数学分析课件：第三章 导数1-2

1、第三章第三章 导数导数1 1 切线和速度问题切线和速度问题问题的引入问题的引入一、切线的斜率一、切线的斜率0()( ) tanlimhf ahf akha a +-+-=切线斜率切线斜率问题的引出问题的引出二、瞬时速度二、瞬时速度hafhafh)()(limv0 瞬时速度瞬时速度问题的引出问题的引出问题的引出问题的引出n物理学家研究物理学家研究 功关于时间的变化率功关于时间的变化率, ,称为功率称为功率n化学家研究化学家研究 反应物的浓度对时间的变化率反应物的浓度对时间的变化率, ,称为反应速度称为反应速度n生物学家研究生物学家研究 细菌群落的种群数量关于时间的变化率细菌群落的种群数量关于时间

2、的变化率. . 变化率的计算在自然科学和工程中变化率的计算在自然科学和工程中, ,甚至在社会科甚至在社会科学中都是非常重要的学中都是非常重要的. . 2 2 导数的定义导数的定义hxfhxfxyhx)()(limlim0000 000( )().|xxxxdf xfxydx= ，记为或或记为或或.)(0处可导处可导在点在点并称并称xxfy 0( ), yf xx设设函函数数在在点点的的某某个个邻邻域域内内有有定定义义如如果果 存存在在极极限限= =定义定义1 1.)(0处处的的导导数数在在点点则则称称该该极极限限为为xxf一、导数的定义一、导数的定义导数的数学定义导数的数学定义00000000

3、()()()lim( )()()limxxxf xxf xfxxf xf xfxxx 其它等价形式其它等价形式导数的数学定义导数的数学定义 定义定义2 2（左右导数（左右导数）000()()0,limhf xhf xhh若若极极限限存存在在， + +- - ,);()(0内内有有定定义义在在函函数数 xUxf000()()0,limhf xhf xhh若极限存在，若极限存在， +-+- 0fx在在二、单侧导数二、单侧导数单侧导数的数学定义单侧导数的数学定义000()(+).fxfxxf 在在 的的右右导导数数，记记为为 或或者者00()(-).fxfx- -或者或者 左导数左导数定理定理1 1

4、).( )( )(000 xfxfxxf 可导可导在在三、可导的条件三、可导的条件( )( , )f xa b若若在在点单侧导数存在，点单侧导数存在，且在且在上可导上可导在在若若babaf,),(.,上可导上可导在在则称则称baf定义定义2 2单侧导数的数学定义单侧导数的数学定义( , )fa b在在任何一点可导任何一点可导, ,则称则称可导可导.例例1 1.0)(处的可导性处的可导性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0)

5、(点不可导点不可导在在函数函数 xxfy单侧导数的数学定义单侧导数的数学定义定理定理2 2 可导函数都是连续函数可导函数都是连续函数. .证明证明,)(0可导可导在点在点设函数设函数xxf),(lim00 xfxyx ,)(0 xfxy,)(0 xxxfy )(limlim000 xxxfyxx 0 0( ).f xx函数在点连续函数在点连续)0(0 x 注意注意: : 该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立四、可导与连续的关系四、可导与连续的关系导数与连续的关系导数与连续的关系连续函数不存在导数举例连续函数不存在导数举例xy2xy 0 xy ,0,0,)(2 xxxxxf0 x = =导数

6、与连续的关系导数与连续的关系连续但是不可导连续但是不可导. .例例2 2( )sin ,(sin )f xxx求求 = =解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即类似类似.sin)(cosxx 五五 常用函数的导数常用函数的导数导数计算导数计算例例3 3.)1, 0()(的导数的导数求函数求函数 aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即.)(xxee 导数的计算导数的计算例例4 4.)1, 0(log的导数的导数求函数求函数 aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .ln1)(logaxxa 即即.1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 .ln1ax 导数的计算导数的计算1. 1. 导数的定义导数的定义3. 3. 函数可导一定