动能定理：合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。质点动能定理：合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。2. .质点系的动能定理质点系的动能定理对对n个质点组成的质点系，个质点组成的质点系，每个质点分别使用动能定理每个质点分别使用动能定理m11111k bkaAAAEE外1合内m2mn22222kbkaAAAEE外合内knbknannnAAAEE外合内5简记为：简记为：所有所有外力外力对质点系做的功和对质点系做的功和内力内力对质点系做的功对质点系做的功之和之和等于质点等于质点系总动能的增量。系总动能的增量。注意注意：内力内力不能改变系统的不能改变

4、系统的总动量总动量，但能改变系统的，但能改变系统的总动能总动能。1111nnnnkibkiaiiiiiiAAEE外内kbkaAAEE外内3. . 质点系的动能质点系的动能* *柯尼希定理柯尼希定理212kiiiEm vcriririmocicirrricivvv1() ()2kiciciiEm vvvv11()()22cciciiiiiiiivvmvm vm vv221122ccciiimvvmvmviiicmvvm 0221122kciiiEmvmvkckEE柯尼希定理柯尼希定理6kcEkE例例1. .长长 l，质量，质量m 的匀质链条，置于水平桌面上，链条与桌面摩的匀质链条，置于水平桌面上

5、，链条与桌面摩擦系数擦系数，链条链条下垂部分下垂部分a。链条由静止开始运动，求。链条由静止开始运动，求（1）在链在链条滑离桌面的过程中，重力和摩擦力所作的功；链条离开桌面时条滑离桌面的过程中，重力和摩擦力所作的功；链条离开桌面时的速率。的速率。解解: :（1）如图，链条下垂）如图，链条下垂y ，重力作元功，重力作元功pddmAygyl链条由链条由a 滑至滑至 l，重力作功，重力作功pgdlamAyyl22()2mglal7桌面链条离开桌面链条离开x 时，长时，长 l-a-x ，摩擦力作元功摩擦力作元功d() dfmgAlaxxl 桌面链条由桌面链条由0滑至滑至l -a，摩擦力作功，摩擦力作功0

6、()dlafmgAlaxxl2()2mglal alaoyxox22p()2mgAlal82()2fmgAlal （2）p=fkAAAE 合222()() gvlalalalaoyxox由动能定理由动能定理2p102fAAmvm1m2o2r1r2f1f1dr2dr1122dddAfrfr221(dd )frr221()dfrr在不光滑桌面上运动的物体，运动过程在不光滑桌面上运动的物体，运动过程中物体与桌面之间的中物体与桌面之间的一对相互作用的摩一对相互作用的摩擦力擦力所做的总功是多少？是否为零？所做的总功是多少？是否为零？一、一对力的功一、一对力的功设一对力分别作用在两个物体设一对力分别作用在

7、两个物体上，大小相等，方向相反。上，大小相等，方向相反。221dfr4.2保守力与非保守力保守力与非保守力 势能势能12ff 21r92121rrr21d r1a1b2a2b221dbabaAfr112dbabaAfr1. . 结论：结论：10（1）一对力的功一对力的功等于等于其中一个质点其中一个质点受的力沿着该质点受的力沿着该质点相对于另相对于另一质点移动的路径一质点移动的路径所作之功。所作之功。（2） 一对力的功一对力的功与与相对路径相对路径有关，所以有关，所以与参考系的选取无关与参考系的选取无关。问题讨论：问题讨论：221112dddAfrfr21d0rd0A 221dfr光滑光滑光滑光

8、滑NNNN1r2r12r120Nr一对正压力的功恒为零！一对正压力的功恒为零！Afr 一对滑动摩擦力之功恒小于零！一对滑动摩擦力之功恒小于零！不光滑不光滑ff r11v二、保守力与非保守力二、保守力与非保守力1. .重力作功重力作功dbaAmgr重力作功与路径无关重力作功与路径无关12()()ddbba La Lmgrmgrdbazzmgz bamgzmgzd0mgr也可以写成也可以写成12()()dd0bba La Lmgrmgr12mgoxyzazbzab以地球为参考系以地球为参考系mgmgk ddddrxiyjzk2. 万有引力作功万有引力作功r0r1202Gm mfrr ()dbara

