七章静定结构的位移计算ppt课件

1、第七章第七章 静定构造的位移计算静定构造的位移计算本章提要本章提要 本章主要引见了变形体的虚功原理，利用虚功原理，本章主要引见了变形体的虚功原理，利用虚功原理，建立了构造在荷载作用下的位移计算的普通公式及其运建立了构造在荷载作用下的位移计算的普通公式及其运用；建立了静定构造在支座位移时位移的计算公式。同用；建立了静定构造在支座位移时位移的计算公式。同时引见了线弹性变形体系的互等定理。时引见了线弹性变形体系的互等定理。 经过本章的学习，应掌握：经过本章的学习，应掌握： 1.了解虚功原理；了解虚功原理； 2.掌握荷载作用下位移计算的普通公式及其运用掌握荷载作用下位移计算的普通公式及其运用 3.掌握

2、静定构造在支座位移时位移计算公式；掌握静定构造在支座位移时位移计算公式； 4.了解线弹性变形体系的互等定理。了解线弹性变形体系的互等定理。本章内容本章内容7.1 7.1 概述概述7.2 7.2 变形体的虚功原理变形体的虚功原理7.3 7.3 荷载作用下位移计算的普通公式荷载作用下位移计算的普通公式7.4 7.4 静定构造在荷载作用下的位移计算静定构造在荷载作用下的位移计算7.5 7.5 图乘法图乘法7.6 7.6 静定构造在支座挪动时位移计算静定构造在支座挪动时位移计算7.7 7.7 弹性变形体系互等定理弹性变形体系互等定理7.1 7.1 概概 述述7.1.1 7.1.1 构造的位移构造的位移

3、 构造在荷载作用、温度变化、支座挪动、制造误差构造在荷载作用、温度变化、支座挪动、制造误差与资料收缩等要素影响下，将发生尺寸和外形的改动，与资料收缩等要素影响下，将发生尺寸和外形的改动，这种改动称为变形。构造变形后，构件上各点的位置会这种改动称为变形。构造变形后，构件上各点的位置会发生变动，这种位置的变动称为位移。发生变动，这种位置的变动称为位移。构造的位移通常有两种：构造的位移通常有两种： 线位移线位移，即各截面形心的挪动量；，即各截面形心的挪动量； 角位移角位移，即截面转动角度。，即截面转动角度。 如图如图1，图，图2所示。其中：所示。其中： A 、B -绝对线位移；绝对线位移； AB=A

4、 +B -相对线位移；相对线位移； A 、B -绝对角位移；绝对角位移； AB -相对角位移。相对角位移。图图1 1图图2 27.1.2 7.1.2 构造位移计算的目的构造位移计算的目的 (1) (1) 为了校核构造的刚度，即保证构造的位移不超为了校核构造的刚度，即保证构造的位移不超越允许值。越允许值。(2) (2) 为计算超静定构造奠定根底。在计算超静定构为计算超静定构造奠定根底。在计算超静定构造时，仅仅利用静力平衡条件无法完全求解，还必需思造时，仅仅利用静力平衡条件无法完全求解，还必需思索位移条件。索位移条件。另外，在构造的制造、架设、养护等过程中，往往另外，在构造的制造、架设、养护等过程

5、中，往往需求预先知道构造的变形情况，以便采取一定的施工措需求预先知道构造的变形情况，以便采取一定的施工措施，因此也需求进展位移计算。施，因此也需求进展位移计算。7.2 7.2 变形体的虚功原理变形体的虚功原理7.2.1 7.2.1 实功和虚功实功和虚功 一一. .实功实功 力在本身所引起的位移上力在本身所引起的位移上做功，做功， 称为实功。称为实功。 如图如图 (a) (a)中，力中，力P P的相应位移的相应位移 =AAcos =AAcos，力，力P P所做的功所做的功: : T=PAAcos T=PAAcos 如图如图 (b) (b)中中, ,转盘受力偶转盘受力偶M=PDM=PD作作 用用,

6、 ,力偶所做的功应为力偶所做的功应为 : : T=M. T=M. 可以用一个公式来一致表达力或力偶做功：可以用一个公式来一致表达力或力偶做功： T = P. T = P. 其中其中: P : P 称为称为 广义力，广义力， 称为称为 广义位移。广义位移。 二、虚功 力在沿其它要素引起的位移上所做的功，称为虚功。其它要素如另外的荷载作用、温度变化或支座挪动等。 如图示简支梁，在P1作用下到达平衡时，P1作用点沿P1方向上产生的位移为11如图a示。然后再施加P2产生位移12， 12由零添加至最终值的过程中，P1坚持不变是常力，因此P1沿12做虚功为： T12=P1.12 7.2.2 7.2.2 虚

