李雅普诺夫稳定性理论

1、第一讲第一讲李雅普诺夫稳定性理论李雅普诺夫稳定性理论目录l 非线性系统相关基本概念非线性系统相关基本概念l 李雅普诺夫关于稳定性的定义李雅普诺夫关于稳定性的定义 及李雅普诺夫第一，第二方法及李雅普诺夫第一，第二方法l 拉塞尔不变集理论拉塞尔不变集理论l BarbalatBarbalat引理引理l 类李雅普诺夫引理类李雅普诺夫引理l 稳定性分析方法概述稳定性分析方法概述l 一致最终有界一致最终有界1.1 1.1 非线性系统相关基本概念非线性系统相关基本概念非线性系统的定义非线性系统的定义：含有非线性元件的系统，称之为非线性系统。非线性系统非线性系统的的分类：分类：l非本质非线性能够用小偏差线性化

2、方法进行线性化处理的非线性。l本质非线性用小偏差线性化方法不能解决的非线性。非线性系统的稳定性非线性系统的稳定性（1）非线性系统的稳定性，则除了与系统的结构、参数有关外，很重要的一点是与系统起始偏离的大小密切相连。（2）不能笼统地泛指某个非线性系统稳定与否，而必须明确是在什么条件、什么范围下的稳定性。1.1 1.1 非线性系统相关基本概念非线性系统相关基本概念非线性系统的运动形式非线性系统的运动形式（1）非线性系统在小偏离时单调变化，大偏离时很可能就出现振荡。 （2）非线性系统的动态响应不服从叠加原理。1.1 1.1 非线性系统相关基本概念非线性系统相关基本概念非线性系统的自振非线性系统的自振

3、非线性系统的自振却在一定范围内能够长期存在，不会由于参数的一些变化而消失。 1.1 1.1 非线性系统相关基本概念非线性系统相关基本概念几种典型的非线性特性几种典型的非线性特性1.1 1.1 非线性系统相关基本概念非线性系统相关基本概念不灵敏区不灵敏区（死区）特性（死区）特性 表示输入 表示输出 表示不灵敏区， 也常称死区。1x2x1.1 1.1 非线性系统相关基本概念非线性系统相关基本概念l 当系统前向通道中串有死区特性的元件时，最主要的影响是增大了系统的稳态误差，降低了定位精度。l 减小了系统的开环增益，提高了系统的平稳性，减弱动态响应的振荡倾向。不灵敏区（死区）特性的影响不灵敏区（死区）

4、特性的影响1.1 1.1 非线性系统相关基本概念非线性系统相关基本概念饱和特性饱和特性 ，等效增益为常值，即线性段斜率；而 ，输出饱和，等效增益随输入信号的加大逐渐减小。 ax 1ax 11.1 1.1 非线性系统相关基本概念非线性系统相关基本概念l饱和特性使系统开环增益下降， 对动态响应的平稳性有利。l如果饱和点过低，则在提高系统平稳性的同时，将使系统的快速性和稳态跟踪精度有所下降。l带饱和的控制系统，一般在大起始偏离下总是具有收敛的性质，系统最终可能稳定，最坏的情况就是自振，而不会造成愈偏愈大的不稳定状态。 1.1 1.1 非线性系统相关基本概念非线性系统相关基本概念饱和特性的影响饱和特性

5、的影响回环回环（间隙）特性（间隙）特性 表示输入 表示输出b 表示间隙。1x2x1.1 1.1 非线性系统相关基本概念非线性系统相关基本概念l 降低了定位精度，增大了系统的静差。l 使系统动态响应的振荡加剧，稳定性变坏。回环（间隙）特性的影响回环（间隙）特性的影响1.1 1.1 非线性系统相关基本概念非线性系统相关基本概念继电器特性继电器特性(a)理想继电特性 (b)死区继电特性 (c)一般的继电特性1.1 1.1 非线性系统相关基本概念非线性系统相关基本概念l理想继电控制系统最终多半处于自振工作状态。l可利用继电控制实现快速跟踪。l带死区的继电特性，将会增加系统的定位误差，对其他动态性能的影

