第三章(第1节)单自由度系统的强迫振动

1、 本章将主要讨论振动系统由外部持续激本章将主要讨论振动系统由外部持续激励所产生的振动，称为励所产生的振动，称为强迫振动强迫振动。 系统对外部激励的响应取决于激励的类系统对外部激励的响应取决于激励的类型，依照从简单到复杂的次序，外部激励分为型，依照从简单到复杂的次序，外部激励分为: : 简谐激励；简谐激励； 叠加原理：叠加原理：对于线性系统，可以先分别求对于线性系统，可以先分别求出对所给定的许多各种激励的响应，然后组合得出对所给定的许多各种激励的响应，然后组合得出总响应。出总响应。 非周期性激励。非周期性激励。 周期性激励；周期性激励； 如图如图3.1-1所示的二阶线性有所示的二阶线性有阻尼的弹

2、簧阻尼的弹簧- -质量系统。质量系统。这一系这一系统的运动微分方程为统的运动微分方程为 这个单自由度强迫振动微分方程这个单自由度强迫振动微分方程的全部解包括两部分。的全部解包括两部分。一是通解一是通解x1，二是特解，二是特解x2，即，即21xxx在小阻尼情况下，通解在小阻尼情况下，通解x1为为衰减振动衰减振动，称为，称为瞬态瞬态振动振动；特解；特解x2表示系统在简谐激励下产生的表示系统在简谐激励下产生的强迫强迫振动振动，它是一种持续等幅振动，称为，它是一种持续等幅振动，称为稳态振动稳态振动。 tFtFkxxcxmsin)(0 (3.1-1)图 3.1-1微分方程及解的形式微分方程及解的形式微分

3、方程的求解微分方程的求解式中式中X为强迫振动的振幅，为强迫振动的振幅，为相位差，是两个为相位差，是两个待定常数待定常数。 将式将式(3.1-2)代入式代入式(3.1-1)，得得为了便于比较，把上式右端的为了便于比较，把上式右端的F0sint改写如下改写如下设特解为设特解为)sin(2tXx(3.1-2)tFtXctXmksin)cos()sin()(02(3.1-3)sin(sin00tFtF)cos(sinsincos00tFtF(3.1-4) 微分方程的求解微分方程的求解将式将式(3.1-4)代回式代回式(3.1-3)，整理后得，整理后得)sin(cos)(02tFXmk0)cos()si

4、n(0tFXccos)(02FXmksin0FXc 该方程对于任意时间该方程对于任意时间t都应恒等于零，有都应恒等于零，有由此可得由此可得2220cmkFX(3.1-5)2tgmkc(3.1-6)微分方程的求解微分方程的求解 为了便于进一步讨论，把式为了便于进一步讨论，把式(3.1-5)与与式式(3.1-6)的分子分母同除以的分子分母同除以k，得如下变化形式，得如下变化形式 222021nnkFX(3.1-7)式中式中 。nccnmcccmk2,2212tgnn(3.1-8)得特解为得特解为这就是在简谐激励作用下系统的这就是在简谐激励作用下系统的位移响应位移响应。 02222sin12nnF

5、kxt (3.1-9)可以看出强迫振动的一些带有普遍性质的特点：可以看出强迫振动的一些带有普遍性质的特点：(1) 在简谐激励作用下，强迫振动是简谐振动，在简谐激励作用下，强迫振动是简谐振动，振动的振动的频率与激励频率频率与激励频率相同相同，但稳态响应的相但稳态响应的相位滞后于激励相位。位滞后于激励相位。(2) 强迫振动的强迫振动的振幅振幅X和相位差和相位差都只决定于系统都只决定于系统本身的物理性质和激励的大小与频率本身的物理性质和激励的大小与频率，与初始条与初始条件无关。件无关。初始条件只影响系统的瞬态振动。初始条件只影响系统的瞬态振动。(3) 强迫振动振幅的大小在工程实际问题中具有强迫振动振

6、幅的大小在工程实际问题中具有重要意义。如果振幅超过允许的限度，构件中会重要意义。如果振幅超过允许的限度，构件中会产生过大的交变应力，而导致疲劳破坏，或者影产生过大的交变应力，而导致疲劳破坏，或者影响机器及仪表的精度。响机器及仪表的精度。关于解的讨论关于解的讨论可以将式可以将式(3.1-7)写成无量纲的形式写成无量纲的形式2222220)2()1 (1)/(2)/(1 1nnXX(3.1-10)212tan(3.1-11)引入符号：引入符号：nkFX000XX频率比；频率比； 振动系统零频率挠度；振动系统零频率挠度；放大因子。放大因子。 关于解的讨论关于解的讨论幅频特性曲线幅频特性曲线放大因子放

