第2章_土壤水动力学基本方程

1、第2章 土壤水动力学基本方程2.1 2.1 土壤水流概述土壤水流概述 毛细管中的层流运动和土壤水流简化模型毛细管中的层流运动和土壤水流简化模型 2.2 2.2 饱和土壤水运动的达西定律饱和土壤水运动的达西定律2.3 2.3 非饱和土壤水运动的达西定律非饱和土壤水运动的达西定律2.4 2.4 土壤水运动的基本方程及定解条件土壤水运动的基本方程及定解条件2.5 2.5 土壤水运动其它求解方法土壤水运动其它求解方法 零通量法、表面零通量法、表面 通量法和定位通量法通量法和定位通量法2.6 2.6 土壤中溶质运移的基本方程土壤中溶质运移的基本方程2.7 2.7 土壤中热流基本方程土壤中热流基本方程2.

2、1 2.1 土壤水流概述土壤水流概述2.1.1 2.1.1 毛细管中的毛细管中的层流层流运动运动yuFddyudd单位面积切应力单位面积切应力Poiseuill(普氏）定律：普氏）定律：取流股取流股流股圆柱面压力为流股圆柱面压力为212pppyp作用流股侧面积的切应力为作用流股侧面积的切应力为yL22yLpyudd负号出现是由于负号出现是由于 随随 的增长而减少。的增长而减少。uy液体质点作有条不紊的线液体质点作有条不紊的线性运动，彼此互不混杂。性运动，彼此互不混杂。图图2-1 2-1 圆管中的层流运动圆管中的层流运动2.1 2.1 土壤水流概述土壤水流概述2.1.1 2.1.1 毛细管中的层

3、流运动毛细管中的层流运动由此由此2yLpdydu积分得积分得 42yCLpyu积分常数积分常数 ： 求得求得0uRy4RC2C得得 224yRLpyu在在 处，处，0yLpRu42max单位时段通过细管的流量单位时段通过细管的流量LpRyyuuQR8240dd通过细管的平均流速通过细管的平均流速paRLpRu228细管形细管形状参数状参数压力梯度压力梯度2.1 2.1 土壤水流概述土壤水流概述2.1.2 2.1.2 土壤水流简化模型土壤水流简化模型为什么需要简化模型为什么需要简化模型Q简化简化QJw平均平均“流速流速”实际流量实际流量横截面面积横截面面积通量（通量（L/T) L/T) ：水流并

4、不是在整个横截面水流并不是在整个横截面 上进上进行；真实水流通道大于表观长度。行；真实水流通道大于表观长度。wJ压力势或基质势压力势或基质势与实际土壤孔隙与实际土壤孔隙中的势能相等。中的势能相等。2.2 2.2 饱和土壤水运动的达西定律饱和土壤水运动的达西定律 饱和流：水分充满土壤孔隙的水流。饱和流：水分充满土壤孔隙的水流。2.2.1 Darcy 2.2.1 Darcy 定律定律wJ通量通量 ：QJw21HH 1-11-1和和2-22-2之间产生一个力之间产生一个力F2121zzHHzHFDarcy研究：研究：wJF 引进一个比例常数引进一个比例常数 ，称作土壤，称作土壤导水率（导水率（soi

5、l water conductivity)sKQ水力传导度水力传导度2.2.2 Darcy 2.2.2 Darcy 定律的适用范围定律的适用范围Darcy定律只适应土壤水流为定律只适应土壤水流为层流层流的情况。的情况。水流的两种流动形态水流的两种流动形态对颗粒极细的土壤，如粘土，水流对颗粒极细的土壤，如粘土，水流表现出非表现出非NewtonNewton流流( (BinghamBingham流流) )性性质。质。屈服点屈服点临界梯度临界梯度实际上，实际上，Darcy定律在绝大多数情况定律在绝大多数情况下可应用于土壤水流计算，只是在粗下可应用于土壤水流计算，只是在粗砂或粘质土壤情况下要注意砂或粘质

6、土壤情况下要注意Darcy定定律的限定。律的限定。2.2 2.2 饱和土壤水运动的达西定律饱和土壤水运动的达西定律 2.2.3 2.2.3 导水率导水率导水率导水率 综合反映了多孔介质和流体的某些物理性质。综合反映了多孔介质和流体的某些物理性质。sK（1） 计算导水率计算导水率 的公式的公式sK（2） 实验室测定实验室测定实验室测定仪器的基本原理实验室测定仪器的基本原理与与Darcy原始实验装置大致类原始实验装置大致类似，只是多采用似，只是多采用自下而上的自下而上的水流水流。定水头法：定水头法：Why?HQKs2.2 2.2 饱和土壤水动的达西定律饱和土壤水动的达西定律 2.2 2.2 饱和土

7、壤水运动饱和土壤水运动 的达西定律的达西定律 2.2.3 2.2.3 导水率导水率（2） 实验室测定实验室测定变水头法：变水头法：示意图示意图br2R2L1t 时刻立管水柱深时刻立管水柱深 ， 时刻为时刻为 ，时，时刻为刻为 。通量。通量1b2b t tb2t tRtbrtRtbJdddrd2w222土柱底部土柱底部000111Hpz土柱顶部土柱顶部 tbLHtbpLz222 LtbLKzzHHKtRtbrJss212122ddw2.22.2饱和土壤水运动的达西定律饱和土壤水运动的达西定律 2.2.3 2.2.3 导水率导水率（2） 实验室测定实验室测定变水头法：变水头法：整理得：整理得： t