6、响，类似于死区、饱和非线性特性的综合效果。1.1 1.1 非线性系统相关基本概念非线性系统相关基本概念继电器特性的影响继电器特性的影响线性系统线性系统稳定性分析的理论框架稳定性分析的理论框架 第一方法第二方法稳定性分析稳定性分析1892年俄国数学家李雅普诺夫SISO的代数分析方法解析方法Routh判据Houwitz判据根据SISO闭环特征方程的系数判定系统的稳定性根据状态方程A阵判定系统的稳定性1.2 1.2 李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性及判别方法及判别方法 关于李雅普诺夫稳定性的基本概念关于李雅普诺夫稳定性的基本概念 李雅普诺夫第二方法是一种普遍适用于线性系统、非线性系统及时变系统稳定性

7、的分析的方法。李雅普诺夫给出了对任何系统都普遍适用的稳定性的一般定义。线性系统的稳定性线性系统的稳定性系统的结构系统的参数系统的结构和参数初始条件外界信号的类型和大小非线性系统的稳定性非线性系统的稳定性1.2 1.2 李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性及判别方法及判别方法系统状态系统状态的运动及平衡状态的运动及平衡状态状态轨迹：状态轨迹：设所研究系统的齐次状态方程为 , xf x t(1-1) 设(1-1)在给定初始条件 00()t x下,有唯一解： 00( , )xt x t(1-2) 式中：xn维状态矢量；f与x同维的矢量函数；是 和时间t的函数；一般f 为时变的非线性函数，如果不含t，则为

8、定常的非线性函数.。ix式(1-2)描述了系统(1-1)在n维状态空间中从初始条件 出发的一条状态运动的轨迹，简称为系统的运动和状态轨线。00()t x1.2 1.2 李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性及判别方法及判别方法系统的平衡状态：系统的平衡状态：若系统(1-1)存在状态矢量 ex使得：，对所有t，(, )0efxt(1-3) 成立，则称 ex为系统的平衡状态。 说明说明 1）对于任一个系统,不一定都存在平衡状态.2) 如果一个系统存在平衡状态,其平衡状态也不一定是唯一的.3) 当平衡态的任意小邻域内存在系统的别的平衡态时，称此平衡态为孤 立的平衡态。 1.2 1.2 李雅普诺夫稳定性李雅

9、普诺夫稳定性及判别方法及判别方法5) 由于任意一个已知的平衡状态,都可以通过坐标变换将其变换到坐标原点 处。所以今后将只讨论系统在坐标原点处的稳定性就可以了。0ex 6) 稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。(这一点从线性定常系统中的描述中可以得到理解)7) 如果一个系统有多个平衡点多个平衡点。由于每个平衡点处系统的稳定性可能是不同的。对有多个平衡点的系统来说，要讨论该系统的稳定性必须逐个对各平衡点的稳定性都要逐个逐个讨论讨论。4) 对于线性定常系统 ，当A为非奇异矩阵时， 的解 是系统唯一存在的平衡状态，当A为非奇异时，则 会有无穷多个。0eAx 0ex ex , xf x tAx&am

10、p;1.2 1.2 李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性及判别方法及判别方法：状态向量x与平衡状态 xe 的距离。exxexx为欧几里德范数。当很小时，则称s()为xe的邻域。点集s()：以xe为中心，为半径的超球体。若xs() ：如系统的解00( ;,)xtxt位于球域s()内，则： 000( ;,),etxtxtt表明系统由初态x0或短暂扰动所引起的自由响应是有界的。 exx 与稳定性相关的与稳定性相关的几个定义几个定义1.2 1.2 李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性及判别方法及判别方法则，其中李雅普诺夫根据系统自由响应是否有界把系统的稳定性定义为李雅普诺夫根据系统自由响应是否有界把系统的稳定

