pbi多元函数微分学的几何应用学习教案

1、会计学1pbi多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用第一页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。2设空间曲线的方程设空间曲线的方程)1()()()()( ttzztyytxx(1)式中的三个函数均式中的三个函数均可导可导.M),(000zzyyxxM ),(000zyxM设设M 1. 空间曲线的方程为参数方程空间曲线的方程为参数方程一、空间曲线的切线与法平面Oxyz.0ttt 对应于对应于;0tt 对应于对应于第1页/共41页第二页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。3考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置 xxx0t t t 上式分母同除以上式分母同除以, t MM 割线割线

2、的方程为的方程为MM ,000zzzyyyxxx yyy0zzz 0切线的过程Oxyz),(000zzyyxxM ),(000zyxM第2页/共41页第三页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。4,0,时时即即当当 tMM曲线在曲线在M处的切线方程处的切线方程)()()(000000tzzztyyytxxx 切向量切向量法平面法平面切线的方向向量称为曲线的切向量.过M点且与切线垂直的平面.MM Oxyz平面的点法式方程t t t zzzyyyxxx000 0limt0limt0limt0000),(ttzyxM 对应于对应于)(),(),(000tztytxT . 0)()()(000000 z

3、ztzyytyxxtx第3页/共41页第四页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。5.0处的切线与法平面方程处的切线与法平面方程在在 t: 求曲线求曲线 ttuzttyuux30e1cossin2dcose解解, 0 x,cosetxt ,sincos2tty tz3e3 , 1)0( x, 2)0( y3)0( z切线方程322110 zyx法平面方程0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx)()()(000000tzzztyyytxxx 0)()()(000000 zztzyytyxxtx例例即,0时时当当 t2 z, 1 y第4页/共41页第五页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。6

4、设曲线直角坐标方程为设曲线直角坐标方程为,)()(100000 xzzzxyyyxx . 0)()()(100000 zzxzyyxyxx法平面方程为2. 空间曲线的方程为空间曲线的方程为曲线的参数方程是曲线的参数方程是由前面得到的结果由前面得到的结果,在在M(x0, y0, z0)处处,令令 )()(xzzxyy切线方程为x为参数,两个柱面 的交线)()()(000000tzzztyyytxxx xx ,)()( xzzxyy第5页/共41页第六页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。7例例 在抛物柱面在抛物柱面 与与 的交线上的交线上, x为参数为参数,于是于是 , 1 x,12xy xz2

5、4 212xz 26xy 21 x解 22126xzxyxx所以交线上与所以交线上与21 x对应点的切向量为: T).12, 6, 1(交线的参数方程为取求对应 的点处的切向量.第6页/共41页第七页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。8设空间曲线方程为设空间曲线方程为,0),(0),( zyxGzyxF3.空间曲线的方程为空间曲线的方程为确定了隐函数确定了隐函数(此曲线方程仍可用方程组此曲线方程仍可用方程组:.)()( xzzxyy 表示表示.)两个曲面的交线xx )(xyy )(xzz 利用利用2. 结果结果, 切线方程为. 0)()()(100000 zzxzyyxyxx法平面方程为在在

6、M(x0, y0, z0)处处,)()(100000 xzzzxyyyxx 两边分别对两边分别对x求导:),(),(xzxy 求出求出 0),(0),(zyxGzyxF将将下面求出下面求出.第7页/共41页第八页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。9 xydd 利用利用2.结果结果, 0dddd xzGxyGGzyxzyzyGGFFxzxzGGFFzyzyGGFFyxyxGGFF)()(100000 xzzzxyyyxx 0dddd xzFxyFFzyx)()(100000 xzzzxyyyxx 两边分别对两边分别对,0)(),(,(0)(),(,( xzxyxGxzxyxFx求全导数: xz

7、dd第8页/共41页第九页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。10. 0)()()(000000 zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzy法平面方程为法平面方程为,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx 切线方程为切线方程为,0),(0),( zyxGzyxF所以所以在点 M(x0, y0, z0)处的第9页/共41页第十页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。11解解的的在点在点求曲线求曲线)2 , 3, 1(80222222Pzyxzyx 例例 切线方程和法平面方程切线方程和法平面方程.法一法一 直接用公式直接用公式., 8),(222

8、zyxzyxF令,),(222zyxzyxG 0PxF000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx 代入公式代入公式, 得切线方程得切线方程,023331 zyx 02Px, 2 0PyF 02Py, 32 0PzF 02Pz; 4令 0PxG 02Px, 2 0PyG 02Py, 32 0PzG 02Pz, 4 第10页/共41页第十一页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。120)()()(000000 zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzy代入公式代入公式, 得法平面方程得法平面方程法平面方程公式法平面方程公式:. 0633 yx第11页/

