2015年高考试题：正弦定理和余弦定理

1、温馨提示：此题库为Word 版，请按住Ctrl, 滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word 文档返回原板块。考点 16 正弦定理和余弦定理一、选择题1. （2015 ·广东高考文科·T5）设ABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c. 若a=2,c=2 ,cosA= , 且 b<c, 则 b= （）A.B.2C.2D.3【解题指南】直接利用a2=b2+c2-2bccosA 即可求得b 的值 .2【解析】选 B 由余弦定理得：a2 b2 c2 2bccos ， 所以 22 b22 32 b 2 33 ，2即 b2 6b 8 0，解得：b 2或 b 4，因为 b

2、 c，所以 b 2二、填空题2. （2015 ·广东高考理科·T11） 设ABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c. 若 a = ,sinB= ,C= , 则 b =【解题指南】可先求出角B 的大小 , 再利用正弦定理求解.【解析】因为 sin B 1 且 B 0, ，所以 B 或 B 5 ，又 C ，所以 B ，26666A B C 2 ，又 a 3，由正弦定理得a b 即 3 b 解得 b 1.3sin A sin B 2sin sin36答案 : 13. （2015 ·北京高考理科·T12） 在ABC中 ,a=4,b=5,c=6, 则 sin

3、2A =.sinC利用二倍角公式展开sin2A, 再利用正、余弦定理角化边222bcaa(b2 c2 a2)bc22asin2A 2sin AcosA2bcsinC sinCc2224 （5* 1 2 62 42）=21.5 62答案 : 14 .（2015 ·天津高考理科·T13） 在ABC中 , 内角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c, 已知 ABC的面积为 3,b-c=2,cosA=-, 则 a 的值为又 S ABC理得22 ab0<A< , 所以 sin A 11 bc sin A 15 bc 3 15, 2822c 2bccosA 642 2 62

4、cos Abc24，解方程组15，464 所以bc2b c 2得b 6,c 4，由余弦定bc 24a=8.3答案 : 85.（2015T12） 若锐角ABC的面积为10 , 且 AB=5,AC=8, 则 BC等【解析】由正弦定理得36 , 所以 sin B 1 2 . 因为B (0,), 所以 B= .2 sin B234sin3答案 :48 ( 2015· 安徽高考文科·T12) 在 ABC中， AB 6 ， A 75 ， B 45 ， 则 AC【解题指南】根据正弦定理解三角形。ABAC0000【解析】由正弦定理可知：sin180 (7545 ) sin 45答案： 20

5、 sin 60AC0 sin 45AC 2三、解答题9.(2015 · 浙江高考文科·T16) 在ABC中 , 内角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c. 已知 tan( +A)=2.(1) 求的值(2) 若 B= ,a=3, 求ABC的面积【解题指南】(1) 利用两角和与差的正切公式, 得到 tan A 的值 , 利用同角三角函数基本关系式得到结论;(2) 利用正弦定理得到边b 的值 , 根据三角形, 两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积 .(1) 由 tan( +A)=2 得 tan A= ,所以sin 2A2sin2A cos A2sin AcosA22sin

6、AcosA cos A2tan A 22tan A 1510.(2015 ·浙江高考理科·T16) 在ABC中 , 内角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c, 已知3 101025110(2) 由 tan A 可得， sin A ,cos A310a 3, B ，由正弦定理知，b 3 54又 sin C sin( A B) sin AcosB cos Asin BA= ,b 2-a 2= c2.(1) 求 tan C 的值 .(2) 若ABC的面积为3, 求 b 的值 .(1) 根据正弦定理可将条件中的边之间的关系转化为角之间的关系, 再将式子作三角恒等变形即可求解;(2

7、) 根据条件首先求得sin B 的值 , 再结合正弦定理以及三角形面积的计算公式即可求解( 1) 由b2212a= c及正弦定理得2sin B212sin A sin C22即 sin B1 sin2C ，2，2所以 cos2B sin C又因为 A 4 ，所以BC所以 cos2Bsin2C42sin C cosC2B 322C，2sin CcosCsin2CtanC 22)由tanC2， C0, 得 sin C2 5 ,cosC5又因为 sin BsinACsin(4C)sin cosC4cos sin C43 101022 b3A 4，1 bcsin A23 ，所以bc6 2 ，所以3.1

