近世代数初步(第二版)课后习题答案_石生明_01

1、引论章1. 代数问题的特点，代数学研究的对象与特点.2. 域、环、群（半群）的定义与相互联系.3. 群、环、域的基本运算性质：消去律（加法与乘法）及零因子、单位元（零 元）和逆元（负元的唯一性、广义结合律、方和倍数.4. 一般域h关丁多项式理论、线性方稈组理论、线性仝问与线性变换的理 论的定理.1. 引论章$ 1的设置是体现总导引中第1点思想.2. 引论章的§ 2是贯彻总导引中第三点思想.本教材主耍讲群、环、域三个 运算系统.本章第一节初步体现了研究代数运兑系统的必要性.而彡2中从人们 熟悉的数域.整数环等例子为背景先引入一般域和环的定义.然后才引入只有一 个运算的系统:群（半群）.

2、研究它们的基本性质时发现群是更基本的运算系统. 这样在后iflj儿章中就是先讲群，后讲域、环.于是群中的一呰运算性质.如剩余类 陪災.商群，同态定理等部能在讲域、环吋应川.这种次序安緋卜.逻辑关系济 楚，且数学处理上"j以简便些、而§2屮宄按域、坏、群次序引入定义却足更适介 人们的认知顺序.3. § 2坡后的定理非常重耍.其一足引入一般域这种运算系统就足为了能应用这个定理.其二，在本教材的开始就引入这个定理是为了使本教材的结构比 以前教材冇较大的变化.以前教材在群论一章之后必须以很大篇幅讲环，主耍是 讲闪式分解唯一性定理.这几乎成了以前师范院校近世代数课程的主要部

3、分.而 更有应用更有兴趣的域论部分就无法讲授.我们的处理吋以在本教材的第二、三 草大朵地讲域（特別足冇限域及其应用.而环只作为铺唞，人很少部分 到的多项a及线性空间的性质全呵由上而所述的定理所提供.这种处理使本教 材的而貌焕然一新.思考练习题(非必作题)1. 在一般域上叙述和证明除法算式(带余除法)成立.2. 一般域上非常数多项式都是一呰不讨约多项式的乘积.3. 没ail 欠1+ ai2 x2+ (11 nxn= in (121 x1+ c122 尤2+*"+ u2nxn = bz是域f上的线性方程组.试给出“这个方程组是相关或无关的”，“这个方程组的 极人无关部分组”的定义.证明这

4、个方程组与它的极人无关部分组m解.以卜外题中冇*种为必作题,m余力选作题.*1.判断下列哪些足集介a上的代数运算.(1) 4=所有实数，4上的除法.(2) a是平而上全部向量.川实数和a中向量作数量乘法(倍数).(3) a是空间全部向量，4中向量的向量积(或外积，叉乘.(4) /1 =所有实数.4上的一个二元实函数.*2.给定集介fz=1.0.定义f:上两个代数运算加法和乘法，用下_的加 法表.乘法表來表示：+01x01001000丄丄010丄例如,0+1=1，在加法表中+号下的0所在的行与+号右边的1所在的列相交 处的元就是1 ；1xo=o,在乘法表中x号下的1所在的行与x号右边的0所在 的

5、列相交处的元是0.试验证上述加法、乘法都有交换律、结介律.且乘法对丁加法有分配律. *3.设/?是环.证明下述性质:(1) a+ b= a，贝 lj b=0，(2 ) ( b、= (_ a、_ b，(3 )(a b )=(a )4- h， (4 ) a b= c，贝lj a= c+ i)，(5 ) ao=o，(g )(<山、=( a)l)= a( h),(7 ) ( a )( i)= ah(8 ) a( b c )= ab ac 4. r 是环，ai，a:，am，/)i，b:，j)n g r，则(s «<) ( s /j = s s a,a t=l/=ii=l 7=1*5

6、. ft是环，验证:对所有非负整数m，n，v a，ber，冇 n m n / m n ntn a a a a ) a .若a,a交换，则(*6. /e是环r，a，b交换，证明二项定理：其中 =d= ”(n-1 >"(«-a+l)n，aml，贝lj a am ai a:am ff逆元素k7 r是环，ai，a:，am6 r，分别有乘法逆元素ai 1 的逆元素为amam-ia： 1 ai 1 .芯ai .，am两两交换，则 的充要条件是ai，aot皆有逆元素8. /是环，a，be r.证明c(l 一(il) (1 ab )c 1*(1 l)a ) d r/( 1 一 ba

