代数考研3.4矩阵秩

1、上页下页返回3.4 矩阵的秩矩阵的秩一、矩阵的秩一、矩阵的秩二、矩阵的秩与行列式的关系二、矩阵的秩与行列式的关系上页下页返回 A n11211a.aan22221a.aa.mn2m1ma.aa,Am21 的行向量组为的行向量组为。列向量组为列向量组为n21, 定义定义秩。秩。列列的行的行向量组的秩称为向量组的秩称为列列的行的行矩阵矩阵)(A)(A1例例 0000000000100002A。的行秩和列秩均为的行秩和列秩均为易得易得2A一、矩阵的秩一、矩阵的秩上页下页返回12. 2定理定理变换，变换，列列施以初等行施以初等行对矩阵对矩阵)(A秩不变。秩不变。列列的行的行)(A13. 2定理定理变换

2、，变换，列列施以初等行施以初等行对矩阵对矩阵)(A秩不变。秩不变。行行的列的列)(A量之间的线性关系。量之间的线性关系。初等行变换不改变列向初等行变换不改变列向,AA1为为经过一次初等行变换变经过一次初等行变换变设设A,r21jjj为为 为为r21jjj, 的对应列向量。的对应列向量。1A个列向量，个列向量，的的r的对应列向量。的对应列向量。为为1jA 的一个列向量且的一个列向量且为为Aj r21jrj2j1jkkk )(,)1(r21jjj无关无关线性相关线性相关 )(,r21jjj无关无关线性相关线性相关 r21jrj2j1jkkk)2( 上页下页返回定义定义,BA矩阵矩阵经一系列初等变换

3、化为经一系列初等变换化为若矩阵若矩阵等价。等价。与与称称BA:满足满足样，矩阵的等价关系也样，矩阵的等价关系也与向量组的等价关系一与向量组的等价关系一反身性反身性)1(对称性对称性)2(传递性传递性)3(上页下页返回14. 2定理定理施以初等变换，施以初等变换，任一矩阵任一矩阵nmij)(aA 可将其化为可将其化为 000000000000010000001000001A 行行r列列r，可以为可以为其中其中0r的等价标准型。的等价标准型。为为称称AA。，等价矩阵标准型相同，等价矩阵标准型相同矩阵的等价标准型唯一矩阵的等价标准型唯一上页下页返回推论推论。矩阵的行秩和列秩相同矩阵的行秩和列秩相同定

4、义定义。的秩，记作的秩，记作阵阵的行秩与列秩统称为矩的行秩与列秩统称为矩矩阵矩阵)(ArAAn,mmin)A(r0nm 0)A(r 0A ,m)A(rnm 为行满秩矩阵，为行满秩矩阵，称称A其行向量组线性无关。其行向量组线性无关。,n)A(rnm 为列满秩矩阵，为列满秩矩阵，称称A其列向量组线性无关。其列向量组线性无关。,n)A(rn 为满秩方阵，为满秩方阵，称称A无关。无关。其行、列向量组均线性其行、列向量组均线性推论推论 等价矩阵秩相同。等价矩阵秩相同。上页下页返回 A n11211a.aan22221a.aa.nn2n1na.aa方阵方阵满秩满秩0|A| )4 . 2(定理定理向量组线性

5、无关向量组线性无关列列行行)(nE其等价标准型为其等价标准型为)()(TArAr 上页下页返回2例例准型，并求其秩。准型，并求其秩。将下列矩阵化为等价标将下列矩阵化为等价标 34624216311230211111A上页下页返回二、矩阵的秩与行列式的关系二、矩阵的秩与行列式的关系定义定义中，中，在在nmij)(aA 列列行、行、任取任取kk),n,mmink1( 阶行列式，阶行列式，按原顺序所成的按原顺序所成的由位于交叉位置的元素由位于交叉位置的元素k的的称为称为A阶子式。阶子式。一个一个k上页下页返回3例例 03210000830005104212A804216 的一个二阶子式的一个二阶子式

