应力和应变状态分析学习教案

1、会计学1应力和应变状态应力和应变状态(zhungti)分析分析第一页，共62页。 单元体三对面的应力(yngl)已知，单元体平衡 单元体任意(rny)部分平衡 截面法和平衡条件求得任意方位(fngwi)面上的应力，即点在任意方位(fngwi)的应力。 2. 一点应力状态的描述 以该点为中心取无限小三对面互相垂直的六面体（单元体）为研究对象，单元体三对互相垂直的面上的应力可描述一点应力状态。 第1页/共62页第二页，共62页。二、应力(yngl)状态的分类 1. 主平面 无切应力(yngl)的平面。 2. 主应力 作用(zuyng)在主平面上的正应力。 3. 应力状态的分类 任何点的应力状态总可

2、找到三对互相垂直的主平面构成的六面体，作用三对主应力 。 123 三向应力状态 三个主应力不等于零。 二向应力状态 两个主应力不等于零。 单向应力状态 一个主应力不等于零。 第2页/共62页第三页，共62页。一、任意斜截面(jimin)上的正应力和切应力 第3页/共62页第四页，共62页。n0:F d(d cos)sin(d cos)cosxyxAAA (d sin)cos(d sin)sin0yxyAA0:F d(d cos)cos(d cos)sinxyxAAA (d sin)cos(d sin)sin0yyxAA第4页/共62页第五页，共62页。平面应力(yngl)状态下任意斜截面（与z

3、轴平行）上应力(yngl)表达式 cos2sin222xyxyxy sin2cos22xyxy 第5页/共62页第六页，共62页。 正应力：拉应力为正，压应力为负；切应力：对单元体内(t ni)任意点的矩顺时针为正，反之为负。cos2sin222xyxyxy sin2cos22xyxy 斜截面(jimin)角度：从x 轴正向转到斜截面(jimin)外法线所转过的角度，逆时针转为正，顺时针转为负。 x 、xy 是法线与x 轴垂直的面上(min shn)的正应力与切应力，即x 面上(min shn)的正应力与切应力；y 、yx 是法线与y 轴垂直的面上(min shn)的正应力与切应力，即y 面上

4、(min shn)的正应力与切应力。第6页/共62页第七页，共62页。 例：矩形截面简支梁在跨中作用(zuyng)集中力F。已知F =100kN，l = 2m ，b = 200mm ，h = 600mm ， =40o，求离支座l /4 处截面C点在斜截面n-n上的应力。 解： 求C 点所在(suzi)截面的剪力、弯矩 Q50kN2FF 25kN m8FlM 求C 点在横截面上的正应力(yngl)、切应力(yngl) 33C31225 10600 10/41.04MPa200 60010/12zM yI *39QC331250 10200 150 (15075) 100.469MPa200 10

5、200 60010/12zzFSbI 第7页/共62页第八页，共62页。C1.04MPa C0.469MPa 作出点的应力(yngl)状态图 1.04MPax cos2sin222xyxyxy 1.07MPa sin2cos22xyxy 0.59MPa 0y 0.469MPaxy o40 oo1.041.04cos800.469 sin8022oo1.04sin800.469 cos802 (压) 第8页/共62页第九页，共62页。二、主应力及主平面位置(wi zhi) 求与z 轴平行(pngxng)任意截面上的最大（小）正应力及方位 d0d 00( 2sin2)(2cos2)02xyxy 0

6、0sin2cos202xyxy 02tan2xyxy 解得： 代入平面应力(yngl)状态下任意斜截面上应力(yngl)表达式 max22min()22xyxyxy 第9页/共62页第十页，共62页。 max 、min 作用面上(min shn) = 0，即0截面为主平面，max、min为主应力。00sin2cos202xyxy 00 对于同一点互相(h xing)垂直面上的正应力之和是常量。max22min()22xyxyxy maxminxy 第10页/共62页第十一页，共62页。max作用面方位(fngwi)角度0 xy o045 xy o045 xy 0 xy o045 0 xy o0

7、45 02tan2xyxy max 、min 作用面是互相(h xing)垂直的面，为0截面和0+90o截面。第11页/共62页第十二页，共62页。三、最大切应力(yngl)及其作用平面的位置 求与z 轴平行任意截面上的最大切应力(yngl)及方位 d0d 11()cos22sin20 xyxy解得： 1tan22xyxy 代入平面(pngmin)应力状态下任意斜截面上应力表达式 max22min()2xyxy 第12页/共62页第十三页，共62页。1tan22xyxy 02tan2xyxy max 、min 作用(zuyng)面是互相垂直的面，为1截面和1+90o截面，1=0+45o 。11