8、KtbLtbRrLsdd22积分得：积分得： 212122ttsbbdtKtbLtbRrLd 122212lnttRLbLbLrKs变更立管水深，可求得变更立管水深，可求得一系列一系列 ，在误差范，在误差范围内求其平均值。围内求其平均值。sK无论定水头法无论定水头法还是变水头法还是变水头法必须考虑土样必须考虑土样的代表性。的代表性。2.2.3 2.2.3 导水率导水率（3） 田间现场测定田间现场测定双环法：双环法：tWKs入渗量入渗量(cm3)测定时段测定时段内环横截面积内环横截面积双环法一般只能测定地表土壤导水双环法一般只能测定地表土壤导水率，用其他仪器，如率，用其他仪器，如Guelph仪可

9、测仪可测其他深度土壤的导水率。其他深度土壤的导水率。导水率大致范围导水率大致范围6cm/d 很小很小 6 616cm/d 低低 1640cm/d 中中 40100cm/d 高高 100cm/d 很高很高 外环的作用？外环的作用？2.22.2饱和土壤水运动的达西定律饱和土壤水运动的达西定律 2.32.3非饱和土壤水运动的达西定律非饱和土壤水运动的达西定律 绝大多数田间和植物根区的土壤水流过程都处绝大多数田间和植物根区的土壤水流过程都处在非饱和状态。非饱和流研究为土壤物理学最在非饱和状态。非饱和流研究为土壤物理学最活跃的研究领域之一。活跃的研究领域之一。2.3.1 2.3.1 非饱和流与饱和流的比

10、较非饱和流与饱和流的比较（1）土壤水流驱动力不同）土壤水流驱动力不同（2） 导水率的差别导水率的差别（3） 土壤孔隙对饱和水流和非饱和水流影响的差别土壤孔隙对饱和水流和非饱和水流影响的差别非非饱和流与饱和流的比较：饱和流与饱和流的比较：共同之处：共同之处：都服从热力学第二定律，都是从水势高的地都服从热力学第二定律，都是从水势高的地方向水势低的地方运动。方向水势低的地方运动。不同之处：不同之处：土壤水流的驱动力不同。土壤水流的驱动力不同。 饱和流的驱动力是重力势和压力势；饱和流的驱动力是重力势和压力势； 非饱和流的是重力势和基质势。非饱和流的是重力势和基质势。导水率差异导水率差异 非饱和导水率远

11、低于饱和导水率；当基质势从非饱和导水率远低于饱和导水率；当基质势从0降低到降低到-100kpa时，导水率可降低几个数量级，只相当于饱和导时，导水率可降低几个数量级，只相当于饱和导水率的十万分之一。水率的十万分之一。土壤空隙的影响土壤。土壤空隙的影响土壤。在高吸力下，粘土的非饱和导在高吸力下，粘土的非饱和导水率比砂土高。水率比砂土高。饱和流与非饱和流（饱和流与非饱和流（1） 饱和流：土壤空隙全部充满水时的流动。饱和流：土壤空隙全部充满水时的流动。v发生情形发生情形： 1. 大量持续降水和稻田淹灌时，垂直向下；大量持续降水和稻田淹灌时，垂直向下； 2. 地下泉水涌出，垂直向上；地下泉水涌出，垂直向

12、上； 3. 平原水库库底周围，水平方向。平原水库库底周围，水平方向。n推动力：推动力：重力势梯度和压力势梯度重力势梯度和压力势梯度v影响因素：影响因素：soil texture and structure饱和流与非饱和流（饱和流与非饱和流（2） 非饱和流：土壤空隙未全部充满水时的流动。非饱和流：土壤空隙未全部充满水时的流动。v发生情形：发生情形：大多数情况大多数情况v推动力：推动力：基模势梯度和重力势梯度基模势梯度和重力势梯度2.32.3非饱和土壤水运动的达西定律非饱和土壤水运动的达西定律 2.3.2 Buckingham-Darcy2.3.2 Buckingham-Darcy通量定律通量定律

13、Buckingham对对Darcy定律描述土壤非饱和流提出修正的两个定律描述土壤非饱和流提出修正的两个基本假设：基本假设： 土壤非饱和流驱动力是基质势与重力势之和的梯度；土壤非饱和流驱动力是基质势与重力势之和的梯度； 非饱和土壤水流的导水率是土壤含水量或基质势的函数。非饱和土壤水流的导水率是土壤含水量或基质势的函数。以水势头为单位，以水势头为单位，Buckingham-Darcy通量定律可写成：通量定律可写成： 1zhhKzzhhKzHhKJw符号相同符号相同,向上为正向上为正难难点点2.32.3非饱和土壤水运动的达西定律非饱和土壤水运动的达西定律 2.3.2 Buckingham-Darcy

14、2.3.2 Buckingham-Darcy通量定律通量定律Buckingham-Darcy通量定律也可写成：通量定律也可写成： 1zhhKzzhhKzHhKJw问题：两种写法是否会影响计算结果？问题：两种写法是否会影响计算结果？基质势基质势 是土壤深度是土壤深度 和时间和时间 的函数，所以用偏微分的函数，所以用偏微分 表示：表示：hztzhztzhtzzhzhzhzt,lim0偏微分方程用以对非稳态流的数学描述，如是稳态流，上式变偏微分方程用以对非稳态流的数学描述，如是稳态流，上式变为常微分方程。为常微分方程。符号相反符号相反,向下为正向下为正2.32.3非饱和土壤水运动的达西定律非饱和土壤

15、水运动的达西定律 .3非饱和导水率的数学表达非饱和导水率的数学表达在饱和含水量附近，砂质土壤在饱和含水量附近，砂质土壤的导水率高于粘质土壤。的导水率高于粘质土壤。随着吸力的发展，砂质土壤大孔隙排空，流径随着吸力的发展，砂质土壤大孔隙排空，流径增加，由此其导水率低于粘质土壤。增加，由此其导水率低于粘质土壤。几个非饱和导水率经验公式：几个非饱和导水率经验公式： mSbaSK 1msCSKSK mssKK rsrMsMKK1121212.32.3非饱和土壤水运动的达西定律非饱和土壤水运动的达西定律 .3非饱和导水率的数学表达非饱和导水率的数学表达毛细管模型将土壤概化为

