2019-2020学年湖南永州高二上学期期末数学试题解析版

1、2019-2020学年湖南省永州市高二上学期期末数学试题一、单选题1 .已知a,bR,i是虚数单位，若ai与2bi互为共轲复数，则ab()A.0B,1C,2D,3【答案】D【解析】由条件利用共轲复数的定义求得a,b的值，即可得到ab的值.【详解】因为ai与2bi互为共轲复数，则a2,b1,所以ab3,故选：D.【点睛】该题考查的是有关共轲复数白概念，属于基础题目2,已知命题p：xR,sinx,1,则A.p:xr,sinxTb.p:xr,sinxTC.p:xR,sinx1d,p:xr,sinx1【答案】C【解析】试题分析：因为全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，所以，只需将原命题

2、中的条件全称改特称，并对结论进行否定，故答案为C.【考点】全称命题与特称命题的否定.rrrr3.已知向量a(1,0,1),b(1,1,k),且ab，则k的值是()A.0B,1C,2D,3【答案】B【解析】利用向量垂直，它们的数量积为0,得到关于k的等量关系式，求得结果.【详解】一，rrrr因为ab，所以ab0，即1101(1)k0,解得k1,故选：B.该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量垂直的条件，向量数量积坐标公式，属于基础题目.4.已知函数f(x)ax22019,且f4,则a的值为()A.2019B. 2015C. 2【答案】C【解析】首先对函数求导，之后利用f'(1)

3、4得到a所满足的等量关系式，求解即可得结果.【详解】2因为f(x)ax2019,所以f'(x)2ax,由f'(1)4,得2a4,求得a2,故选：C.【点睛】该题考查的是有关利用导数求参数值的问题，涉及到的知识点有求导公式，属于基础题目.5.设双曲线的焦点在x轴上，其渐近线为yJ2x,则该双曲线的离心率为()A.乏B.石C.2D.75【答案】B【解析】根据双曲线的简单性质和渐近线方程即可求出结果【详解】因为双曲线的焦点在x轴上，其渐近线为yJ2x,所以-72,即b72a,c4ab26a，a所以该双曲线的离心率为ec.3,故选：B.该题考查的是有关双曲线的简单性质的问题，涉及到的知

4、识点有双曲线的渐近线方程,双曲线的离心率，属于简单题目.1.35.26.一质点做直线运动，经过t秒后的位移为S-1-t4t,则速度为零的时刻是32（）A.1秒末B,4秒末C.1秒与4秒末D.0秒与4秒末【答案】C【解析】求出位移S的导数即质点运动的瞬时速度，令导数为0,求出t的值即得到速度为0的时刻.【详解】1 3520因为St-t4t,所以S't25t4,3令t25t40,解得t1或t4,所以速度为零的时刻是1秒末或4秒末，故选：C.【点睛】该题考查的是有关导数在物理中的应用，要明确位移的导数为速度，属于基础题目.2 一17.已知抛物线yax2的焦点为0,-，则a的值为（）4A.1B

5、.1C.1D.22【答案】B【解析】利用抛物线的焦点坐标求解即可.【详解】由yax2可得x2-y,a21抛物线yax的焦点为0,二，4一、，11所以,所以a1,4a4故选：B.【点睛】该题考查的是有关抛物线的问题，涉及到的知识点有根据抛物线的焦点坐标求参数，在解题的过程中，注意首先将抛物线的方程化为标准形式，属于基础题目8.如图所示，在长方体ABCDA1BQ1D1中，M为AG与BQ的交点.若器：，ADvv,aA1v，则下列向量中与BMv相等的向量是（）A,B.1Vv2C.1V1bv22【解析】即可【详解】连接AC,BD交于点ujuu,BM1uuur-BD2uuuurNMuurADuuuABuu

6、rAA，代入整理由题，连接AC,BD交于点N,uuu1uuruuur1uur则BMBDNMAD22umABuuirAA1b0BiBI*I故选：A【点睛】本题考查向量的线性运算，考查空间向量，属于基础题9.若函数f(x)ax有大于零的极值点，则(B.a1C.a【解析】f'(x)根据函数f(x)exax有大于零的极值点，可得ex即可得出结果.f'(x)exa,因为函数f(x)exax有大于零的极值点,所以a所以实数a的取值范围是a1,故选：B.【点睛】该题考查的是有关导数的应用的问题，涉及到的知识点有根据极值点的符号判断参数的取值范围，属于简单题目.10.九章算术中，将底面为长方形

7、且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在如图所示的阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD,且PDCDAD,点E是PC的中点，则PD与BE所成角的余弦值()a.旦b.e36【答案】D【解析】首先取DC中点F,连接EF,能够得到FEB是PD与BE所成角，设出边长PDCDAD2a,利用勾股定理求得BFJ5a,BEJ6a,在直角三角形中,求得cosFEB6,得到结果6【详解】取DC中点F,连接EF,因为E为PC中点，所以EF/PD,所以FEB是PD与BE所成角，设PDCDAD2a,则EFa,BF5a,BE.a2-5a26a，所以cosFEBEF-a,BE；6a6故选：D.【点睛】该题考查的是有关异