11、性定义为四种四种情况：情况：李雅普诺夫意义李雅普诺夫意义下的稳定、渐近稳定、大范围渐近下的稳定、渐近稳定、大范围渐近稳定、不稳定。稳定、不稳定。 李雅普诺李雅普诺夫意义下夫意义下的稳定的稳定渐近稳定渐近稳定大范围渐大范围渐近稳定近稳定不稳定不稳定 1.2 1.2 李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性及判别方法及判别方法如果系统对于任意选定的实数0，都存在另一实数(，t0)0，使当： 00(,)exxt时，从任意初态x0出发的解都满足： 000( ;,),et xtxtt 则称平衡状态xe为李雅普诺夫意义下稳定。李雅普诺夫李雅普诺夫意义下稳定意义下稳定 其中实数与有关，一般情况下也与t0有关。如果与

12、t0无关，则称这种平衡状态是一致稳定的。 1.2 1.2 李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性及判别方法及判别方法若对应于每一个s()，都存在一个s()，使当t无限增长使，从s()出发的状态轨线(系统的响应)总不离开s()，即系统响应的幅值是有界的，则称平衡状态xe为李雅普诺夫意义下的稳定，简称为稳定。 1.2 1.2 李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性及判别方法及判别方法如果平衡状态xe是稳定的，而且当t无限增长时，轨线不仅不超出s()，而且最终收敛于xe，则称这种平衡状态xe渐近稳定。渐渐近稳定近稳定从工程意义上说，渐近稳定比稳定更重要。但渐近稳定是一个局部概念，通常只确定某平衡状态的渐近稳定性

13、并不意味着整个系统就能正常运行。 因此，如何确定渐近稳定的最大区域，并且尽可能扩大其范围是尤其重要的。1.2 1.2 李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性及判别方法及判别方法如果平衡状态xe是稳定的，而且从状态空间中所有初始状态出发的轨线都具有渐近稳定性，称这种平衡状态xe大范围渐近稳定。大大范围渐近稳定范围渐近稳定显然，大范围渐近稳定的必要条件是在整个状态空间中只有一个平衡状态。对于线性系统来说，由于满足叠加原理，如果平衡状态是渐近稳定的，则必然是大范围渐近稳定的。对于非线性系统，使xe为渐近稳定平衡状态的球域s()一般是不大的，常称这种平衡状态为小范围渐近稳定。 1.2 1.2 李雅普诺夫稳定

14、性李雅普诺夫稳定性及判别方法及判别方法如果对于某个实数0和任一实数0，不管这个实数多么小，由s()内出发的状态轨线，至少有一个轨线越过s()，则称这种平衡状态xe不稳定。不稳定不稳定1.2 1.2 李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性及判别方法及判别方法球域s()限制着初始状态x0的取值，球域s()规定了系统自由 响应 的边界。00( )( ;,)x ttxt0)(limttx则称 xe 渐近稳定如果x(t)为有界，则称xe稳定。如果x(t)不仅有界而且有：如果x(t)为无界，则称xe不稳定。在经典控制理论中，只有渐近稳定的系统才称做稳定系统。只在李雅普诺夫意义下稳定，但不是渐近稳定的系统则称临界

15、稳定系统，这在工程上属于不稳定系统。 渐近稳定稳定不稳定Lyapunov意义下稳定 (Re(s)0)经典控制理论(线性系统）1.2 1.2 李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性及判别方法及判别方法李雅普诺夫李雅普诺夫第一法第一法xAxbu0ex 以上讨论的都是指系统的状态稳定性，或称内部稳定性。但从工程意义上看，往往更重视系统的输出稳定性。线性系统的稳定判据线性系统的稳定判据线性定常系统 （A，b，c）李雅普诺夫第一法简称间接法。它的基本思路是通过系统状态方程的解来判定系统的稳定性。对于线性定常系统，只需解出特征方程的根即可作出稳定性判断。对于非线性不很严重的系统，则可通过线性化处理，取其一次近似

16、得到线性化方程，然后再根据其特征根来判断系统的稳定性。ycx（1-4）平衡状态 渐进稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部。1.2 1.2 李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性及判别方法及判别方法 如果系统对于有界输入u所引起的输出y是有界的，则称系统为输出稳定。线性定常系统 （A，b，c）输出稳定的充要条件是其传递函数（1-5） 1W sc sIAb的极点全部位于s的左半平面。例例 设系统的状态空间表达式为101011xxu 10yx试分析系统的状态稳定性与输出稳定性。解 （1）由A阵的特征方程110IA可得特征值 。故系统的状态不是渐进稳定的。121;1 1.2 1.2 李雅普诺夫稳定