16、一束不同数量和尺寸的毛细管，并假定毛细管模型将土壤概化为一束不同数量和尺寸的毛细管，并假定毛管束的特征曲线与所代表的实际土壤的特征曲线相同。以下几毛管束的特征曲线与所代表的实际土壤的特征曲线相同。以下几方面与实际土壤不同：方面与实际土壤不同： 毛细管有相同长度；毛细管有相同长度； 水流边界与实际土壤不同；水流边界与实际土壤不同； 毛细管半径完全控制着水膜厚度；毛细管半径完全控制着水膜厚度； 水流是稳态的。水流是稳态的。 每根毛细管都是连通的；每根毛细管都是连通的；2.32.3非饱和土壤水运动的达西定律非饱和土壤水运动的达西定律 .3非饱和导水率的数学表达非饱和导水率的数学表达由

17、普氏定律：由普氏定律：LpRQ84HgpwcjjLHgRQ84w w半径为半径为 毛细毛细管的流量管的流量jR模型的毛细管长度，实际土模型的毛细管长度，实际土壤表观长度为壤表观长度为 ， 。LcLL通过模型的总流量通过模型的总流量MjjjcjMjjTRNLHQNQ1418 8wgwg毛管束中半径为毛管束中半径为 的毛管数量。的毛管数量。jR毛管束中不同尺寸毛细管的数量。毛管束中不同尺寸毛细管的数量。通过毛管束的通量通过毛管束的通量MjjjcTRnLHgQJ148ww ，毛管中半径为，毛管中半径为 的毛的毛细管单位面积的数量。细管单位面积的数量。jjNn jR用于计算非饱和导水率的毛细管模型用于

18、计算非饱和导水率的毛细管模型2.32.3非饱和土壤水运动的达西定律非饱和土壤水运动的达西定律 .3非饱和导水率的数学表达非饱和导水率的数学表达如图，将实际土壤水特征曲线如图，将实际土壤水特征曲线 分分成等宽为成等宽为 的若干份。的若干份。 h于是有于是有,2,21sshhhh假定：当假定：当 时，时， 的毛管都排空。的毛管都排空。jhh jRR jjghRw2毛管半径由毛管半径由确定。确定。如假定毛管横截面面积如假定毛管横截面面积 ，则单位长，则单位长度毛管排水量为：度毛管排水量为：2R211211RnRn如此，如此，2jjRn代入毛管通量计算式代入毛管通量计算式MjjjcRn

19、LHgJ148ww2.32.3非饱和土壤水运动的达西定律非饱和土壤水运动的达西定律 .3非饱和导水率的数学表达非饱和导水率的数学表达zHLLhgLHLLhgLHLLhgLHRgRRLHgJcMjjcMjjcMjjcMjjMjjjc12212212212142120121288w ww ww ww ww ww w设设MjjshgK12212w为弯曲度。为弯曲度。cLL2.32.3非饱和土壤水运动的达西定律非饱和土壤水运动的达西定律 .3非饱和导水率的数学表达非饱和导水率的数学表达含水量为含水量为 ，s最大半径为最大半径为 的毛管排空。的毛管排空。1RMjjshgK

20、22212w对一般情况对一般情况1, 2 , 112122MihgiKMijjsw又又MjjMijjMjjMijjsshhhghgKiK1212122122111212ww212111,2,11Mj ijssMjjhKiKiMh 例题例题2.1 一个重要概念：通量不随时间变化的土壤水流称一个重要概念：通量不随时间变化的土壤水流称做稳态流，或恒定流；通量随时间变化的土壤水流称作做稳态流，或恒定流；通量随时间变化的土壤水流称作非稳态流，或非恒定流，或瞬态流。非稳态流，或非恒定流，或瞬态流。讨论：讨论：如如Darcy实验示意实验示意图。当土壤水流达图。当土壤水流达到稳态水流后，哪到稳态水流后，哪些土

21、壤水运动要素些土壤水运动要素不随时间发生变化不随时间发生变化？水位水位在这种情况在这种情况下，土壤水下，土壤水流是否能达流是否能达到稳态流？到稳态流？2.3.4 稳定状态下的非饱和流问题稳定状态下的非饱和流问题2.3非饱和土壤水运动的达西定律非饱和土壤水运动的达西定律 2.3.4 稳定状态下的非饱和流问题稳定状态下的非饱和流问题非饱和流在大多数情况下都处在非稳定状态，只有在一些理想非饱和流在大多数情况下都处在非稳定状态，只有在一些理想条件下才可近似将非饱和流看作稳态流。条件下才可近似将非饱和流看作稳态流。当基质势差当基质势差 在土柱两端（在土柱两端（ ）保持不变，）保持不变，则土柱水流最终达到

22、稳态。则土柱水流最终达到稳态。Buckingham-Darcy 定律可写成：定律可写成：12hhh12zzL 1zhhKJddwBuckingham-Darcy通量定律通量定律 1zhhKJw w 为常微分，因为只取决于为常微分，因为只取决于 ，而与，而与 无关。无关。zhddzt2.3非饱和土壤水运动的达西定律非饱和土壤水运动的达西定律 （1） Darcy定律的积分形式定律的积分形式 1zhhKJddw 1zhhKJddw zhhKJddw 1 zhKJhd dd dw w1当当 2211,zhhzhh 2121211zzzhKJhzzhhddw2.3非饱和土壤水运动的达西定律非饱和土壤水运