8、面直线所成角的余弦值的问题，涉及到的知识点有异面直线所成角的概念，在三角形中求角的余弦值，属于简单题目22XV11.已知点P是椭圆1(xy0)上的动点，Fi、F2为椭圆的左、右焦点，O1612uuuuruuLruuuu为坐标原点，若M是F1PF2的角平分线上的一点，且F1MMP0,则|OM|的取值范围是()A.(0,2)B.(0,百)C.(0,4)D.(2,273)【答案】A【解析】延长PF?与F1M交于点G,由条件判断PG为等腰三角形，OM为F1F2G-1一L，rPF2-2a2PF2,再根据PF2的值域，求得211的中位线，故OM=-F2G-PF122uuuuOM的最值，从而得到结果.如图,

9、延长PF2与F1M交于点G,则PM是F1PF2的角平分线,uuiuruuir由F1MMP0可得F1M与pm垂直，可得PEG为等腰三角形，故M为FiG的中点,由于O为F1F2的中点，1则OM为FiF2G的中位线，故OM=F2G,2由于PFiPG,所以F2GPFiPF2,11所以OM=-PF1PF2-2a2PF2,22问题转化为求PF?的最值，而PF2的最小值为ac,PF2的最大值为ac,即PF2的值域为ac,ac,故当PF2ac或PF2ac时，OM|取得最大值为OM2a2PF212a2(ac)cVa2b2，16122,22当PF2a时，P在y轴上，此时M与O重合，OM|取得最小值为0,又由题意，

10、最值取不到，uuuu所以OM的取值范围是(0,2),故选：A.【点睛】该题考查的是与椭圆相关的问题，涉及到的知识点有椭圆的定义，椭圆的性质，角分线的性质，属于较难题目.12.定义在0,上的函数f(x),f2(x)是它的导函数,且恒有f(x)f(x)tanx成,2f3B.f(1)2fsin16D.、.3fc.、.2f把给出的等式变形得到f'(x)sinxf(x)cosx0,由此联想构造辅助函数g(x)上(&,由其导函数的符号得到其在(0,一)上为增函数，则g(-)g(一),整sinx263理后即可得到答案【详解】因为x(0,),所以sinx20,cosx0,f(x)f(x)tan

11、x,得f(x)cosxf'(x)sinx,f'(x)sinxf(x)cosx0,g(x)g'(x)sinx2f'(x)sinxf(x)cosx一2sinx0,所以函数f(x)g(x)-在xsinx(0,-)上为增函数,2则g(一)4sin4sin3，所以，22f(3).三【即、3f42*J2f3g(6)g,即f(6)sin6f(1)所以sin1f(6)12功，即f(1)2fsin16sinl,g(6)g(-)，即4f(6)sin6f(R,所以sin4f(4),即.2f(-)6g(6)g(-),即f(6)sin一6f(3)1,所以sin3f()_彳，即73f(一)

12、.36Tf(一),3故选:A.该题考查的是有关通过构造新函数，根据题意利用导数的符号判断函数的单调性，利用单调性比较函数值的大小，属于较难题目二、填空题13.已知复数zabi(a,bR),其中i是虚数单位，若复数z在复平面内对应的点在直线yx1上，则ab的值等于.【答案】1【解析】复数zabi(a,bR),复数z在复平面内对应的点(a,b)在直线yx1上，所以点的坐标满足直线的方程，有ba1,从而求得ab1,得到结果【详解】复数zabi(a,bR),复数z在复平面内对应的点（a,b）在直线yx1上，所以ba1,所以ab1,故答案为：1.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数在

13、复平面内对应的点，点在直线上的条件，属于基础题目.2214.与双曲线上1有公共焦点，且长轴长为8的椭圆方程为.2722167【解析】首先根据题中所给的双曲线的方程写出其焦点坐标，从而确定椭圆的焦点所在轴并且得到c3,再根据椭圆的长轴长，得到a4,利用椭圆中a,b,c的关系，求得b27,进而得到椭圆的方程.【详解】22因为椭圆与双曲线工1有相同白焦点（±3,0）,27所以c3,因为长轴长为8,所以2a8,a4,所以b2a2c21697,22所以椭圆的方程为1,16722故答案为：1.167【点睛】该题考查的是有关椭圆标准方程的求解问题，涉及到的知识点有双曲线的焦点坐标，椭a的取圆中a,

14、b,c的关系，属于基础题目.15 .已知p:a1xa1,q:ex1,若p是q的充分不必要条件，则实数值范围是.【答案】（，1【解析】首先通过解不等式求得q,进而求得q对应的结果，之后将p是q的充分不必要条件，转化为两集合端点值间的关系，列出关于a的不等式组求解.【详解】由ex1解得x0,所以q：x0,因为p是q的充分不必要条件，所以（a1,a1）（,0,所以有a10,求得a1,所以实数a的取值范围是（，1,故答案为：（，1.【点睛】该题考查的是充分必要条件的判定及其应用，考查数学转化思想方法，属于基础题目.16 .已知抛物线y22px（p0）,直线l过焦点F且与抛物线交于M、N（点N在x轴的上