7、功原理虚功原理 变形体的虚功原理可概括表述为：变形体的虚功原理可概括表述为： 外力虚功外力虚功W=W=内力虚功内力虚功WW 做功的外力和内力称为力形状或第一形状，它们必做功的外力和内力称为力形状或第一形状，它们必需满足平衡条件；位移和变形称为位移形状或第二形状，需满足平衡条件；位移和变形称为位移形状或第二形状，它们必需满足变形和支座约束条件。它们必需满足变形和支座约束条件。 假设取第一形状为实践形状，第二形状为虚拟形状，假设取第一形状为实践形状，第二形状为虚拟形状，也就是虚功中力形状是实践的，位移形状是虚拟的，这也就是虚功中力形状是实践的，位移形状是虚拟的，这时，虚功原理也称为虚位移原理；时，

8、虚功原理也称为虚位移原理；反之，假设取第一形状为虚拟形状，第二形状为实反之，假设取第一形状为虚拟形状，第二形状为实践形状，也就是虚功中的力形状是虚拟的，位移形状是践形状，也就是虚功中的力形状是虚拟的，位移形状是实践的，这时，虚功原理也称为虚力原理。实践的，这时，虚功原理也称为虚力原理。7.3 7.3 荷载作用下位移计算的普通公式荷载作用下位移计算的普通公式 如图如图5(a)5(a)所示构造在均布荷载所示构造在均布荷载q q作用下发生了图中虚作用下发生了图中虚线所示变形。如今欲求构造上任一截面沿任一指定方向线所示变形。如今欲求构造上任一截面沿任一指定方向上的位移，如上的位移，如K K截面的程度位

9、移截面的程度位移KK。 首先，由虚功原理，确定两个形状：位移形状和力首先，由虚功原理，确定两个形状：位移形状和力形状。形状。 知形状欲求位移，故定为位移形状。还须建立力形知形状欲求位移，故定为位移形状。还须建立力形状，为此，在状，为此，在K K点上作用一个程度的单位荷载点上作用一个程度的单位荷载PK=1PK=1，它应，它应与与KK相对应，如图相对应，如图5(b)5(b)所示。所示。其次，求外力虚功和内力虚功。其次，求外力虚功和内力虚功。 外力所做虚功为：外力所做虚功为： W=PKK=K W=PKK=K 内力所做虚功为：内力所做虚功为： 在图在图5(a)5(a)上取上取dsds微段，其上由于实践

10、荷载所产生的微段，其上由于实践荷载所产生的图5内力内力MPMP、QPQP、NPNP作用下所引起的相应变形为作用下所引起的相应变形为dd、dd、dd分别如图分别如图5(c)5(c)、(d)(d)、(e)(e)所示，分别为：所示，分别为： 相对转角相对转角d=1/ds=Kdsd=1/ds=Kds相对剪切变形相对剪切变形d=dsd=ds 相对轴向变形相对轴向变形d=ds d=ds 由资料力学公式，有：由资料力学公式，有：pppM dsdEIkQ dsdGAN dsdEA 微段上所做内力虚功为：微段上所做内力虚功为： 整根杆件的内力虚功可由积分求得为：整根杆件的内力虚功可由积分求得为： 整个构造的内力

11、虚功等于各杆内力虚功的代数和，整个构造的内力虚功等于各杆内力虚功的代数和，即即 ：dWMdQdNd( )lllW lMdQdNdlllWMdQdNd 那么，由虚功原理得荷载作用下位移计算的普通那么，由虚功原理得荷载作用下位移计算的普通公式：公式：plllkQ QMpMNpNkdsdsdsEIGAEA 其中：其中：7.4 7.4 静定构造在荷载作用下的位移计算静定构造在荷载作用下的位移计算1、梁和刚架、梁和刚架lMpMdsEI 2、桁架pppllN NN NNN ldsdsEAEAEA 一、计算公式：一、计算公式：二、计算步骤二、计算步骤(1) (1) 根据欲求位移建立相应的虚拟形状；根据欲求位