7、) 1，其中</=l+ ixa .即荇1- uh在ft内nj逆.则i-ha也可逆.元素1+ adb等于 什么？9. 为域f上全体nx n阵作成的环，n>2.举出其中零因子的 例子.3题笞窠与解笞1. (1)否，(2否，(3)是.4是.2 .证叨 由p a+ i)和h+ a, a+ (/>4- c)和(a+ i)4- c中1，0出现的次数 分別相同，它们的和就分别相等，故f:中加法交换律和结合律成立.由于ah和ba , «( be )和(ab )c屮如有0出现，其积为零，否则其积为1 .故这 两对积分别相等，于是f,中乘法交换律和结合律成立.对a< />+

8、 c )和ub+ ae，农a=0，这两式子都为零;农a= 1 ,这两入子都为i) + c，对这两种怡形两式子都相等.故f,中乘法对加法的分配律成立.3. (1)对a+ l)= a= a+0川加法消去律，得b=0 . (2 )由 丁( a)/)j+ a+ b= ( a )+ 6+ ( a+ b )= < a+ a=0，由负元的定义知(_ a)_b= ( a+ b). (3)在(2)屮将 a 换为一1，就得一(«-/>)=(-«)+/>. (4 )对 a一b c 两边加上 b .左边=(a一b )+ it a./1'边二 c+ i).故 a c+ b

9、.(5) a，o+rt=a，o+a，l=<z(o+l=a.用加法消去律得 a-0=0 . (g(一 a)6+ ab= ( a+ a)b=q. 60 .故一ab= ( a6 .将上式 a jrl. 换就 ab= a(b). (7 ) ( a)( b)= (a( /，)= ( «/;)= ab . (8 ) a( b一c)= a( 6+ ( c) ab a(c )= ab ac .nnnai x &/+ dm s = s ai bj i= ii= ii= immm4. x ai x bi = ( ai + am bj =i=i/=!；=1nm n+ + s(imbj = s

10、 (“lj . >=1=1 /=!5. 分儿种情形(i) m+ n = 0，但m，n不为零，不妨设m为正整数.ama m为zn个a及in 个a_1的乘积油广义结合律知aw«-b，= l=a°=an，+(-m).(ii) 若m , n中有零，不妨设m = 0 ,则发边=a+n= a= a a=右边.(iii) ?n，n皆为正整数，贝1j与皆为m+ n个a的积，由广义结合 律知它们相等.若皆为负整数，则皆为一/n+n)个厂1的乘积，由广 义结合律知它们相等.(iv )，n，n中有ie有负，且；72 4-,不妨设m与n为异号.则由(iii)cinctm=/ 两边再乘上)-1

11、 =(参看(i)>，则 a"l+n =m na a . 以上己证明了 am+n= ama"及(<t厂1= a'". «个鳄个hi r4-v mn rn+ /n+ m mm / m n 田 a a a a ( a )，3;(n>个(一 n>个(一 n>个mn ( ni )( 一 n ) "! 一 m 一 m一 m / m 一1/ m 1 zf ii rr ai < /> i i it i= (am )n，当 n<0； 又 am-° = l=(am)°.这就证明了 amn=

12、(am)n.若a，b交換，当m = 0时，显然有ambm = (ab)m .当m为正整数时， 与(ab)m都是m个a,m个的乘积，由广义结介律知它们相等，当m为负整 数时，a-mb-m=(abrht，即厂a=( w 厂1 .左边又是(r/t 厂1，故 anbm=(ab)m .g.参照屮学数学屮对二项定理的证明.1 11 >= ay «m-l«1=1，7由(ai a：on )( ajar/故(ai a:aai 1 5 对第2个问题，上面一段正是证明了它的充分性.再证必要性.设a a:知 u =1，则任i， na ai a,-i a,+ iamu )= 1，故每个at有逆

13、元索.8. (1 ba )(l (1 _ ba ) (1h- bca )= 1 ba+ l)ca _ babe a 1 _/? (1 _al)')ca= 1 6a+ ba= 1，j(1 ba )= (1+ bca )(1 一 ba )=1 bcr bca 一 bcaba， =1 6c(l ab )a 1 z>a+ l)a= 1 .即i-ba在内也可逆.又由 c( l al)= (1 一 ab )c= 1 得 i+ cab = 1+ abc= c .故1+ adb =1+ a<l+ bca )6=1+ ab+ abcub= 1+ ab(l+ cab )=1+ abc= c 9

14、 当吋，取10丄000 o' 0a = 000 chnx n1 0 -1 0h= 00 參騫0 0则4关0,衫关0,但ab=0.a ji皆为苓因子.第一章群1. 群的例子.2. 群的基木概念：群、子群、同态、同构、防集、正规子群、商群、群阶、元的 阶、群的方指数、循环群、交换群、奇（偶）置换、置换的轮换分解.3. 与群作用有关的概念:群作用及等价定义、轨道（等价类）、不变量及不变 m的完全组、稳定子群、轨道长、共轭类.4. 市要结论：lagrange定理、cayley定理、炎方，邯作力稳定了 ft丫:的陪集 的无交并、稳定f群的阶与轨道氏的积等于群阶（有限群吋、同态基本定理、循 环群及

