小波变换2学习教案

1、小波变换小波变换(binhun)2第一页，共35页。变换什么意思呢？是一种映射。变换什么意思呢？是一种映射。在线性代数里，基（在线性代数里，基（basis）是指空间里一系列线性独立的向量，而这）是指空间里一系列线性独立的向量，而这个空间里的任何其他向量，都可以由这些个空间里的任何其他向量，都可以由这些(zhxi)向量的线性组合来向量的线性组合来表示。表示。basis在变换里面啥用呢？在变换里面啥用呢？举例：傅立叶展开的本质，就是把一个信号用三角波的线性组合表示举例：傅立叶展开的本质，就是把一个信号用三角波的线性组合表示出来。出来。 小波变换与傅里叶变换的不同之处在于基函数的不一样。小波变换与傅

2、里叶变换的不同之处在于基函数的不一样。 第1页/共35页第二页，共35页。为了满足不同的应用目的。为了满足不同的应用目的。如：要分析信号的频谱图如：要分析信号的频谱图傅里叶变换。傅里叶变换。 要对信号进行压缩要对信号进行压缩希望这个基函数能用最希望这个基函数能用最 少的向量来最大程度少的向量来最大程度(chngd)地表示信号。地表示信号。第2页/共35页第三页，共35页。无穷大的能量在整个无穷大的区间(q jin)振荡能量是有限的，而且集中在某一点(y din)附近 第3页/共35页第四页，共35页。集合。第4页/共35页第五页，共35页。从这里看出，这里的从这里看出，这里的缩放倍数都是缩放倍

3、数都是2的级的级数，平移的大小和当数，平移的大小和当前其缩放的程度有关前其缩放的程度有关。这样的好处是，小。这样的好处是，小波的波的basis函数既有函数既有高频又有低频高频又有低频(dpn)，同时还覆盖了时域，同时还覆盖了时域。 第5页/共35页第六页，共35页。用傅里叶变换表用傅里叶变换表示较简单只需一示较简单只需一个个(y )系数系数a0第6页/共35页第七页，共35页。用三角信号模拟用三角信号模拟(mn)方波方波(吉布斯现象吉布斯现象)通俗一点解释，就是当变化(binhu)太剧烈的时候，三角波拟合不过来了，就凑合出Gibbs了 第7页/共35页第八页，共35页。只要小波只要小波basi

4、s不和不和这个信号变化重叠，它这个信号变化重叠，它所对应的级数系数都为所对应的级数系数都为0！也就是说，假如我！也就是说，假如我们就用这个三级小波对们就用这个三级小波对此信号展开，那么只有此信号展开，那么只有(zhyu)3个级数系数个级数系数不为不为0 。 任何任何(rnh)小波和常量函数的内积都趋近于小波和常量函数的内积都趋近于0。 第8页/共35页第九页，共35页。第9页/共35页第十页，共35页。：该信号长度为该信号长度为8，是离散的一维信号。，是离散的一维信号。我们要考虑的，就是如何用小波将其展开我们要考虑的，就是如何用小波将其展开(zhn ki)。为了方便讲解，我们考虑最简单的一种小

5、波，为了方便讲解，我们考虑最简单的一种小波，哈尔小波。下面是它的一种母小波：哈尔小波。下面是它的一种母小波：第10页/共35页第十一页，共35页。那如何构建基于这个那如何构建基于这个(zh ge)母小波的基呢？母小波的基呢？要缩放，要平移。我们先试试缩放，那就是要缩放，要平移。我们先试试缩放，那就是(2n)：第11页/共35页第十二页，共35页。但这样的话，它与自己的内积就不是但这样的话，它与自己的内积就不是1了，了，不符合小波基不符合小波基orthonormal的要求的要求(yoqi)，所以我们，所以我们要在前面加一个系数根号二，这样我们就得要在前面加一个系数根号二，这样我们就得到了另一个哈

6、尔小波的到了另一个哈尔小波的basis function：第12页/共35页第十三页，共35页。同理，我们可以一直这样推广下去做同理，我们可以一直这样推广下去做scale，得到得到4n，8n，.下的下的basis function。当然。当然(dngrn)在这个例子里，我们信号长度就是在这个例子里，我们信号长度就是8，所以做，所以做到到4n就够了。但推广来说，就是这种就够了。但推广来说，就是这种scaling对对母小波的作用为母小波的作用为这是归一化后的表示这是归一化后的表示(biosh)形式。形式。第13页/共35页第十四页，共35页。第14页/共35页第十五页，共35页。第15页/共35页

7、第十六页，共35页。这样，我们就有了针对此信号这样，我们就有了针对此信号(xnho)空间的哈尔小波空间的哈尔小波basis组合：组合：可以看出，我们用到了三层频率尺度可以看出，我们用到了三层频率尺度(chd)的小波函数，每往下一层，的小波函数，每往下一层，小波的数量都是上面一层的两倍。在图中，每一个小波基函数小波的数量都是上面一层的两倍。在图中，每一个小波基函数的表达形式都写在了波形的下面。的表达形式都写在了波形的下面。第16页/共35页第十七页，共35页。父函数父函数(hnsh)用用 表示表示第17页/共35页第十八页，共35页。第18页/共35页第十九页，共35页。第19页/共35页第二十

8、页，共35页。第20页/共35页第二十一页，共35页。第21页/共35页第二十二页，共35页。什么什么(shn me)是多分辨率分析方程是多分辨率分析方程第22页/共35页第二十三页，共35页。scaling function或者频率变换之后或者频率变换之后(zhhu)的的scaling function，如下图所示：如下图所示：第23页/共35页第二十四页，共35页。第24页/共35页第二十五页，共35页。第25页/共35页第二十六页，共35页。第26页/共35页第二十七页，共35页。对于对于(duy)子空间子空间V0，basis是是scaling function：对应(duyng)的小波函数是：第27页/共35页第二十八页，共35页。子空间子空间(kngjin)V1的的basis集合是：集合是：多看几次这三个图，你会惊讶地发现，在多看几次这三个图，你会惊讶地发现，在V0中的中的scaling function和和wavelet function的组合的组合(zh)，其实就是，其实就是V1中的中的basis！然后然后(rnhu)V1中对应的中对应的wavelet function是是第2