12、移建立相应的虚拟形状；(2) (2) 列出构造各杆段在虚拟形状下和实践荷载作用下列出构造各杆段在虚拟形状下和实践荷载作用下的内力方程；的内力方程；(3) (3) 将各内力方程分别代入位移计算公式，分段积分将各内力方程分别代入位移计算公式，分段积分求总和即可计算出所求位移。求总和即可计算出所求位移。三、虚拟单位荷载的建立三、虚拟单位荷载的建立(1) (1) 欲求欲求A A点的程度线位移时，在点的程度线位移时，在A A点沿程度方向加一点沿程度方向加一单位集中力如图单位集中力如图6(b)6(b)所示；所示；(2) (2) 欲求欲求A A点的角位移，在点的角位移，在A A点加一单位力偶如图点加一单位力

13、偶如图6(c)6(c)所示；所示；(3) (3) 欲求欲求A A、B B两点的相对线位移，在两点的相对线位移，在A A、B B两点沿两点沿ABAB连连线方向加一对反向的单位集中力，如图线方向加一对反向的单位集中力，如图6(d)6(d)所示；所示；(4) (4) 欲求欲求A A、B B两截面的相对角位移，在两截面的相对角位移，在A A、B B两截面处两截面处加一对反向的单位力偶，如图加一对反向的单位力偶，如图6(e)6(e)所示。所示。图6 例例1.1.求图示悬臂梁求图示悬臂梁B B端的竖向位移端的竖向位移BVBV。EIEI为常数。为常数。解:(1) 取图(b)所示虚力形状。 (2) 实践荷载与

14、单位荷载所引起的弯矩分别为(以下侧受拉为正B为原点)MP=1/2qx2 (0 xl) M =x (0 xl) (3) 将MP及M代入位移公式，得例例2 2 求图示简支梁在均布荷载求图示简支梁在均布荷载q q作用作用下：下：(1) B(1) B支座处的转角；支座处的转角； (2) (2) 梁跨中梁跨中C C点的竖向线位移。点的竖向线位移。EIEI为常数。为常数。解：(1) 求B截面的角位移。在B截面处加一单位力偶m=1，建立虚力形状如图(b)。 实践荷载与单位荷载所引起的弯矩分别为(以A为原点)：MP =ql2x-q/2x2M =-1/lx 将MP、M代入位移公式得：23001()()224ll

15、pBqxx dxM MdsqlEIEIEI B的结果为负值，表示其方向与所加的单位力偶方向相反，即B截面逆时针转动。(2) 求跨中C点的竖向线位移在C点加一单位力P=1，建立虚力形状如图(c)所示 实践荷载与单位荷载所引起的弯矩分别为(以A为原点)，当0 xl/2时，有21,222pqlqMxxMx由对称关系得：12420215()( )222384CVqlxqxqlxdxEIEICV的计算结果为正值，表示C点竖向线位移方向与单位力方向一样，即C点位移向下。 例例3 3 求图示悬臂刚架求图示悬臂刚架C C截面的角位移截面的角位移CC。刚架。刚架EIEI为常数。为常数。解：(1) 取图18.9(

16、b)所示虚力形状。(2) 实践荷载与单位荷载所引起的弯矩分别为(以内侧受拉为正)横梁BC(以C为原点)MP=-Px1 (0 x1l)M=-1 (0 x1l)竖柱BA(以B为原点)MP=-Pl (0 x2l)M=-1 (0 x2l) (3) 将MP、M代入位移公式：11200022211()( 1)()( 1)322lllpCMMdspxdxpldxEIEIEIplPlPlEIEIEI7.5 7.5 图乘法图乘法一一. .图乘法图乘法 计算梁和刚架的位移时，当荷载较复杂或杆件数目计算梁和刚架的位移时，当荷载较复杂或杆件数目较多时，积分计算相当繁琐。但当组成构造各杆段符合较多时，积分计算相当繁琐。

17、但当组成构造各杆段符合下述条件：下述条件：(1) (1) 杆轴为直线；杆轴为直线； (2) EI(2) EI为常数；为常数； (3) M(3) M与与MPMP弯矩图中至少有一个是直线图形。弯矩图中至少有一个是直线图形。那么可用下述图乘法来替代积分运算，使计算得到简化。那么可用下述图乘法来替代积分运算，使计算得到简化。 如下图，设构造上如下图，设构造上ABAB杆段为等截面直杆，杆段为等截面直杆，EIEI为常数，为常数，M M图为一段直线，而图为一段直线，而MPMP图为任不测形。现以图为任不测形。现以M M图的基线为图的基线为x x轴，以轴，以M M图的延伸线与图的延伸线与x x轴的交点轴的交点O

