多元函数的基本概念

1、数学教研室数学教研室第一节第一节一、区域一、区域二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性多元函数的基本概念多元函数的基本概念 数学教研室数学教研室 )(0oPPUPP 00一、一、 区域区域1. 邻域邻域点集, ),(0PPU称为点 P0 的 邻域邻域. .例如例如, ,在平面上, ),(),(0yxPU(圆邻域)在空间中, ),(),(0zyxPU(球邻域)说明：说明：若不需要强调邻域半径 , ,也可写成. )(0PU点 P0 的去心邻域去心邻域记为PP 0yyxx2020)()(zzyyxx202020)()()(数学

2、教研室数学教研室在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为 (),(),0yxPU。0P因为方邻域与圆邻域可以互相包含.,0 xxyy0数学教研室数学教研室2. 区域区域(1) 内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P : 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 若存在点 P 的某邻域 U(P) E = , 若对点 P 的任一任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 EE则称 P 为 E 的内点内点；则称 P 为 E 的外点外点 ;则称 P 为 E 的边界点边界点 .的外点 ,显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的边界点可能属于 E, 也可能不属于 E

3、. 数学教研室数学教研室D(3) 开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； 若点集 E E , 则称 E 为闭集； 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称 D 是连通的 ; 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ;。 。 E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;数学教研室数学教研室例如，例如，在平面上0),( yxyx41),(22yxyx0),( yxyx41),(22yxyx开区域闭区域xyOxy21OxyOxy21O数学教研室数学教研室 整个平面 点集 1),(xyx是开集， 是最大的开域 , 也是最大的闭

4、域 ;但非区域 .11 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K ,则称 D 为有界域有界域 , 界域界域 .否则称为无无xyO数学教研室数学教研室二、多元函数的概念二、多元函数的概念 引例引例: : 圆柱体的体积 定量理想气体的压强,2hrV ,(为常数）RVTRp 0, 0),(hrhr0, 0),(TTVTVhr数学教研室数学教研室定义定义1. 设非空点集,nDRDPPfu, )(或点集 D 称为函数的定义域定义域 ; 数集DP,Pfuu)(称为函数的值域值域 .特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数2),(),(RDyxyxfz当 n =

5、 3 时, 有三元函数3),(),(RDzyxzyxfu映射RDf :称为定义在 D 上的 n 元函数元函数 , 记作),(21nxxxfu当当2 n时，时，n元函数统称为多元函数元函数统称为多元函数.函数的两要素是定义域和对应法则函数的两要素是定义域和对应法则数学教研室数学教研室xzy例如, 二元函数221yxz定义域为1),(22 yxyx圆域说明说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D图形为中心在原点的上半球面., )sin(,yxz 又如的图形一般为空间曲面 .12),(Ryx三元函数 )arcsin(222zyxu定义域为1),(222zyxzyx单位闭球O数学

6、教研室数学教研室三、多元函数的极限三、多元函数的极限定义定义2. 设 n 元函数,(nDPPfR), ),(0PUDP,)(APf则称 A 为函数(也称为 n 重极限)当 n =2 时, 记20200)()(yyxxPP二元函数的极限可写作：Ayxf),(lim0APfPP)(lim0P0 是 D 的内点或边界点若存在常数 A ,对一记作，时的极限当0)(PPPfAyxfyyxx),(lim00都有对任意正数 , 总存在正数 ,切数学教研室数学教研室说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限);,(li

7、m00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似数学教研室数学教研室 若当点),(yxP趋于不同值或有的极限不存在，解解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在点 (0, 0) 的极限.),(yxf故则可以断定函数极限则有21kkk 值不同极限不同 !在 (0,0) 点极限不存在 .以不同方式趋于,),(000时yxP不存在 .例例3. 讨论函数函数数学教研室数学教研室仅知其中一个存在,推不出其他二者存在.注注. 二重极限),(

8、lim00yxfyyxx),(limlim00yxfxxyy及不同不同. 如果它们都存在, 则三者相等.例如例如,),(22yxyxyxf显然),(limlim00yxfyyxx与累次极限),(limlim00yxfyx),(limlim00yxfxy0,0但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在 .例3数学教研室数学教研室15则称函数f (x，y)在点P0(x0，y0)连续定义： 设函数f(x,y)在开区域(或闭区域)D内有定义,P0(x0,y0)为D的内点或边界点 函数f (x，y)在区域(开区域或闭区域)D 内连续： 是指函数f (x，y)在D内每一点连续此时称f (x，y)是D 内的

9、连续函数 二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数f(P)上去二元函数的连续性二元函数的连续性如果),(),(lim0000yxfyxfyyxx 00lim( , )()PPf x yf P即数学教研室数学教研室四、四、 多元函数的连续性多元函数的连续性 定义定义3 . 设 n 元函数)(Pf定义在 D 上,)()(lim00PfPfPP0)(PPf在点如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上0,PD内点或边界点如果存在否则称为不连续,0P此时称为间断点 .则称 n 元函数连续.连续, 数学教研室数学教研室例如例如, 函数0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在点(

10、0 , 0) 极限不存在, 又如又如, 函数11),(22yxyxf上间断.122 yx 故 ( 0, 0 )为其间断点.在圆周结论结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续.数学教研室数学教研室定理定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则,0) 1 ( K)()2(Pf, ,Mm;,)(DPKPf使在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;(3) 对任意，DQ;)(Qf使(有界性定理) (最值定理) (介值定理) 闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略) 数学教研室数学教研室.11lim00yxyxyx解解: : 原式) 11(1) 1(lim200yxxyyxyx21例例3.3.求例例4. 求解解:原式原式111lim00yxyx1111yxyx02sinlim.xyxyx0022sinlimlim1 2xxyyxyyxy 数学教研室数学教研室内容小结内容小结1. 区域 邻域 :, ),(0PU),(0PU 区域连通的开集2. 多元函数概念n 元函数),(21nxxxf常用