9、brLAfr123()dbarrLGm mrrrd| d| cosrrrrdrr122()dbarrLGm mrr13rarbrab1m2mfdrdr123Gm mfrr 0rrr1212baGm mGm mrr3. 弹力作功弹力作功以固定端为参考点以固定端为参考点14() dbaxabxAkxx2211()22bakxkx fkx oxaxbx0laboP重力、弹性力、万有引力、静电力都具有重力、弹性力、万有引力、静电力都具有共同特征共同特征（1）一对力的功仅与系统初态和末态的相一对力的功仅与系统初态和末态的相对位置有关，而与做功路径无关；对位置有关，而与做功路径无关；L1abL21()db

10、a Lfr2()dba Lfr（2）沿任意闭合回路作功为沿任意闭合回路作功为零零。即。即12( )()()ddd0baLa LbLfrfrfr表述一（文字表述）：表述一（文字表述）：作功与相对路径无关，只与始末相对位置有关的力称为保守力作功与相对路径无关，只与始末相对位置有关的力称为保守力或恒力或恒力大小和方向都与位置无关大小和方向都与位置无关重力重力154. .保守力的定义：保守力的定义：表述二（数学表述）：表述二（数学表述）：( )d0Lfr保fmg万有引力万有引力0( )ff r r或有心力或有心力弹力弹力fkx摩擦力（耗散力）摩擦力（耗散力）爆炸力爆炸力从对称性角度看从对称性角度看保守

11、力：具有时间反演不变保守力：具有时间反演不变非保守力：不具有时间反演不变非保守力：不具有时间反演不变三、势能三、势能保守力的功只与物体的始末相对位置有关，保守力的功只与物体的始末相对位置有关，与运动路径及参考系无关。与运动路径及参考系无关。势能势能16与物体间相互作用及相对位置有关的能量与物体间相互作用及相对位置有关的能量保守力的功保守力的功()pbpaEE dbabaAfrpE 若选若选 b点点势能为零，即势能为零，即Epb = = 0，则任意点则任意点 a 的势能的势能0dpaAEfr势能点（沿任意路径）baAmghmgh重力功重力功引力功引力功1212baGm mGm mArr弹力功弹力

12、功2211()22baAkxkx 若选势能零点若选势能零点00bpbhE重力势能重力势能pEmgh0bpbrE12pGm mEr 00bpbxE212pEkx引力势能引力势能弹性势能弹性势能说明说明171. .势能势能 。()pbpaAEE pE 0dpaAEfr势能点（沿任意路径）2. .势能势能 。3. .势能势能不依赖于参考系的选择不依赖于参考系的选择。 因为一对保守力的功不依赖于参考系的选择。因为一对保守力的功不依赖于参考系的选择。（重要特点！）（重要特点！）四、势能曲线四、势能曲线引力势能引力势能弹性势能弹性势能重力势能重力势能18势能曲线提供的信息势能曲线提供的信息( )pExxa

13、bcABC( ) dd( )pf xxEx d( )( )dpExf xx pEhoEpEkEpEroEkEpE0kEpExoEpEkE19势能曲线能形象地表示出系统的稳定性势能曲线能形象地表示出系统的稳定性( )pExxabcABCd( )( )dpExf xx d( )0dpExx( )0f x 势能曲线有极值，质点处于平衡位置。势能曲线有极值，质点处于平衡位置。（1）取极小值的平衡点）取极小值的平衡点22d( )0dpExxax;0axxf;0axxf力总是指向平衡位置力总是指向平衡位置（2）取极大值的平衡点）取极大值的平衡点bx;0bxxf;0bxxf力总是背离平衡位置力总是背离平衡位

14、置例：原子之间的相互作用力（分子力）。例：原子之间的相互作用力（分子力）。 ( )pErE E3E E2E E1r1r0r2r总能量总能量E =E1 0时，动能较小，它们将绕平衡位置作小振动。时，动能较小，它们将绕平衡位置作小振动。总能量总能量E=E20 时，动能足够大，原子将自由地飞散。时，动能足够大，原子将自由地飞散。A AA A1分子力是保守力，势能如图所示：分子力是保守力，势能如图所示：（3）当当 r=r0 时，势阱（最低点），时，势阱（最低点），稳定平衡位置，稳定平衡位置，两个相对静止原子在此位置上结合在一起形成分子。两个相对静止原子在此位置上结合在一起形成分子。20（1）当当 r