8、()cos22sin20 xyxycos2sin222xyxyxy 12xy maxminmax2 max22min()22xyxyxy 第13页/共62页第十四页，共62页。 例：讨论圆轴扭转时的应力状态(zhungti)，并分析铸铁试件受扭时的破坏现象。解：圆轴扭转(nizhun)时横截面边缘处切应力最大 TPPMMWW 作应力(yngl)状态图 0 xymax22min()22xyxyxy o0o2451arctan()245xyxy 圆轴扭转时表面各点max所在平面连成倾角为45o的螺旋面，由于铸铁抗拉强度低，所以试件沿此螺旋面断裂破坏 xy 第14页/共62页第十五页，共62页。 例

9、：一薄壁圆筒受扭转和拉伸同时作用如图。已知圆筒的平均直径d = 50mm，壁厚t = 2mm，外力偶M = 600Nm，拉力F = 20kN。薄壁管截面(jimin)的抗扭系数可近似取为WP= d2t / 2。试用解析法求过点D 指定斜截面(jimin)上的应力、点的主应力和主方向及最大切应力。 解： 求D 点在横截面上的正应力(yngl)、切应力(yngl) 3ND620 1063.7MPa50 2 10FFAdt TD229P60076.4MPa/2502 10/2MMWd t (拉) 第15页/共62页第十六页，共62页。 作出D点的应力(yngl)状态图 63.7MPax cos2si

10、n222xyxyxy sin2cos22xyxy 0y 76.4MPaxy o120 D63.7MPa D76.4MPa oo63.763.7cos240( 76.4) sin24022 50.3MPa oo63.7sin240( 76.4) cos2402 10.7MPa (拉) 第16页/共62页第十七页，共62页。 求D 点的主应力和主方向(fngxing)及最大切应力 max22min()22xyxyxy 123114.6MPa050.9MPa 2263.763.7()( 76.4)22 114.6MPa50.9MPa 63.7MPax 0y 76.4MPaxy 第17页/共62页第十

11、八页，共62页。主应力作用(zuyng)面的方位角 o0o256.31112 76.4arctan()arctan()2263.733.69xyxy xy oo1333.6956.31 D 点最大切应力(yngl) 13max114.6( 50.9)82.75MPa22 63.7MPax 0y 76.4MPaxy 第18页/共62页第十九页，共62页。一、应力(yngl)圆方程 cos2sin222xyxyxy sin2cos22xyxy 2222()()22xyxyxy 应力(yngl)圆上一点坐标对应单元体某斜截面的应力(yngl)值，所有斜截面的应力(yngl)值对应一个确定的应力(yn

12、gl)圆。 以 、为横、纵坐标轴，则上式表示以为圆心 为半径的应力圆。(0)2xy ，22()2xyxy 第19页/共62页第二十页，共62页。二、应力(yngl)圆的作法 建立(jinl)-坐标系 连接(linji)DD与横坐标轴交于C 点，以点C 为圆心CD半径作圆 在坐标系中找到D(x ,xy )和D(y ,y x)两点第20页/共62页第二十一页，共62页。三、应力(yngl)圆的应用 1. 确定(qudng)单元体斜截面上的应力 以CD为基线，沿与角转向相同方向(fngxing)转2到新半径CE，则E点坐标表示 截面的、 。 第21页/共62页第二十二页，共62页。E点横坐标 0co

13、s(22 )OCCE00(cos2)cos2(sin2)sin2OCCDCDcos2sin222xyxyxy00cos2cos2sin2sin2OCCECE第22页/共62页第二十三页，共62页。E点纵坐标 0sin(22 )CE 00(sin2)cos2(cos2)sin2CDCDsin2cos22xyxy 00sin2cos2cos2sin2CECE第23页/共62页第二十四页，共62页。2. 确定主应力的大小(dxio)及主平面的方位 A1、B1点对应(duyng)的横坐标分别表示对应(duyng)主平面上的主应力。 max221min()22xyxyxyOCCA A1、B1点对应正应力

14、(yngl)的极值 第24页/共62页第二十五页，共62页。 max作用面方位(fngwi)角度0 xy o045 xy o045 xy 0 xy o045 0 xy o045 CA1、CB1夹角(ji jio)为180o，所以两主平面的夹角(ji jio)为90o。 0minmax1tanxyxyxyKAB A 02tan2xyxyDACA 第25页/共62页第二十六页，共62页。3. 确定最大切应力的大小及作用(zuyng)平面的位置 G1、G2点对应(duyng)的纵坐标表示最大（小）切应力。 最大（小）切应力(yngl) max221min()2xyxyCG CG1、CG2夹角为180

15、o，所以max 、min作用面的夹角为90o；同时max作用面的外法线可由1作用面的外法线逆时针转45o 得到。 由应力圆可知maxminmax2 12xy 第26页/共62页第二十七页，共62页。 例：一薄壁圆筒受扭转(nizhun)和拉伸同时作用如图。已知圆筒的平均直径d = 50mm，壁厚t = 2mm，外力偶M = 600Nm，拉力F = 20kN。薄壁管截面的抗扭系数可近似取为WP= d2t / 2。试用解析法求过点D 指定斜截面上的应力、点的主应力和主方向及最大切应力。 解： 求D 点在横截面上的正应力(yngl)、切应力(yngl) 3ND620 1063.7MPa50 2 10

