科学计算与Matlab

1、12汪远征汪远征汪远征汪远征现实世界的问题可以归结为各种各样的数学问题现实世界的问题可以归结为各种各样的数学问题 方程求根问题方程求根问题 解线性方程组的问题解线性方程组的问题 定积分问题定积分问题 常微分方程初值问题常微分方程初值问题 等等等等汪远征汪远征在科学计算中常要遇到求解各种方程在科学计算中常要遇到求解各种方程对于高次代数方程对于高次代数方程, 由代数基本定理知多项式根的个数和方由代数基本定理知多项式根的个数和方程的阶相同程的阶相同但对超越方程就复杂的多但对超越方程就复杂的多, 如果有解如果有解, 其解可能是一个或几其解可能是一个或几个个, 也可能是无穷多个。也可能是无穷多个。汪远征

2、汪远征例如：例如：高次代数方程高次代数方程 x5 3x1 = 0超越方程超越方程 e-x cosx = 0看似简单看似简单, 但难求其精确解。但难求其精确解。汪远征汪远征由线性代数知识可知：当线性方程组由线性代数知识可知：当线性方程组Ax = b的系数矩阵的系数矩阵A非非奇异奇异(即即detA0)时时, 方程组有唯一解方程组有唯一解, 可用克莱默法则求解可用克莱默法则求解.但它只适合于但它只适合于n很小的情况很小的情况, 而完全不适合于高次方程组。而完全不适合于高次方程组。如用克莱默法则求解一个如用克莱默法则求解一个n阶方程组阶方程组, 要算要算n+1个个n阶行列式阶行列式的值的值, 总共需要

3、总共需要n!(n-1)(n+1)次乘法。当次乘法。当n充分大时充分大时, 计算量计算量是相当惊人的是相当惊人的.汪远征汪远征如用克莱默法则求解一个如用克莱默法则求解一个n阶方程组阶方程组, 要算要算n+1个个n阶行列式阶行列式的值的值, 总共需要总共需要n!(n-1)(n+1)次乘法。当次乘法。当n充分大时充分大时, 计算量计算量是相当惊人的是相当惊人的一个一个20阶不算太大的方程组阶不算太大的方程组, 大约要做大约要做1021次乘法次乘法, 这项计算这项计算即使每秒即使每秒1万亿次浮点数乘法计算的计算机去做万亿次浮点数乘法计算的计算机去做, 也要连续也要连续工作工作2000万亿年才能完成。万

4、亿年才能完成。当然这是完全没有实际意义的当然这是完全没有实际意义的, 故需要寻找有效算法故需要寻找有效算法汪远征汪远征由微积分知识知由微积分知识知, 定积分的计算可以使用牛顿定积分的计算可以使用牛顿莱布尼兹莱布尼兹公式：公式：其中其中F(x)为被积函数为被积函数f(x)的原函数。的原函数。为何要进行数值积分？为何要进行数值积分？)()()(aFbFdxxfba 汪远征汪远征原因之一：许多形式上很简单的函数原因之一：许多形式上很简单的函数, 例如例如等等, 它们的原函数不能用初等函数表示成有限形式。它们的原函数不能用初等函数表示成有限形式。 babadxxxdxxsin,sin2汪远征汪远征原因

5、之二：有些被积函数的原函数过于复杂原因之二：有些被积函数的原函数过于复杂, 计算不便。例计算不便。例如如的一个原函数是的一个原函数是32)(22 xxxf)322ln(216916323432)(2223 xxxxxxxF汪远征汪远征原因之三：原因之三：f(x)以离散数据点形式给出：以离散数据点形式给出：汪远征汪远征对一些典型的微分方程对一些典型的微分方程, 如可分离变量方程、一阶线性方程如可分离变量方程、一阶线性方程等等, 有可能找出它们的一般解表达式有可能找出它们的一般解表达式, 然后用初始条件确定然后用初始条件确定表达式中的任意常数表达式中的任意常数, 这样即能确定解这样即能确定解但是对