7、大因子与频率比与频率比的关系：的关系：当频率比当频率比1时，时，趋于零，趋于零，振幅可能非常小。振幅可能非常小。当激励频率与振动系统频率当激励频率与振动系统频率很接近时，即很接近时，即1时，定义为时，定义为共共振振，强迫振动的振幅可能很大，强迫振动的振幅可能很大，比比X0大很多倍，唯一的限制因大很多倍，唯一的限制因素是阻尼。素是阻尼。图 3.1-2关于解的讨论关于解的讨论共振共振由式由式(3.1-10)可见，在可见，在=1时，有时，有 实际上，当有阻尼作用时，实际上，当有阻尼作用时，振幅最大并不在振幅最大并不在 = n处处，而发生在，而发生在 (3.1-12)21ncFXX002(3.1-13

8、)n221(3.1-14), 0)2()1 (8)1 (4dd22222将式将式(3.1-10)对对(或或)进行微分，令结果等于零进行微分，令结果等于零,即即关于解的讨论关于解的讨论共振共振 据此，放大因子与振幅为据此，放大因子与振幅为（振幅最大时）（振幅最大时）(3.1-15)222222212121212142111dcFXX02012(3.1-16)22221, 021 有时，把强迫振动振幅最大时的频率称为共振频率，有时，把强迫振动振幅最大时的频率称为共振频率，也可以把振动系统以最大振幅进行振动的现象称为共振。也可以把振动系统以最大振幅进行振动的现象称为共振。关于解的讨论关于解的讨论相频

9、频特性曲线相频频特性曲线 相位差相位差与频率比与频率比的关系：的关系：在在1时，相位差时，相位差，即，即在高频范围内，响应与激励接在高频范围内，响应与激励接近于反相位。近于反相位。在在=1，即共振时，相位差，即共振时，相位差/2，这时，这时与阻尼大小无关，与阻尼大小无关，这是共振时的一个重要特征。这是共振时的一个重要特征。图 3.1-3关于解的讨论关于解的讨论共振时的响应共振时的响应 再研究当激励频率再研究当激励频率与系统固有频率与系统固有频率n相等相等( (即共振即共振) )时的响应情况。在方程时的响应情况。在方程(3.1-1)中，中，令c=0，=n，有，有 根据微分方程理论可知：根据微分方

10、程理论可知：当当=n时，微分方程时，微分方程(3.1-17)的的特解为特解为 tFkxxmsin0 (3.1-17)2sin2cos200ttmFttmFx(3.1-18) 这就说明在共振时，如无阻尼，振幅将随时间无限这就说明在共振时，如无阻尼，振幅将随时间无限地增大，如图地增大，如图3.1-4所示。所示。图 3.1-4例题：无阻尼强迫振动微分方程例题：无阻尼强迫振动微分方程（例（例3.1-1) 共振现象是工程中需要研究的重要课题，共振现象是工程中需要研究的重要课题，工程中通工程中通常取常取0.75 1.25的区间为共振区的区间为共振区，在共振区内振动都很，在共振区内振动都很强烈，会导致机器或

11、结构的过大变形而造成破坏，但同强烈，会导致机器或结构的过大变形而造成破坏，但同样可以利用振动为人类服务。样可以利用振动为人类服务。 例例3.1-1 在一弹簧在一弹簧- -质量系统上作用一简谐质量系统上作用一简谐力力 ，如图，如图3.1-5所示。初始瞬时所示。初始瞬时x(0)=x0， ，试求系统的响应。试求系统的响应。 tFFsin0 00 xx解：解：系统的振动微分方程为系统的振动微分方程为tFkxxmsin0 其解为其解为tmkFtAtAxnnsinsincos2021式中式中A1和和A2是由初始条件确定的常数。是由初始条件确定的常数。图 3.1-5例题：无阻尼强迫振动微分方程例题：无阻尼强

12、迫振动微分方程（例（例3.1-1)001022,nnFxAxAkm 代入初始条件代入初始条件x(0)=x0， ，得得0)0(xx把把A1和和A2值代入解中，得值代入解中，得sinsinsincos2000ttmkFtxtxxnnnnnttmkFtAnnnsinsinsin20当当t=0时，时，x0= =0，上式简化为，上式简化为0 x ttmkFxnnsinsin20例题：无阻尼强迫振动微分方程例题：无阻尼强迫振动微分方程（例（例3.1-1) 在有阻尼的情况下，后一种自由振动在一段时间内在有阻尼的情况下，后一种自由振动在一段时间内逐渐衰减，系统的振动逐渐变成稳态振动，如图逐渐衰减，系统的振动逐

