抽象代数复习题及答案

1、抽象代数?试题及答案 本科一、单项选择题 在每题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。每题 3 分1. 设Q是有理数集，规定f(x)= x+2; g(x)= x2 +1,那么fg(x)等于B 2 2 2 2A. x2 2x 1B. x23 C. x2 4x 5 D. x2 x 3A.单射B.满射C.双射D.可逆映射3.设 S3 = 1，1 2，1 3，23， 1 2 31, 1 3 2，那么S3中与兀素1 32不能交换的元的个数是A.1B.2C.3D.44.在整数环Z 中，可逆元的个数是(B。A.1个B.2 个C.4 个D.无限个5.剩余类环Z 10 的子环有

2、 B。A.3个B.4 个C.5 个 D.6 个6.设G是有限群，a G,且a的阶 |a|=12,贝V G中兀素a8的阶为B)A.2B. 3C. 6D. 97.设G是有限群，对任意 a,bG，以下结论正确的选项是 A A.(ab) 1 b 1a 1B. b的阶不一定整除 G 的阶C. G的单位元不唯一D. G中消去律不成立2.设f是A到B的单射，g是B到C的单射，贝U gf是A到C的 A 8. 设G是循环群，那么以下结论不正确的选项是.A A. G的商群不是循环群 B. G 的任何子群都是正规子群C. G 是交换群D. G 的任何子群都是循环群9. 设集合A=a,b,c, 以下A A的子集为等价

3、关系的是C C )。A. R1= (a,a),(a,b),(a,c),(b,b)B. R2= (a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)C. R3= (a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)D. R4= (a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)10.设f是A到B的满射，g是B到C的满射，贝U gf是A到C的B A. 单射B. 满射C. 双射D.11.设 S3 = 1， 1 2， 1 3， 2 3， 1 2 3， 1 3 2,那么 S3 中与元素 D.A. 1B. 2C.可逆映射 1 2能交换的元的个数是 B4。12. 在剩余类环

4、Z8 中，其可逆元的个数是 。1个A. 1 个B. 2 个13.设R, +, 是环，那么下面结论不正确的有A. R的零元惟一B. 假设x aC. 对 a R， a 的负元不惟一 D.C.(0， 假设 a b3个C那么xa c ，。D.4个14.设G是群，a G,且a的阶|a|=12, 那么G中元素a32的阶为B A.2B. 3C. 6D. 915设G是有限群，对任意 a,b G,以下结论正确的选项是 A A. |a| |G|B.|b| =g C. G的单位元不唯一D.方程ax b在G中无解A. G的商群不是交换群B. G的任何子群都是正规子群17.设 A=1 , -1, i, -i , B =

5、1, -1,:Atb, aA.满射而非单射B.单射而非满射16.设G是交换群，那么以下结论正确的选项是B 18.设A=R实数域，B= R 正实数集，C. G是循环群D. G的任何子群都是循环群2 a , a A，贝U 是从A到B的 A。C. 一一映射D.既非单射也非满射a:a TO , a A,贝U 是从A到B的C A.满射而非单射B.单射而非满射C.映射D.既非单射也非满射19.设A=所有实数x , A的代数运算是普通乘法，那么以下映射作成A到A的一个子集的同态满射的是 C 。A.x t 10xB.x t 2xC.x t |x|D.x t-x20.数域P上的n阶可逆上三角矩阵的集合关于矩阵的

6、乘法C A.构成一个交换群B.构成一个循环群C.构成一个群D.构成一个交换环21.在咼斯整数环Zi中，可逆元的个数为D A. 1个B. 2 个C.3个D. 4个22 .剩余类加群Z8的子群有B。A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个23.以下含有零因子的环是B数域P上的n阶全矩阵环C. 偶数环2Z24.R设R,+,是一个环，那么以下结论正确的选项是DC. R一疋含有单位兀中的每个兀素都可逆B. R的子环一定是理想25.设群G是6阶循环群,那么群G的子群个数为AA.4 个 B. 5个C. 6个D.7个26.设 A = a, b, c , B =1,2,3,那么从集合A到集合B的满射的个数为D

7、。A.1B.2C.327.设集合 A = a, b, c,那么以下集合是集合A的分类的是C A.R = a, b,a, c B.P = a,b, c,b,aA.高斯整数环Zi B.D.剩余类环Z5D. R的理想一定是子环D. 6C.P3 = a,b,c D.P = a,b,b,c,cA.有单位兀的交换环B.无单位元的交换环C.无单位元的非交换环D.有单位元的非交换环29.设 S3= 1,1 2， 1 3，2 3， 1 2 3，1 3 2，那么S3的子群的个数是A. 1B. 2C. 3D. 630.在咼斯整数环Zi中，单位元是B。A.0B.1C.iD.i28.设R = a 0 a,b Z ，那么