6、于常微分方程初值问题：但是对于常微分方程初值问题：则无法求出一般解则无法求出一般解 0)0(2yxyy汪远征汪远征1. 注意掌握各种方法的基本原理注意掌握各种方法的基本原理2. 注意各种方法的构造手法注意各种方法的构造手法3. 重视各种方法的误差分析重视各种方法的误差分析4. 做一定量的习题做一定量的习题5. 注意与实际问题相联系注意与实际问题相联系汪远征汪远征数值分析实质上是以数学问题为研究对象数值分析实质上是以数学问题为研究对象, 不像纯数学那样不像纯数学那样只研究数学本身的理论只研究数学本身的理论, 而是把理论与计算紧密结合而是把理论与计算紧密结合, 着重着重研究数学问题的数值方法及理论

7、。研究数学问题的数值方法及理论。数值分析是计算数学的一个主要部分数值分析是计算数学的一个主要部分, 计算数学是数学科学计算数学是数学科学的一个分支的一个分支, 它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。方法及其理论与软件实现。汪远征汪远征数值分析具有的特点数值分析具有的特点, 概括起来有四点。概括起来有四点。(1) 面向计算机面向计算机, 要根据计算机特点提供实际可行的有效算要根据计算机特点提供实际可行的有效算法。即算法只能包括加、减、乘、除运算和逻辑运算法。即算法只能包括加、减、乘、除运算和逻辑运算, 是计是计算机能直接处理的。算

8、机能直接处理的。(2) 有可靠的理论分析有可靠的理论分析, 能任意逼近并达到精度要求能任意逼近并达到精度要求, 对近似对近似算法要保证收敛性和数值稳定性算法要保证收敛性和数值稳定性, 还要对误差进行分析。这还要对误差进行分析。这都建立在相应数学理论的基础上。都建立在相应数学理论的基础上。汪远征汪远征数值分析具有的特点数值分析具有的特点, 概括起来有四点。概括起来有四点。(3) 要有好的计算复杂性要有好的计算复杂性, 时间复杂性好是指节省时间时间复杂性好是指节省时间, 空间空间复杂性好是指节省存储量复杂性好是指节省存储量, 这也是建立算法要研究的问题这也是建立算法要研究的问题, 它关系到算法能否

9、在计算机上实现。它关系到算法能否在计算机上实现。(4) 要有数值实验要有数值实验, 即任何一个算法除了从理论上要满足上即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外述三点外, 还要通过数值实验证明是行之有效的。还要通过数值实验证明是行之有效的。汪远征汪远征实际问题经抽象、简化而产生的一组解析表达式或原始数实际问题经抽象、简化而产生的一组解析表达式或原始数据。据。汪远征汪远征输入数据与输出数据之间函数关系的一个确定而无歧义的输入数据与输出数据之间函数关系的一个确定而无歧义的描述。描述。例：求二次方程例：求二次方程ax2 + bx + c = 0的根的根, 可算作一个数值问题可算作一个数值问题.注：数

10、学模型并不都是数值问题注：数学模型并不都是数值问题, 如：常微分方程：如：常微分方程：就不是一个数值问题就不是一个数值问题, 其解为函数其解为函数y = x2 + 3x。 0)0(, 0 32yaxxy汪远征汪远征注：数学模型并不都是数值问题注：数学模型并不都是数值问题, 如：常微分方程如：常微分方程要将常微分方程的求解问题变成数值问题要将常微分方程的求解问题变成数值问题, 需要进行需要进行“离散离散化化”。将求函数转换为求函数值：将求函数转换为求函数值：y(x1), y(x2), , y(xn), 0 x1 x2 0 (2) x的范围：的范围：x*- x x* + , 工程上常记为：工程上常

11、记为：x = x* .知道误差限就可知道精确值的范围知道误差限就可知道精确值的范围汪远征汪远征【例例3】“四舍五入四舍五入”的绝对误差限的绝对误差限设设x = 0.a1a2 anan+110m, 十进制标准表示式（十进制标准表示式（a1 0）。）。四舍五入：四舍五入：此时此时, 总有总有 5 10)1(. 04 10. 0*121121nmnnmnaaaaaaaax若若nmmnxxe 1021105000. 0|*汪远征汪远征绝对误差限不能完全表示近似程度的好坏绝对误差限不能完全表示近似程度的好坏, 如如 x = 100 2, y = 10 1【定义定义3.2】称称 为近似值为近似值x*的相对