18、 O为原点，建立为原点，建立xOyxOy坐坐标系，那么积分式标系，那么积分式(a)(a)可写成可写成: :1BAMpMdsycEIEI 由此可知，计算位移的积分就等于一个弯矩图的面由此可知，计算位移的积分就等于一个弯矩图的面积积w w乘以其形心所对应的另一个直线弯矩图上的竖标乘以其形心所对应的另一个直线弯矩图上的竖标yCyC，再除以再除以EIEI，于是积分运算转化为数值乘除运算，此法即，于是积分运算转化为数值乘除运算，此法即称图乘法。称图乘法。 二二. .图乘法步骤图乘法步骤(1) (1) 画出构造在实践荷载作用下的弯矩图画出构造在实践荷载作用下的弯矩图MPMP；(2) (2) 根据所求位移选

19、定相应的虚拟形状，画出单位根据所求位移选定相应的虚拟形状，画出单位弯矩图弯矩图M M；(3) (3) 分段计算一个弯矩图形的面积分段计算一个弯矩图形的面积w w及其形心所对及其形心所对应的另一个弯矩图形的竖标应的另一个弯矩图形的竖标yCyC；(4) (4) 将将w w、yCyC代入图乘法公式计算所求位移。代入图乘法公式计算所求位移。三三. .常见弯矩图图乘常见弯矩图图乘四四. .常见图形的面积和形心常见图形的面积和形心例例1 1 求图求图(a)(a)所示简支梁所示简支梁A A端角位移端角位移AA及跨中及跨中C C点的竖向点的竖向位移位移CVCV。EIEI为常数。为常数。解：解：(1) (1)

20、求求AA 实践荷载作用下的弯矩图实践荷载作用下的弯矩图MPMP如图如图(b)(b)所示。所示。 在在A A端加单位力偶端加单位力偶m=1m=1，其单，其单位弯矩图位弯矩图M M如图如图(c)(c)所示。所示。 MP MP图面积及其形心对应图面积及其形心对应M M图图竖标分别为：竖标分别为： w=2/3 w=2/3* *l l* *1/81/8* *ql2ql2* *l=ql3/12l=ql3/12 yC=1/2 yC=1/2 计算计算AAA=1/EIA=1/EI* *w w* *yCyC =1/EI =1/EI* * ql3/12 ql3/12* *1/2=ql3/24EI1/2=ql3/24

21、EI (2) (2) 求求CVCV MP MP图仍如图图仍如图(b)(b)所示。所示。 在在C C点加单位力点加单位力P=1P=1，单位弯矩图，单位弯矩图M M如图如图(d)(d)所示。所示。 计算计算w w、yCyC。 由于由于M M图是折线形，故应分段图乘再叠加。因两个图是折线形，故应分段图乘再叠加。因两个弯矩图均对称，故计算一半取两倍即可。弯矩图均对称，故计算一半取两倍即可。w=2/3w=2/31/8ql21/8ql2l/2=ql3/24l/2=ql3/24yC=5/8yC=5/8l/4=5l/32l/4=5l/32 计算计算CVCVCV=2(1/EICV=2(1/EI* *w w* *

22、yC)= 5ql4/384EI ()yC)= 5ql4/384EI ()例例2 2 求图求图(a)(a)所示梁所示梁A A截面的角位移截面的角位移AA及及C C点的竖向线位点的竖向线位移移CVCV。EIEI为常数。为常数。解：解：(1) (1) 分别建立在分别建立在m=1m=1及及P=1P=1作作用下的虚设形状，如图用下的虚设形状，如图(c)(c)、(d)(d)所示。所示。(2) (2) 分别作荷载作用和单位分别作荷载作用和单位力作用下的弯矩图，如图力作用下的弯矩图，如图 (b) (b)、(c)(c)、(d)(d)。(3) (3) 图乘。图乘。 将图将图(b)(b)与图与图(c)(c)相乘，那

