固体物理(2011) - 第3章 晶格的热振动 2 一维单原子链

1、晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 格波格波 先计算原子之间的相互作用力先计算原子之间的相互作用力 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程 一维无限原子链一维无限原子链 每个原子质量每个原子质量m，平衡时原子间距，平衡时原子间距a 原子之间的作用力原子之间的作用力 第第n个原子离开个原子离开平衡位置的位移平衡位置的位移n第第n个原子和第个原子和第n1个原子间的相对位移个原子间的相对位移nn1第第n个原子和第个原子和第n1个原子间的距离个原子间的距离nna1位移前位移前位移后位移后平衡位置时，两个原子间的互作

2、用势能平衡位置时，两个原子间的互作用势能)(av)(av发生相对位移发生相对位移 后，相互作用势能后，相互作用势能nn 1itemshigherdrvddrdvavavaa222)(21)()()( 常数常数)(av简谐近似简谐近似 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项dvfd adrvd)(22 相邻原子间的作用力相邻原子间的作用力0)( adrdv 平衡条件平衡条件 譬如：Lennard-Jones 势！ 只考虑相邻原子的作用，第只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力个原子受到的作用力)2()()(1111nnnnnnn第第n个原子的运动方程个原子

3、的运动方程2112(2)(1, 2, 3,)nnnndmdtnN 每一个原子运动方程类似每一个原子运动方程类似 方程的数目和原子数相同方程的数目和原子数相同方程解和振动频率方程解和振动频率 )2(1122nnnndtdm设方程组的设方程组的)(naqtinAenaq 第第n个原子振动位相因子个原子振动位相因子(1)1(1)1itnaqnitnaqnAeAe)2(2iaqiaqeem代入得到代入得到224sin ()2aqm naqtqinAetq )(, )2sin(4aqmq qq 一维简单晶格中格波的色散关系，即振动频谱一维简单晶格中格波的色散关系，即振动频谱格波的意义格波的意义连续介质波

4、连续介质波)()2(qxtixtiAeAe波数波数2q 格波和连续介质波具有完全类似的形式格波和连续介质波具有完全类似的形式 一个格波表示的是所有原子同时做频率为一个格波表示的是所有原子同时做频率为 的振动的振动格波解格波解 格波的波形图格波的波形图 简谐近似下，格波是简谐平面波简谐近似下，格波是简谐平面波 naqtqinAetq )(, 向上的箭头代表向上的箭头代表原子沿原子沿X轴向右振动轴向右振动 向下的箭头代表向下的箭头代表原子沿原子沿X轴向左振动轴向左振动,.2, 1 ,0, 1,2.,)2(1122ndtdmnnnn)(naqtinAe224sin ()2aqm类似的数值计算问题：类

5、似的数值计算问题：格波波长格波波长 naqtqinAetq )(, 2q格波波矢格波波矢2qn格波相速度格波相速度 qqvp 不同原子间位相差不同原子间位相差aqnnnaqaqn)(格波方程格波方程相邻原子的位相差相邻原子的位相差aqnaqaqn ) 1()(cos),(0 uxtAtxy波矢的取值波矢的取值和和布里渊区布里渊区naqtqinAe)(格波格波相邻原子位相差相邻原子位相差aqaq2 原子的振动状态相同原子的振动状态相同aaq2421相邻原子位相差相邻原子位相差1/2aqaaq255/42222/2aq相邻原子的位相差相邻原子的位相差当当 q1 = 2 / na + q2会出现什么

6、情况？会出现什么情况？aqqaa 两种波矢的格波中，两种波矢的格波中，原子的物理振动完全相同原子的物理振动完全相同21aq222aq波矢的取值波矢的取值相邻原子的位相差相邻原子的位相差 恰好是恰好是晶格的第一布里渊区晶格的第一布里渊区 只需研究清楚第一布里渊区的晶格振动问只需研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题题 其它区域不能提供新的物理内容其它区域不能提供新的物理内容 )2sin(4aqmq 从能谱来看也具有第一布里渊区的周期性：从能谱来看也具有第一布里渊区的周期性：q1 = 2 / na + q2 一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每个一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每

7、个原子的振动形式都一样原子的振动形式都一样 而实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头而实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头的原子不能用中间原子的运动方程来描述的原子不能用中间原子的运动方程来描述 N个原子头尾相接形成一个环链，保持了所有原子等价的个原子头尾相接形成一个环链，保持了所有原子等价的特点特点 处理问题时要考虑处理问题时要考虑到环链的循环性到环链的循环性 N很大，原子运动很大，原子运动近似为直线运动近似为直线运动设第设第n个原子的位移个原子的位移n再增加再增加N个原子之后，个原子之后，第第N + n个原子的位移个原子的位移nN则有则有nnN)(naqtiaqnNtiAeA

8、e 要求要求1iNaqehNaq22, 12, 22, 0 , 32, 22, 12NNNNNNhhNaq2 h为整数为整数波矢的取值范围波矢的取值范围aqaN=even ？22NhN22*LNaNh N个整数值，波矢个整数值，波矢q 取取N个不同的分立值个不同的分立值 第一布里渊区包含第一布里渊区包含N个状态个状态波矢密度：单位波矢密度：单位 q 空间的波矢数空间的波矢数hNaq2波矢波矢独立波矢数独立波矢数 = N （原胞数）（原胞数）波矢密度：波矢密度：3 , 2 , 1 , 0 , 1, 2:62 , 1 , 0 , 1:41 , 0:2hNhNhN格波的色散关系格波的色散关系)2(s