16、FFAdt TD229P60076.4MPa/2502 10/2MMWd t (拉) 第27页/共62页第二十八页，共62页。 作出D点的应力(yngl)状态图 63.7MPax 0y 76.4MPaxy o120 D63.7MPa D76.4MPa 作应力圆，将cb 沿逆时针转60o 得d 点，该点坐标(zubio)为所求截面的应力 o12050.3MPa o12010.7MPa (拉) 第28页/共62页第二十九页，共62页。max82.75MPa 由应力(yngl)圆可得 123114.6MPa050.9MPa 由应力(yngl)圆可得 ca 到1 对应点逆时针转过67.5o oo167

17、.533.82 oo3112.556.32 ca 到3 对应点顺时针转过112.5o 第29页/共62页第三十页，共62页。一、三向应力(yngl)圆 单元体作用(zuyng)三个主应力 123 平行于主应力1 方向的任意斜面 I 上的正应力和切应力与1无关，可由应力圆 I 表示。 同理平行于主应力2和3方向的任意斜面 II 和 III 上的正应力和切应力与2和3无关，可由应力圆 II 和 III 表示。 第30页/共62页第三十一页，共62页。 三向应力状态中任意方向面上(min shn)的正应力和切应力对应于应力圆I、II、III所围阴影区域内某一点的坐标值。 第31页/共62页第三十二页

18、，共62页。二、最大应力(yngl) 1. 三向应力(yngl)状态中最大（小）正应力(yngl) max1 min3 2. 三向应力(yngl)状态中最大切应力(yngl) 13max2 最大切应力所在斜截面平行于2 ，其外法线与1 所在的平面的外法线成45o。第32页/共62页第三十三页，共62页。例：求图示应力(yngl)状态的主应力(yngl)及最大切应力(yngl)。 解：由题可得 120MPax 40MPay 30MPaxy 30MPaz （主应力） max22min()22xyxyxy 主应力 1130MPa 230MPa 330MPa 最大切应力(yngl) 13max130(

19、 30)80MPa22 22130MPa1204012040()( 30)2230MPa 第33页/共62页第三十四页，共62页。一、梁的主应力 xyyx 221()22xxxy20 223()22xxxy梁内任意(rny)点应力状态 0y x 第34页/共62页第三十五页，共62页。二、梁的主应力迹线 主应力的迹线曲线上任意一点(y din)的切线是该点主应力的方向。 主应力1迹线 主应力3迹线 第35页/共62页第三十六页，共62页。 一点(y din)应力状态由三个正应力和三个切应力分量表示。对于各向同性材料，当变形很小且在线弹性范围内时，正应变只与正应力有关，切应变只与切应力有关。 第

20、36页/共62页第三十七页，共62页。xxE xyE xzE yxE yyE yzE zxE zyE zzE x 、y 、 z同时作用，根据叠加原理得广义(gungy)胡克定律 x 单独(dnd)作用 y 单独(dnd)作用 z 单独作用 1()xxyzE 1()yyzxE 1()zzxyE xyxyG 第37页/共62页第三十八页，共62页。1()xxyzE 11231()E 22311()E 33121()E 主应变(yngbin)第38页/共62页第三十九页，共62页。二、体积(tj)胡克定律 变形(bin xng)前主单元体的体积 d d dVx y z 变形(bin xng)后主单元

21、体边长 1(1)dx 变形后主单元体的体积 1123(1)(1)(1)d d dVx y z略去高阶微量 1123(1)d d dVx y z2(1)dy 3(1)dz 第39页/共62页第四十页，共62页。变形后主(hu zh)单元体的体积 1123(1)d d dVx y z单位(dnwi)体积的体积改变 12311233(12 )3VVVVE 令 3(12 )KE 1233m 体积(tj)胡克定律 mVK 体积应变与三个主应力的平均应力成正比。 第40页/共62页第四十一页，共62页。 例：一薄壁圆筒受扭转和拉伸同时作用如图。已知材料的弹性模量E = 210GPa ，泊松比= 0.25

22、，圆筒的平均直径d = 50mm，壁厚t = 2mm，外力偶M = 600Nm，拉力(ll)F = 20kN。薄壁管截面的抗扭系数可近似取为WP= d2t / 2。求D点图所示方向的正应变。 解： 求D 点在横截面上的正应力(yngl)、切应力(yngl) 3ND620 1063.7MPa50 2 10FFAdt TD229P60076.4MPa/2502 10/2MMWd t (拉) 第41页/共62页第四十二页，共62页。 作出D点的应力(yngl)状态图 63.7MPax cos2sin222xyxyx 0y 76.4MPax D63.7MPa D76.4MPa ooo12063.763

