有限元法理论基础弹力变分原理ppt课件

1、 弹性力学问题变分原理1、弹性力学方程张量方式2、应变能、应变余能3、虚功虚位移、虚应力原理4、最小位能原理、最小余能原理有限元法实际根底一、弹性力学根本方程矩阵方式0uu平衡方程：0TTDuL0A f在 上在V内在V内在V内S在 上uS几何方程：边境条件：物理方程：有限元法实际根底1、平衡方程000zzyxxzyzyyxyxzxyxxfzyxfzyxfzyx0A f有限元法实际根底2、几何方程uLxzzxzyyzyxxyzyxxwzuywzvxvyuzwyvxu有限元法实际根底3、物理方程D)1 (2210)1 (22100)1 (221000100011000111*)21)(1 ()1

2、(DE有限元法实际根底2、弹性体应变能和应变余能应变能：应变余能：应变能密度：应变余能密度：VdVWU应变能密度VdVWU应变余能密度ijijijdW0ijijijdW0有限元法实际根底应变能和应变余能由应变能密度及应变余能密度公式可得：klijklijijDWklijklijijCW其中：1ijklijklDC对于线弹性资料，有：2ijijWW有限元法实际根底应变能和应变余能互余关系：ijijWW全功对线弹性体应变能密度和应变余能密度可分别表示为应变和应力的二次齐函数：klijijklDW21klijijklCW21有限元法实际根底虚功原理变形体虚功原理：变形体中，恣意平衡力系在恣意满足协调

3、条件的变外形状上作的虚功等于零。即体系外力的虚功等于内力的虚功。虚功原理：虚位移原理、虚应力原理有限元法实际根底虚位移原理平衡方程：(在V内)在 上S0ijijTn 力边境条件：虚位移：变形体几何约束所允许的位移称为能够位移，取其恣意微小的变化量即是虚位移。平衡方程和力边境条件有限元法实际根底权函数取虚位移及其边境值，可得等效积分方式为：0)()(,dSTnudVfuSijijiVijiji其中， 是真实位移的变分，是延续可导的。留意在位移边境上：iu0iu0,ijijf虚位移原理对上式体积分中的第一项进展分部积分，并留意到应力张量是对称张量，得：SjijiVijijjiVijijjiVjij

4、iVjijidSnudVuudVuudVudVu)(21)(21)(,留意，运用体积分化面积分公式，即散度定理。有限元法实际根底虚位移原理将应变的变分及上述分部积分结果代入等效积分方式，得到等效积分方式：ViiSiiVijijdVfudSTudV几何方程：)(21,ijjiijuu上式右边是变形体内的应力在虚应变上所作的虚功，即内力虚功；上式左边是外力膂力+面力在虚位移上所做功，即外力虚功。即内力虚功等于外力虚功。积分方式的平衡方程。按位移法建立有限元方程的根本方程。有限元法实际根底虚位移原理阐明：虚位移原理：未涉及物理方程，所以可运用于线弹性、非线性弹性、弹塑性等非线性问题。有限元法实际根底

5、虚位移原理也可由能量守恒定律直接导出： 根据能量守恒定律，外力在虚位移上所做的功，等于内力在虚应变上所做的功。ViiSiiVijijdVfudSTudV最小位势能原理弹性系统总势能：将上式求变分得：将虚位移原理表达式 代入可得： 可以证明总势能的二阶变分 有限元法实际根底ViiSiiVijijdVfudSTudVViiSiiVpdVfudSTudVWViiSiiVijijpdVufdSuTdVW)(0p02pw 弹性系统总势能：w 最小势能原理：在满足几何约束的各类位移中，实践位移使系统的总势能取最小值。有限元法实际根底最小位势能原理ViiSiiVpdVfudSTudVW0p02p虚应力原理虚应力：满足平衡方程和力边境条件的应力的变分微小的变化。虚应力原理：位移边境处给定位移在虚反力上所做的余虚功等于应变在虚应力上的余虚功：按力法建立有限元方程的根本方程。几何方程和位移边境条件建立等效积分：权函数取真实应力的变分及其相应的边境值，可得等效积分方式为：0)()(21,dSuupdVuuuSiiiVijjiijij)(21,ijjiijuuiiuu 有限元法实际根底VijijSiidVdSpuu最小余能原理弹性系统总余能为应变余能与余势之和：将上式求变分:将虚应力原理代入可得：可以证明总余能的二阶变分： 阐明：在一切满足平衡方程