17、性李雅普诺夫稳定性及判别方法及判别方法 （2）由系统的传递函数 111011110011(1)(1)1ssW sc sIABssss 可见传递函数的极点s1位于s的左半平面，故系统输出稳定。这是因为具有正实部的特征值 +1被系统的零点s+1对消了，所以在系统的输入输出特性中没被表现出来。由此可见，只有当系统的传递函数W（s）不出现零、极点对消现象，并且矩阵A的特征值与系统传递函数W（s）的极点相同，此时系统的状态稳定性才与其输出稳定性相一致。21.2 1.2 李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性及判别方法及判别方法李雅普诺夫李雅普诺夫第二法第二法李氏第二法（直接法）：通过构造李氏函数，从能量的角度

18、直接判断系统稳定性。逐渐衰减至最小值渐近稳定储能不变李氏稳定储能越来越大不稳定系统被激励储能随时间思路：对于一个给定的系统，如果能够找到一个正定的标量函数V(x)（广义能量函数）,显然可以根据该函数的导数 来确定能量随着时间的推移是减小的，还是增加的，或者是保持不变的。( )V x1.2 1.2 李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性及判别方法及判别方法（3） ，则称 是负定负定的。预备预备知识知识设 是向量 x 的标量函数，且在 x=0 处，恒有 对所有在定义域中的任何非零向量 x，如果成立： V x(0)0V ，( )0V x ( )V x（1） ，则称 是正定正定的。( )V x 0( )V

19、x（2） ，则称 是半正定半正定( (非负定非负定) )的。( )0V x ( )V x（4） ，则称 是半负定半负定( (非正定非正定) )的。( )0V x ( )V x（5） ，或 则称 是不定不定的。( )0V x ( )V x( )0V x 1.2 1.2 李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性及判别方法及判别方法设 为n个变量，则其二次型标量函数可写为：二次型二次型标量函数标量函数12nx ,x,x11121121222121( )nTnnnnnpppxppxV xx Pxxxxppx12221122312323110( )2110001xV xxx xxxxxxxx其中，P为实对称矩阵

20、。例如：1.2 1.2 李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性及判别方法及判别方法预备预备知识知识5/12/2022二次型函数，若P为实对称阵，则必存在正交矩阵T，通过变换 ，使之化为：xTx1221( )()0 0TTTTTTnTiiinV xx Pxx T PTxxT PT xx Pxxxx此称为二次型函数的标准型， 为P的特征值，则 正定的充要条件正定的充要条件是P的特征值 均大于0。ii( )V x1.2 1.2 李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性及判别方法及判别方法预备预备知识知识矩阵P的符号性质定义如下：设 P 为nn实对称阵， 为由 P 决定的二次型函数，则（1） 正定，则 P 正定矩阵

21、，记为 P0;（2） 负定，则 P 负定矩阵，记为 P0;（3） 半正定，则 P 半正定矩阵，记为 P0;（4） 半负定，则 P 半负定矩阵，记为 P0;( )TV xx Px( )V x( )V x( )V x( )V x1.2 1.2 李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性及判别方法及判别方法预备预备知识知识希尔维斯特希尔维斯特判据判据设实对称阵 为其各阶顺序主子式，即矩阵P或V(x)定号性的充要条件是：1112121221,nijjinnnpppppPppppi111211122122,npppPpp 1.2 1.2 李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性及判别方法及判别方法预备预备知识知识(2)若

22、 ，则 P 负定；(1)若 ，则 P 正定；(3)若 ，则 P 半正定；(4)若 ，则 P 半负定；0 (1,2, )iin 0(0(iii为偶数)为奇数)0(0(iii=1,2, ,n-1)=n)0(0(iiii为偶数)0 为奇数)=n)1.2 1.2 李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性及判别方法及判别方法预备预备知识知识 解：二次型 可以写为1T123231012( )141211xV xx Pxxxxxx010 04111010121414022 16 1 100211 0)(xV( )V x,2221231 2231 3( )104224V xxxxx xx xx x 例 证明如下二次型