12、误差的相对误差若若 , 则称则称 r为近似值为近似值x*的相对误差限的相对误差限注：注：(1) 由于由于 与与 相差很少相差很少, 而前者不易求得而前者不易求得, 故用后者故用后者代替前者。代替前者。xxxxeer *rrxxxe *|xe*xe*2*2*1)()(xexeexxexxexxxexe汪远征汪远征(2) 绝对误差和绝对误差限有量纲绝对误差和绝对误差限有量纲, 而相对误差和相对误差而相对误差和相对误差限无量纲限无量纲, 常用百分数表示。常用百分数表示。仍然考虑：仍然考虑：x = 100 2, y = 10 1：即即x*=100, y*=10的相对误差限分别是的相对误差限分别是2%与

13、与10%, 故故x*近似近似x的程度比的程度比y*近似近似y的程度好。的程度好。 %21002)(| )(|*， xxexer%10101)(| )(|* yyeyer汪远征汪远征(2) 绝对误差和绝对误差限有量纲绝对误差和绝对误差限有量纲, 而相对误差和相对误差而相对误差和相对误差限无量纲限无量纲, 常用百分数表示。常用百分数表示。(3) 绝对误差限与相对误差限均不唯一。绝对误差限与相对误差限均不唯一。上限不唯一上限不唯一越小越好越小越好汪远征汪远征【例例4】设设 = 3.14159265, 按四舍五入取五位数字作为其按四舍五入取五位数字作为其近似值：近似值：x* = 3.1416, 则则e

14、 = x* - = 0.0000073, 5*102338. 0 xxer 汪远征汪远征【定义定义3.3】若若x*的误差绝对值不超过某一位数的半个单位的误差绝对值不超过某一位数的半个单位, 而该位数字到而该位数字到x*的第的第1位（最左边）非零数字共有位（最左边）非零数字共有n位位, 则称则称x*有有n位有效数字位有效数字这这n个数字都称为有效数字。个数字都称为有效数字。如设如设x = = 3.14159265取取x* = 3.14, 则则|x* - x | = 0.00159265 0.005 =（绝对误差限）（绝对误差限）有效位有效位301. 021 汪远征汪远征【定义定义3.3】若若x*

15、的误差绝对值不超过某一位数的半个单位的误差绝对值不超过某一位数的半个单位, 而该位数字到而该位数字到x*的第的第1位（最左边）非零数字共有位（最左边）非零数字共有n位位, 则称则称x*有有n位有效数字位有效数字这这n个数字都称为有效数字。个数字都称为有效数字。设设x = = 3.14159265取取x* = 3.141, 则则|x* - x | = 0.00059265 0.005 = 有效位有效位301. 021 汪远征汪远征【定义定义3.3】若若x*的误差绝对值不超过某一位数的半个单位的误差绝对值不超过某一位数的半个单位, 而该位数字到而该位数字到x*的第的第1位（最左边）非零数字共有位（

16、最左边）非零数字共有n位位, 则称则称x*有有n位有效数字位有效数字这这n个数字都称为有效数字。个数字都称为有效数字。取取x* = 3.142, 则则|x* - x| = 0.0004073 0.0005 = 有效位有效位4 4注：上述做法其实就是通常的四舍五入。注：上述做法其实就是通常的四舍五入。001. 021 汪远征汪远征如何描述有效数字？如何描述有效数字？【定义定义3.4】若若x* = 10m 0.a1a2an (a1 0)是对是对x的第的第n+1位数字进行四舍五入后得到的近似值位数字进行四舍五入后得到的近似值, 即即|x* - x| , 则称则称x*具有具有n位有效数字。位有效数字。

17、注：注：(1) 称称x*具有具有n位有效数字位有效数字, 即即| x* - x| nm 1021nm 1021一般情况下在计算机中的数一般情况下在计算机中的数往往规格化往往规格化, 故有必要考察规故有必要考察规格化数。格化数。汪远征汪远征注：注：(1) 称称x*具有具有n位有效数字位有效数字, 即即| x* - x| (2) 有效数字位数与小数点的位置无关（即上式中的有效数字位数与小数点的位置无关（即上式中的m不不起作用）。起作用）。 只有写成规格化数后只有写成规格化数后, 小数点后的数字位数才有用。小数点后的数字位数才有用。 (3) 4与与4.0具有不同的有效数位。具有不同的有效数位。nm

