二项式定理教学设计完美版

1、二项式定理教学设计【教学设计思想】 教学设计思想现代教学的核心是“以学生的发展为本” ，注重学生的学习状态和情感体验，注重教学过 程中学生主体地位的体现和主体作用的发挥，强调尊重学生人格和个性，鼓励发现、探究与 质疑，鼓励培养学生的创新精神和实践能力二项式定理这部分内容比较枯燥，如何发挥学生的主体作用，使学生自己探究学习知识、 建构知识网络，是本节课教学设计的核心我采用启发探究式教学方式： 一是从实际应用问题引入课题。这里体现了新课程的数学应用意识的理念，使学生体会 到数学不仅是为了学数学，还可以学以致用，用来解决现实生活的问题二是从特殊到一般。面对一般问题，学生会想到从特殊情况入手，让学生自

2、己探究n =1，2, 3, 4，时二项展开式的规律，观察发现二项式定理的基本内容.三是采用小组合作、探究的方式。小组内的同学共同归纳二项式定理的内容，由特殊推 广到一般四是教师的启发与学生的探究恰当结合。本节课的难点在于确定二项展开式中,每一项 的二项式系数,对于平行班的学生,真正能独立归纳出来,有一定的困难,教师在此时的引 导启发,就显得尤为重要本节课，学生通过对 n=i, 2, 3, 4,时二项展开式的观察，归纳、猜想到n为任意正整数时的二项式定理内容，并真正理解二项式系数的意义。这样设计的目的是为了让学生参 与知识的发生、发展、深化的过程,学习体会应用“观察、归纳、猜想、证明”的科学思维

3、 方法的过程,提高数学修养本节课对二项式定理特点及规律的总结和归纳,有利于学生对二项式定理的识记,同时 还可以使学生体验数学公式的对称美、和谐美学生情况分析 学生为平行班学生,有一定的数学基础学生理解组合及组合数的概念,掌握了多项式 乘法的运算法则,有一定的归纳猜想能力,能顺利完成课时计划内容学生有过探究、交流的课堂教学的尝试教学流程框图教学诊断分析在本节内容的学习中，学生容易了解的内容是二项展开式的项数、指数和系数的规律， 即项数：n V项；指数：字母a，b的指数和为n，字母a的指数由n递减至0,同时，字母 b的指数由0递增至n ；二项式系数：下标为 n，上标由0递增至n ；容易产生误解的内

4、容是：通项Tr彳=C；an±br指的是第r+1项；通项的二项式系数是 C；， 与该项的系数是不同的概念(在第二课时会进行探讨)。【教学方式及预期效果分析】本节课采用启发探究式教学通过学生小组合作交流、师生对话交流等方式，引导学生 自主探究，合作交流.1 课前准备工作为便于管理和探究，将学生随机分组，每组3-4人左右.2 课堂探究过程探究内容为二项式定理的内涵，包括项数、指数、系数等方面的规律内容.采用小组内合作探究方式，组间交流、置疑、点评.组内探究要求有分工，有合作，有交流并推选交流发言代表.在探究过程中，学生和组内其他同学进行探讨和辩论，通过不同观点的交锋来补充、修 正或加深自己

5、对当前问题的理解，从而完善自己的研究成果.3 .课堂交流过程(1 )小组汇报小组内推选汇报交流发言代表，其他同学自由补充.(2 )组间置疑小组汇报后，对不同意见或不清楚的地方，提出置疑.(3 )师生点评对汇报展示与置疑的同学进行点评，及时鼓励、表扬，保持学生学习热情，通过交流， 学习他人的研究成果，充实自己.(4 )教师引导对部分内容，如二项式系数的确定，教师适时，适度引导.4 预期效果分析：通过本节课的学习，在知识面上，期望学生能够理解二项式定理及其 推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用；在思想和能力面上， 期望通过教师指导下的探究活动，使学生经历数学思维过程，熟悉

6、理解“观察一归纳一猜想 证明”的思维方法，培养合作的意识，获得学习和成功的体验；通过对二项式定理内容的 研究，使学生体验特殊到一般发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程，通过对二项 展开式结构特点的观察，使学生体验数学公式的对称美、和谐美.【教学目标与教学内容】本节课时高中数学第二册(下 A ) 10. 4二项式定理第一节课.本节课的学生起点：学生已经学习了组合的基本知识，初中学习了多项式乘法.本节课是在组合和多项式乘法的基础上，进一步研究学习二项式定理的内容这一内容 我共安排两课时，这是第一课时.1教材分析：二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式一一二项 式