15、其子群的结构、冇限交换群为循环群的充耍条件、域屮非零的有限乘法 子群是循环群人（n>5的单性.burnside关于轨道数的定理.5. 几个应用：图形的对称性群的计算（利用稳定子群）、品体的对称性定律、 轨道数的定理在一些组合计算问题中的应用.6. 解析几何、商等代数中有关群的例子、矩阵的外种变换与群作用的关系.读后注1.木章的一大特点也是木教材的一大特点是以群作用为主线來处理群论 这一章的内容.在it它教材屮群作川的概念和理论仅在群论的稍深入的部分出 现.不少教材（例如为师范院校川的教w也个:不涉及它.作齐发现本章的内矜 作为群论的引论内矜）大m地4群作用打关：从阁形的对称性群的分析引入

16、群 作用概念、用群作用的轨道引出陪集与共轭类的概念.lagrange定理和cayley 定理、群作用与w等代数中什种矩阵变换和儿何学中的erlanger纲领的联系、群 作用的轨道长和稳定子群关系的结论用于推出类方程和化简图形的对称性群的 计算、bumside关于轨道数的结论用于组合计算问题等基本上形成了本章内矜 从头到m的一条主线.屮问穿插冇讲述了群的外个基本概念和基本性质.这样就 体现了群作用的電要性.2. 读者还可进一步考察w等代数屮与群和群作川有关的其它例子.木教材 屮将群作川与高代数矩阵变换相联系.体现了川群作川的高观点i看待以前 的知识.3. 任意域屮非零元索的乘法有限子群足循环群.

17、这是非常漂亮的结果，是 群论结果的推论.它在有限域的结构屮起重要作川.4. 利川商群和同态基本定理可以搞济一些对象的构造和性质.该:名吋从教 材内容和习题中举出儿个例子来熟悉这种方法.思考练3题（非必作题）（1空间点阵绕一轴的转动若是它的对称性变换，则转角只有0 .士f， 士f, 士 f，7t.证明 只由这儿个变换共能组五个群.（2实对称方阵可用正交矩阵作相似变换化为对矩阵.这其屮有 什么群作用?试找出这个群作用f的不变量的完全组，给出两个n 乂 n实对称 方阵在同一轨道的充分必耍条件.给出两个nx n实对称矩阵在一般的（不一定 是正交矩阵下）相似变换下能够互变的充分必要条件.§1群

18、的例子以下习题中打*者为必作题,其余为选作题.*1.平而取定坐标系则平而仿射（点）变换p：（x,y）t一（/，/（这里t是矩阵的转咒，（x ,y）r是一列的矩阵，即列向m ）可写为x = an x+ aiz l）i， . y «2iu22 yi b:，其中行列式an aiz e判.«22证明平面上全体仿射变换对丁变换的乘法成一个群.称为平面的仿射变换 群.（可以把（1写成矩阵形式，再进行证明）.*2.平面上取定直角坐标系oy.任怠平面le交（点）变换9:（;r，yt（x/）t可写为x = ailai2 y+ bi，wy = a：i x+ y+ b:，其中矩阵 ail

19、71;12aci是正交矩阵.用这种表示a证明平而上全体ie交变换对丁变换的乘法成为一个 群，它是平而的正交变换群（见例10）.* 3.平面上三个（不同的）点（利，yo）t，（ xi，yi ）t，（ x： .yzt（在习题1中同一 坐标系下共线当且仅当冇实数/，使（x:-m，y2-yo）t=/ui-;,yi- yo）t.证明在习题 1 屮的仿射变换 <p e ,w（ x-xo ./2-/0 ）t= kx-x , y'l y'o ）t，故变换后的三点（x'。，y'o），（ x'i，y ），（，y'2）也共线*4.平iftf上二点（xi.yi ）

20、（x2o2）t（al题2中直角坐标系仏y下）的距 离为 xz x，y: yi |=（x: xi y+（y： yi x .he明：在习题 2 中的ie交变换乎下，变换前后两点的距离不变.注:只要证叨< x： - xi ）2+ <r-）q）2=（x2- xi ）2+（?4-y； ）2 .除直接计算外还吋利川矩阵工具.实际上/ fr卜:一叫_anni：x2xiyi/a:ia:/又若把一个数看成1x1矩阵.则有（%2 xi x4-（y： y t=（x： xi 9yzyi ）（ x2xl ,y2yi ）及< xz x'i ）2+ （y：yi y=（x： xiyl ）（x2 xi