18、1021x* = 10m 0.a1a2an (a1 0)汪远征汪远征【例例5】设准确值为设准确值为x = 3.78695, 分析近似值分析近似值x1*= 3.7869, x2*= 3.7870分别具有几位有效数字。分别具有几位有效数字。解：解：|x1* - x| = 0.00005 = （小数点后第（小数点后第4位）位）, 有效位有效位5。|x2* - x| = 0.00005 = （小数点后第（小数点后第4位）位）, 有效位有效位5。0001. 021 0001. 021 汪远征汪远征 (4) 一般来说一般来说, 有效位数越多有效位数越多, 其误差值越小其误差值越小, 但也有例外。但也有例外

19、。（误差相同（误差相同, 有效位不同有效位不同, 如下例）如下例）【例例6】设设x = 1000 , 它的两个近似值它的两个近似值x1*= 999.9和和x2*=1000.1分别有分别有3, 4位有效数字。位有效数字。汪远征汪远征上面用绝对误差来描述了有效数位上面用绝对误差来描述了有效数位, 下面考虑相对误差与有下面考虑相对误差与有效数位的关系。效数位的关系。【命题命题】设设x*= 10m 0.a1a2an (a1 0)是是x的近似值的近似值若若x*具有具有n位有效数字位有效数字, 则其相对误差限满足：则其相对误差限满足：111021 nra 汪远征汪远征【命题命题】设设x*= 10m 0.a

20、1a2an (a1 0)是是x的近似值的近似值若若x*具有具有n位有效数字位有效数字, 则其相对误差限满足：则其相对误差限满足：证明：因为证明：因为| x*| 0.a1 10m, 且且x*具有具有n位有效数字位有效数字, 所以所以注：有效数位越多注：有效数位越多, 则相对误差越小则相对误差越小, 反之亦然。反之亦然。111021 nra 11*101021|axxxemnmr 汪远征汪远征在实际应用中在实际应用中, 为了要使取得的近似数的相对误差满足一定为了要使取得的近似数的相对误差满足一定的要求的要求, 可以用命题中的不等式来确定所取得近似数应具有可以用命题中的不等式来确定所取得近似数应具有

21、多少位有效数字。多少位有效数字。【例例7】求求 的近似值的近似值, 使其相对误差不超过使其相对误差不超过0.1%解：因为解：因为 , 设设x*具有具有n位有效数字位有效数字, 则其相则其相对误差满足：对误差满足：（命题）。（命题）。624494. 0106 1001 . 0102211 nre111021 nra 满足此式有满足此式有n = 4故取故取x*= 2.449。汪远征汪远征【例例8】确定圆周率确定圆周率 的近似值的近似值 的绝对误差限、相对误的绝对误差限、相对误差限及有效数位。差限及有效数位。解：因为解：因为 * = = 3.141592920 , = 3.1415926535897

22、93 所以所以, | * | = 0.00000026 0.00000027, 且且误差误差|e| = | * | 0.0000005= , 11335511335577*109 . 010859437. 014159292. 300000027. 0| | 000001. 021 汪远征汪远征【例例8】确定圆周率确定圆周率 的近似值的近似值 的绝对误差限、相对误的绝对误差限、相对误差限及有效数位。差限及有效数位。解：因为解：因为 * = = 3.141592920 , = 3.141592653589793 所以所以, | * | 0.00000027, 且且误差误差|e| = | * |

23、0.0000005 = , 所以有所以有7位有效数字。位有效数字。1133557*109 . 0| | 000001. 021 113355汪远征汪远征当自变量有误差时当自变量有误差时, , 计算相应的函数值也会产生误差计算相应的函数值也会产生误差, , 其其误差限可由泰勒展式估计。误差限可由泰勒展式估计。(1) (1) 设设f具有二阶导函数具有二阶导函数, x*为为x的的近似值近似值, , 则则)()()()( )(! 2)()()()(*2*xexfxxxfyexxxxfxxxfxfxfyy 之间、介于之间之间、介于介于*2* )(! 2)()()()(xxxxfxxxfxfxf 汪远征汪

24、远征(2) (2) 若若f是是n元函数元函数, 有二阶连续偏导数有二阶连续偏导数, xi*为为xi的近似值的近似值, i=1,2,n, 则则)( ),(),(),(*1*2*1*2*121*kknkknnnxxxxxxfxxxfxxxfyy )(),()()(),()(*1*2*1*1*2*1*krnkknkrknkknxexxxxfyxyexexxxxfye 汪远征汪远征(2) (2) 若若f是是n元函数元函数, 有二阶连续偏导数有二阶连续偏导数, xi*为为xi的近似值的近似值, i=1,2,n, 则则)(),()()(),()(*1*2*1*1*2*1*krnkknkrknkknxexx