7、的乘方的展开式这一小节与很多内容都有着密切的联系，特别是它在本章的学习中起着 乘上启下的作用.学习本小节的意义在于：二项式定理与概率理论中的三大概率分布之一 的二项分布有其内在联系，本小节是学习概率知识及概率统计的准备知识；二项式系数都 是一些特殊的组合数，利用二项式定理可以得到关于组合数的一些恒等式，从而深化对组合 数的认识；基于二项展开式与多项式乘法的联系，本小节的学习可对初中学习的多项式的 变形起到复习、深化的作用；二项式定理是解决某些整除性、近似计算等问题的一种方法.教材的安排：教材中是通过 n取一些特殊值(1, 2, 3, 4)的基础上，观察归纳出二项式 定理，强调要分析清楚式子展开

8、并进行同类项合并后有哪些项及各项系数的一些规律，教材 采用的是不完全归纳法，没有进行严谨的证明教材随后安排了四道例题，是对二项式定理 的简单应用.重点：二项式定理的内容及应用难点：二项式定理的推导过程及内涵2内容分析：(a b)n =c0an (弱乜 弋討62 cna2bcnbn (n N*) 对二项式定理的理解和掌握，要从项数、系数、指数、通项等方面的特征去熟悉它的展 开式.3. 教学目标：知识技能：理解二项式定理及其推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定 理进行简单应用.过程方法：通过教师指导下的探究活动，经历数学思维过程，熟悉理解“观察一归纳一 猜想一证明”的思维方法，养成合作

9、的意识，获得学习和成功的体验.情感、态度和价值观：通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般发现规律，一般 到特殊指导实践的认识事物过程；通过对二项展开式结构特点的观察，体验数学公式的对称 美、和谐美.4. 教学过程一、设置情境，引入课题问题 某人投资10万元，有两种获利的可能供选择一种是年利率12%，按单利计算，10年后收回本金和利息.另一种年利率10%,按每年复利一次计算，10年后收回本金和利息.试问，哪一种投资更有利？分析：本金10万元，年利率12%，按单利计算，10年后的本利和是10X( 1 + 12%X 10)= 22 (万元)本金10万元，年利率10%，按每年复利一次计算，10年后

10、的本利和是1010 (1 10%)那么如何计算(1 - 10%)10的值呢？能否在不借助计算器的情况下，快速、准确地求出其 近似值呢？这就得研究形如(a b)n的展开式.二、探索研究二项式定理的内容问题：(a b)n的展开式有什么特点？你能将它展开吗？试一试.学生分组探究学生可能的探究方法 1:由(a +bf =a +b =C；a +C；b(a b)2 =a2 2ab b2 二C；a2 C；ab C；b2(ab)3二 a33a2b3ab2b3 二C0a3 C；a2b C：ab2 C；b3(ab)4= a44a3b6a2b24ab3 b4 = C：a4 C：a3b C2a2b2C：ab3C：b4

11、学生可能通过具体的例子来展开说明，女口： (a b)3 =a3 3a2b 3ab2 b3 或(a b)4 =a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4学生归纳过程可能如下：以(a b)4为例的展开式的分析过程：(a b)4 =(a b)(a b)(a b)(a b)二 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4 容易看到，等号右边的积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的乘积，因 而各项都是4次式，即展开式应有下面形式的各项：a4, a3b,a2b2, ab3, b4 .学生可能归纳出来：(1)每一项中字母a , b的指数之间的关系(2)项的个数有n - 1项 在上面4个括号中：每个都

12、不取b的情况有1种，即C4种，所以a4的系数是C4 ； 恰有1个取b的情况下有C；种，所以a3b的系数是C； 恰有2个取b的情况下有C2种，所以a2b2的系数是C2 ;恰有3个取b的情况下有c3种，所以ab3的系数是C4;4个都取b的情况下有c4种，所以b4的系数是c4 ；因此(a b)4 二 C0a4 ca3b c4a2b2 C；ab3 C：b4.归纳、猜想(a b)?(a b)n =C0an C1nan% 弋討知C：anbC：bn (n N*)教师根据情况进行指导和引导，尤其是各项二项式系数的确定，教师要从各项中a，b指数的含义如a4,a3b来引导，并要求学生说明怎么得到这些项？教师可以通