9、共41页第十二页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。13切线方程切线方程 1x33dd0 Pxy0dd0 Pxz 解解 将所给方程的两边对将所给方程的两边对x求导求导, 得得法平面方程法平面方程0)2(0)3(33)1(1 zyx. 0633 yx 3 y2 z133 0的的在点在点求曲线求曲线)2 , 3, 1(80222222Pzyxzyx 例例 切线方程和法平面方程切线方程和法平面方程. 推导法推导法)()(100000 xzzzxyyyxx 0dd2dd22 xzzxyyxxzzxyyxdd2dd22 法二法二即即第12页/共41页第十三页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。14设曲线

10、设曲线)(),(),(tzztyytxx 证)()(txXtx 因原点因原点(0,0,0)在法平面上在法平面上,0)()()()()()( tztztytytxtx即即0 于是于是 2220)(0)(0)(tztytx证明此曲线必在以原点为中的法平面都过原点,在任一点心的某球面上.曲线过该点的法平面方程为曲线过该点的法平面方程为),(),(),(tztytx故有故有)()(tyYty )()(tzZtz 0 C)()()(222tztytx 任取曲线上一点任取曲线上一点0)()()(000000 zztzyytyxxtx000第13页/共41页第十四页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。15y

11、xzO 0),( zyxF今在曲面上任取一条1. 设曲面设曲面的方程为的方程为F(x, y, z) = 0的情形的情形隐式方程隐式方程二、曲面的切平面与法线),(000zyxM ,),(000 zyxM函数F(x, y, z)的偏导数在该点连续且不同 ,0tt )(),(),(000tztytx 且且点M 对应于参数 不全为零.过点M 的曲线,设其参数方程为),(),(),(tzztyytxx 时为零.过点M 的曲线,过点M 的曲线,第14页/共41页第十五页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。16),(),(),(000tztytxT yxzO 0),( zyxF),(000zyxM T 由

12、于曲线在曲面上, 所以, 0 F 在恒等式两端对t 求全导数, 并令,0tt 则得 )(),(0000txzyxFx 若记向量),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 曲线在点M处切线的方向向量记为 则式可改写成, 0 Tn即向量 Tn与与垂直. )(),(0000tyzyxFyn),(ty),(tx)(tz. 0)(),(0000 tzzyxFz第15页/共41页第十六页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。17 因为曲线因为曲线是曲面是曲面上过点上过点 M 的的任意任意一条一条所有这些曲线在点所有这些曲线在点 M 的切线都与同一向量的切线都与同一向量垂直垂直,因此

13、这些切线必共面因此这些切线必共面,称为曲面称为曲面在点在点M的的nyxzO 0),( zyxF),(000zyxM n过点过点M且垂直于切且垂直于切法线法线, ,又是法线的方向向量.向量n称为曲法向量法向量. .切平面,由切线形成的这一由切线形成的这一平面,平面的直线称为曲面在点M的面在点M的n),(000zyxM 曲线,第16页/共41页第十七页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。18),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 曲面在曲面在M(x0, y0 , z0)处的法向量处的法向量:切平面方程为切平面方程为0)(,()(,()(,(000000000000 z

14、zzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法线方程为法线方程为.),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 所以曲面所以曲面上在点上在点M的的第17页/共41页第十八页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。19解解,3),(33azxyzzyxF 令令切平面方程法线方程;0 azx1010azayx ),0(),(aazyxFFFn )3, 0 ,3(22aa 例例处的处的上点上点求曲面求曲面), 0(333aaazxyz ).0( a切平面和法线方程切平面和法线方程,3yzFx ,3xzFy ,332zxyFz )1 , 0 , 1(. ayazx0)(

15、1)(0)0(1 azayx切平面方程为切平面方程为0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法线方程为法线方程为),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 0),(: zyxF曲面方程曲面方程MzyxFFFn),(, 曲面在曲面在M处的法向量处的法向量:第18页/共41页第十九页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。20842232222 yzxzxyzyx在曲面在曲面上求一点的坐标上求一点的坐标,使此点处的切平面平行于使此点处的切平面平行于yOz平面平面.解解设所求点为设所求点为(x, y, z),

16、 则切平面的法向量为则切平面的法向量为)32,22,(zyxzyxzyx 由题意由题意,)32,22,(zyxzyxzyx )0 , 0 , 1(由此得由此得022 zyx. 0,2 zyx所求之点所求之点:).0 , 2, 4()0 , 2 , 4( 及及 032 zyx),(2zyx n)(),22(2zyx )32(2zyx 第19页/共41页第二十页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。21曲面在曲面在M处的处的切平面方程切平面方程为为, 0)()(,()(,(0000000 zzyyyxfxxyxfyx曲面在曲面在M处的处的法线方程法线方程为为.1),(),(0000000 zzyxf