25、xxfyxyexexxxxfye nixinyixxxf1*1),.,( nirxiniryixxxfyx1*1*)(),.,()( 汪远征汪远征四则运算作为二元函数的特例：四则运算作为二元函数的特例：(1) (1) 加减法：加减法：)(),( )(),( )()(),( )(),( )(*2*2*2*12*1*1*2*11*2*2*12*1*2*11*xeyxxxfxeyxxxfyexexxfxexxfyerrr 1 , 1,),(212121 ffxxxxf*2*1*2*2*1*1*2*1*2*1*2*1)()()()()()(xxxexxexxxexexexxerrr )(),()()(

26、),()(*1*2*1*1*2*1*krnkknkrknkknxexxxxfyxyexexxxxfye 汪远征汪远征四则运算作为二元函数的特例：四则运算作为二元函数的特例：(2) (2) 乘法：乘法：*12*212121 ,),(xfxfxxxxf )()()()()()()()(*2*1*2*2*1*2*1*1*2*1*1*2*2*1*2*1*1*2*2*1xexexexxxxxexxxxxxexexxexxxerrrrr )(),( )(),( )()(),( )(),( )(*2*2*2*12*1*1*2*11*2*2*12*1*2*11*xeyxxxfxeyxxxfyexexxfxex

27、xfyerrr 汪远征汪远征四则运算作为二元函数的特例：四则运算作为二元函数的特例：(3) (3) 除法：除法：2*2*12*212121)( ,1,),(xxfxfxxxxf )()()()()()()()()(1)(*2*1*2*12*2*2*1*1*2*22*2*1*1*2*2*1xexexxexxexxexxexxxexxxerrr )(),( )(),( )()(),( )(),( )(*2*2*2*12*1*1*2*11*2*2*12*1*2*11*xeyxxxfxeyxxxfyexexxfxexxfyerrr 汪远征汪远征(1) (1) 浮点数及其误差浮点数及其误差二进实数：二进

28、实数：x = 2 0. 1 2 t 其中其中 1 1 0 0机器数：机器数： x* = 2 0. 1 2 t 符号符号 阶码阶码 尾数尾数称称fl(x)=x*为为x的机器规格化浮点数的机器规格化浮点数, 简称浮点数简称浮点数. .记记 = 0. 1 2 t, * = 0. 1 2 t, 则则 x = 2 , x* = 2 *尾数的长度由硬件决定尾数的长度由硬件决定汪远征汪远征记记 = 0. 1 2 t, * = 0. 1 2 t, 则则 x = 2 , x* = 2 *显然显然, , | | | *| 0.1=2-1, , 所以所以, , 误差（舍入）：误差（舍入）：|e| =| x* x |

29、 =| fl(x) x | =2 | *| 2 2-t = 2 t 相对误差（舍入）：相对误差（舍入）：t11 . 0|* ttt 200 . 0|1*11*222|2|2| ttrxee 汪远征汪远征(2) (2) 浮点数的四则运算浮点数的四则运算记记fl(x)的相对舍入误差为的相对舍入误差为 , 则则fl(x) x = x x, | x| 2t+1. .由此得到浮点数四则运算产生的舍入误差为：由此得到浮点数四则运算产生的舍入误差为：fl(x y) = (x y)(1+ 1,2)fl(xy) = (xy)(1+ 3)| u | 2t+1 u=1,2,3,4.xxxflx )( )1)()(4

30、 yxyxflfl(x) = x(1+x)汪远征汪远征【例例9 9】设设x = 2101 0.101101, y = 211 0.111101, 求求fl(xy).解：显然解：显然t = 110（6位）位）, 10111=10 2|a2 b2|, 即即1/3 (a/b)2 2|a2 b2|, 即即1/3 (a/b)2 3时时算法算法的相对误差较小的相对误差较小, , 此时此时算法算法比比算法算法在数值上更在数值上更可靠可靠, , 而当而当(a2 + b2) 2|a2 b2|时时算法算法比比算法算法在数值上更可靠。在数值上更可靠。epsbababary|)|(|1)(222222 epsbaba