23、函数是正定的。可见此二次型函数是正定的，即1.2 1.2 李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性及判别方法及判别方法预备预备知识知识 定理定理1 1：设系统的状态方程为 如果平衡状态 即 。如果存在标量函数V(x)满足： 1） 对所有x具有一阶连续偏导数。 2） 是正定的；3）若 是半负定的。则平衡状态 为在李亚普诺夫意义下的稳定。几几个稳定性判据个稳定性判据( )V x0,ex ()0ef x( )V xex( )xf x&( )V x&1.2 1.2 李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性及判别方法及判别方法 定理定理2 2 ： 设系统的状态方程为如果平衡状态 即， 如果存在标量函数V

24、(x)满足： 1） 对所有x具有一阶连续偏导数。 2） 是正定的；3）若 是负定的；或者 为半负定，对任意初始状态 ，除去x=0外，有 不恒为0。则平衡状态 是渐近稳定的。进一步当 ，有 ，则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。x ( )V x ( )V x0,ex ()0ef x( )V xex0( )0 x t( )V x&( )V x&( )V x&( )xf x&1.2 1.2 李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性及判别方法及判别方法几几个稳定性判据个稳定性判据定理定理3 3：设系统的状态方程为如果平衡状态 即 如果存在标量函数V(x)满足： 1） 对所有

25、x具有一阶连续偏导数。 2） 是正定的；3）若 是正定的。则平衡状态 是不稳定的。( )V x0,ex ()0ef x( )V xex( )xf x&( )V x&1.2 1.2 李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性及判别方法及判别方法几几个稳定性判据个稳定性判据（1） ，则此时 ，系统轨迹将在某个曲面上，而不能收敛于原点，因此不是渐近稳定。（2） 不恒等于0，说明轨迹在某个时刻与曲面 相交，但仍会收敛于原点，所以是渐近稳 定。（3 3）稳定判据只是充分条件而非必要条件！）稳定判据只是充分条件而非必要条件！( )0V x &( )V xC( )V xCC)x(V 2x1xe

26、x0 xC)x(V 2x1xex0 x( )V x&1.2 1.2 李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性及判别方法及判别方法说明：说明： 解: 显然，原点 是系统平衡点， 取 则 又因为当 时，有 ，所以系统在原点处是大范围渐近稳定的。e0 x 2212( )0V xxxx ( )V x 222211 1221211221212222222121122121222212( )2 x2x2 ()2()22()22()2()V xxxx xx xxxxx xxx xxxxx xxxxxx &例 已知系统试用李雅普诺夫第二方法判断其稳定性。22121122221212x()x()xx x

27、xxx xx &0令令1x0&2x0&1.2 1.2 李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性及判别方法及判别方法例 已知系统的状态方程，试分析平衡状态的稳定性。解：其为线性系统，故 是其唯一平衡点。将矩阵形式的状态方程展开得到： 取标量函数(李雅谱诺夫函数)：0111xx&0ex 12212xxxxx &2212( )0V xxx21 1222( )( )2220dV xV xx xx xxdt &且当 时， 。x ( )V x 其为半负定，不恒为0，渐近稳定。所以系统在其原点处大范围渐近稳定。1.2 1.2 李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性及判别方法

28、及判别方法另选一个李雅普诺夫函数：22212121( )()22V xxxxx2212121 12212( )()()2()V xxxxxx xx xxx &当 时， ，所以系统在其原点处大范围渐近稳定。x ( )V x 1.2 1.2 李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性及判别方法及判别方法（1） V(x)是正定的标量函数，V(x)具有一阶连续偏导数；（2）并不是对所有的系统都能找到V(x)来证明该系统稳定或者不稳定；（3）V(x)如果能找到，一般是不唯一的，但关于稳定性的结论是一致的；（4）V(x)最简单的形式是二次型 ；（5）V(x)只是提供平衡点附近的运动情况，丝毫不能反映域外运动