23、动的达西定律 （2） 地下水稳定时的土壤蒸发地下水稳定时的土壤蒸发虽然田间水分蒸发不是一个稳态过程，但稳定的地下虽然田间水分蒸发不是一个稳态过程，但稳定的地下水位向裸地土壤表面蒸发，在一段时间，大气蒸发条水位向裸地土壤表面蒸发，在一段时间，大气蒸发条件相对稳定，可近似看作稳态蒸发。件相对稳定，可近似看作稳态蒸发。例题例题2.22.2（3） 稳态向下的土壤水流稳态向下的土壤水流向下的稳态水流在田间几乎不会出现，但在某些情况向下的稳态水流在田间几乎不会出现，但在某些情况下，如频繁灌水或降雨，可近似地将向下的田间水流下，如频繁灌水或降雨，可近似地将向下的田间水流看作向下运动的稳态流问题。看作向下运动

24、的稳态流问题。例题例题非饱和土壤水运动的达西定律非饱和土壤水运动的达西定律 （3） 稳态向下的土壤水流稳态向下的土壤水流对任何通量对任何通量 ，当地下水，当地下水位不太浅时，接近地表位不太浅时，接近地表的基质势趋于常数。的基质势趋于常数。i重要结论：当水流以常量重要结论：当水流以常量下渗时，下渗时， 趋于趋于0 0，水流，水流只在重力梯度下运动。可只在重力梯度下运动。可得：得：zh dd hKJw w（4） 非饱和导水率的稳非饱和导水率的稳态实验室测定态实验室测定例题例题非饱和土壤水运动的达西定律非饱和土壤水运动的达西定律 .5 测定非饱和导

25、水率的瞬时剖面法测定非饱和导水率的瞬时剖面法实验室测定：如图，土柱进水底面为参照面，向上为正。实验室测定：如图，土柱进水底面为参照面，向上为正。 1zSKzzSKzzhKJw 1zSwJKzwJtwddJzt zJzJztzwwd002.3非饱和土壤水运动的达西定律非饱和土壤水运动的达西定律 .5 测定非饱和导水率的瞬时剖面法测定非饱和导水率的瞬时剖面法 zztJzJ0wwd0is在每次测定间隔在每次测定间隔 确定情况下：确定情况下：tztztztz1d0ztzd0实际是图中两条曲线的面积。实际是图中两条曲线的面积。由供水的由供水的Mariotte瓶刻度读出瓶刻度读出2.3非饱

26、和土壤水运动的达西定律非饱和土壤水运动的达西定律 2.3.5 测定非饱和导水率的瞬时剖面法测定非饱和导水率的瞬时剖面法田间测定：田间测定一般不会有实验室测定那样的通过田间测定：田间测定一般不会有实验室测定那样的通过Mariotte瓶瓶测得的测得的 ，因此计算水流通量的公式写成更一般形式。，因此计算水流通量的公式写成更一般形式。0wJNiztJztJJNiizziiiii, 2 , 11111wwwdNi, 2 , 1式中，式中， 为测定点的编号，即张力计（或为测定点的编号，即张力计（或TDRTDR）埋设根数。埋设根数。 瞬时剖面法测定关键是要事先确定一个截面的通量，可通过地表瞬时剖面法测定关键

27、是要事先确定一个截面的通量，可通过地表辅膜或零通量面法确定。辅膜或零通量面法确定。 1zSwJK由由 确定确定 ，在得到足够数据后，可选线型拟合。，在得到足够数据后，可选线型拟合。 K与毛管模型法比较与毛管模型法比较2.3非饱和土壤水运动的达西定律非饱和土壤水运动的达西定律 2.4 2.4 非饱和土壤水运动的基本方程非饱和土壤水运动的基本方程zyx,如图，取一块长，宽，高为如图，取一块长，宽，高为 微小土体。微小土体。根据物质守恒原理。根据物质守恒原理。对一维垂直流：对一维垂直流：在在 时段进入土体的水量时段进入土体的水量= =t在在 时段离开土体的水量时段离开土体的水量+ +t在在 时段储存

28、在土体中水容量的增量时段储存在土体中水容量的增量+ +t在在 时段由植物根系吸收而失去的水量时段由植物根系吸收而失去的水量t.1质量守恒与基本方程的推导质量守恒与基本方程的推导.1质量守恒与基本方程的推导质量守恒与基本方程的推导进入土体的水容量进入土体的水容量= =tyxttzyxJ21,w离开土体的水容量离开土体的水容量= =tyxttzzyxJJ21,ww储存在土体中水容量的增量储存在土体中水容量的增量= =zyxtzzyxttzzyx,21,21,土体中由植物吸收的水容量土体中由植物吸收的水容量= =tzyxrw源汇项源汇项.1质量守恒与基

29、本方程的推导质量守恒与基本方程的推导由物质守恒原理可得：由物质守恒原理可得：tyxttzzyxJtyxttzyxJ21,21,wwzyxtzzyxzyxttzzyx,21,21,tzyxrw两边同除以两边同除以tzyxzttzyxJttzzyxJ21,21,ww0,21,21,wrttzzyxttzzyx2.4 2.4 非饱和土壤水运动的基本方程非饱和土壤水运动的基本方程.1质量守恒与基本方程的推导质量守恒与基本方程的推导当当,0,0tz有：有：0wwzrtJ对更一般的三维情况，有：对更一般的三维情况，有：0wwwwrtzJyJxJzyxkJjJiJJzyxwwwwkji,zy

30、x,分别是分别是方向三个单位矢量。方向三个单位矢量。当土体中无植物根系存在，当土体中无植物根系存在， 。0wr以上推导两个基本假设：水是不可压缩的；以上推导两个基本假设：水是不可压缩的； 土壤基质在水流过程中保持不变。土壤基质在水流过程中保持不变。2.4 2.4 非饱和土壤水运动的基本方程非饱和土壤水运动的基本方程.2基本方程的各种形式基本方程的各种形式（1 1）以含水率）以含水率为因变量的基本方程为因变量的基本方程（2 2）以基质势）以基质势h h为因变量的基本方程为因变量的基本方程（3 3）RichardsRichards方程的柱坐标形式方程的柱坐标形式2.4 2.4 非饱