21、，y':y ）r.5. 所有形为 a h 0 a（a祇 ab皆为复数）的矩阵对于矩阵的乘法成为一个群. *g.令c是全部实数对（a，b），a判，的集合.在c上定义乘法为（a，6）（c， d）=（ac，ad+b），e=（l，o）验证 c 是一个群.*7.设c是一个幺半群.若c的每个元a有右逆元.即有氏c，使a/， 则c是一个群.*8.设（;是一个群.若v a.b皆有（aby=（f 则（;是交换群.9. 没群c的每个元索a都满足则c是交换群.10. g=zec （复数域|z |=1对于复数的乘法成群.11. k= . _ «,pec .不同时为o .其屮5卬是的共轭复数，_p a

22、则尺在矩阵的乘法下成群.12. 设(；是非空的有限集合，g上的乘法满足:冇 丄(ab )c= u( /m-);2 ) ah (u二 b c ;3 ) ac bc a b ； 则g是群.* 13.证明(1鮮中元a ,e当且仅当a= al .(2 )偶数个元素的群都含有一个元ae.使得cf=e.14. 证明任一个群g不能是两个不等于g的子群的并集.15. 以记分母与某素数p互素的全体有理数组成的集合，证明它对于数 的加法成为一个群.16. 以(t记分母皆为pio.p紊数的全体有理数的染合，证明它对数 的加法成为群.*17.令12345g123 45gp= 65432丄231 564，123456t

23、=621354计算 pj，ar，tp，(j 1 ,opa 1 .*18.设1ao(l)2 o(2)n ,r=o( n )1r(l) t2 (2).nt( n )问jt(1)r(2)r( n )-i =? ?參q? ?9a1iz i叫争及1a(l)<5(2a( n )丄2 n9? ？tot =9»? . ?a<l)a(2) 攀a( z?)127 9 _ 1 12n1 n、n ( n 1)211的奇偶性.*21.把(1 4 7)(7 8 10)(3 10 9)(9 4 2)(3 5 6)分解成不相交的轮换的乘积.习题笞窠与解笞1.写仿射点变换？:(rr，yth*u'，

24、/t(这儿t是矩阵的转置为矩阵 形式ail<1=fin aiz+ biy>1(112设另一仿射点变换p:,=by其中|b|判.则u，y)t经pp变成4-yblw =p <p yy=p a y=13=ba + 8y由丁 |/m 1= b ia 10,(xp仍是仿射点变换. 易证:仿射点变换pi : =4-yjl:是p的逆变换.而仿射点变换丄0是恒等变换，它是乘法单位元，又变换的乘法n然有结介律.故平而上全体仿射 点变换对变换的乘法成为一个群.2.平而上正交点变换？可写成矩阵形式x:=4ybib: io 其中4为2x2正交矩阵，即满足aa略. 略. / =ata=i（单位矩阵.正

25、交矩阵的乘积是正交矩阵，正交矩阵的逆也足正交阵.利用这两个性质, 完全类似丁习题1中的论证，能证明本习题的结论.3. 由题设有在仿射点变换p;xbib-i的变换下x2x0).2 _yoxqahi!=0,1,2.=a1xi _xoxixoxlxqal=ia=i1iyi-yojkyiyo/(yiyo/x2-v2 x0由于|4 |0,4可逆.于是p将不同的三点（u,）t变成不同的三点（/， / ）i=0a .2 .上曲一申等式的最前端与最后端相等即表示这三点也共线.4. 与第三题类似有，tx： xix2xlffay2yi)y-yijx2x1x： xi4 r )1其屮a满足44t= 4t4= /. 于

26、是1 tx2 x1x2 xltx：xi= (x2 xi，广一yi )a ayz yi<yz-yim)'+ (yz yi y .if a t/f nff,i 121x： xi x4-(y：yi )" = ( x： xi .yzyi 1 ， t7. 对ae g，a有右逆b . i)乂行而逆a，这时a力b的左逆.由ba' = e= ah，得到a= a(l)a' )=( ab)a= a，可知a= a 这样l)a= ab= e，艮p 6是a的逆8. 由题 v a ac g ( ab y = abah = a if .x*j后一等号两边左乘 a 1 .右 乘if 1

27、 就得到ah l)a.9. v a g 有 a e .故 a 1 a i) 1 6 乂( ab )' (df(ib e .对 后一个等号两边左乘a，右乘6,就得ba= ab .10. 略.11. 略.12. 设 g= gi ”，g.由性质(2 v ae g agi ，g 且是 s 个 不同的元，故 agi，叫= g .同样由性质(3 )可得， gi a，晷a= g 设其agi= (i，gj(i= a . j 是(gi a)gi= gl «， ( g.a )gf = ga ； gj ( agi )= agi ， g)( ag' )= ag.即gi是(;的右单位元，gj是