31、ry|3)(2222 汪远征汪远征如如: : a = 0.3237, b = 0.3134, 用用4位有效数字计算位有效数字计算a2 b2可可得如下结果：得如下结果：算法算法 a *a = 0.1048, b *b = 0.9822 101, (a *a) (b *b) = 0.66 102；算法算法 a +*b = 0.6371, a *b = 0.1030 101, (a +*a)(b *b) = 0.6562 102。a2b2的准确值是的准确值是0.656213 102, 可见算法可见算法比算法比算法的结果的结果可靠。可靠。汪远征汪远征如如: : a = 0.3237, b = 0.31

32、34, 用用4位有效数字计算位有效数字计算a2 b2可可得如下结果：得如下结果：算法算法 a *a = 0.1048, b *b = 0.9822 101, (a *a) (b *b) = 0.66 102；算法算法 a +*b = 0.6371, a *b = 0.1030 101, (a +*a)(b *b) = 0.6562 102。而而a/b=0.3237/0.3134=1.032865., 有有1/3(a/b)23即由理论分析也知算即由理论分析也知算法法比算法比算法的结果的结果可靠。可靠。汪远征汪远征在在Excel中看差别：中看差别：汪远征汪远征【例例1313】在在4位有效数字的精度

33、下求定积分的值：位有效数字的精度下求定积分的值： n = 0, 1, 2, , 100解：由于解：由于初值初值 10d5xxxynnnxxxxxxyynnnnn1dd5551011011 )2 . 1ln(5ln6lnd51100 xxy汪远征汪远征【例例1313】在在4位有效数字的精度下求定积分的值：位有效数字的精度下求定积分的值： n = 0, 1, 2, , 100解：所以解：所以初值初值于是可建立递推公式于是可建立递推公式nyynn151 )2 . 1ln(0 y )100, 2, 1(,51)2 . 1ln(10nynyynn 10d5xxxynn汪远征汪远征【例例1313】在在4位

34、有效数字的精度下求定积分的值：位有效数字的精度下求定积分的值： n = 0, 1, 2, , 100解：建解：建立递推公式立递推公式这这是一个数值稳定性不好的是一个数值稳定性不好的算法算法, , y0的舍入误差传播到的舍入误差传播到y1时时增大增大5倍倍, 如此进行如此进行, 传播传播到到y100时将增大时将增大5 5100100倍倍。 10d5xxxynnyn yn* = 5(y*n-1 yn-1) )100, 2, 1(,51)2 . 1ln(10nynyynn汪远征汪远征如果改变计算公式如果改变计算公式, , 先取先取一个一个yn的近似值的近似值, 用下面的公式倒用下面的公式倒过来计算过

35、来计算yn-1, yn-2, , , 情况就不同了情况就不同了即：即：我们发现我们发现Ik的误差减小到的误差减小到 后传给后传给Ik-1-1因而初值的误差对以后各步的计算结果的影响是随着因而初值的误差对以后各步的计算结果的影响是随着n的增的增大而愈来愈小。大而愈来愈小。)1 , 1,(51511 nnkykykk51151 nnyny汪远征汪远征利用估计式利用估计式取取y100的近似值为的近似值为按下式即可求出按下式即可求出101个积分值：个积分值：)1(51d5d5d6)1(61101010 nxxxxxyxxnnnnn2101815. 0)50516061(21 )1,99,100(,51

36、51101815. 012100nynyynn汪远征汪远征按下式即可求出按下式即可求出101个积分值：个积分值：由于由于y100的误差在计算过程中的每一步都被乘以的误差在计算过程中的每一步都被乘以1/5, , 所以该所以该算法是一个稳定算法。算法是一个稳定算法。 )1,99,100(,5151101815. 012100nynyynn汪远征汪远征在在Excel中看差别：中看差别： )100, 2, 1(,51)2 . 1ln(10nynyynn )1,99,100(,5151101815. 012100nynyynn汪远征汪远征对于一个稳定的计算过程对于一个稳定的计算过程, , 由于舍入误差不增大由于舍入误差不增大, , 因而不因而不具体估计舍入误差也是可用的。具体估计舍入误差也是可用的。而对于一个不稳定的计算过程而对于一个不稳定的计算过程, , 如计算步骤太多如计算步骤太多, , 就可能就可能出现错误结果。出现错误结果。因此因