31、和土壤水运动的基本方程非饱和土壤水运动的基本方程2.4.2基本方程的各种形式基本方程的各种形式(1) Richards方程的含水量形式（方程的含水量形式（ 方程）方程）Darcy定律的定律的 变量形式：变量形式： 可以直接写成可以直接写成 的函数：的函数：K KhK 由微分变换由微分变换zhzhdd比水容量比水容量 hCCdd KzhKzhhKJddw1 KzDKzCK代入连续性方程：代入连续性方程： zKzDzt zKzDzt 方程，又称扩散型方程。方程，又称扩散型方程。上式是一个二阶非线性偏微分方程。非线性是指所求函数上式是一个二阶非线性偏微分方程。非线性是指所求函数 又又是是 和和 的变

32、量。的变量。DK注意：土壤水运动不是扩散运动，注意：土壤水运动不是扩散运动， 的引入只是一种数学处的引入只是一种数学处理方式。理方式。 D扩散运动的驱动力是浓度梯度，而土壤水运动的驱动力是土水势梯度。扩散运动的驱动力是浓度梯度，而土壤水运动的驱动力是土水势梯度。扩散型方程的优点是，与扩散型方程的优点是，与 相比，相比， 的变化范围要小得的变化范围要小得多；其缺点是扩散型方程只能用在均质土壤剖面上。多；其缺点是扩散型方程只能用在均质土壤剖面上。 K DWhy?(1) Richards方程的含水量形式（方程的含水量形式（ 方程）方程）2.4.2基本方程的各种形式基本方程的各种形式(2) Richa

33、rds方程的基质势形式（方程的基质势形式（ 方程）方程）h由导数性质，有：由导数性质，有： ddhhC hthtt也是比水容量也是比水容量， hhCdd代入连续性方程：代入连续性方程： zhKzhhKzthhC上式称作上式称作Richards方程的基质势形式，又称方程的基质势形式，又称 方程。也是一个二方程。也是一个二阶非线性偏微分方程。从理论上讲，可以用在非均质土壤剖面的阶非线性偏微分方程。从理论上讲，可以用在非均质土壤剖面的水流问题。水流问题。h无论无论 方程还是方程还是 方程，一般都忽略土壤水的滞后作用。方程，一般都忽略土壤水的滞后作用。h2.4.2基本方程的各种形式基本方程的各种形式(

34、3) Richards方程的柱坐标形式方程的柱坐标形式如图，以如图，以 为垂直轴的为垂直轴的DarcyDarcy定律可表示为：定律可表示为：z zHKJHKrJrHKJzwwwr1基本假设：水是不可压缩的；基本假设：水是不可压缩的；土壤基质在水流过程中不变形；土壤基质在水流过程中不变形；土壤是各向同性的（土壤是各向同性的（isotropicisotropic）。2.4.2基本方程的各种形式基本方程的各种形式 方向：方向：r在在 时段，流入流出的水量差：时段，流入流出的水量差：ttzrrJrJrrww在在 时段，流入单元体的水量：时段，流入单元体的水量：ttzrJr rw w入流面积入流面积流出

35、水量：流出水量：tzrrrrJJrrww出流面积出流面积(3) Richards方程的柱坐标形式方程的柱坐标形式2.4.2基本方程的各种形式基本方程的各种形式 方向：方向： 时段流入水量：时段流入水量：ttzrJw入流面积入流面积流出水量：流出水量：tzrJJww出流面积出流面积在在 时段，流入流出的水量差：时段，流入流出的水量差：ttzrJw 方向：方向：z在在 时段，流入流出的水量差：时段，流入流出的水量差：ttzrrJzzw面积面积(3) Richards方程的柱坐标形式方程的柱坐标形式2.4.2基本方程的各种形式基本方程的各种形式在在 时段流入和流出单元体总的水量差：时段流入和流出单元

36、体总的水量差：ttzrzJrJrJrJzrrwwww单元体体积为：单元体体积为：zrrr2略去高阶无穷小量后为：略去高阶无穷小量后为：zrr单元体内水分增量为：单元体内水分增量为：tzrrt由物质守恒原理，由物质守恒原理，得连续性方程：得连续性方程：zJJrrJJrtzrrwwww11(3) Richards方程的柱坐标形式方程的柱坐标形式2.4.2基本方程的各种形式基本方程的各种形式将柱坐标系将柱坐标系DarcyDarcy定律代入连续性方程，得：定律代入连续性方程，得： zHKJHKrJrHKJzwwwr1 zHKzHKrrHKrrHrKt21柱坐标柱坐标RichardsRichards方程

37、常写成：方程常写成： zKzhKzhKrrhrKrrt211(3) Richards方程的柱坐标形式方程的柱坐标形式2.4.2基本方程的各种形式基本方程的各种形式同样，柱坐标下的同样，柱坐标下的RichardsRichards方程也可写出方程也可写出 方程和方程和 方程：方程：h zKzDzDrrrDrrt211 方程：方程： 方程：方程：h zhKzhhKzhhKrrhhrKrrthhC211对对 在在 方向无变化，同时具有轴对称特点，方程可以简化为：方向无变化，同时具有轴对称特点，方程可以简化为：z rhrKrrt1或或 rrDrrt1 例题例题2.5(3) Richards方程的柱坐标形

38、式方程的柱坐标形式2.4.2基本方程的各种形式基本方程的各种形式2.4.3 土壤水运动方程的定解条件土壤水运动方程的定解条件 基本方程基本方程定解问题定解问题 初始条件初始条件 定解条件定解条件 边界条件边界条件(1) 初始条件（初始条件（initial condition） 表示所研究问题的初始状态：表示所研究问题的初始状态：)()0,(0zz)()0,(0zzmm梁昆淼，数学物理梁昆淼，数学物理方法，人民教育方法，人民教育出版社，出版社，1979对于对于方程：方程：对于对于 方程：方程：)()0,(0zzmm用角标用角标“0”表示初始已知量表示初始已知量(2) 边界条件（边界条件（boun