15、r0 时时， fr 0，指向指向r 减减小的方向，是引力。小的方向，是引力。（2）当当 r r0 时时， 指向指向r 增增大的方向，是斥力。大的方向，是斥力。当当 r r1 时时，势能急剧上升，使原子势能急剧上升，使原子间彼此不能进一步靠近。间彼此不能进一步靠近。引力势能引力势能: :12( )pm mErGr 弹性势能弹性势能: : 212pExkx重力势能重力势能: :( )pEhmgh122ddpEmmfGrr ddpEfkxx ddpEfmgh 引力引力弹性力弹性力重力重力五、由势能求保守力五、由势能求保守力ddpFlE 对于一个元过程，保守力的功为对于一个元过程，保守力的功为ddpl

16、EFl21FlFld lmdcosddlFlFlFl保守力等于保守力等于负的势能梯度负的势能梯度kjizyxpFE ()pxyzijk E xyzFF iF jF kpzEFz pyEFy pxEFx ()ppEE xyz22若若则则引入梯度算符引入梯度算符则有则有一、质点系的功能原理一、质点系的功能原理 机械能机械能AA外内由质点系动能定理由质点系动能定理因为因为pAE 保内所以所以()kpAWEE 外非保内机械能机械能pkEEE质点系的功能原理质点系的功能原理WWE 外非保内kE AAA外非保内保内234.3 功能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律二、二、机械能守恒定律机械能守恒定

17、律0AA外非保内总机械能的增加，等于外力对它所作的功。从某一总机械能的增加，等于外力对它所作的功。从某一惯性参考惯性参考系系看，外力作功为零，该系统的机械能不变。看，外力作功为零，该系统的机械能不变。AAE 外非保内 由质点系的功能原理由质点系的功能原理在只有保守内力作功的情况下，质点系机械能保持不变。在只有保守内力作功的情况下，质点系机械能保持不变。机械能守恒定律机械能守恒定律00AA外非保内（而且）则则E=恒量恒量时，系统的机械能保持不变。时，系统的机械能保持不变。24当当pEkE0A保内0A保内注意注意：4.4 三种宇宙速三种宇宙速度度一、一、第一宇宙速度（第一宇宙速度（人造地球卫星人造

18、地球卫星）设地球质量设地球质量Me，半径，半径Re，卫星质量卫星质量m 在距地球在距地球表面为表面为h 的圆轨道上做圆周远动，卫星和地球的圆轨道上做圆周远动，卫星和地球的系统机械能守恒的系统机械能守恒22111(1)22eeeM mM mmvGmvGRr引力作向心力引力作向心力)2(22rmvrmMGe1(2)eeeGMRvRr(2)eeRgRr在地球表面附近在地球表面附近hRe1evgR7.9km/s25vherRh2eeGMgR第一宇宙速度第一宇宙速度二、二、第二宇宙速度（第二宇宙速度（人造行星的逃逸速度人造行星的逃逸速度）21()2eeM mEmvGR 22eeGMvR211.2km/

19、segR逃逸速度（逃逸速度（第二宇宙速度第二宇宙速度）2212eeM mmvGR是抛体脱离地球引力是抛体脱离地球引力成为太阳系的行成为太阳系的行星所需要的星所需要的最小发射速度最小发射速度21()2eM mEmvGr 26系统：物体和地球，只有保守内系统：物体和地球，只有保守内力做功。机械能守恒力做功。机械能守恒当当r 引力引力0F 若此时若此时0v 则则0kpEE圆圆1v抛物线抛物线2v椭圆椭圆102vvv2vv双曲线双曲线逃逸速度逃逸速度若星球的质量若星球的质量M 越大，半径越大，半径R越越小，小，逃逸速度逃逸速度越大，当然其越大，当然其极限极限为真空中的光速为真空中的光速。27圆圆1v抛

20、物线抛物线2v椭圆椭圆102vvv2vv双曲线双曲线22eeGMvR逃逸速度逃逸速度达到光速的星球称为达到光速的星球称为黑洞黑洞2sGMcrrs：史瓦西半径，史瓦西半径，或引力半径或引力半径地球地球史瓦西半径史瓦西半径3228.86 10mesGMrc太阳太阳史瓦西半径史瓦西半径3222.95 10 mssGMrc引力理论：转化为黑洞的只能是质量满足一定条件的恒星引力理论：转化为黑洞的只能是质量满足一定条件的恒星恒星的归宿：恒星的归宿：小质量恒星，小质量恒星，内部核燃料逐渐耗尽，变成内部核燃料逐渐耗尽，变成不发光的星体。不发光的星体。大质量恒星，大质量恒星，内部核燃料逐渐耗尽，内部核燃料逐渐耗

