球的表面积与体积

1、球心球心球的直径球的直径球的半径球的半径2022-5-132一、一、球体的体积与表面积球体的体积与表面积343VR 球球24SR 球球 面面例例1 1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径, ,求证：求证： （1 1）球的体积等于圆柱体积的）球的体积等于圆柱体积的（2 2）球的表面积等于圆柱的侧面积）球的表面积等于圆柱的侧面积. .知识应用如图：圆柱的底面直径与高都等于球的直径如图：圆柱的底面直径与高都等于球的直径。求证求证：1、球的体积等于圆柱体积的球的体积等于圆柱体积的 倍倍。3 32 2R证明：证明：设球的半径为设球的半径为R，则圆柱的底面半径为，

2、则圆柱的底面半径为R，高为高为2R。因为因为3R34V球23VR2R2R 圆圆柱柱所以，所以，圆柱球V32V如图：圆柱的底面直径与高都等于球的直径如图：圆柱的底面直径与高都等于球的直径。求证求证：R证明：证明：设球的半径为设球的半径为R，则圆柱的底面半径为，则圆柱的底面半径为R，高为，高为2R。2、球的表面积等于圆柱的侧面积球的表面积等于圆柱的侧面积。（2）因为）因为2球R4S2S2R2R4R 圆圆柱柱侧侧所以，所以，圆柱侧球SS1.已知球的直径为2，求它的表面积和体积。2.已知球的体积为36 ，求它的表面积。练习练习434364.若两球体积之比是若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是，则其

3、表面积之比是_._.241:2 231 :41.若球的表面积变为原来的若球的表面积变为原来的2倍倍, ,则半径变为原来的则半径变为原来的_倍倍。2.若球半径变为原来的若球半径变为原来的2倍倍, ,则表面积变为原来的则表面积变为原来的_倍倍. .3.若两球表面积之比为若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是，则其体积之比是_._.圆面圆面2022-5-139 球面被经过球心的球面被经过球心的平面截得的圆叫做平面截得的圆叫做大大圆圆，圆面圆面 被不经过球心的截被不经过球心的截面截得的圆叫做面截得的圆叫做小圆小圆.2022-5-1310问题问题2:在球中在球中, ,球心到截面的距离球心到截面的距离

4、与截面与截面圆的大小有什么关系？圆的大小有什么关系？d 当当 d=0 d=0 时，截面过球心，时，截面过球心，这时这时 R=rR=r，截面圆最大，这个，截面圆最大，这个圆叫大圆；圆叫大圆； 当当 d d 增大时，截面圆越来越小，当增大时，截面圆越来越小，当 0dR 0dR 时，截面是小圆时，截面是小圆. . 当当d=R d=R 时，截面圆缩时，截面圆缩为一个点，这时截面与为一个点，这时截面与球相切球相切 2022-5-1311在圆中，圆心与弦的中点的连线与弦的在圆中，圆心与弦的中点的连线与弦的位置关系是垂直那么在球中，球心与截面圆位置关系是垂直那么在球中，球心与截面圆心的连线与截面的位置关系是

5、什么呢？心的连线与截面的位置关系是什么呢？ 2022-5-1312 用一个平面去截一个球O，截面是圆面222dRrrdRO球的截面的性质：球的截面的性质：1.球心和截面圆心的连线垂直于截面球心和截面圆心的连线垂直于截面2.球心到截面的距离为球心到截面的距离为d，球的半径为，球的半径为R，则，则rdO球的截面及其性质球的截面及其性质例题讲解 一个球内有相距一个球内有相距9 cm9 cm的两个平行截面的两个平行截面, ,它们的面积分别为它们的面积分别为49 49 和和400 ,400 ,求球的表面积求球的表面积. .【审题指导】本题条件中给出了球的截面面积，由此可求截面圆【审题指导】本题条件中给出

6、了球的截面面积，由此可求截面圆的半径，利用这两个截面圆的半径，易求球的半径，即得其表面的半径，利用这两个截面圆的半径，易求球的半径，即得其表面积积. .2cm2cm(1)当截面在球心的同侧时当截面在球心的同侧时,如图如图(1)所示为球的轴截面所示为球的轴截面, (2)当截面在球心的两侧时当截面在球心的两侧时,如图如图(2)所示为球的轴截面所示为球的轴截面,x 过球半径的中点作一垂直于这个半径的截面，截过球半径的中点作一垂直于这个半径的截面，截面积为面积为48cm，求球的半径。，求球的半径。2解解 ：设截面的半径为：设截面的半径为r,球半径为球半径为R r2=48 r=43 在在RtOO1M中，

7、中，O1O=R/2，OM=R，O1M=r R24+r2=R2 R=8.课堂练习课堂练习 R/22022-5-1316三、三、外组合体外组合体例例1 某几何体的三视图如图所示，它的体某几何体的三视图如图所示，它的体积为积为( ) A72 B 48 C.30 D.241.与球有关的外组合体表面积和体积与球有关的外组合体表面积和体积C C183323半球V124331S312hV底面圆锥30V【变一变变一变】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ） A12.316.328.20.DCBA【失误防范失误防范】准确还原准确还原几何体，几何体，找准数量找准数量正方体的内切球正方体的内切球,

8、棱切球，外接球棱切球，外接球1正方体与球正方体与球2.与球有关的内组合体表面积和体积与球有关的内组合体表面积和体积切点：切点：各个面的中心各个面的中心。球心：球心：正方体的中心正方体的中心。直径：直径：相对两个面中心连线相对两个面中心连线。o球的直径等于正方体棱长。aR 2一、正方体的内切球一、正方体的内切球二、球与正方体的棱相切二、球与正方体的棱相切球的直径等于正方体一个面上的对角线长aR22切点：切点：各棱的中点各棱的中点。球心：球心：正方体的中心正方体的中心。直径：直径： “对棱对棱”中点连线中点连线三、三、 正方体的外接球正方体的外接球球直径等于球直径等于正方体的（体）对角线aR32O

9、正方体的内切球正方体的内切球, 棱切棱切球球, ,外接球外接球三个球心合一三个球心合一1:2 :3半径之比为半径之比为：2长方体与球长方体与球一、长方体的外接球一、长方体的外接球长方体的（体）对角线等于球直径Rcbalcba2222，则、分别为设长方体的长、宽、高 一般的长方体有内切球吗？一般的长方体有内切球吗？ 一个球在长方体内部，最多一个球在长方体内部，最多可以和该长方体的可以和该长方体的5个面相切。个面相切。如果一个长方体有内切球，如果一个长方体有内切球， 那么它一定是那么它一定是正方体正方体？与球有关的内组合体与球有关的内组合体 设长方体的长、宽、高分别为设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上，则该球其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（的表面积为（ ）23 .aA26 .aB212.aC224.aD B B思路：思路：有关球的计算关键是求出有关球的计算关键是求出半半径径，长方体的，长方体的顶点在球面上，顶点在球面上，长方体的体对角线长等于球的直长方体的体对角线长等于球的直径径已知半球内有一个内接正方体，正方体棱长为已知半球内有一个内接正方体，正方体棱长为a,a,求这个半球的表面积求这个半球的表面积 . . 【变