13、过电脑演示各形式 项的形成过程，将学生的思维过程展示.学生可能的探究方法 2：(a b)n =(a b)(a b)(a bf (a b)，共n个(a b),依据多项式乘法，直接写出 各项.学生成果展示，可通过具体实例：通过投影、板书或口述问题：希望学生得到的规律(1) 项数：n 1项；(2) 指数：字母a , b的指数和为n，字母a的指数由n递减至0 ,同时，字母b的 指数由0递增至n ;(3) 二项式系数是C0,C：,Cn2,，C：,Cnn(4) 通项：Tr 1 二cnanbr板书(1), (2)规律(3)得到后，板书(ab)n_ an _anb _an_rbr丄bn规律(4)得到后，补全二

14、项式定理板书 教师引导中，可能用到的引导问题：(1) 将(a b)n展开，有多少项？(2) 每一项中，字母a , b的指数有什么特点？(3) 字母a , b的指数的含义是什么？是怎样得到的？(4) 如何确定an_rbr的系数？教师引导学生观察二项式定理，从以下几方面强调：(1) 项数：n 1项；(2) 指数：字母a , b的指数和为n，字母a的指数由n递减至0,同时，字母b的 指数由0递增至n ；(3) 二项式系数：下标为 n，上标由0递增至n ;(4) 通项：Tr1 =Cnan_rbr指的是第r+1项，该项的二项式系数是 Q(5) 公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a - b

15、)n的二项展开式，上面的定理是用不完全归纳法得到的，将来可以用数学归纳法进行严格证明.三、二项式定理的应用1.解决本节课开始提出的问题.解：10(110%)10 =10(10.1)10=io(i cl。 0.1 c20 0.12):24.5由此可见，按年利率10%每年复利一次计算的要比年利率12%单利计算更有利，10年后多得利息2.5万元.备选例题42 展开(12x)解：(1 +2x)4 =C：14(2x)0 +C413(2x+C412(2x)2 +C；11(2x)3 +C：1°(2x)4234=1 8x 24x32 x 16x思考1第三项的系数是多少？思考2第三项的二项式系数是多少

16、？你能得到什么结论？板书：.二项式系数与项的系数是两个不同概念.思考3若本例只求第三项的二项式系数，你还可以怎么处理？哪种方法更好？四、归纳小结1 .学生的学习体会与感悟；2 教师强调：(1) 主要探究方法：从特殊到一般再回到特殊的思想方法(2) 从特殊情况入手，“观察一一归纳一一猜想一一证明”的思维方法，是人们发现事 物规律的重要方法之一，要养成“大胆猜想，严谨论证”的良好习惯.(3) 二项式定理每一项中字母 a , b的指数和为n , a的指数从n递减至0同时b的指 数由0递增至n ,体现数学的对称美、 和谐美.二项式系数还有哪些规律呢？希望同学们在课 下继续研究、能够有新的发现.五、作业

17、P121习题10.42, 4, 5【自评反馈与反思】1 .探究与合作是本节课的亮点本节课采用探究式教学方式，注重学生的学习状态和情感体验，注重教学过程中学生主 体地位的体现和主体作用的发挥，尊重学生人格和个性，鼓励发现、探究与质疑，符合“以 学生的发展为本”新课程理念.本课采用小组合作、探究的方式，学生从特殊情况入手，探究n=1 , 2, 3, 4,时二项展开式的规律，观察发现二项式定理的基本内容，再推广到一般.(强调证明，但不要求证明)这样，本课做到了以学生为主体，学生通过自主与合作的探究学习，经历从特殊到一般 的学习过程在接受、掌握知识的同时，学生的学习能力与思维方法得到发展，科学思维修