8、R关于矩阵的加法和乘法构成环，那么这个矩阵环是A。0 b31.设G是运算写作乘法的群，那么以下关于群A.任意两个子群的乘积还是子群G的子群的结论正确的选项是BB.任意两个子群的交还是子群D 。是子群D.任意子群- -定是 正规子群32. 7阶循环群的生成元个数是C 。A. 1B. 2C. 6D. 733.设A=a,b,c , B=1,2,3,那么从集合A到集合B的映射有 D 。C.任意两个子群的并还A.1B. 6 C. 18D. 2734.设G,为群，其中G是实数集，而乘法:a b a b k，这里k为G中固定的常数。那么群G,中的单位元e和元x的逆元分别是D A.0 和 x ；B.1和 0；

9、 C. k和 x 2k ；D.k 和(x 2k)35.设a,b,c和x都是群G中的元素，且x2abxc 1, acx xac，那么 x1 1 1 1A. bc a ； B. c aC. a 1bc 1,1D. b ca 。36.以下正确的命题是A A.欧氏环一定是唯一分解环；B.C.唯一分解环必是主理想环；D.主理想环必是欧氏环； 唯一分解环必是欧氏环。37 设H是群G的子群，且G有左陪集分类H,aH,bH,cH。如果|H | 6,那么G的阶GA.6 ；B.24；C.10；D.12。38.设G是有限群，那么以下结论正确的选项是.A A. G的子群的阶整除 G的阶B. G 的任何子群都是正规子群

10、C. G 是交换群D. G的任何子群都是循环群39设f ：G1G2是一个群同态映射，那么以下错误的命题是 DA. f的同态核是G1的正规子群;B. G2的正规子群的原象是G1的正规子群;C.G1的子群的象是G2的子群;D.G1的正规子群的象是G2的正规子群。A B.D.半群一定有一个右单位元 半群一定至少有一个左单位元40.关于半群，以下说法正确的选项是：A.半群可以有无穷多个右单位元C.半群如果有右单位元那么一定有左单位元二、填空题(每空3分)个.1. 设A是m兀集，B是n兀集，那么A到B的映射共有2. n次对称群Sn的阶是 n !.3. 个有限非交换群至少含有6个元素.4. 设G是p阶群，

11、p是素数，贝U G的生成元有 p 1)个.5. 除环的理想共有2丨个.6. 剩余类环Z6的子环S= : 0: , :2 , :4 ，那么S的单位元是4.7. 在i+3,2, e-3中，i 3丨是有理数域 Q上的代数元.8. 2在有理数域 Q上的极小多项式是 x22 丨.9. 设集合 A =a,b , B=1,2,3，那么 A B= ( a,1),(b11)1(a,2),(b,2),(a,3), (b,3).10.设R是交换环，那么主理想(a)= Rarama |rR,m Z.11.设1(54 31),贝U(1345 ).12 .设F是9阶有限域，贝U F的特征是3丨.13.设1(351), 2

12、(2154)是两个循环置换,那么2 1134214 .设F是125阶有限整环，那么F的特征是5丨.15.设集合A含有3个兀素，那么A A的兀素共有9丨个.16.设群G的阶是2n,子群H是G的正规子群，其阶是 n,那么G关于H的商群所含元素的个数是21 1 117. 设a、b是群G的两个元，那么 (ab) = ba.18. 环 Z10 的可逆元是1,3,7,9.19. 欧式环与主理想环的关系是主理想环不一定是欧式环，20如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，贝y f21.设群G中元素a的阶为m，如果ane ,那么22 设 (31425)是一个5-循环置换，那么123有限群G的阶是素数p,那

13、么G是 循环 24.假设丨是有单位元的环有限和Xja% |Xj,yji群(乙2 ,)的子群有 由凯莱定理，任一个抽象群R的由a生成的主理想,R丨。但欧式环1 f a-定是主理想环(a)。m与n存在整除关系为m整除n。(52413).。丨群。那么I中的元素可以表达为25.26.27.28.6 丨个。G都同一个29.设A、B分别是m、n个元组成的集合，那么 设A=a,b,c，那么可定义 A的 5M= a,c, b确定的等价关系是设G是6阶循环群，那么 G的生成元有群G的变换群同构。|A B|= mn个不同的等价关系。A的分类R ( a,a), (b,b), (c,c),(a,c),(c,a)丨。2

14、丨个。30.非零复数乘群C*中由-i生成的子群是i, i,1, 1。31.32.剩余类环Z7的零因子个数等于0素数阶有限群G的子群个数等于2丨。33.剩余类环Z6的子环S= 0 , 3 ,那么S的单位元是3。34.35.36.37.群 :G G , e是G的单位元，贝U (e)是G的单位元 复数域的特征是0 丨.在剩余类环(Z12, ,?)中，6?7=6在3-次对称群S3中，元素(123)的阶为：丨.3。38.设Z和Zm分别表示整数环和模m剩余类环，同态f : Z Zm, n n的同态核为mZ mr | r Z39.3 2在有理数域上的极小多项式为40.无限循环群一定和整数加群(Z,同构.三、

15、判断题(判断以下说法是否正确，正确的请打“V，错误的请打“ ，每题3分)1.设G是群，那么群G的任意两个子群的并仍是群G的子群。2.群的有限子集非空构成子群，当且仅当该非空子集的任何两个元素在G的运算之下，仍在该非空子集之中。3.设G是非零实数在数的乘法运算之下构成的群。f:G 是个映射，且f(x) =7x, x G.那么f是G到G的同态映射。4. 一个环如果有单位元，那么它的子环也一定有单位元。5.设G是群，那么群G的任意两个正规子群的交仍是群G的正规子群。V6.设G是n阶有限循环群，那么G同构于模n剩余类加群Zn。V7.设：G G是群同态，那么 将G的单位元不一定映射为 G的单位元。9.