6、是是A300510212 6 的一个三阶子式的一个三阶子式是是A 03210000830005104212A0A的所有四阶子式为的所有四阶子式为3)A(r 上页下页返回62.1定理定理,)(aAnmij r)A(r 中至少存在中至少存在A阶子式，阶子式，一个不为零的一个不为零的r阶子式均为零。阶子式均为零。而所有的而所有的1r r)A(r 中至少存在中至少存在A阶子式，阶子式，一个不为零的一个不为零的r而所而所阶的子式均为零。阶的子式均为零。有的高于有的高于r。中非零子式的最高阶数中非零子式的最高阶数为为A)A(rr)A(r 中至少存在中至少存在A，阶子式阶子式一个不为零的一个不为零的rDr而

7、所而所阶子式均为零。阶子式均为零。的的有包含有包含1rDr 上页下页返回62.1定理定理,)(aAnmij r)A(r 中至少存在中至少存在A阶子式，阶子式，一个不为零的一个不为零的r阶子式均为零。阶子式均为零。而所有的而所有的1r 证明证明 必要性必要性rr(A) 设设个行向量线性无关，个行向量线性无关，有有rA,r个行向量线性无关个行向量线性无关不妨设前不妨设前 1A n11211a.aan22221a.aa.rn2r1ra.aa记记, r)A(r1 个列向量线性无关，个列向量线性无关，有有rA1个个的前的前不妨设不妨设rA1.列向量线性无关列向量线性无关上页下页返回r11211aaar2

8、2221a.aa.rr2r1ra.aa2.4由定理由定理0 阶子式。阶子式。至少存在一个不为零的至少存在一个不为零的即即rA阶子式，阶子式，的任一的任一为为设设1rAD1r ，由由r)A(r 1rA 中任意中任意个行向量线性相关，个行向量线性相关，推论，推论，由定理由定理3 . 2的行向量组线性相关，的行向量组线性相关，1rD 知知由定理由定理2.4. 0D1r 阶的子式都为零。阶的子式都为零。的所有高于的所有高于易知易知rA上页下页返回充分性充分性中至少存在中至少存在设设A阶子式，阶子式，一个不为零的一个不为零的r阶子式均为零。阶子式均为零。的的1r 而所有而所有, rrr(A)1 若若开定

9、理知，开定理知，由必要性及行列式的展由必要性及行列式的展的的A阶子式均为零，阶子式均为零，r矛盾。矛盾。, rrr(A)2 若若至少存在至少存在开定理知，开定理知，由必要性及行列式的展由必要性及行列式的展中中A阶子式，阶子式，一个不为零的一个不为零的rr2 矛盾。矛盾。则则r)A(r 上页下页返回 00000000aa00aaa0aaaaArnrrn2r222n1r11211)r , 1i , 0a(ii 非零行的行数。非零行的行数。阶梯形矩阵的秩等于其阶梯形矩阵的秩等于其时仍成立。时仍成立。非零首元列数大于行数非零首元列数大于行数 00000170003304025122A3)A(r 上页下

10、页返回 矩阵经初等行（列）变换不改变其列（行）向量矩阵经初等行（列）变换不改变其列（行）向量 间的线性关系间的线性关系。 例例4 4 计算下列向量组的秩，并写出它的一个极大无关组，计算下列向量组的秩，并写出它的一个极大无关组， 将其余向量用此极大无关组线性表示。将其余向量用此极大无关组线性表示。 ) 5 , 8, 3 , 4(),4, 1 , 3 , 1(),1 , 2, 1 , 2(),0 , 1, 1 , 1 (4321 5410812133114121)(T4T3T2T1解解:上页下页返回。所所以以3)A(r)(r4321 也也线线性性无无关关。，线线性性无无关关，所所以以，因因为为42

11、1421 )(00004000041007014321 是一个极大无关组。是一个极大无关组。，即即421 54104000141041212131r)1(rr1r 000010001410412142134213047,047 则则上页下页返回5例例线线性性无无关关，设设向向量量组组321, 证明证明3132121111 aaa 3232221212 aaa 3332321313 aaa A,333231232221131211 aaaaaaaaa).(,321Arr 若若线性无关，线性无关，s ,1sisiiaa 11), 1(ti ).(,1Arrt 则则,)(stijaA 上页下页返回定