39、dary conditions） 边界条件一般分为三种：一、二、三类边界。边界条件一般分为三种：一、二、三类边界。 一类边界条件一类边界条件(Dirichlet)：变量已知边界：变量已知边界)(),(10ttz)(),(10ttzmm对于对于方程：方程：对于对于 方程：方程：)()0,(0zzmm用角标用角标“1”表示第一类边界上的值。表示第一类边界上的值。 在一维垂向土壤水分运动中，一类边界的情况发生：在一维垂向土壤水分运动中，一类边界的情况发生：(1) 压力入渗（地表有薄层积水）；压力入渗（地表有薄层积水）；(2) 强烈蒸发（表土达到风干含水率）。强烈蒸发（表土达到风干含水率）。 二类边界

40、条件二类边界条件(Neumann)：水流通量已知边界：水流通量已知边界)()()(2tKzD)()()(2tKzKmmm对于对于方程：方程：对于对于 方程：方程：)()0,(0zzmm用角标用角标“ ”表示第二类边界。表示第二类边界。)()()(2tKzKmmm 在一维垂向土壤水分运动中，二类边界的情况发生：在一维垂向土壤水分运动中，二类边界的情况发生：(1) 降雨、灌水入渗、蒸发强度已知的边界；降雨、灌水入渗、蒸发强度已知的边界；(2) 不透水边界和无蒸发入渗的边界，此时不透水边界和无蒸发入渗的边界，此时 =0 。)()()(2tKzKmmm 三类边界条件三类边界条件(Cauchy)：水流通

41、量随边界：水流通量随边界 上的变上的变 量量或或 而变化的情况。而变化的情况。),()()(3tfKzD),()()(3tfKzKmmmm)()0,(0zzmm),()()(3tfKzD对于对于方程：方程：用角标用角标“ ”表示第三类边界。表示第三类边界。),()()(3tfKzD321fzf通式：通式：时，则为第三类边界。时，则为第二类边界。时，则为第一类边界。000321)()0,(0zzmm其中，其中，fVariable(, )对于对于 方程：方程：)()0,(0zzmm1. 试推导垂直一维土壤水流的基本试推导垂直一维土壤水流的基本方程，并写出如右图所示情况方程，并写出如右图所示情况AB

42、剖面土壤水分运移的定解问题。剖面土壤水分运移的定解问题。（地表入渗强度为（地表入渗强度为q(t)，B点地下点地下水位保持不变，水位保持不变，AB剖面土壤均剖面土壤均质）。质）。 B Azq(t)第第2章章 作业作业2.52.5土壤水运动其它求解方法土壤水运动其它求解方法-通量法通量法tyxzqqqxyz = =简化为简化为zqtz 积分得积分得 zzq zq zdzt21,zzzzz t dzz t dzQ z Q z= =对上式积分得对上式积分得 确定某一断面处的通量，主要应用达西定律，确定某一断面处的通量，主要应用达西定律，其方法有零通量法，表面通量法和定位通量法，统其方法有零通量法，表面

43、通量法和定位通量法，统称为土壤水分运动通量法。称为土壤水分运动通量法。定定义义零通量面（零通量面（ZFP-Zero Flux Plane）在土壤较为潮湿情况下，剖面上部由于蒸发水分向上运动；而在土壤较为潮湿情况下，剖面上部由于蒸发水分向上运动；而剖面下部水分在重力作用下向下运动。在水分向上和向下运动剖面下部水分在重力作用下向下运动。在水分向上和向下运动交接处，必然会出现零通量面。交接处，必然会出现零通量面。由由DarcyDarcy定律：定律： zHKzHhKJwzHZFPZFP0如图，如图，ZFPZFP处切线斜率垂直于处切线斜率垂直于 轴，即轴，即 H0zHZFPZFP是一个复杂问题，有许多这

44、方面的研究。是一个复杂问题，有许多这方面的研究。例题例题土壤水运动其它求解方法土壤水运动其它求解方法-通量通量法法.1零通量面与零通量法零通量面与零通量法2.52.5土壤水运动其它求解方法土壤水运动其它求解方法-通量法通量法零通量面的类型零通量面的类型单一聚合型零通量面单一聚合型零通量面( (该情况下土壤水分该情况下土壤水分由上下两侧向零通量面迁移由上下两侧向零通量面迁移 ) ) 单一发散型零通量面单一发散型零通量面 ( (该情况下土壤水分该情况下土壤水分由零通量面向上下两侧迁移由零通量面向上下两侧迁移 ) )具有多个零通量面具有多个零通量面 ( (发生在间隔

45、降雨，入发生在间隔降雨，入渗和蒸发交替出现的情况下渗和蒸发交替出现的情况下 ) )2.52.5土壤水运动其它求解方法土壤水运动其它求解方法-通量法通量法.1零通量面与零通量法零通量面与零通量法(a)(a)单一聚合型单一聚合型(b)(b)单一发散型单一发散型(c)(c)多零通量面多零通量面sQ零通量面位置不变时水势与含水率的分布零通量面位置不变时水势与含水率的分布 0012,HHzzz t dzz t dz=sQ 即图中即图中abcdabcd的面积。当的面积。当含水率减少时，含水率减少时， 0 0，表示通量向上，土壤水分表示通量向上，土壤水分蒸发；反之，蒸发；反之， 0 0， 表

