Modeling2009数学建模王新茂

1、数学建模Mathematical Modeling王新茂中国科学技术大学数学系2教学安排2月20日讲课2月27日讨论3月6日讲课3月13日讨论3月20日讲课3月27日讨论4月3日讲课4月10日讨论4月17日讲课4月24日讨论5月1日劳动节5月8日讲课5月15日讨论5月22日讲课5月29日讨论6月5日讲课6月12日讨论6月19日讲课6月26日讨论6月29日考试开始3参考书目1.数学建模，F.R.Giordano、M.D.Weir、W.P.Fox著，叶其孝、姜启源等译，机械工业出版社，2005。2.问题解决的数学模型方法，刘来福、曾文艺编著，北京师范大学出版社，1999。3.数学建模精品案例，朱道

2、元编著，东南大学出版社，1999。4.数学模型，谭永基、俞文 编著，复旦大学出版社，1995。5.中国大学生数学建模竞赛（一、二、三），李大潜主编，高等教育出版社。6.全国大学生数学建模竞赛网，http:/4什么是数学建模？ 使用数学方法解决实际问题的过程实际现象实际问题数学模型数学问题数学解答解决方案基于合理的假设通过数学语言来“描述实际现象”“近似实际问题”建模求解建模的目的是“解决实际问题”实践是检验模型好坏的唯一标准应用检验注：并非所有实际问题都可通过数学建模求解。5数学建模的一般过程1. 针对实际问题，明确建模目的。2. 抓住主要因素，简化实际问题。3. 使用数学方法，导出数学模型。

3、 定义变量参数，量化主要因素。 找出主要因素之间的相互联系。 假设合理、推理严密、数据精确、有说服力。4. 使用数学工具，求解数学问题。5. 检验修改模型，实施数学结果。 检验模型的解释是否符合客观规律。 检验计算结果是否与实际数据吻合。 检验模型的精度、稳定性和灵敏度。6数学建模的常用方法 以客观规律的普遍性为基础，考虑局部规律的特殊性，从简单到复杂，逐步建立模型。 根据量纲、比例关系、相似性、平衡原理、变化机理等确立变量之间的相互制约的关系。 收集整理数据，从中归纳出合理的假设。 用微分方程描述连续变量的变化和相互影响。 用随机变量描述模型中因素的不确定性。 用图论语言描述模型的研究对象及

4、其之间的关系，如工作顺序、状态转移等。 将复杂的系统分解成若干子系统，分而治之。7数学模型的分类 按实际问题分类人口模型、生态模型、经济模型、交通流模型、投入产出问题、邮路问题、选址问题、排队服务问题 . 按数学方法分类数值计算问题、微分方程问题、优化问题、规划问题、图论问题、概率统计问题、系统决策问题 . 按建模目的分类机理模型、仿真模型、预测模型、优化模型、决策模型 按问题的确定性分类白箱问题、灰箱问题、黑箱问题8问题1.1：商品的价格与供求数量的关系。问题：产量的增加能否带来收入的增加？一、初等模型9问题1.2：求猪的长L、宽w、高h、重m之间的关系。模型1：假设猪的形状是几何相似的，密

5、度为常值，则mL3。若将猪看成椭圆柱，忽略四蹄，则mwhL。模型2：将猪看作支撑在四蹄上的弹性梁，在重力作用下，下垂高度d，弹性模量为常值，则mwdh3/L3。问题：以上结论是否合理？两个模型是否一致？两个模型的优缺点是什么？哪个模型比较准确？一、初等模型10一、初等模型问题1.3：求人的身高h、体重m、力量f、灵活性a之间的关系。模型1：假设人体具有几何相似性，密度为常值，则mh3。将肌肉看成弹性杆，横截面积s、相对伸长量为常值，弹性模量为常值，则fsh2，a=f/m1/h。问题：以上假设是否合理？如何修改模型？模型2：测量一定人群的身高、体重、力量、灵活性，然后进行数据拟合。问题：如何定量

6、测量灵活性？如何拟合？11一、初等模型问题1.4：如何提高铅球运动员的成绩。模型1：投掷距离s与出手高度h、出手速度v、仰角a有关。若不考虑空气阻力，则s随h、v的增大而增大。给定h、v，最佳投掷角度 。模型2：设臂长L、出手时的肩高H为常数， 。模型3：设铅球重m，可获得的总能量 为常值。问题：投掷距离还与哪些因素有关？空气阻力对成绩的影响有多大？以上假设是否合理？以上模型是否适用于标枪、链球等其它投掷项目？gvghvvs/cos)2sinsin(22ghvgh2arccos21sinLHhmghmv 22112氮肥 产量磷肥 产量钾肥 产量氮肥 产量磷肥 产量钾肥 产量1015.18 03