8、1.2015·安徽高考理科·T16). 在 ABC 中，, AB 46, AC 3 2, 点 D 在 BC 边上，ADBD ，求 AD 的长。根据余弦定理解三角形。设 AD=x, 由余弦定理得：BC2 AB2 AC2 2AB.AC.cosA62 (3 2)2 23 2 cos34 =90，所以BC=3 10 ，在 VABD 中，设ADB ，则ADC 1800设 AD=x, 则 BD=x,DC=3 10 -x, 由余弦定理得：222AB AD BD 2AD .BD .cos ，2236 2x 2x cos (1)2220AC2 AD2 DC2 2AD.DC .cos(1800

9、)18 x2 (3 10 x)2 2x.(3 10 x).cos1 )(2)解得 x10 , 即 AD 10 。12. （ 2015·四川高考文科·T19）. 已知 A, B,C 为 VABC的内角，tan A, tan B 是关于 x的方程 x2 3px p 1 0 （ p R） 的两实根 .（ 1）求 C 的大小；（ 2）若AB 3,AC 6 ，求 p 的值 .【解题指南】（ 1）将三角函数与韦达定理结合，利用正切函数和角公式。（ 2）利用正弦定理和正切函数和角公式。本题将三角函数与韦达定理结合，考查正切函数和差角公式、解三角形基础知识的运用. 题目较简单，难度与题型与

10、全国卷相似，体现对考生基础知识的运用能力，运算求解能力，较易拿分.【解析】13.（2015 ·四川高考理科·T19）如图 ,A,B,C,D 为平面四边形ABCD的四个内角( 1) tan A, tan B 是关于 x的方程x23pxtanA tanB 3p ， tanA tan B 1 p ，tan A tan B3p所以 tan(A B)1 tan A tan BpC 60o.AB( 2)在VABC中，由正弦定理可得，ABsinC角形内角和为180o 及诱导公式可知tan Atan A tan B 3 p ，解得 p 3 1 .p 1 0 的两个根可得：3 ，则 A B

11、120o ，由三角形内角和为180o 可知，AC2求得 sin B ，则 tanB 1. 又 tanC 3 ，由三sin B2tan( B C) ，解得 tan A 23 ，将 tan A, tan B 代入A(1) 证明 : tan A21 cosAsinAAB(2) 若A+ C=180° ,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5, 求 tan tanCD tan tan2(1) 利用二倍角公式, 分子分母同时展开.(2) 利用 (1) 的结果 , 再结合余弦定理求解.77(1) 右边 =A sin2A cos22A 2sin2AA 2sin cosAtan =左边,2故原式成立.

12、(2) 由 (1) 知 ,A 1 cosA tan2 sintan B21 cosBsinB,tan C21 cosCsinC, tan D21 cosDsinD又A+ C=180° , 所以B+ D=180° ,所以 sinA=sinC,cosC=-cosA,sinD=sinB,cosD=-cosB,1 cosA 1 cosB 1 cosC 1 cos D 所以 , 原式 =sinAsinBsinCsin D1 cosA1 cosA1 cosB1 cosBsinA 2sinA2sinBsin Bsin A sin B在三角形DAB中 ,BD2=AB2+AD2-2AB

13、83; ADcos DAB=36+25-2× 6× 5cos DAB=61-60cos DAB,在三角形BCD中 ,BD2=BC2+CD2-2BC· DCcos BCD=9+16-2× 3× 4cos BCD 所以 ,61-60cos DAB=25+24cos DAB32 102 10cos DAB ,sin DAB ,即 sin A 77sinB 6 1019224 10所以 , 原式 =.sin A sin B 314.(2015 · 新课标全国卷文科·T18)(12 分 )已知 a,b,c 分别是ABC内角A,B,C

14、的对边 ,sin 2B=2sin Asin C.(1) 若 a=b, 求 cos B.(2) 若 B=90° , 且 a= , 求 ABC的面积 .【解题指南】(1) 根据正弦定理将sin 2 B=2sin Asin Ccos B.(2) 利用勾股定理及b2=2ac 求出c, 然后确定变为b2=2ac, 再利用余弦定理求出ABC的面积.【解析】(1) 因为 sin 2B=2sin Asin C,所以 a=2c.b2=2ac, 因为a=b,222 acb cosB2ac2c c12ac 2a 42)因为B 90o，所以a2 c2b2，又b2 2ac，所以a2 c2 2ac，即 a c

