函数的单调性

1、一、定义一、定义 1. 1.一般地，设函数一般地，设函数(x)(x)的定义域为的定义域为I:I: 如果如果对于定义域对于定义域I I内某个区间内某个区间D D上上的的任任意意两个自变量的值两个自变量的值x x1 1，x x2 2，当，当x x1 1 x x2 2 时，时，都有都有(x(x1 1) ) (x(x2 2) ) ，那么就说函数，那么就说函数(x)(x)在在区间区间D D上是上是增函数增函数; ; 如果如果对于定义域对于定义域I I内某个区间内某个区间D D上上的的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x x1 1，x x2 2，当，当x x1 1 x ) (x(x2 2) ) ，那么就

2、说函数，那么就说函数(x)(x)在区间在区间D D上是上是减函数减函数; ; 2. 2.如果函数如果函数y= y= (x)(x)在区间在区间D D上是上是增函数或减函数，那么就说函增函数或减函数，那么就说函y=y=(x)(x)在这一区间具有（严格的）在这一区间具有（严格的）单调性单调性，区间区间D D叫做叫做y= y= (x)(x)的的单调区间单调区间。三、函数单调性的判定方法三、函数单调性的判定方法1 1、图像法、图像法2 2、定义法、定义法步骤：步骤：a a、设变量、设变量b b、做差、做差-变形变形c c、定符号、定符号d d、下结论、下结论例例1 1 如图，是定义在区间如图，是定义在区

3、间-5,5-5,5上的函上的函数数y=y=(x),(x),根据图像说出函数的单调区间，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？减函数？例例2 2 证明函数证明函数(x)=2x+1(x)=2x+1在在R R上是增函数。上是增函数。证明：证明：设设 x x1 1，x x2 2是是R R上的上的任意任意两个实数，两个实数，且且x x1 1xx2 2 (x(x1 1)-)-(x(x2 2) )=2x=2x1 1+1-(2x+1-(2x2 2+1)+1) =2(x =2(x1 1-x-x2 2) ) 由由x x1 1xx2 2 则则2(

4、x2(x1 1-x-x2 2) 0) 0 于是于是(x(x1 1)-)-(x(x2 2) 0) 0 即即(x(x1 1) ) (x(x2 2) ) 所以所以函数函数(x)=2x+1(x)=2x+1在在R R上是增函数上是增函数 1.3.1 1.3.1 函数的单调性函数的单调性二、例题二、例题例例3 3 物理学中的玻意耳定律物理学中的玻意耳定律p=k/v(kp=k/v(k为为正常数正常数) )告诉我们，对于一定量的气体，告诉我们，对于一定量的气体，当其体积当其体积v v减少时，压强减少时，压强p p将增大。试用将增大。试用函数的单调性证明之。函数的单调性证明之。 1.3.1 函数的单调性函数的单

5、调性一、定义一、定义 1. 1.一般地，设函数一般地，设函数(x)(x)的定义域为的定义域为I:I: 如果如果对于定义域对于定义域I I内某个区间内某个区间D D上上的的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x x1 1，x x2 2，当，当x x1 1 x x2 2 时，时，都有都有(x(x1 1) ) (x(x2 2) ) ，那么就说函数，那么就说函数(x)(x)在区间在区间D D上是上是增函数增函数; ; 如果如果对于定义域对于定义域I I内某个区间内某个区间D D上上的的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x x1 1，x x2 2，当，当x x1 1 x ) (x(x2 2) ) ，那

6、么就说函数，那么就说函数(x)(x)在区间在区间D D上是上是减函数减函数; ; 2. 2.如果函数如果函数y= y= (x)(x)在区间在区间D D上是增函数或减函数，那么就说函数上是增函数或减函数，那么就说函数y=y=(x)(x)在这一区间具有（严格的）在这一区间具有（严格的）单调性单调性，区间，区间D D叫做叫做y= y= (x)(x)的的单调区单调区间间。例例1 1 如图，是定义在区间如图，是定义在区间-5,5-5,5上的函数上的函数y=y=(x),(x),根据根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？增函

7、数还是减函数？一、定义一、定义 1. 1.一般地，设函数一般地，设函数(x)(x)的定义域为的定义域为I:I: 如果如果对于定义域对于定义域I I内某个区间内某个区间D D上上的的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x x1 1，x x2 2，当，当x x1 1 x x2 2 时，时，都有都有(x(x1 1) ) (x(x2 2) ) ，那么就说函数，那么就说函数(x)(x)在区间在区间D D上是上是增函数增函数; ; 如果如果对于定义域对于定义域I I内某个区间内某个区间D D上上的的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x x1 1，x x2 2，当，当x x1 1 x ) (x(x2 2)

8、 ) ，那么就说函数，那么就说函数(x)(x)在区间在区间D D上是上是减函数减函数; ; 2. 2.如果函数如果函数y= y= (x)(x)在区间在区间D D上是增函数或减函数，那么就说函数上是增函数或减函数，那么就说函数y=y=(x)(x)在这一区间具有（严格的）在这一区间具有（严格的）单调性单调性，区间，区间D D叫做叫做y= y= (x)(x)的的单调区单调区间间。三、函数单调性的判定方法三、函数单调性的判定方法1 1、图像法、图像法2 2、定义法、定义法例例2 2 证明函数证明函数(x)=2x+1(x)=2x+1在在R R上是增函数。上是增函数。证明：证明：设设 x x1 1，x x

9、2 2是是R R上的上的任意任意两个实数，两个实数，且且x x1 1xx2 2 (x(x1 1)-)-(x(x2 2) )=2x=2x1 1+1-(2x+1-(2x2 2+1)+1) =2(x =2(x1 1-x-x2 2) ) 由由x x1 1xx2 2 则则2(x2(x1 1-x-x2 2) 0) 0 于是于是(x(x1 1)-)-(x(x2 2) 0) 0 即即(x(x1 1) ) (x(x2 2) ) 所以所以函数函数(x)=2x+1(x)=2x+1在在R R上是增函数上是增函数一、定义一、定义 1. 1.一般地，设函数一般地，设函数(x)(x)的定义域为的定义域为I:I: 如果如果对

10、于定义域对于定义域I I内某个区间内某个区间D D上上的的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x x1 1，x x2 2，当，当x x1 1 x x2 2 时，时，都有都有(x(x1 1) ) (x(x2 2) ) ，那么就说函数，那么就说函数(x)(x)在区间在区间D D上是上是增函数增函数; ; 如果如果对于定义域对于定义域I I内某个区间内某个区间D D上上的的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x x1 1，x x2 2，当，当x x1 1 x ) (x(x2 2) ) ，那么就说函数，那么就说函数(x)(x)在区间在区间D D上是上是减函数减函数; ; 2. 2.如果函数如果函数y= y= (x)(x)在区间在区间D D上是增函数或减函数，那么就说函数上是增函数或减函数，那么就说函数y=y=(x)(x)在这一区间具有（严格的）在这一区间具有（严格的）单调性单调性，区间，区间D D叫做叫做y= y= (x)(x)的的单调区单调区间间。三、函数单调性的判定方法三、函数单调性的判定方法1 1、图像法、图像法2 2、定义法、定义法 a a、设变量、设变量b b、做差、做差-变