7、3.46 018.98 011.02 06.39015.7523421.36 2432.47 4727.35 2812.7499.484716.7636725.72 4936.06 9334.86 5614.56 9812.46 9316.89410132.29 7337.96 14038.52 8416.27 14714.38 14016.24513534.03 9841.04 18638.44 11217.75 19617.118617.56620239.45 14740.09 27937.73 16822.59 29421.94 27919.2725943.15 19641.26 372

8、38.43 22421.63 39122.64 37217.97833643.46 24542.17 46543.87 28019.34 48921.34 46515.84940440.83 29440.36 55842.77 33616.12 58722.07 55820.1110 47130.75 34242.73 65146.22 39214.11 68524.53 65119.4一、初等模型问题1.5（CMCM92A）：为了研究氮、磷、钾三种肥料对于土豆和生菜的作用，分别作了三组实验，结果如下。在考察一种肥料的施用量与产量关系时，另两种肥料的施用量固定在第7个水平上。问：如何施肥效果最

9、好？(施肥量：公斤/公顷，产量：吨/公顷)13建模思路：1. 确定产量与施肥量的关系。多项式拟合、指数函数拟合、实验数据的原始误差、多种肥料的复合效果2. 优化农产品的投入产出。考虑化肥对土壤破坏、生态农业、绿色食品3. 模型的检验与改进。 改进实验方式、正交设计一、初等模型土豆生菜010020030040010203040500100200300400510152025050100 150 200 250 30010203040500100 200 300 400 500 600 7005101520250100 200 300 400 500 60010203040500100 200 3

10、00 400 500 60051015202514以下问题任选一题：1. 利用下表数据，检验并修改问题1.3的模型。作业一级别抓举挺举总成绩级别抓举挺举总成绩56138.5168305489812021762153182.532553102.512922669165197.5357.55811114125177173210377.563116142257851872203956912815828694188232.5417.57513115928610520023643675+139182.5318105+213263.5472.5男子举重世界纪录女子举重世界纪录152. 利用下表数据，检验问

11、题1.4的模型。3. 利用互联网上的真实数据，对从事某种体育项目的专业运动员的身高、体重、力量、灵活性建模。作业一#出手速度出手高度仰角成绩114.081.9535.1321.76213.952.0439.0021.70313.952.0439.0021.66413.972.0038.2021.52513.582.0237.7520.76613.512.0038.6920.30713.432.0238.5020.26813.162.0240.2719.4016二、微分方程模型问题2.1：根据以下数据对酵母培养物的生物量建模。模型1：画出pt图像、pt图像、pp图像。猜测dp/dt=ap-bp2

12、，拟合(pn+1-pn-1)/2=apn-bpn2，得a、b。51015100200300400500600510152040608010020030040050060020406080时间t012345678酵母p9.618.329.047.271.1119.1174.6257.3350.79101112131415161718441513.3559.7594.8629.4640.8651.1655.9659.6661.817二、微分方程模型由微分方程解出的p(t)函数图像与原始数据非常吻合。问题：对模型 dp/dt = ap-bp2 给以生物学上的解释。若假设 dp/dt = c0+c1p

13、+c2p2+c3p3，结果是否会更好?51015100200300400500600pt a p0b p0 a b p0at0.5408630.000814439 0.0555255 0.540863t18二、微分方程模型问题2.2：人口的预测和控制。模型1 (Malthus)：假设出生率死亡率为常数，dx/dt = ax。模型2 (logistic)：dx/dt = ax-bx2。模型3 (Leslie)：考虑各年龄段的人口数。xtsdtxsxtxtxtxacacbbabtxtxtxkkkkk),()()()()()()(2112121121连续模型离散模型19二、微分方程模型问题2.3：传

14、染病的传播。模型1：假设总人数n，感染人数x，未采取防病措施，经常与他人接触。dx/dt = kx(n-x) ，k:接触率。结论：一段时间之后，所有人都会被感染。204060801002040608010020二、微分方程模型模型2：假设总人数n ，无症状感染人数x（经常与他人接触），有症状感染人数y（被隔离治疗，治愈后仍可能被感染），已免疫或死亡人数z。dx/dt = k1x(n-x-y-z)-k2x，dy/dt = k2x-k3y，dz/dt = k4y，k1:感染率，k2:发病率，k3:治愈率，k4:免疫率+死亡率。结论：当k40 时，所有人都会免疫或死亡。当k2k1n时，疫情被迅速扑灭。当k2j。若作业i没有预先作业，添加边Begin-i。若作业i没有后续作业，添加边i-End。原问题化为“用一些从Begin到End的路径P覆盖所有顶点1,2,.,n，使得 maxP(iPTi ) 最小”。52五、图网络模型问题5.8：根据相互之间的战绩对选手实力进行排名。模型：假设各选手在争夺一个冠军称号。已知选手i对选手j的战绩为aij胜、bij负、cij平。构造得分矩阵S=(sij)和概率转移矩阵P=(pij)。pij表示在众选手中，选手j能够将冠军称号从选手i处夺来的概率。 。pi为选手i拥有冠军称号的概率。iniiji