46、表示通量向下，水分向下层示通量向下，水分向下层土壤入渗。土壤入渗。sQsQ2.52.5土壤水运动其它求解方法土壤水运动其它求解方法-通量法通量法.1零通量面与零通量法零通量面与零通量法00g2100Q,zzz t dzz t dz 即图中即图中adeade的面积。的面积。当土壤含水量减少时当土壤含水量减少时， ，表示通量，表示通量向下，即潜水接受补向下，即潜水接受补给；反之，给；反之， 0 0，表，表示通量向上，意味着示通量向上，意味着蒸发时潜水有消耗。蒸发时潜水有消耗。 gQgQgQ2.52.5土壤水运动其它求解方法土壤水运动其它求解方法-通量法通量法.1零通

47、量面与零通量法零通量面与零通量法表面通量法表面通量法 表面通量法是以地表处的入渗量或蒸发量作为已表面通量法是以地表处的入渗量或蒸发量作为已知条件的。知条件的。 21,HHszzQ zQz t dzz t dz定位通量法定位通量法211mmmq zKz 21,zzzzQ zQ zz t dzz t dz2.52.5土壤水运动其它求解方法土壤水运动其它求解方法-通量法通量法.2表面通量法表面通量法2.6 2.6 土壤中溶质运移的基本方程土壤中溶质运移的基本方程 土壤中的溶质处在一个物理，化学和生土壤中的溶质处在一个物理，化学和

48、生物的物的相互联系和连续变化的系统中。本相互联系和连续变化的系统中。本节侧重分析溶质运移的节侧重分析溶质运移的物理作用物理作用，并认，并认为溶质运移主要是通过为溶质运移主要是通过对流和水动力弥对流和水动力弥散散两种作用实现的。两种作用实现的。2.6 土壤中溶质运移的基本方程土壤中溶质运移的基本方程2.6.1 土壤溶质的形成形式土壤溶质的形成形式 严格而言，自然界中的土壤水分都是以溶液形式存在的。以溶液中严格而言，自然界中的土壤水分都是以溶液形式存在的。以溶液中的溶质为考察对象，考察某一深度土体土壤溶质的形成形式：的溶质为考察对象，考察某一深度土体土壤溶质的形成形式：进入溶液的溶质：进入溶液的溶

49、质： 1.1.以降水，灌溉和径流形式从土壤表层进入土壤；以降水，灌溉和径流形式从土壤表层进入土壤；2.2.原先在土壤颗粒上的物质会被土壤溶液所溶解原先在土壤颗粒上的物质会被土壤溶液所溶解或解吸附而进入土壤溶液；或解吸附而进入土壤溶液； 3.3.土壤空气中的一些物质也会进入土壤溶液。土壤空气中的一些物质也会进入土壤溶液。 离开溶液的溶质：离开溶液的溶质： 1.1.溶质会从研究土体的下界面离开研究土体；溶质会从研究土体的下界面离开研究土体； 2.2.溶液中一部分溶质会沉降到土壤颗粒上，也可溶液中一部分溶质会沉降到土壤颗粒上，也可能被土壤颗粒吸附而脱离土壤溶液；能被土壤颗粒吸附而脱离土壤溶液； 3.

50、3.一些溶质挥发脱离土壤溶液而进入土壤空气中。一些溶质挥发脱离土壤溶液而进入土壤空气中。还有一个重要形成过程是溶液中的溶质与周围环境中的某些物质或还有一个重要形成过程是溶液中的溶质与周围环境中的某些物质或自身发生各种化学或生物反应，使土壤溶液中的溶质增加或减少。自身发生各种化学或生物反应，使土壤溶液中的溶质增加或减少。 2.6 土壤中溶质运移的基本方程土壤中溶质运移的基本方程2.6.2 溶质质量守恒公式溶质质量守恒公式取一个六面单元土体，单元体的体积取一个六面单元土体，单元体的体积 ，从时刻，从时刻 到到时刻时刻 ，有：，有：zyxVttt在在 时段进入单元体的溶质质量时段进入单元体的溶质质量

51、= =在在 时段离开单元体溶质的质量时段离开单元体溶质的质量+ +在在 时段单元体储存的溶质质量的增加时段单元体储存的溶质质量的增加+ +在时段在时段 单元体由于化学、生物反应或植物吸收从单元单元体由于化学、生物反应或植物吸收从单元 体消失的溶质体消失的溶质tttt如果我们假设溶质只在如果我们假设溶质只在 方向流动，则上式四项可写成：方向流动，则上式四项可写成： z2.6 土壤中溶质运移的基本方程土壤中溶质运移的基本方程tyxttzyxJ21,s styxttzzyxJ21,s szyxtzzyxCttzzyxC,2121T TT Ttzyxttzzyxr2121,s s总的溶质通量（单位时间

52、单位面积流过的溶质质量）总的溶质通量（单位时间单位面积流过的溶质质量） 总的溶质浓度总的溶质浓度（单位容积土壤的溶质质量）（单位容积土壤的溶质质量） 单位容积的溶质的反应速率单位容积的溶质的反应速率（单位时间单位土壤容积溶质的损失）（单位时间单位土壤容积溶质的损失） 上式除以上式除以 ，整理可得：，整理可得： tzyx0212121212121ttzzyxrttzzyxCttzzyxCzttzyxJttzzyxJ,s sT TT Ts ss s取取 ， ，得，得0z0t0s ss sT TrzJtC上式称作一维溶质守恒方程。上式称作一维溶质守恒方程。 .3溶质运移的对流和水动力

53、弥散溶质运移的对流和水动力弥散2.6 2.6 土壤中溶质运移的基本方程土壤中溶质运移的基本方程溶质的对流运移溶质的对流运移 对流对流是指在土壤水分运动的过程中，同时是指在土壤水分运动的过程中，同时携带着溶质运移。单位时间内通过土壤单位横携带着溶质运移。单位时间内通过土壤单位横截面积的溶质质量称为截面积的溶质质量称为溶质通量溶质通量，溶质的对流，溶质的对流通量记为通量记为 。单位体积土壤水溶液中所含有。单位体积土壤水溶液中所含有的溶质质量，称为的溶质质量，称为溶质的浓度溶质的浓度，记为，记为 。 cJccJqccJv c.1溶质运移的对流和水动力弥散溶