18、养获得了提高，合作的意识得到加强.2德育渗透恰当，适时适度通过对二项式定理内容的研究，学生体验了从特殊到一般发现规律，从一般到特殊的指 导实践的认识事物过程通过对二项展开式结构特点的观察，学生体验到数学公式的对称美、 和谐美.本课有意识的培养学生的数学应用意识.新课程理念中强调“培养学生的数学应用意识”：本节课正是由实际问题的引入为开始，又以问题的最终解决为结局，数学的应用贯穿整个课 堂，突出了“应用意识”的培养，符合新课程理念.突出数学思维方法与学习方法的指导数学有两类猜想，一是归纳(不完全归纳)，一是类比本节课充分体现数学的“观察一一归纳一一猜想一一证明”的思维方法：首先由学生 探究n =

19、1, 2, 3,时二项展开式的特点，发现二项展开式的项数、指数及系数的基本规律； 然后进一步归纳、猜想出当n为任意正整数时二项展开式的基本规律(强调应该证明，由于知识的局限，以后再证明)，这样体现了从特殊到一般的辩证过程.3 课后反思(1) 二项式系数的确定，对平行班的学生来说，如果没有教师的适时，适度的引导，学 生如何探究归纳，能否独立研究出来？(2) 学生交流成果呈现方式问题，本节课中并没有使用实物展台，而是将学生的成果通 过口述方式呈现在黑板上，若使用实物展台，由学生上讲台来展示，课堂效果会不会更好？课堂效率是否有提高？另外，投影和黑板板书之间如何更有机的结合？这些都需要做进一步 的探讨

20、.育星教育网风，没有衣裳；时间，没有居所；它们是拥有全世界的两个穷人生活不只眼前的苟且，还有诗和远方的田野。你赤手空拳来到人世间，为了心中的那片海不顾一切。运动太多和太少，同样的损伤体力；饮食过多与过少，同样的损伤健康；唯有适度可以产生、增进、保持体力和健康。秋水无痕聆听落叶的情愫红尘往事呢喃起涟漪无数心口无语奢望灿烂的孤独明月黄昏遍遍不再少年路岁月极美，在于它必然的流逝。春花、秋月、夏日、冬雪。你必汗流满面才得糊口，直到你归了土；因为你是从土而出的。你本是尘土，仍要归于尘土。我始终相信，开始在内心生活得更严肃的人，也会在外表上开始生活得更朴素。在一个奢华浪费的年代，我希望能向世界表明，人类真

21、正需要的的东西是非常之微少的。世界上的事情，最忌讳的就是个十全十美，你看那天上的月亮，一旦圆满了，马上就要亏厌；树上的果子，一旦熟透了，马上就要坠落。凡事总要稍留欠缺，才能持恒。只有经历过地狱般的磨砺，才能练就创造天堂的力量；只有流过血的手指，才能弹出世间的绝响。时光只顾催人老，不解多情，长恨离亭，滴泪春衫酒易醒。梧桐昨夜西风急，淡月朦胧，好梦频惊，何处高楼雁一声？如果你长时间盯着深渊，深渊也会盯着你。所有的结局都已写好 所有的泪水也都已启程却忽然忘了是怎么样的一个开始在那个古老的不再回来的夏日无论我如何地去追索 年轻的你只如云影掠过 而你微笑的面容极浅极淡逐渐隐没在日落后的群岚遂翻开那发黄的

22、扉页 命运将它装订得极为拙劣 含着泪 我一读再读 却不得不承认青春是一本太仓促的书记忆是无花的蔷薇，永远不会败落。我也要求你读书用功，不是因为我要你跟别人比成就，而是因为，我希望你将来会拥有选择的权利，选择有意义，有时间的工作，而不是被迫谋生。尽管心很累 很疲倦 我却没有理由后退 或滞留在过去与未来之间三千年读史，不外功名利禄；九万里悟道，终归诗酒田园。这是一个最好的时代，这是一个最坏的时代这是一个智慧的年代，这是一个愚蠢的年代；这是一个光明的季节，这是一个黑暗的季节；这是希望之春，这是失望之冬；人们面前应有尽有，人们面前一无所有；人们正踏上天堂之路，人们正走向地狱之门。我有所感事，结在深深肠