16、域的特征可以为任何自然数10.群的任何两个正规子群的乘积仍然是正规子群11.4次交错群A 4在4次对称群S4中的指数为4.12.复数域是实数域的单代数扩张。13. 除环一定是域.14.3-次对称群S3的中心是(1).15.整数环的商域是有理数域16.无限循环群和整数加群同构17.2多项式x 3在有理数域上可约。18.在特征为p的域F中始终有(a b)p apbp,a,b F.19.高斯整数环Zi是唯一分解环.20.有限集合到有限集合的单射不一定是满射。21.有限群的任何子群的阶一定整除这个群的阶。22.设：G1G2是群G1到群G2的同态,那么同态核Ker()是G1的正规子群. V 23.素数阶

17、群不一定是循环群。24.设(Z, ,?)为整数环，p为素数，那么(pZ, ,?)是(Z, ,?)的极大理想。V 四、证明题1. 设Q为有理数域，设T a b.2|a,b Q,那么T按数的乘法和加法构成一个域.6分证明： T非空，且T是实数域的一个子集。T关于数的加法、乘法封闭是显然的，而且 0 a bJ2 T, (a bJ2) 1 T,这样我们就得T关于加法、乘法构成实数域的一个子域.,因此T按数的乘法 和加法构成一个域.。2. 设E是F的扩域，且E : F=1，那么E=F. 6分证明：用反证法：假设E F ,贝V存在x E, x F ,这样(E : F )2 ,矛盾！3. 证明：交换群的商群

18、是交换群 .8分证明：设G为交换群，且H G，那么G H G关于正规子群H的商群，且对任意aH ,bH G H ,有，(aH )(bH ) (ab)H (ba)H (bH )(aH )故G H是交换群.满同态8分5.证明：构造映射：f:AB,11, 11,i1, i1，那么容易验证f是(A,)到(B,)的同态 映射.a 0证明：设G=00 |a那么G关于矩阵乘法构成R22,丨的子半群.6分证明：对任意的a 00 0a 0 bG, 0 0 0ab故由子半群的判定知，G关于矩阵乘法构R2 2,丨的子半群，得证6.设a是群G的任一元素，假设a的阶|a|=2,求证:1a . 6 分证明：由题设我们知道

19、：a21e,对这个式子的两边同时乘以a得1e,(a 1a)a利用群G中逆元和单位元的性质，即得,7.设£1 =1，G=1,证明:有如下的群同构:Z3 ,也G, ,这里 c 0=1,(T1 = £,b2=2。8 分证明：容易验证下述映射是双射，且 保持运算,即:Z3G, 01,1,2(ij)(i) (j), i,j Z3.由同构映射的定义，即得Z3 ,也G, .8.设G是R2X2中所有可逆矩阵组成的集合，i.证明G关于矩阵的乘法成群。6分0 1(".-10的阶是多少？ 4分1 1(iii).的阶是多少？ 4分0 1(iv).证明G不是交换群.6分解：i注意到由线性代

20、数知识有：方阵可逆当且仅当它的行列式不为零，而且两个方阵的乘积的行列式等于它们行列式的乘积，由此 A ,B G,A 1 G,AB G,故G关于矩阵的乘法成群.(ii).注意到此时群G的单位元是，经过简单计算，我们可知-1的阶是3.1(ii 01的阶是1(iv).通过简单计算，得故G是非交换群。解答题:1.设Q是有理数集,+是数的加法,+的所有不同的自同构映射。8分解:映射.列出解:对任意-1定义fx : QA1, A2,Q, aax,对a Q,那么集合fx|xQ,但x0为(Q,)的所有自同构A10，人0 -1，人，代G的乘法矩阵乘法运算表。运算表如下:AA2A3A4A5AA7A3.1写出3 次

21、对称群-iAA2A3AAAA7AAA2A3AAAAAAAA4A3AA5AA7AAA2AAA6A6AAAA2AAAA5A6A5AAA7A2A1A3A4AAA7AAA2A4A3AAa6A5A3A4A2AAAA5AAAA1A2S3的所有元素；4分2 求出S3中所有元素的阶；6分3求出Ss中所有元素的逆元.6分解:(1 )S3的全部元素为:2各元素的阶为:2I2,13丨I 53,11.5的逆元分别为:4 找出乙2中的所有零因子.6分解：2,3,4,6,8,9,10为所有的零因子.5. 在有理数域的扩域 Q V2中，求1 + 3 2的逆。10分解: 由于 行2在Q上的最小多项式是p(x)= X3-2，因此由定理 ，得到Q(V2) a。&勺'2 a22'4|ao,&,a2Q由于1+3 2在Q(3 2)的逆元仍然是Q(3 2)中的元素