9、in422aqm )2sin(2aqmq 频率是波数的偶函数频率是波数的偶函数 色散关系曲线具有周期性色散关系曲线具有周期性 q空间的周期空间的周期2a频率极小值频率极小值0min频率极大值频率极大值max2/m0qa02/m只有频率在只有频率在 之间的格波才能在晶体中传播，之间的格波才能在晶体中传播，其它频率的格波被强烈衰减其它频率的格波被强烈衰减02/m 一维单原子晶格看作成低通滤波器一维单原子晶格看作成低通滤波器其实，这也是能带！ 书上没这么说？是因为经典物理时，书上没这么说？是因为经典物理时， 不是能量不是能量 能带是一个量子概念，这里的情形量子化后是玻色场能带是一个量子概念，这里的情

10、形量子化后是玻色场NN/2N/2 )2sin(20aqqm0格波格波 长波极限长波极限情况情况 ), 0(aq0q当当 )2sin(2aqmq /am q 一维单原子格波的色散关系与连续一维单原子格波的色散关系与连续 介质中弹性波的色散关系一致介质中弹性波的色散关系一致2)2sin(qaqaq c相邻原子之间的作用力相邻原子之间的作用力-f 格波传播速度格波传播速度)(aaf/cam/am q/acm a连续介质弹性波的速度连续介质弹性波的速度/ElasticVK 连续介质的弹性模量和介质密度连续介质的弹性模量和介质密度,KaK 长波极限下，一维单原子晶格格波可以看作是弹性波长波极限下，一维单

11、原子晶格格波可以看作是弹性波 晶格可以看成是连续介质晶格可以看成是连续介质 /cq长波极限长波极限情况情况 K 伸长模量伸长模量格波格波 短波极限短波极限情况情况)(aq2/sin()2aqmmax2/m0) 1(qaqnaanq 一个波长内包含许多原子，晶格看作是连续介质一个波长内包含许多原子，晶格看作是连续介质短波极限下短波极限下qaaq22 相邻两个原子振动的位相相反相邻两个原子振动的位相相反长波极限下长波极限下 ，相邻两个原子之间的位相差，相邻两个原子之间的位相差(0)q 长波极限下长波极限下0) 1(qaqnaanq短波极限下短波极限下qaaq220q 相邻两个原子振动位相差相邻两个

12、原子振动位相差2q 原子位移和简正坐标的关系原子位移和简正坐标的关系 第第q个格波引起第个格波引起第n个原子位移个原子位移 )(naqtiqnqeAq 第第n个原子总的位移个原子总的位移 qnaqtiqqnnqeAq)( qinaqqneQNm1tiqqqeANmQ令令原子坐标和简正坐标的变换原子坐标和简正坐标的变换qqnqnQam(1/)inaqnqqmN eQ(1/)inaqnqaN eNjjijiiQam31动能和势能的形式动能和势能的形式 )()(*qQqQinaqeN1 N项独立的模式，具有正交性项独立的模式，具有正交性动能的正则坐标表示动能的正则坐标表示nnmT221qqqQQT2

13、1势能的正则坐标表示势能的正则坐标表示nnnU21)(211(), 01Nina q qq qneNqinaqqneQNm1原子位移原子位移 为实数为实数 正交性正交性涉及求和符号的推导一定不要怕烦！势能势能qinaqqneQNm1qaqniqneQNm)1(11nnnU21)(2122qiaqiaqqqeeQQmUqqqqqqaqQQmaqQQm22sin2 )cos(1FT！能量守恒2212()sin22qqqqqqaqHTUQ QQ Qm我们寻找一个独立的模式2/sin()2aqmtiqqeQtQ)(2112(2)(1, 2, 3,)nnnndmdtnN 回想：力学GSP当时为啥不说FT

14、？ )cos(1*qqqaqQQmU将将 代入得到代入得到)cos(122aqmqqqqqQQU*2122221qqqQU哈密顿量哈密顿量2221()2qqqqHTUQQ 系统复数形式的简正坐标系统复数形式的简正坐标tiqqqeANmQ系统势能系统势能)()(21)(qibqaqQ)()(21)(*qibqaqQqqQT2212221qqqQU022)()(21qqbqaT实数形式的简正坐标实数形式的简正坐标令令0222)()(21qqqbqaU哈密顿量哈密顿量222220011( )( )( )( )22qqqHaqb qaqb q能量本征值能量本征值声子声子 晶格振动的能量量子；或格波的能量量子晶格振动的能量量子；或格波的能量量子一个格波是一种振动模，称为一种声子，能量为一个格波是一种振动模，称为一种声子，能量为q当这种振动模处于当这种振动模处于 时，说明有时，说明有 个声子个声子qqn)21(qn2()exp()( )2qqqnqnQH本征态函数本征态函数 一个简正坐标对应一个谐振子方程，波函数是以简正一个简正坐标对应一个谐振子方程，波函数是以简正坐标为宗量的谐