角平分线的性质及应用培训讲学

1、角平分线的性质及应用旧知回顾旧知回顾 已知一个角你会将它平分吗？说一说，已知一个角你会将它平分吗？说一说，你有哪些方法？有没有既简单又准确的方法。你有哪些方法？有没有既简单又准确的方法。ABO画法：画法：以为圆心，适当以为圆心，适当长为半径作弧，交于，长为半径作弧，交于，交于交于分别以，为分别以，为圆心大于圆心大于 1/2 的长的长为半径作弧两弧在为半径作弧两弧在的内部交于的内部交于作射线作射线射线即为所求射线即为所求1 1、怎样画一个已知角的角平分线、怎样画一个已知角的角平分线 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，这个集贸市场应建在何处解决问题S公路公路铁路铁路 画一个画

2、一个AOB,用尺规作出用尺规作出AOB的平分线的平分线OP,过过P作作PD OA,PE OB问题：问题：比较比较PD和和PE 的大小关系（量一量）。的大小关系（量一量）。 PD=PE 再换一个新的位置看看情况会怎样？再换一个新的位置看看情况会怎样？(2)(2)猜想猜想: : 角的平分线上的角的平分线上的点到角的两边的距离相等点到角的两边的距离相等. .P PA AOOB BC CE EDD1 1、怎样画一个已知角的角平分线、怎样画一个已知角的角平分线证明证明：OC平分平分 AOB （已知）（已知） 1= 2（角平分线的定义）（角平分线的定义） PD OA，PE OB（已知）（已知） PDO=

3、PEO（垂直的定义）（垂直的定义） 在在PDO和和PEO中中 PDO= PEO（已证）（已证） 1= 2 （已证）（已证） OP=OP （公共边）（公共边） PDO PEO（AAS） PD=PE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等） P PA AOOB BC CE EDD12已知已知：如图，如图，OCOC平分平分AOBAOB，点，点P P在在OCOC上，上，PDOAPDOA于点于点D D，PEOBPEOB于于点点E E求证求证: PD=PE: PD=PE2、验证猜想：、验证猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等.已知：已知：“一个点在一个角

4、的平分线上一个点在一个角的平分线上”。结论：结论：“这个点到这个角两边得距离相等这个点到这个角两边得距离相等”角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等3 3、角的平分线的性质、角的平分线的性质: :OCB1A2PDEPDOA，PEOB OC是是AOB的平分线的平分线 PDPE用数学语言表述：或：或： 1= 2, PD OA， PE OB PD=PE（角平分线的性质）（角平分线的性质）ACDEBF例：已知：如图，例：已知：如图，ABCABC中中 C=90C=90，ADAD是是ABCABC的角平的角平分线，分线，DEABDEAB于于E E，F F在在ACAC上上BD

5、=DFBD=DF，求证：，求证：CF=EBCF=EB。证明：证明：AD平分平分CABDEAB，C90（已知）（已知）CDDE (角平分线的性质角平分线的性质)在在tCDF和和RtEDB中中, CD=DE （已证）（已证） DF=DB （已知）（已知） RtCDF RtEDB (HL) CF=EB （全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相等）练习练习1 1：已知:如图,在ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是E,F.求证:EB=FC. BAEDCF证明证明： AD平分平分CABDEAB ，DFAC(已知已知)DE=DF (角平分线的性质角平分线的性质)在在

6、tBED和和RtCFD中中, BD=CD （已证）（已证） DE=DF （已知）（已知） Rt BED RtCFD (HL) BE=FC （全等三角形对应边相（全等三角形对应边相等）等）练习练习2 2：如图，如图，E E是是AOBAOB的角平分线的角平分线OCOC上上的一点，的一点， EMOBEMOB垂足为垂足为M M，且，且EM=3cmEM=3cm，求点求点E E 到到OAOA的距离的距离分析分析：点：点E 到到OA的距离是过点的距离是过点E作作OA的垂线段，再根据角的平的垂线段，再根据角的平分线的性质，可知点分线的性质，可知点E到到OA的距离。的距离。解解：过过E作作ENOA垂足为垂足为N

7、 E是是AOB的角平分线上的一点，的角平分线上的一点， EMOB， ENOA，EM=EN又又 EM=3cm，EN=3cm即点即点E 到到OA的距离为的距离为3cm。E EB BOOA AC CMMN N练习：练习：如图，如图，E E是是AOBAOB的角平分线的角平分线OCOC上的上的一点，一点， EMOBEMOB垂足为垂足为M M，且，且EM=3cmEM=3cm，求，求点点E E 到到OAOA的距离的距离分析分析：点：点E 到到OA的距离是过点的距离是过点E作作OA的垂线段，再根据角的平的垂线段，再根据角的平分线的性质，可知点分线的性质，可知点E到到OA的距离。的距离。解解：过过E作作ENOA

8、垂足为垂足为N E是是AOB的角平分线上的一点，的角平分线上的一点， EMOB， ENOA，EM=EN又又 EM=3cm，EN=3cm即点即点E 到到OA的距离为的距离为3cm。E EB BOOA AC CMMN N练习练习3 3：如图，四边形如图，四边形ABCDABCD中中AB=ADAB=AD，ABBCABBC，ADCDADCD，P P是对角线是对角线ACAC上一点，上一点，求证：求证：PB=PCPB=PC P D C B A回味无穷回味无穷w 性质性质 角平分线上的点到这角平分线上的点到这个角的两边距离相等个角的两边距离相等. .w 几何语言几何语言： OCOC是是AOBAOB的平分线的平分线, , P P是是OCOC上任意一点上任意一点 PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是D,E( D,E( 已知已知) )PD=PE(PD=PE(角平分线上的点到这个角角平分线上的点到这个角的两边距离