17、yyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxF 令,xxfF . 1 zF,yyfF 或,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx )1,( yxffn显式方程显式方程),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 2. 曲面方程形为曲面方程形为z = f (x, y)的情形的情形第20页/共41页第二十一页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。22 例例过过上所有点处的切平面都上所有点处的切平面都证明曲面证明曲面xyxze .一定点一定点 证证00e00 xyxz 则法向量为则法向量为切平面方程为0)()(e)(e )1(000000000 zzyyx

18、xxyxyxy),(yxfz )1,( yxffn,e )1(0000 xyxy n)(,e00 xy1 设设(x0, y0, z0)是曲面上任一点是曲面上任一点,0)()(,()(,(0000000 zzyyyxfxxyxfyx第21页/共41页第二十二页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。230ee )1(ee )1(000000000000000 zyxxyzyxxyxyxyxyxy0 0)()(e)(e )1(000000000 zzyyxxxyxyxy0ee )1(000000 zyxxyxyxy所以这些平面都过所以这些平面都过00 0 xyxze 原点.过过上所有点处的切平面都上所

19、有点处的切平面都证明曲面证明曲面xyxze .一定点一定点第22页/共41页第二十三页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。24考研数学考研数学(一一), 3分分04222 zyxyxz与平面与平面曲面曲面的切平面的方程是的切平面的方程是( ).542 zyx 解解则法向量为则法向量为切平面方程为0)5()2(4)1(2 zyx),(yxfz )1,( yxffn)1,2 ,2(00 yxn)1, 4 , 2( 11422200 yx, 2, 100 yx50 z即. 542 zyx平行设设(x0, y0, z0)是曲面上一点是曲面上一点,第23页/共41页第二十四页，编辑于星期六：二十三点 二

20、十八分。25 例例 证证, 0)().( aufczbyfaxz可微可微证明曲面证明曲面)均为常数均为常数、cb的所有的所有切平面都与一常向量平行切平面都与一常向量平行.则曲面在任一点处的则曲面在任一点处的法向量法向量:, azczbyfaxzyxF )(),(令令则则),( A nAbczbyfbcczbyfbcb )()(, 0 即即nA 所以所以, 所有的切平面均与所有的切平面均与),(bcab 常向量常向量平行平行.0),(: zyxF曲面方程曲面方程MzyxFFFn),(, 曲面在曲面在M处的法向量处的法向量:1)( czbyf c n)(),(czbyfb ,ab取取, c b第2

21、4页/共41页第二十五页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。263. 曲面方程为参数方程的情形曲面方程为参数方程的情形 ),(),(),(vuzzvuyyvuxx(u,v为双参变量为双参变量)求求(u0, v0 )对应的点对应的点M0(x0, y0 , z0)处的法向量处的法向量 固定固定v = v0, 让让u变变,),(),(),(000 vuzzvuyyvuxx它在它在M0处的切向量为处的切向量为),(0000zyxM 曲面曲面的参数方程为的参数方程为 .n得到曲面得到曲面上一条所谓的上一条所谓的u 曲线曲线 us00),(vvuuuzuyux 双切线法双切线法第25页/共41页第二十六页

22、，编辑于星期六：二十三点 二十八分。27 ),(),(),(vuzzvuyyvuxx(u,v为双参变量为双参变量)求求(u0, v0 )对应的点对应的点M0(x0, y0 , z0)处的法向量处的法向量 它在它在M0处的切向量为处的切向量为 ),(),(),(000vuzzvuyyvuxx),(0000zyxM 曲面曲面的参数方程为的参数方程为 .n vs00),(vvuuvzvyvx 同样同样, 固定固定u = u0, 让让v变变,得到另一条所谓的得到另一条所谓的v曲线曲线,曲面曲面的法向量的法向量 0Mn同时与同时与 vuss,垂直垂直, 故有公式故有公式 00MvvvuuuvuMzyxz

23、yxkjissn 双切线法双切线法第26页/共41页第二十七页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。28,11 vzvyvx 例例求马鞍面求马鞍面 1, 1, vuuvzvuyvux上上对应点处的切平面方程对应点处的切平面方程.解解u = 1 , 得曲线得曲线, 即即v = 1, , 11 uzuyux它们在点它们在点(u , v) = (1, 1)处的切向量分别为处的切向量分别为 11vs 12uszbyax 2222马鞍面在曲面上分别令在曲面上分别令 ),1 , 1(1, )1 , 1(1,切平面的法向量为切平面的法向量为 21ssn111111 kji)2 , 0 , 2( 切平面方程为切