21、尽，超新星爆发（抛射外围物质）。超新星爆发（抛射外围物质）。28美联社美联社20042004年年2 2月月1919日报道，欧洲和美国天文学家近日宣布，日报道，欧洲和美国天文学家近日宣布，他们他们借助借助X X射线太空望远镜，在一个距地球大约射线太空望远镜，在一个距地球大约7亿光年的星亿光年的星系中观测到了耀眼的系中观测到了耀眼的X射线爆发。射线爆发。这是科学家第一次找到这是科学家第一次找到超超大质量黑洞撕裂恒星大质量黑洞撕裂恒星的强有力证据。的强有力证据。3242.2km/sSe SGMvr （2）卫星在地球上，）卫星在地球上，地球相对于太阳地球相对于太阳的速度：的速度：29.8km/s，34

22、2.229.812.4km/sv（3）再考虑到卫星脱离地球引力所需要动能：）再考虑到卫星脱离地球引力所需要动能：2212mv222323111222mvmvmv2232316.7km/svvv3. .飞出太阳系（飞出太阳系（第三宇宙速度第三宇宙速度）（1）只考虑太阳的引力，卫星脱离太阳引力，其）只考虑太阳的引力，卫星脱离太阳引力，其相对太阳相对太阳的的最小速度：最小速度：使卫星发射方向与地球公转方向一致，其使卫星发射方向与地球公转方向一致，其相对地球相对地球的速度的速度第三宇宙速度第三宇宙速度使卫星脱离太阳系所需要的最小速度使卫星脱离太阳系所需要的最小速度v3293020072007年年101

23、0月月2424日日1818时时0505分分，嫦娥一号由长三甲运载火箭，嫦娥一号由长三甲运载火箭在西昌卫星发射中心成功发射升空。在西昌卫星发射中心成功发射升空。4.5 能量守恒定律能量守恒定律所有的时间对于物理定律都是等价的，绝对的时间坐标无法所有的时间对于物理定律都是等价的，绝对的时间坐标无法测量。测量。时间的均匀性，也叫时间的均匀性，也叫时间平移对称性或时间平移时间平移对称性或时间平移不变性不变性。能量守恒定律的普遍性在于它与能量守恒定律的普遍性在于它与时间的均匀性时间的均匀性相关联。相关联。一个一个孤立系统孤立系统经历任何变化时，该系统所有能量的总和保持经历任何变化时，该系统所有能量的总和

24、保持不变。不变。普遍的能量守恒定律普遍的能量守恒定律31例例2. .光滑平面，长为光滑平面，长为l 的的两根轻绳，分别连着两根轻绳，分别连着MM和两个和两个m，给给M速度速度 （瞬时）。（瞬时）。VMmmllV求：两小球接触前瞬间绳的张力。求：两小球接触前瞬间绳的张力。VFFv解：解：M受力受力2(1)MFMa牛二定律（瞬时关系）牛二定律（瞬时关系）m受力：每个受力：每个m受力及运动情况受力及运动情况一样。一样。m相对大球作圆周运动。相对大球作圆周运动。22mvvFmammllMam随随M一起运动，一起运动，m 处在非惯性系中处在非惯性系中，受力：受力：2(2)MvFmaml32MmmllVv

25、V沿方向沿方向 动量守恒动量守恒v(2 )(3)MVMm v2(2)MvFmaml能量守恒能量守恒22221112()(4)222MVMvm vv2(1)MFMa2222(2 )(3)M VMm v222(2 )2(4 )MVMm vmv222MvVMm代入（代入（1）和（）和（2）得）得22mMVFlMm3334ABRoabABRoabvVABRoabcvV1x35ABRoabcvVxxv( sin)cosvV ivj( sin)m vVMVsinmVvMm2222cos21)sin(2121sinmvVvmMVmgR)sin( /sin2)(2mmMgRmMv36ABRoabABRoabvV1x12M xm x12xxR1mxRMm2MxRMm2mvNmgR()2/vMmgR M32MmNmgM2()m vVNmg2()mRMm例例3. .固定的光滑圆球半径固定的光滑圆球半径1m，物体从顶端静止开始下滑，问：物体从顶端静止开始下滑，问：( (1) )物体在何处（物体在何处（ ？）？）脱离圆球沿切线飞出？脱离圆球沿切线飞出？( (2) )物体飞出时的速度物体飞出时的速度? ?( (3) )物体到达地面时，离开