28、(;的a:弟位元，分別ill为e及e' 贝lj e e e= e，即g有单位元e .类似于上面作法，由 agi ，ags = g，有66 g使a6 = e，由 gi a， g.a= g，而有 br e g 使 bra= e .于是 b'= b'e= b' ( ab)= ( ba) b= eb= b，即 v g有逆元.又题设g有结合律，故是一个群.13. 只证(2.用反证法.设v ag g，ae冇.由(1知a矣a 1 .取 aie g e，贝ai7=.7? c 卜除了 a , nf1外还有元素 az，于是 a: 1 .由于 ai ai 1 互为逆元素，芳 a: 1

29、 6 ai，«i 1则 a：= ( a: 11 6 «i，广.这不"j*能，bp a"1 ai，ai"1.故 ai，al，a:，a"1是四个不同的 元素.设上面的步骤进行了女一1步，得到2( k-1 )个元素 ai，af1，级i， 样论证(；e除了上述2(a_1)个元素外耍么没有元素 了，要么冋时存ok及ai"1 jl(u. =#= af1知g e要么等«i，以厂1，<4-i，aa ，耍么冇2k个元尜 ni , a?1，似，j1 g <e.因f; e只冇冇限 个元素，必然在某个第a步停止，即ge=ai.

30、arl.-.al1.故g有 2a-+1个，即奇数个元素,盾.因此g中必有元素ae9(r=e.14. 设gi.62皆为不等于g的子群.但g=6lu62.因取到gi 6 gi .由 g= gi u cce gz .同样能取到 g: e gz 但 g:6 g .作 g二 gi. p .ci，闵 ci，则 gi =gs 1 ci '盾.于是 g gi，同样 g e g:，就得到g q u gz与g=giug2矛盾.故不能有不等于(;的两个子群gi . (h 使得 c=(m(k.15. 略16. 略.17. 略.r(l) r(2) t(h)h ) tg:t( i”)18. a=，r 1 =a(

31、r(l) a( r(2)a( r( )ti i:in i ! a(l)(5(2) a(/i)12 n r(l) r(2) r(n)tut =r(a(l) r(a(2)r(a(")> a(l) a(2) - a(n) 12 n t(1)r(2)t( n)r(a(l) t(d(2)r(a( n )19. 略.20. 略.21. 略.备2对称性变换与对称性群，晶体对称性定律卜*列习题中打*齐为必作题，其它为选作题* 1.计算下列阁形的对称性群(1正五边形；(2不等边矩形;(3) 511.*2.用s4的全部变换去变xi x2+x3 xi,把变到的所有可能的多项式写 出來.*3.用s3去

32、变x? 能变出几个多项苁.把它们全写出來.以xl xl x3为其中一项作出一个和，使它是对称多项式，并使其项数最少*4.川不相交的轮换的乘积的形式写出s3.43 44中的全部元素. *5. 屮下列4个元素的集合(1),(1 2)(3 4),(1 3 )(24),(1 4)(2 3) 在置换乘法下成为一个群.记为v4 .并且它是的子群.6.求出正而体a1a2a3a4的对称性群.3题答东与解答1. (1)令绕<7反时针旋转0°,72° j44216288°的5个旋转变换为70， 13 ti，m n .令平ifii对直线h，i:b，“，is，的反射变换为s1.s2

33、.s3.s4. s5，它们都是对称性变换.对r此正五边形的任一个对称性变换它若将顶点 4i殳成山.则t7t就将/h殳成.易知正五边形的侃持4i不动的对称性 变换只有 tq 和 si .即 t7-i t- 70 或 si .故 t- t,-i 7o= 7,-1 或 t二 tr-i si . 故全部对称性变换为 1,-1 si，t.-i，z=1，2，5.最多有10个元素.而前面 已列出 ti-i .si，f=l ,2 ,3 ,4，5共10个对称性变换，它们必须相等.(2)令绕0反吋针旋转0° ,180"的旋转变换为to，7i，令平面对直线/i ./:的 反射为si，s2 .它们

34、都是该矩形的对称性变换.使ai分别变到ai ms m4的 对称性变换都只冇一个.即分别为 m n ,5：.故它们是全部的对称性变换. (3令绕0反时针旋转任意角d的旋转变换为7&.令平面对过中心0的 任意直线/的反射为s/.则圆的对称性变换群= nd<360°, si.全部过屮心0的直线/2 xi x2+ x3 x4，xix2 x4，xi x4 + xq x3 3. 能变出g个单项式，即为：xl xi x,.x x： x3，xi x3 x2，xl x3 x：，xz x3 xi，x： x3 xl /tl ll j的和xl xl x3 + xi xl x3 + xl x3