54、质运移的对流和水动力弥散溶质的分子扩散溶质的分子扩散溶质的分子溶质的分子扩散扩散是由于分子的是由于分子的不规则热运动不规则热运动引起的引起的，其趋势是溶质由，其趋势是溶质由浓度高处向浓度低处浓度高处向浓度低处运移，以求运移，以求最后浓度的均匀。自由水中溶质的分子扩散通量符最后浓度的均匀。自由水中溶质的分子扩散通量符合合FickFick第一定律，即第一定律，即00dcJDz 在土壤中，溶质的分子扩散规律同样符合在土壤中，溶质的分子扩散规律同样符合FickFick第第一定律一定律, ,dscJDz 若将土壤孔隙设想为均匀的圆形毛管，半径为若将土壤孔隙设想为均匀的圆形毛管

55、，半径为 ，管轴线与土水势梯度方向一致，此时，管内半管轴线与土水势梯度方向一致，此时，管内半径为的任一点的流速径为的任一点的流速 可表示为可表示为.1溶质运移的对流和水动力弥散溶质运移的对流和水动力弥散.3 3.3.3溶质的机械弥散及水动力弥散溶质的机械弥散及水动力弥散aR v r 2214av rRrL28aRvL以上两式即为以上两式即为PoiseuillePoiseuille方程方程 n由于土壤颗粒和孔隙在微观尺度上的不均匀由于土壤颗粒和孔隙在微观尺度上的不均匀性，溶液在流动过程中，溶质不断被分细后性，溶液在流动过程中，溶质不断被分细后进入更为纤细的通道，进入

56、更为纤细的通道，每个细孔中流速的方每个细孔中流速的方向和大小都不一样向和大小都不一样，正是这种原因使溶质在，正是这种原因使溶质在流动过程中逐渐分散并占有越来越大的渗流流动过程中逐渐分散并占有越来越大的渗流区域范围。溶质的这种运移现象称为区域范围。溶质的这种运移现象称为机械弥机械弥散散。 .1溶质运移的对流和水动力弥散溶质运移的对流和水动力弥散溶质的机械弥散及水动力弥散溶质的机械弥散及水动力弥散由机械弥散引起的溶质通量可写成类似的表达式由机械弥散引起的溶质通量可写成类似的表达式: hhcJDvz 分子扩散和机械弥散的机理是不同的，但上式与分子扩散和机械

57、弥散的机理是不同的，但上式与 的表达相似，而且一般都同时存在，实际上的表达相似，而且一般都同时存在，实际上难以区分，因此，将分子扩散与机械弥散结合，称为难以区分，因此，将分子扩散与机械弥散结合，称为水水动力弥散动力弥散。水动力弥散所引起的溶质通量可表示为。水动力弥散所引起的溶质通量可表示为: : ,DhsshccJDvDDvzz .1溶质运移的对流和水动力弥散溶质运移的对流和水动力弥散溶质的机械弥散及水动力弥散溶质的机械弥散及水动力弥散dscJDz 2.6. 42.6. 4溶质运移的基本方程溶质运移的基本方程 2.6 2.6 土壤中溶质运移的基本方程

58、土壤中溶质运移的基本方程溶质运移的对流和水动力弥散作用，决定了溶质的溶质运移的对流和水动力弥散作用，决定了溶质的总通量总通量 为对流通量为对流通量 和水动力弥散通量和水动力弥散通量 之和。之和。 JcJDdhJJJ即,shcJDvqcz cJtz 由由和和,shcqccDvtzzz,shcccDvqtzzz得一维的溶质运移基本方程得一维的溶质运移基本方程 当太阳辐射能源源源不断地到达地表，除一部分当太阳辐射能源源源不断地到达地表，除一部分加热近地面空气外，大部分均被土壤所吸收。随着表加热近地面空气外，大部分均被土壤所吸收。随着表土温度的提高，热量逐渐流入土壤深层，称为土温度的提高，热量逐渐流入

59、土壤深层，称为正值交正值交换换。在冬季或夜间，很少辐射能到达地面时，突土壤。在冬季或夜间，很少辐射能到达地面时，突土壤深层储存的热量流向土表，称为深层储存的热量流向土表，称为负值交换负值交换。土壤的正。土壤的正值和负值交换统称为值和负值交换统称为土壤的热量交换土壤的热量交换，它是决定土壤，它是决定土壤温度的基本因素。温度的基本因素。2.7 2.7 土壤中热流基本方程土壤中热流基本方程在在 方向进入单元体内的热量：方向进入单元体内的热量： zyxJz T T流出的热量为流出的热量为：在在 方向流进和流入的热量差为：方向流进和流入的热量差为： zzyxzJzT TzyxzTz22接下页接下页0zT

60、JzzT TzyxzJyxJzzT TT T将将Fourie公式代入：公式代入：2.7 土壤中热流基本方程土壤中热流基本方程2.7.1 土壤热流基本方程土壤热流基本方程同时考虑同时考虑 和和 方向上的热量变化，单元体总的热量变化可表示为：方向上的热量变化，单元体总的热量变化可表示为： xyzyxyTxTzTyxz 222222根据热量平衡式，单位时间内单元体热量的变化为：根据热量平衡式，单位时间内单元体热量的变化为： TVCQv vtTzyxCQv v如假设如假设 ，两式相等，即可得到下式：，两式相等，即可得到下式：yxz222222yTxTzTtTCv v接下页接下页2.7 土壤中热流基本方