24、平面方程为. 01 zx,1, 1时时当当 vu1, 0, 2 zyx双切线法双切线法第27页/共41页第二十八页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。29 例例求马鞍面求马鞍面 1, 1, vuuvzvuyvux上上对应点处的切平面方程对应点处的切平面方程.解解将每个方程的两端求微分将每个方程的两端求微分, 得得,1, 1时时当当 vu1, 0, 2 zyx0)()(,()(,(0000000 zzyyyxfxxyxfyx,dddvux ,dddvuy uvvuzddd yvuxvuzd)(21d)(21d yxzd0dd , 1)0 , 2( xz, 0)0 , 2( yz切平面方程为切平面

25、方程为. 01 zx全微分法全微分法第28页/共41页第二十九页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。308),(222 zyxzyxF令)2 , 3, 1(2 )2 , 3, 1( 解解的的在点在点求曲线求曲线)2 , 3, 1(80222222Pzyxzyx 切线方程和法平面方程切线方程和法平面方程.垂直于垂直于2222228zyxzyx 和和曲面曲面)2,3, 1()2 ,2 ,2(zyx 1n曲线在点曲线在点)2 , 3, 1(0P.210nnP和和的法向量的法向量在点在点 例例 当空间当空间曲线方程为曲线方程为一般式时一般式时,求求切向量曾采切向量曾采用了用了推导法推导法.处切线向量

26、再用再用向量代数法向量代数法做此题做此题. .应应同时同时s第29页/共41页第三十页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。31 21nns)2, 3, 1()2 , 3, 1( )0, 4, 34( )0 ,33, 1( 令222),(zyxzyxG )2,3, 1()2,2,2(zyx )2, 3, 1(2 )2, 3, 1( 的的在点在点求曲线求曲线)2 , 3, 1(80222222Pzyxzyx 切线方程和法平面方程切线方程和法平面方程.)2 , 3, 1( 1n 2n 例例第30页/共41页第三十一页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。32的的在点在点求曲线求曲线)2 , 3, 1(

27、80222222Pzyxzyx 切线方程和法平面方程切线方程和法平面方程. 解解双切平面法双切平面法由于两曲面的交线的切线等于两曲面的切平面的交线,所以求出两曲面在点P0处的切平面方程,再将两切平面方程联立即为所求.),2 , 3, 1(1 n),2, 3, 1(2 n 0)2(2)3(3)1(1 zyx0)2(2)3(3)1(1 zyx0823 zyx 023 zyx第31页/共41页第三十二页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。33一元函数微分的一元函数微分的(如图)xxfyd)(d0 三、全微分的几何意义对应的增量.增量时;当y是曲线的纵坐标dy就是切线纵坐标 xyO)(xfy T0 x

28、M xx0 N PQy ydx 几何意义第32页/共41页第三十三页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。34)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 因为曲面在因为曲面在M处的切平面方程处的切平面方程:全微分的几何意义全微分的几何意义表示表示平面上的点的竖坐标的增量平面上的点的竖坐标的增量.切平面切平面上点的上点的竖坐标竖坐标的增量的增量曲面曲面z = f (x, y)在点在点(x0, y0, z0)处的切处的切z = f (x, y)在点在点(x0, y0)的全微分的全微分,切平面切平面曲面曲面z = f (x, y)0P),(00yyxx ),(00yxx ),(000y

29、xM),(00yyx z zd函数函数z = f (x, y)在点在点(x0, y0)的全微分的全微分第33页/共41页第三十四页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。35),(00yxffxx ),(00yxffyy 其中其中,1cos22yxxfff ,1cos22yxyfff .11cos22yxff 或或)1,( yxff法向量法向量 ,若若表示曲面的法向量的方向角表示曲面的法向量的方向角,并假定并假定法向量的方向是向上法向量的方向是向上的的,即使得它与即使得它与z 轴的正向所成的角 是锐角,则法向量的则法向量的方向余弦为n)1 ,(yxffn 第34页/共41页第三十五页，编辑于星期六：二十三点 二十八分。36求旋转抛物面求旋转抛物面122 yxz因为因为(第三个分量为负第三个分量为负),解, 1),(22 yxyxf而而Pyxff)1,( )1,2 ,2( yx).1 ,2,2(yx 为向下的法向量故向上的法向量应为:在任意点在任意点P(x, y, z)处向上的法向量(即与z轴夹角为锐角的法向量).或或)1,( yx