23、。你一定要“离开”才能开展你自己。所谓父母，就是那不断对着背影既欣喜又悲伤，想追回拥抱又不敢声张的人。心之所向 素履以往 生如逆旅 一个人的行走范围，就是他的世界。因为爱过，所以慈悲；因为懂得，所以宽容。刻意去找的东西，往往是找不到的。天下万物的来和去，都有他的时间。与善人居，如入芝兰之室，久而自芳也；与恶人居，如入鲍鱼之肆，久而自臭也。曾经沧海难为水，除却巫山不是云。回首向来萧瑟处，归去，也无风雨也无晴。半生闯荡，带来家业丰厚，儿孙满堂，行走一生的脚步，起点，终点，归根到底，都是家所在的地方，这是中国人秉持千年的信仰，朴素，但有力量。风吹不倒有根的树我能承受多少磨难，就可以问老天要多少人生。

24、心，若没有栖息的地方，到哪里都是流浪如果有来生，要做一只鸟，飞越永恒，没有迷途的苦恼。东方有火红的希望，南方有温暖的巢床，向西逐退残阳，向北唤醒芬芳。如果有来生，希望每次相遇，都能化为永恒。不乱于心，不困于情。不畏将来，不念过往。如此，安好。笑，全世界便与你同声笑，哭，你便独自哭。一辈子,不说后悔，不诉离伤。 上帝作证，我是真的想忘记，但上帝也知道，我是真的忘不了 如果其中一半是百分百的话那就不是选择了而是正确答案了，一半一半，选哪一半都很困难，所以这才是选择。 跟着你，在哪里，做什么，都好。眠。我倾尽一生，囚你无期。择一人深爱，等一人终老。痴一人情深，留一世繁华。断一根琴弦，歌一曲离别。我背

25、弃一切，共度朝夕。 人总是在接近幸福时倍 感幸福，在幸福进行时却患得患失。路过的已经路过，留下的且当珍惜 我相信，真正在乎我的人是不会被别人抢走的，无论是友情，还是爱情。我还是相信，星星会说话，石头会开花，穿过夏天 的木栅栏和冬天的风雪之后，你终会抵达！ 每一个不曾起舞的日子，都是对生命的辜负。 每个清晨都像一记响亮的耳光，提醒我，若不学会遗忘，就背负绝望。 那一年夏天的雨 ,像天上的星星 一样多 , 给我美丽的晴空 ,我们都有小小的伤口 ,把年轻的爱缝缝又补补 ,我会一直站在你左右 ,陪你到最后的最后。 如果一开始就知道是这样的结局，我不知道自己是不是会那样的奋不顾身。 黄昏是 一天最美丽的

26、时刻，愿每一颗流浪的心，在一盏灯光下，得到永远的归宿。 因为有了因为，所以有了所以。既然已成既然，何必再说何必。想念是人最无奈的时候唯一能做的事情。你受的苦，会 照亮你的路。 我希望有个如你一般的人。 如这山间清晨一般明亮清爽的人，如奔赴古城道路上阳光一般的人，温暖而不炙热，覆盖我所有肌肤。由起点到夜晚，由山野到书房，一切问题的答案都很简单。我希望有个如你一般的人，贯彻 未来，数遍生命的公路牌。 岁月极美，在于它必然的流逝。春花、秋月、夏日、冬雪说并用程这为再年余生，风雪是你，成多每内淡是你，清贫是你，荣华是你，心底温柔是你，并用光所内为界， 也是你。个人的遭遇，命运的多舛都使我被迫成熟，这一

27、切的代价都当是日后活下去的力量。送你的白色沙漏,是一个关于成长的礼物 , 如果能给你爱和感动 ,我是多么的幸福 ,我有过很多的朋友 ,没有谁像你一样的温柔 ,每当你牵起我的手 ,我就忘掉什么是忧愁。很多故事不就是因为没有结局才有了继续等下去的理由。有些人，有些事 ,是不是你想忘记 ,就真的能忘记 ?也许有那么一个时侯，你忽然会觉得很绝望，觉得全世界都背弃了你，活着就是承担屈辱和痛苦。这个时候你要对自己说，没关系，很多人都是这样长大的。风平浪静的人生是中年以后的追求。当你尚在年少，你受的苦， 吃的亏，担的责，扛的罪，忍的痛，到最后都会变成光，照亮你的路。 你要做一个不动声色的大人了。不准情绪化，不准偷偷想念，不准回头看。去过自己另外的生活。你要听话，不是所有的鱼 都会生活在同一片海里。有人说，鲁迅是杂文，胡适是评论；鲁迅是酒，胡