23、.7cos240( 76.4) sin24050.3MPa22 ooo3063.763.7cos60( 76.4) sin60113.94MPa22 求 方向的正应变 o30 由广义(gungy)胡克定律得 ooo69303012011()(113.940.25 50.3) 10210 10E 30.60245 10 (拉) 第42页/共62页第四十三页，共62页。 例：图所示一薄壁容器(rngq)承受内压的作用。为了测量所受内压，用电阻应变片测得环向应变的平均值为y =35010-6。已知容器(rngq)材料的弹性模量E=210GPa，泊松比=0.25，容器(rngq)的平均直径D=500m

24、m，壁厚t=10mm。求内压p。 第43页/共62页第四十四页，共62页。4xpDt 2ypDt 0:xF 204xDpDt 0:yF 0sin d202yDpllt 解： 确定应力(yngl)状态 解得： 第44页/共62页第四十五页，共62页。4xpDt 2ypDt 根据广义(gungy)胡克定律建立应力与应变关系并确定容器的内压 11(10.5 )()()242yyxpDpDDpEEttEt 936322 210 1010 10350 103.36MPa(10.5 )500 10(10.5 0.25)yEtpD 第45页/共62页第四十六页，共62页。V 弹性(tnxng)应变能（应变能

25、）VW 当外力解除时，恢复的变形释放应变能而做功。超过弹性范围，塑性变形要耗散部分(b fen)能量，应变能不能全部转变为功。 应变能密度固体在外力作用下因变形而储存的能量。单位体积内储存的应变能。根据能量守衡第46页/共62页第四十七页，共62页。一、轴向拉伸(l shn)或压缩的应变能 1l1F1dF1d( )l11dd( )WFl 1101dd( )2lWWFlF l2NN11222F lVWF lFlEA2N( )d2lFxxVEA 第47页/共62页第四十八页，共62页。二、扭转(nizhun)的应变能 eMedMd eddWM ee01dd2WWMM 2TeTP11222M lVW

26、MMGI2TP( )d2lMxxVGI 第48页/共62页第四十九页，共62页。三、弯曲(wnq)的应变能 MdMd ddWM 01dd2WWMM 2122M lVWMEI 1. 纯弯曲(wnq) 第49页/共62页第五十页，共62页。2( )dd2MxxVEI 2. 横力弯曲(wnq) 横力弯曲(wnq)梁的应变能有弯曲(wnq)应变能和剪切应变能。对于细长梁剪切应变能与弯曲(wnq)应变能相比很小可忽略。 微段弯曲应变能 全梁的应变(yngbin)能 2( )d2lMxxVEI 第50页/共62页第五十一页，共62页。四、变形(bin xng)杆件应变能公式 12VF 线弹性(tnxng)

27、情况 非线弹性(tnxng)情况 0dVF 12VM e12VM 12VF l 第51页/共62页第五十二页，共62页。五、应变(yngbin)能密度 1. 单向(dn xin)拉压应变能密度 d dy z dx 0d=dd d d dVWy z x d d dx 00d d d ddddd d dy z xVVy z x 22222EE第52页/共62页第五十三页，共62页。2. 剪切应变(yngbin)能密度 d dy z dx 0d=dd d d dVWy z x d d dx 00d d d ddddd d dy z xVVy z x 22222GG第53页/共62页第五十四页，共62

28、页。3. 复杂应力状态(zhungti)的应变能密度 三向应力状态 123112233111222 22312212233112 ()2E 应变能密度 体积改变能密度 V 畸变能密度 d 第54页/共62页第五十五页，共62页。体积(tj)改变能密度 V111222mmmmmm 212312()6E 23(12 )2mE dV2221223311()()() 6E 2221231223311()3E 畸变(jbin)能密度 第55页/共62页第五十六页，共62页。 例：试以应变能密度的概念建立(jinl)各向同性材料的弹性常数之间的关系。 解：纯剪单元体主应力 1 20 3 建立纯剪单元体的应变(yngbin)能密度表达式 22G 建立(jinl)纯剪单元体的主应力的应变能密度表达式 22231221223311(1)2 ()2EE 22(1)2GE 2(1)EG 第56页/共62页第五十七页，共62页。 例：简易起重机如图，FP=30kN。BD杆为无缝钢管，外径90mm，壁厚2.5mm，杆长l2=3m。弹性模量(tn xn m lin)E2=210GPa。BC是两条横截面面积为172mm2的钢索，弹性模量(tn xn m lin)E1=177GPa。不考虑立柱的变形，试求B点的垂直位移。 解： BC钢索(n su)的长度 BD杆的长度(chngd) BC钢索的横截面面