12、理定理变换，变换，列列施以初等行施以初等行对矩阵对矩阵)(A秩不变。秩不变。列列的行的行)(A证明证明 A n11211a.aan22221a.aa.mn2m1ma.aa.,Am21 的行向量组为的行向量组为，行行、的的交换交换) si (siA)1( 中互中互即在向量组即在向量组m21, 的位置，的位置，换换si, 两向量组显然等价。两向量组显然等价。上页下页返回，行乘行乘的的)0(kiA)2( mi1, ，行向量组由行向量组由变为变为,k,mi1 ，与原行向量组等价。与原行向量组等价。，行行加于加于行乘行乘的的) si (skiA)3( 行向量组由行向量组由msi1, ，misi1,k,

13、，变为变为两向量组仍然等价。两向量组仍然等价。上页下页返回定理定理变换，变换，列列施以初等行施以初等行对矩阵对矩阵)(A秩不变。秩不变。行行的列的列)(A证明证明 A n11211a.aan22221a.aa.mn2m1ma.aa。列向量组为列向量组为n21, ,AA1为为经过一次初等行变换变经过一次初等行变换变设设的列向量组为的列向量组为1A。n21, 个列向量，个列向量，的的为为设设rA,r21jjj 为为r21jjj, 的对应列向量。的对应列向量。1A上页下页返回0 xxxr21jrj2j1 为齐次方程。为齐次方程。0 xxxr21jrj2j1 与与)1()2(经一次初等变换所得，经一次

14、初等变换所得，是由方程组是由方程组方程组方程组(1)(2)故同解。故同解。)(,r21jjj无关无关线性相关线性相关则则 )(,r21jjj无关无关线性相关线性相关 的一个列向量且的一个列向量且为为再设再设Aj r21jrj2j1jkkk 的对应列向量。的对应列向量。为为1jA 上页下页返回r21jrj2j1jxxx )3(r21jrj2j1jxxx )4(经一次初等变换所得，经一次初等变换所得，是由方程组是由方程组方程组方程组(3)(4)也同解。也同解。r21jrj2j1jkkk 则则完全相同，完全相同，列向量之间的线性关系列向量之间的线性关系与与1AA从而列秩相同。从而列秩相同。上页下页返

15、回62.1定理定理,)(aAnmij r)A(r 中至少存在中至少存在A阶子式，阶子式，一个不为零的一个不为零的r阶子式均为零。阶子式均为零。而所有的而所有的1r 证明证明 必要性必要性rr(A) 设设个行向量线性无关，个行向量线性无关，有有rA,r个行向量线性无关个行向量线性无关不妨设前不妨设前 1A n11211a.aan22221a.aa.rn2r1ra.aa记记, r)A(r1 个列向量线性无关，个列向量线性无关，有有rA1个个的前的前不妨设不妨设rA1.列向量线性无关列向量线性无关上页下页返回r11211aaar22221a.aa.rr2r1ra.aa2.4由定理由定理0 阶子式。阶

16、子式。至少存在一个不为零的至少存在一个不为零的即即rA阶子式，阶子式，的任一的任一为为设设1rAD1r ，由由r)A(r 1rA 中任意中任意个行向量线性相关，个行向量线性相关，推论，推论，由定理由定理3 . 2的行向量组线性相关，的行向量组线性相关，1rD 知知由定理由定理2.4. 0D1r 阶的子式都为零。阶的子式都为零。的所有高于的所有高于易知易知rA上页下页返回充分性充分性中至少存在中至少存在设设A阶子式，阶子式，一个不为零的一个不为零的r阶子式均为零。阶子式均为零。的的1r 而所有而所有, rrr(A)1 若若开定理知，开定理知，由必要性及行列式的展由必要性及行列式的展的的A阶子式均为零，阶子式均为零，r矛盾。矛盾。, rrr(A)2 若若至少存在至少存在开定理知，开定理知，由必要性及行列式的展由必要性及行列式的展中中