15、2，所S ABC221215.(2015 ·新课标全国卷理科·T17)(12 分 ) ABC中 ,D 是 BC上的点,AD 平分 BAC,ABD是ADC面积的2 倍 .(1)求 .(2) 若 AD=1,DC= , 求 BD和 AC的长.【解题指南】(1) 由正弦定理确定.(2) 由余弦定理求BD和 AC的长.【解析】(1)S ABD= AB· ADsin BAD,S ADC= AC· ADsin CAD,S ABD=2S ADC, BAD= CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得= = .(2) 因为S ABD S ADC=BD DC,所以BD= .在

16、ABD和ADC中 , 由余弦定理知,AB2=AD2 +BD2-2AD · BDcos ADB,AC2=AD2 +DC2-2AD · DCcos ADC, 故 AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由 (1) 知 AB=2AC,所以 AC=1.16.(2015 · 新课标全国卷文科·T17) ABC中 D是 BC边上的点,AD 平分 BAC,BD=2DC.(1) 求 .(2) 若 BAC=60° , 求 B.【解题指南】(1) 由正弦定理求解.(2) 结合 , 求出 sin C, 从而确定B的值 .【解析】(1) 由正弦定理得= BD

17、 ,= DC , 因为AD平分BAC,BD=2DC,所以.(3) 因为C=180° -( BAC+ B), BAC=60° ,所以 sin C=sin( BAC+ B)= cos B+ sin B.由 (1) 知 2sin B=sin C, 所以 tan B= , B=30° .17. (2015 ·江苏高考·T15) 在ABC中 , 已知 AB=2,AC=3,A=60 ° .(1) 求 BC的长.(2) 求 sin2C 的值 .【解题指南】(1) 利用余弦定理可求得BC的长.(2) 先利用正弦定理求出sinC 的值 , 再利用余弦定

18、理求出cosC 的值 , 最后由二倍角的正弦公式即可求得sin2C 的值 .【解析】(1) 在ABC中 , 由余弦定理可知,BC2= AC2+ AB2-2AC · AB· cosA, 即 BC2=32+22-23× 2× cos60 ° , 解得 BC= .(2) 由正弦定理可知AB BC 即 27sinC sinA sinC sin60o解得 sinC= 721 ; 由余弦定理可3得 ,cosC=BCABC 面积的最大值为19.(2015 ·山东高考文科·T17)( 本小题满分12 分 ) AC2 AB2 = ( 7)2

19、32 22 = 2 72BC AC27 37所以 sin2C=2sinCcosC= 2 721 277=在ABC中 , 角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c. 已知 cosB 3 ,sin( A B)7 .18.(2015 ·山东高考理科·T16)( 本小题满分12 分 ) 设 f (x) sin xcosx cos2(x)4(1) 求 f(x) 的单调区间.A(2) 在锐角ABC中 , 角 A,B,C 的对边分别为a,b,c. 若 f (A) 0 ,a=1, 求ABC面积的最大2值.先将函数f(x) 化简成一个角的一个三角函数, 再结合面积公式和基本不等式求解 .(1

20、)f (x) sin xcosx cos2 (x)41 sin2x21 cos2(x )21 sin2x21sin 2x sin 2x2令22k令 2k22x232x22k2k所以f(x)(2)A f(A)2sin A,k,kZ ，得Z ，得0 ，且k ,k Z；,k Z.1，cosA222bca2bcS ABC1bc sin A2(23) 12k,4(k Z)，单减区间为ABC为锐角三角形，所以A63bc b2 c2 1 2bc 1 ，所以234bck ,34123k (k Z).23 ，所6.求 sin9A和c 的值 .【解题指南】先判断A+B,再将其看作一个整体, 利用两角和与差的三角公

21、式, 结合正弦定理求解.在ABC中 , cosB 3 ，则 sin B 6 .53933sin( A B) 66 ，所以 A B 为钝角，cos(A B)所以 sin A sin( A B93B) sin( A B)cos B cos( A B)sin B63 ( 53)62 2.即 sinA 2 2.939333sin Csin(A B)6,sinA9223ac 2 3 ，22asin Asin CacsinA 2 csinC36 c22 3 ，所以 c 1 .20. (2015 ·陕西高考理科·T17)( 本小题满分12 分 ) C的内角, ,C 所对的边 分别为 a,b,c. 向量 m=(a, b) 与 n=(cos ,sin ) 平行 .(1) 求 .(2) 若a=,b=2, 求C的面积 .【解题指南】(1) 先利用m n 得 asinB- bcosA=0, 再利用正弦定理转化