23、么相乘，那么得得 A=-1/EI(Pa2/6+qa3/12) A=-1/EI(Pa2/6+qa3/12)结果为负值，表示结果为负值，表示AA的方向的方向与与m=1m=1的方向相反。的方向相反。 计算计算CVCV，将图，将图(b)(b)与图与图(c)(c)相乘，那么得：相乘，那么得：CV =1/EI(2Pa3/3+7qa4/24)()CV =1/EI(2Pa3/3+7qa4/24)() 留意的是留意的是MPMP图图BCBC段的弯矩图是非规范的抛物线，所段的弯矩图是非规范的抛物线，所以图乘时不能直接代入公式，应将此部分面积分解为两以图乘时不能直接代入公式，应将此部分面积分解为两部分，然后叠加。部分

24、，然后叠加。例例4 4 计算图计算图(a)(a)所示悬臂刚架所示悬臂刚架D D点的竖向位移点的竖向位移DVDV。各杆。各杆EIEI如图示。如图示。解：解：(1) (1) 实践荷载作用下的弯矩图实践荷载作用下的弯矩图MPMP如图如图(b)(b)所示。所示。(2) (2) 在在D D端加单位力端加单位力P=1P=1，单位弯矩图，单位弯矩图M M如图如图(c)(c)所示所示(3) (3) 计算计算w w、yCyC分分ABAB、BCBC、CDCD三段进展图乘，由于三段进展图乘，由于CDCD段段M=0M=0，可不，可不用计入。故只计算用计入。故只计算ABAB、BCBC两段。两段。ABAB段：段： w1=

25、 2l2/3 ( w1= 2l2/3 (取自取自M M图图) )y1=Pl/4y1=Pl/4 BC BC段：段： w2=2l2/9 w2=2l2/9y2=Pl/4y2=Pl/4(4) (4) 计算计算DVDVDV=1/EI(w1DV=1/EI(w1* *yC1)+1/2EI(w2yC1)+1/2EI(w2* *yC2)yC2) = -5Pl3/(36EI) = -5Pl3/(36EI)()()7.6 7.6 静定构造在支座挪动时位移计算静定构造在支座挪动时位移计算 静定构造由于支座挪动或制造误差，不引起任何内静定构造由于支座挪动或制造误差，不引起任何内力，且其内部亦不产生变形，但整个构造会产生

26、位移。力，且其内部亦不产生变形，但整个构造会产生位移。如图如图(a)(a)所示刚架，支座挪动为所示刚架，支座挪动为C1C1、C2C2、C3C3，致使整个构，致使整个构造挪动到了虚线位置。造挪动到了虚线位置。 利用虚功原理求构造上任一点利用虚功原理求构造上任一点K K沿沿i-ii-i方向的位移方向的位移KiKi。以图以图(a)(a)为实践形状为实践形状( (位移形状位移形状) )。为了建立虚功方。为了建立虚功方程还需选取虚拟形状程还需选取虚拟形状( (力形状力形状) )，为此在，为此在K K点沿点沿i-ii-i方向加方向加一个单位集中力一个单位集中力PK=1PK=1，如图，如图(b)(b)所示。

27、所示。 由于由于PK=1PK=1而引起的与实践位移而引起的与实践位移C1C1、C2C2、C3C3相应的支相应的支座反力座反力R1R1、R2R2、R3R3。 外力虚功为：外力虚功为： W=PK W=PK* *Ki+RC (a)Ki+RC (a)内力虚功应等于零，即：内力虚功应等于零，即：W=0 (b)W=0 (b)由虚功原理由虚功原理W=WW=W， 即：即： PK PK* *Ki+RC=0Ki+RC=0而而PK=1PK=1，代入上式整理得，代入上式整理得 Ki=-RC Ki=-RC例例1 1 知简支梁知简支梁ABAB跨度为跨度为l l，右支座，右支座B B竖直下沉竖直下沉，如图，如图(a)(a)

28、所示。求梁中点所示。求梁中点C C的竖向位移的竖向位移CVCV。解：解：(1) (1) 在梁中点在梁中点C C处加单位力处加单位力P=1P=1，如图，如图(b)(b)所示。所示。(2)(2)计算单位荷载作用下的支计算单位荷载作用下的支座反力座反力: :由于由于A A支座无位移，故只需计支座无位移，故只需计算算B B支座反力支座反力RBRB即可。即可。由对称得由对称得B B支座反力支座反力 RB=1/2 () RB=1/2 ()(3) (3) 计算计算CVCV CV=-RC CV=-RC =-(-1/2 =-(-1/2)=/2 () )=/2 () 例例2 2 图示三铰刚架跨度图示三铰刚架跨度l=12ml=12m，高为，高为h=8mh=8m。知右支座。知右支座B B发生了竖直沉陷发生