29、的任何信息；（6）构造V(x) 需要一定的技巧。( )TV xx Px1.2 1.2 李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性及判别方法及判别方法 对李雅谱诺夫函数的讨论对李雅谱诺夫函数的讨论有时，李雅普洛夫函数的导数仅仅是负半定的，通过其它的方法我们仍有可能判断系统的渐近稳定性。拉萨尔不变性定理 就是一种可供选择的方法，它延伸了李亚普诺夫函数的概念。与李雅普洛夫定理不同，拉塞尔引理不要求V(x)正定。1.3 1.3 拉萨拉萨尔不变性定理尔不变性定理 例 考虑系统 212213xxxxx0 x在平衡点 的稳定性。选取李氏函数为:)(21)(2221xxxV0322xV0 x由于 （ ），故原点是稳定的

30、.如果选取李氏函数为:22212122121252149)(xxxxxxxxV 0)5(2221xxV则有 ，从而得到系统是渐近稳定的.1.3 1.3 拉萨拉萨尔不变性定理尔不变性定理 定义定义 考虑自治非线性系统。状态的集合M 称为该系统的不变集，系指对于任意初始状态 ，有 ， 成立。 Mx)0(Mtx)(0t对于自治非线性系统和标量函数V(x)，在状态空间中定义如下集合： )(|lxVxlllxxVxS,0)(|1.3 1.3 拉萨拉萨尔不变性定理尔不变性定理 定理定理1 (1 (拉萨尔不变性原理拉萨尔不变性原理) )l(1)存在适当的正数l，使得 是有界的； (2)0)(xVlxlx)0

31、(t)(tx则对于任意初始状态 ，当 时，状态轨迹 将趋于S内的最大不变集M。其中最大不变集是指S内所有不变集的并集。对于给定的自治系统，若存在连续可微的标量函数V(x)，满足： 1.3 1.3 拉萨拉萨尔不变性定理尔不变性定理 对于自治非线性系统，若存在连续可微的标量函数V(x)，满足：;, 0)()2(xxV)(xV| x(1) V(x)是径向无界的，即当 时，有:则对于任意初始状态 ，当 时，状态轨迹 将趋于S内的最大不变集M。)0(xt)(tx定理定理2 2（拉萨尔全局不变性原理）（拉萨尔全局不变性原理）1.3 1.3 拉萨拉萨尔不变性定理尔不变性定理 定理定理3 3（拉萨尔渐近稳定性

32、定理）（拉萨尔渐近稳定性定理）设 ， 及 为定理1中定义的集合。如果集合S 除 外不包含其它解，则平衡点 是局部渐近稳定的。 RRVn:lS0 x0 x定理定理4 4 （拉萨尔全局渐近稳定性定理）（拉萨尔全局渐近稳定性定理）设V 满足定理2的条件。如果集合S 除 外不包含其它解，则平衡点 是全局渐近稳定的。 0 x0 x1.3 1.3 拉萨拉萨尔不变性定理尔不变性定理 例例 考虑系统 212213xxxxx0 x在平衡点 的稳定性。对于)(21)(2221xxxV有223xV可以求得： 0| ),(0| ),(22121xxxVxxS0 x)0 , 0(然而，易知在S内只有 是系统的解。因此，

33、根据定理4可知， 是全局渐近稳定的。1.3 1.3 拉萨拉萨尔不变性定理尔不变性定理 当李雅普洛夫函数的导数为负半定时，拉萨尔不变性理论为判断自治系统 的渐近稳定性提供了一种可能的方法。而对于非自治系统（如模型参考自适应控制系统），则不适用。Barbalat引理为非自治系统的稳定性分析提供了一种重要的工具。1.4 1.4 BarbalatBarbalat引理引理 给定一个关于 t 的可微函数，有下面三个重要结论：函数函数及其导数的渐近性质及其导数的渐近性质1、 收敛0ff几何上，导数趋于零意味着切线越来越平，但这并不意味着该函数收敛。如： 或( )sin(In )f tt( )sin(In )f ttt2、f 收敛0f当 t 时，f 存在极限并不意味着导数趋于零。如：22( )sin ()ttf tee3、如果 f 有下界且非增，则存在极限。1.4