35、+ x x3 x：+ x2 xl x1+ x? x3 xl是所耍求的项数鉍少的多项式.4. s3=<1).(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2) a3=(丄)，(丄 2 3),(1 3 2)s4= (1),(1 2),(1 3),(1 0,(2 3),(2 4),(3 4),(1 2 3),(1 3 2), <1 2 4),(1 4 2),(1 3 4),(1 4 3),(2 3 4),(2 4 3), (1 2)(3 4).(1 4)(2 3>，(1 3)(2 4)x1 2 3 4).(1 2 4 3). <1 3 2 4),(1 3 4

36、2),(1 4 2 3)x1 4 3 2) /h=(l)，(l 2 3),(1 3 2),(1 2 4),(丄 4 2，(1 3 4)(1 4 3)，(2 3 4)，(2 4 3(1 2)(3 4).(1 4)(2 3),(1 3)(2 4).5. 略.6. 正四面体为abcd.0为么dbc的中心，e，f，c，l分別是czmac.ad的中点.我们先找出使顶点a不动的全 体对称性变换的災合h .这些变换使bcl)变为 己，/限制在平而neo上肪bcu的对称性 群.由此易确定出h= t.，t.s，i=l ,2 .3.其中 ti，t：，n是空间绕轴ao旋转(按菜囵定方向) 转0°, 120

37、°, 240°的旋转变换，s是空问对平而 4的镜面反射.再任选三个对称性变换mi . mz. .w3，它们分别能将点b，c，d与4互变.例可取wi ,mz. mz是空间分別对平面cdf.rgd.chl的镜而反射.与第1 题(1)中的论证类似，可得正四面体a bcd的对称性群g= ti, tismjti，mj tis , i，y= 1.2 ,3 . g 有 24 个元.§3子群，同构，同态习题以下习题中打*者为必作题,其余为选作题. *i.四个复数的集合仏构成非苓鉍数的乘法群的子群. *2. /i都是群 的子群.证明(1) wia w：是子群. oo(2) 门h,是

38、子群.1=1 oo(3若 岀匚cz /a匚/a+1匚，则u h.是子群. 1=1*3.设 g 是群.令 z(f;=aef;|ag=ga，vger;，则 z(f;)是 f;的子 群.称为g的中心.*4.是群，s是 的非空子集.令c(； ( s )= c | as= sa v 5c s， ng(s)ae (; |osa一1= s，则它们都是g的子群，其中05a"1 =|vses.cg(s)和/v6(s)分別称 19 为s在g中的中心化子和正规化子.5. 设g是群，/是g的子群.(lad 则ahal也是子群.(2 是的 自同构，则r(/)也是子群.6. 证明§2中习题5中h与上面

39、习题1中仏不同构.*7.证明正三角形am,a3的对称性群与s3同构(将毎个对称性变换与它 引起的顶点的置换相对应).它们都在矩阵的乘法下成为群，并且相互同构.9. 证叨群c是交换群当且仅当映射g gx 1* x1是g的h同构.10. 实数域li到4题s中群l的映射<p:r l:cosd sin dv >一sin d cos d其中x = 2a-7t+d,0<d<27vr的加群到群l的同态.11. c是群，s是c的非空子集.令h= h tiiv a-是正粮数，/, z i1g s.证明/是子群且/=<s>.*12.整数加法群z的子群一定是某个nz(/z6z )

40、.13. 证明有理数加法群的任何冇限生成的子群是循环群.14. 叫全体2x2整数元索的nf逆矩附，对矩阵乘法是竹成为群？全体 正实数元素的2x2可逆矩阵对矩阵乘法是否成为群？*15.群g的全部i同构在上变换的乘法下成为群，称为g的h同构群， 记为aut g.3题答东与解笞1. 略.2. (1)略.coco(2 )对 a bt q h,来证 abl 6 q h, .1大a ,66 hi h,是了群，故 aa_i 6cooo汉，戶1，2,，于是(jrle a /a.故门从是子群. i=li= 1oo(3设 a.u w,.必有 a-j 使w,.不妨设 k<l.t 是由11 oocoe/,得a，

41、6认.又77/是子群，知aa_1e/u /,.故u h,是子群. 1=11=13. 略.4. 略.5. 略.g.写va中的元为a，/，c.e(单位元.则有(f=lf=e=e.而 仏 中4个 元为1，一1，i，一 i.假设va到th有同构r.不妨设t(a)= i.由a=et(.a) =r(e)=l 但 r( a)= i，i= 1 . r( a )r( cz )= 1 故 r( a r( at( a，r 不 保持乘法，矛盾.故va与ik不向构.7. § 2例3中已计算过正三角形a/h a2a3的对称性群g有6个元素.每个 对称性变换引起顶点4i，4: .43的一个黃换.这就引起了 g到s

