新北师大版九年级下册第三章3垂径定理

1、3垂径定理1.1.垂径定理垂径定理垂直于弦的直径平分垂直于弦的直径平分_,_,并且平分并且平分_._.2.2.垂径定理的推论垂径定理的推论平分弦平分弦( (不是直径不是直径) )的的_垂直于弦垂直于弦, ,并且平分并且平分_._.这条弦这条弦弦所对的弧弦所对的弧直径直径弦所对的弧弦所对的弧【思维诊断【思维诊断】( (打打“”或或“”)”) 1.1.垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦, ,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧.( ).( )2.2.平分弦的直径垂直于弦平分弦的直径垂直于弦, ,并且平分弦所对的弧并且平分弦所对的弧.( ).( )3.3.圆的两条弦所夹的弧相等

2、圆的两条弦所夹的弧相等, ,则这两条弦平行则这两条弦平行.( ).( )4.4.弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.( ).( )知识点一知识点一 垂径定理垂径定理【示范题【示范题1 1】如图，如图，OO的半径为的半径为2 2，弦，弦 点点C C在弦在弦ABAB上，上，AC= ABAC= AB，则，则OCOC的长为的长为( )( )AB2 3，142 37A. 2B. 3C.D.32【思路点拨【思路点拨】作作ODABODAB于点于点DD构造两个直角三角形，应用勾构造两个直角三角形，应用勾股定理和垂径定理股定理和垂径定理求出求出OCOC的长度的长度. .【自

3、主解答【自主解答】选选D.D.如图，作如图，作ODABODAB于点于点D D，则则由勾股定理，得由勾股定理，得OCOC2 2=CD=CD2 2+OD+OD2 2=CD=CD2 2+OB+OB2 2BDBD2 21113BDAB3.ACABCDAB.2442又，222377()23OC.242，【想一想【想一想】为什么在垂径定理的逆定理中为什么在垂径定理的逆定理中, ,平分的弦不是直径平分的弦不是直径? ?提示提示: :因为圆的任意两条直径必互相平分因为圆的任意两条直径必互相平分, ,但不一定垂直但不一定垂直, ,所以所以被平分的弦必须不是直径被平分的弦必须不是直径, ,否则逆定理不成立否则逆定

4、理不成立. .【方法一点通【方法一点通】1.1.两条辅助线两条辅助线: :一是过圆心作弦的垂线一是过圆心作弦的垂线, ,二是连接圆心和弦的一二是连接圆心和弦的一端端( (即半径即半径),),这样把半径、圆心到弦的距离、弦的一半构建在这样把半径、圆心到弦的距离、弦的一半构建在一个直角三角形中一个直角三角形中, ,运用勾股定理求解运用勾股定理求解. .2.2.方程的思想方程的思想: :在直接运用垂径定理求线段的长度时在直接运用垂径定理求线段的长度时, ,常常将未常常将未知的一条线段设为知的一条线段设为x,x,利用勾股定理构造关于利用勾股定理构造关于x x的方程解决问题的方程解决问题. .这是一种用

5、代数方法解决几何问题的解题思路这是一种用代数方法解决几何问题的解题思路. .知识点二知识点二 垂径定理的应用垂径定理的应用【示范题【示范题2 2】(2014(2014南宁中考南宁中考) )在直径为在直径为200cm200cm的圆柱形油槽内的圆柱形油槽内装入一些油以后装入一些油以后, ,截面如图所示截面如图所示, ,若油面的宽若油面的宽AB=160cm,AB=160cm,则油的则油的最大深度为最大深度为( () )A.40 cmA.40 cmB.60 cmB.60 cmC.80 cmC.80 cmD.100 cmD.100 cm【思路点拨【思路点拨】连接连接OA,OA,作作OEAB,OEAB,交

6、交ABAB于点于点M,M,利用勾股定理可求利用勾股定理可求得得OM,OM,进而可求得油的最大深度进而可求得油的最大深度. .【自主解答【自主解答】选选A.A.连接连接OA,OA,过点过点O O作作OEAB,OEAB,交交ABAB于点于点M,M,直径为直径为200cm,200cm,AB=160cm,AB=160cm,OA=OE=100cm,OA=OE=100cm,AM=80cm,AM=80cm,OM= =60(cm),OM= =60(cm),ME=OE-OM=100-60=40(cm).ME=OE-OM=100-60=40(cm).2222OAAM10080【想一想【想一想】圆的两条不平行弦的垂直平分线的交点一定是圆心吗圆的两条不平行弦的垂直平分线的交点一定是圆心吗? ?提示提示: :是是, ,弦的垂直平分线一定过圆心弦的垂直平分线一定过圆心. .【方法一点通【方法一点通】垂径定理基本图形的四变量、两关系垂径定理基本图形的四变量、两关系1.1.四变量四变量: :如图如图, ,弦长弦长a,a,圆心到弦的距离圆心到弦的距离d,d,半半径径r,r,弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离( (弓形高弓形