13、渐变成稳态振动，如图3.1-6所所示。示。 强迫振动的初始阶段的解由三部分组成：强迫振动的初始阶段的解由三部分组成：第一项是初始条件产生的第一项是初始条件产生的自由振动自由振动；第二项是简谐激励产生的第二项是简谐激励产生的强迫振动强迫振动； 第三项是不论初始条件如何都第三项是不论初始条件如何都伴随强迫振动而产伴随强迫振动而产生的自由振动生的自由振动。同时，系统中不可避免地存在着阻尼，。同时，系统中不可避免地存在着阻尼，自由振动将不断的衰减。自由振动将不断的衰减。图 3.1-6例题：不平衡质量激发的强迫振动例题：不平衡质量激发的强迫振动（例（例3.1-2） 例例3.1-2 作为承受简谐激励的一个

14、例子，考虑图作为承受简谐激励的一个例子，考虑图3.1-6所示的不平衡转子激发的振动。两个偏心质量所示的不平衡转子激发的振动。两个偏心质量m/2以角以角速度速度按相反方向转动，这样可以使两个偏心质量激励按相反方向转动，这样可以使两个偏心质量激励的水平分量相互抵消，铅垂分量则相加起来。设转子的的水平分量相互抵消，铅垂分量则相加起来。设转子的偏心矩为偏心矩为e，机器总质量为，机器总质量为M，求系统的响应。，求系统的响应。 解：解：系统的振动微分方程为系统的振动微分方程为图 3.1-6 0dd)sin(dddd)(2222kxtxctextmtxmM上式可以写成上式可以写成tmekxxcxMsin2

15、例题：不平衡质量激发的强迫振动例题：不平衡质量激发的强迫振动（例（例3.1-2） 设响应为设响应为)sin(tXx 根据方程根据方程（3.1-7）的稳态响应的的稳态响应的幅值幅值为为2222211kmeX 式中式中 ，而，而 。根据方程。根据方程（3.1-8）的稳态的稳态响应的响应的相位角相位角nMkn22112tg 同样响应的幅值也可以变换为同样响应的幅值也可以变换为22222222)2()1 ()2()1 (1MmeMmeXn例题：不平衡质量激发的强迫振动例题：不平衡质量激发的强迫振动（例（例3.1-2） 因而，在这种情况下，无量纲比为因而，在这种情况下，无量纲比为22222222)2()

16、1 ()2()1 (1nmeMX 用幅频响应曲线表示如图用幅频响应曲线表示如图3.1-7所示所示 图 3.1-7 在低频在低频1时，则时，则MX/me趋 近 于趋 近 于 1 ， 即， 即Xme/M，而不趋向，而不趋向于零。于零。 例题：支承激励引起的强迫振动例题：支承激励引起的强迫振动（例（例3.1-3） 解：解：取铅垂坐标轴取铅垂坐标轴x与与y，分别以物体，分别以物体与支承静止时的平衡位置为原点，向与支承静止时的平衡位置为原点，向上为正。其运动微分方程为上为正。其运动微分方程为0)()(yxkyxcxm 或者改写成为或者改写成为例例3.1-3 作为承受简谐激励的另一个例子，是当支承产作为承

17、受简谐激励的另一个例子，是当支承产生简谐运动的情况。在许多情况下，系统产生强迫振动生简谐运动的情况。在许多情况下，系统产生强迫振动是由于支承的运动。如图是由于支承的运动。如图3.1-8所示的系统，假定物体所示的系统，假定物体m只能沿铅垂方向运动，支承可以上下运动，其规律为，只能沿铅垂方向运动，支承可以上下运动，其规律为， 求系统的响应。求系统的响应。tYysinyyxxxnnnn2222 例题：支承激励引起的强迫振动例题：支承激励引起的强迫振动（例（例3.1-3） 设支承的位移设支承的位移y与振动系统中的质量与振动系统中的质量m的强迫振动响应的强迫振动响应x表示为表示为 tYysintYyco

18、stXxsintXxcostXxsin2 把上面的式子代入振动微分方程得把上面的式子代入振动微分方程得tYtYtXtXtYtYtXtXnnnsincos2cos2sin1sincos2cos2sin122为了便于比较，把上式右端项改写为为了便于比较，把上式右端项改写为)cos(sinsincos)sin(sinsin)sin(2coscos2)cos(2cos2tYtYtYtYtYtYtYtY例题：支承激励引起的强迫振动例题：支承激励引起的强迫振动（例（例3.1-3） 代回整理得代回整理得)cos(cos2sin)sin(sin2coscos2sin12tYtYtXtX这个方程对于任意时间这个方程对于任意时间t都应恒等于零，所以都应恒等于零，所以sin（t-）和和cos（t-）前面括号内的量都必须分别等于零，有前面括号内的量都必须分别等于零，有YXYXcos2sin2sin2cos122232222)2()1 (2tg)2()1 ()2(1YX因此因此例题：支承激励引起的强迫振动例题：支承激励引起的强迫振动（例（例3.