42、3的一个映射.易 检验这g个变换引起s3的全部g个不同的丼换.故这映射足双射.又连续两次作 对称性变换引起连续两次顶点的置换.即对称性变换的乘积引起对应的顶点置换 的乘积.故这映射保持乘法.因此上述映射是对称性殳换群c到s3的同构.8. 略.9. 略.10. 略.11. vtk txi-'-x/c h fti .xi 或'i 1 x'1 6 ，则(hh)(xix'1 = htexi"1ah?1，其中ti或，厂1 .xt1或(龙广)_1 = xi都属于s，故gi tk)( xi!：/ )_i g / »bp /是子群.又设hi是g的包含s的子群

43、，则必含所有形为h“的元素，其中x,或 i?6s.故岀以，刪 /是包含s的最小的子群.12. 设ii是加法群z的子群，若/to-z，则ii中有非零整数z.若t<0，/是子群./含一f,它是正整数.故h屮有正整数.取n为h屮最小的正整数.任 m 6 ii 作除法算 j.rn nq r，其中 r=0 或(x r< n .但 r m nqe: / r/0 则与 « 的最小性矛盾.故 r=0,m=n9p.又 /.v /ez，in'个-it=n+ + n 或 ln( n )+ +( ")6/，即有 nzgz/.w 此 /= "z .13. 设h=(h是q

44、的冇限生成的加法子群.由第12题易知h = pi p，1 x21is/,，=1lfih z|.取p1 .，p，的m小公倍数为m，则f，令为.再令，令为.则（h1.取< qi，q. )= "则 1=丛=1 丛 pi m m ni）是循环加法群. m -1 一11ki .a：.z 使 ki，i + k“，= l .于是 s = jl k,ti = / ,且 ，=i in m f=1ni=这就证明了 h=1 -1114.11=2,1j1=1m ；=i1丄11卯12 -11，即 1不是牿数钯阵.故全体2x2幣数元素的4逆矩阵不成为群.取正实数矩阵1 1 1 1 一1_ 1 -10 1.

45、01 _ 0 1 '即正劣数町逆矩阵的逆矩阵不是正劣数矩阵.故全体2x2正丈数吋逆矩阵不成 为群.15. 略.§4群在集合上的作用，定义与例子以下习题中打*者为必作题，其余为选作题.*1. v是某域厂上n维线性空gl（v） v上全线性变换群.令w 力v的全部子空间的览合.证明 在w上有群作用.*2. c是群.k，ll是c的子群.作群直积kx /.定义映射。：(kxh)xg g(u，a), g)'_- (kjiv g= kgh1 .证明它是群kx h在集合g上的作用.3. g是正四面体aiazaza的对称性群.令mi = 四而体的顶点的集合，吣=四面体的四个面的集合，吣

46、=四面体的六条棱的集合，则c在 ml.m2.m3上分别有群作用.*4.令（;迠nx n实正交矩阵的群，w是n x n实对称矩阵的集合.证明k述对应是一个映射gxm m(p.a)'_卜 a = pa p且是c在:w上的群作用.*5.写域 f上多项式/(x,y,z)=/(r),hlp r=(x，y，nt.取 m 为厂上 a;，y，2的全部多项式的集合.g为群glz ( .对aeg.令r'=( xf，/ )t = a(x,)r=ar.证明下述对应(a .f _* a °/=/( r )=/(/! r)是cx mm的一个映射，且是g在m上的群作用.g.利用cayley定理证明

47、具有给定阶n的不同构的有限群只有有限个. 35 3题笞s与解笞1. 略2. <1)kx h的中.位元是(e.ek其屮e是g的，也是k和h的中.位元.v gc g，(e，e>° g ege 1 = g .(2 ) v ki，k:e k , hi 9 hz h，(ki，hi )，( k:，fi: k x h . v g 6 g a ki， al )。( ，li: )° g )= ( ki，hi )° (k: g/i： 1 )= a.i k: gh: 1 /?i i = ( k: )g( hi a:1 = (kik： 9 hi h2)° g ( (

48、 ai，hi )( k:，hz)° g.由定义r，上面映射“。”是kxh在c上的群作用.3. 略.4. 首先证明(/j.a )'_pq a = pap定义了 g x m到m的映射.v pe r;，尸是n x n正交矩阵.故一1 = a ,对v 4 e m ,4是nx n实对称阵，有p-a = pa p_1 = pa p是nx n实对称阵,故pae m，确定了 gx m到m的映射m证这映射足g在m上的一个群作用.5.对 4ec=<a3( av/(r)是 f 上 x.y.z 的多项式.aff(ar). ar=(xr，/，</ )r屮x1，y'，z'都是

49、x，y，z的一次多项式，若1设为x = ail x+ ai2ai3 zy 二x a二 y az3 zz，= 031 戈 + «$”+ 033 z ,其中(uj6 a.则 f(ar)=f( x .y' ,z )= /( ail x + an y+ ai3 z，a:i x+ az:，.+ a：3 z，依1 x+ o32j+ «33 z )仍是戶上x，y，z的多项式，故（a，/） 4。f=f（ar）建立了 gx m m的一个映射，易证它是c在4/上的群作用.g. cayley定理断言，科限群c同构丁 g上的变换群.设g的阶为n,则（; 同构ts的了群.而的了群只有限个，故

50、只冇有限个不同构的n阶群.§5群作用的轨道与不变量、集合上的等价关系以下习题中打*者为必作题，其余为选作题.*i. 题1中的群作川有儿条轨道？找出群作川的不变姑与不变笊的完 全组.* 2.找出§ 4习题4屮群作用的不变量和不变量的完全组.*3.（联系§4习题2中的群作用令te （;.称kth=kthke k.lie g的一个（k，h）双陪集，则g的两个（k，/o双陪集或重合或不相交，且g是 全部（k，/o双陪集的无交并.习题笞寒与解笞1. v中吋逆线性变换若把某子空间w变成子空间，则把w的基变成wzi的基,故同一轨道上的子空问只荇相同的维数，乂设v的w个子空叫w和

51、 hz1，它们有m样维数c>o,分别取wm 的基为ei .，d.分别补 充成uel使它们都是v的基.线性代数知道必有v上 吋逆线性变换4，使ai=l,2 a就将子空问w变成子空间ifi .故w与i在同一条轨道上.故对k=0，l，2，."，n，v中全体a维子空间的集合h构成群作用的一条 轨道.共有n+1条轨道.子空间的维数是不变量，并构成不变量的完全组.2. 对a，b皆为nx n实对称矩阵，若a在同一轨道上，即有nx n正 交阵p使/i= pa p一1 .则它们有相同的特征值集合.反之，设a 为具有相同 特征值集合ui，是a重特征位就在集合中出现a次的nx n实对称 知阵，它们都

52、可川实正交矩阵化为对角阵，即有nx n正交阵m使=pz bp：1 xn丁是（a ）4 （p?1 pl ）_i = b，p?1 pl仍为正交阵，故a，/?在同一条轨道上. 以上说明.特征值的集合是群作用的小变堡的完全组.而全部特征值的和, 全部特征值的积，特征多项式都是群作用的不变量.3. 实际上a7w是s 4习题2屮群作用下的一条轨道，两条轨道或重合或不 相交，即两个（k , h ）双陪集或重合或不相交，群作用集g是全体轨道的无交并 也就是全体（k，h >双陪集的无交并.§ 6陪集range定理，稳定化子，轨道长以下习题中打*者为必作题，其余为选作题.*1. c是群，/是c的子

53、群（；，则x，y属于/的同一左陪集当且仅 当 x 1 y g h .*2.群g作用于集合af上，m.证明：（”稳定化子stabc<x）是子群. （2设 gi , g： g 6 则 x = g：9 x 当且仅当 gi，g2 属于 stal）6（ x同一左 陪集.*3. v是域f上维线性空问，取定v的一组基v上任一可 逆线性变换a，设它在1，卜矩阵为/i，则迮立起gl （ v ）到（；ln< f的同 构-a a .t是群通过cl （ v ）nj作用丁空间v上，进而4作用t v的子空间的集合w上.（1） gln（f）在ei处的稳定化子由哪些元素组成？（2令if是由.</!.生成的子

54、空间，d（f在w处的稳定 化子由哪些元素组成？*4.正四面体aiazaza,的对称性群（；nj作用在它的顶点的集合和它的 面的集合上.也作用在它的棱的集合上.<1>试决定g在顶点/h处的稳定化子; <2）求（；在衡4:43/u处的稳定化子；（3求c在棱14:处的稳定化子.5. 把正四面体a1a2a3a4的对称性群用顶点的置换表出.利川§ 6定理2 中公式（2写出它的对称性群的全部元素.再回到叫面体上考察每个置换代表什么正交变换.6. c是群，久及w是c的子群.（1）令m是g屮/的左陪集的集合.用k 的元索对m的元索进行左乘，得下列映射。:k x m " a- t