15、方，点M在x轴的下方，）点E在x轴上且E在F右侧，若|NF|EF|NE|,且VMNE的面积为12向，则p的值为.【答案】3【解析】首先根据题意，得到NFE为等边三角形，得到直线NF的倾斜角为一，设3出直线MN的方程，与抛物线的方程联立，消元得到3x25px手0,解方程求得交点的横坐标，求得NFFE3p2p,MN8P，结合正三角形的特223征，求得三角形的高，利用三角形的面积公式求得结果【详解】根据题意，|NF|EF|NE|,所以NFE为等边三角形，所以直线NF的倾斜角为一,33p25px0,4LL3PpeFE2p,22直822P4Jp43312.3,设直线MN的方程为yJ3(xE),2r22与

16、y2px(p0)联立可得3x解得xi,X23p,所以NF628pMNx1x2p,31所以SMNE-MNFEsin602解得p3,故答案为：3.该题考查的是有关抛物线的问题，涉及到的知识点有抛物线的定义、标准方程和几何性质的综合应用，考查数学运算、逻辑推理等核心素养，属于中档题目三、解答题2-2_-17.已知p:x1,1,xa0,q:xoR,xo2axoa20(1)若p为真命题，求a的取值范围；(2)若p为假命题，q为真命题，求a的取值范围.【答案】(1)(,0；(2)2,.【解析】(1)根据已知条件p是真命题，则只需函数的最小值大于等于0,据此可求得a的取值范围；(2)先求出简单命题为真命题时

17、对应的参数的取值范围，最后借助于两个命题的真假，得到对应的条件，最后求得结果.2(1) .x1,1,xa0ax2恒成立a0,所以a的取值范围是(，0；(2) .q为真命题，04a24(a2)0a2或a1又Qp为假命题，由(1)可得a0综上，a的范围为2,【点睛】该题考查的是有关简易逻辑的问题，涉及到的知识点有根据命题为真时确定参数的取值范围，根据两个命题的真假求参数的范围，属于简单题目18.已知抛物线C:x22py(p0)上的点M(m,1)到焦点F的距离为2.(1)求m,p的值；(2)若m0,求过点M且与C只有一个公共点的直线方程.【答案】(1)m2.p2(2)yx1或x2【解析】(1)可得抛

18、物线的准线为y,由点M(m,1)到焦点的距离转化为其到准线的距离，列出等式求得p的值，将点M(m,1)的坐标代入抛物线方程求得m的值,得到结果；(2)当斜率存在时，写出直线方程，与抛物线方程联立，令判别式等于零求得结果，当斜率不存在时，写出方程，得到最后结果.【详解】(1)由抛物线的定义得，1E2,解得p2,2所以抛物线的方程为x24y,代入点M(m,1),可解得m2.(2)当斜率存在时，设过点M(2,1)的直线方程为y1k(x2),x24y22联乂，消兀得x24kx8k40,16k232k160ykx2k1得k1,所以直线方程为yx1当斜率不存在时，x2所以过点M且与C只有一个公共点的直线方

19、程为yX1或x2【点睛】该题主要考查抛物线的几何性质与直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题目.13219.已知函数f(x)XX3xa.3(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有3个零点，求a的取值范围.【答案】(1)f(x)在(，1)上单调递增；在(1,3)上单调递减；在(3,)上单调递一5一减(2)(-,9)3【解析】(1)求导数f(x),在定义域内解不等式f(x)0、f(x)0可求得函数的单调区间；(2)由(1)可知f(x)的单调性，求得f(x)的极值，由题意可得极值、端点处函数值的符号，解不等式即可.【详解】2一_(1)Qf(x)x2x3,令f(x)0,得x1或3

20、可知，x(,1)时，f(x)0；x(1,3)时，f(x)0；x(3,)时，f(x)0；故，f(x)在(，1)上单调递增；在(1,3)上单调递减；在(3,)上单调递减(2)令f(x)0,有a1x3x23x3132-2设g(x)-xx3x,g(x)x2x3,3由(1)得g(x)在(，1)上单调递增；在(1,3)上单调递减；在(3,)上单调递减5g(1)3,g(3)9,5结合g(x)的图像可知，yg(x)与ya有3个交点，故9a-35所以a的范围为(-,9).该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性，将函数零点的个数转化为极值的符号，最后确定参数的取值范围，属于简单题

21、目20.如图，在正方形ABCD中，E,F分别是BC,AD的中点，将正方形ABCD沿着线段EF折起，使得DFA60,设G为AF的中点.(1)求证：DG平面ABEF;(2)求二面角CBFE的余弦值.【答案】(1)见解析(2)独919【解析】(1)利用线面垂直的判定定理，证得EF，平面ADF,从而得到EFDG,再利用等边三角形的特征，得到AFDG,之后利用线面垂直的判定定理证得DG平面ABEF;(2)利用GA,GQ,GD两两垂直，建立空间直角坐标系，设AB4,写出相应点的坐标，求得两个平面的法向量，之后求出两个法向量所成角的余弦值，进而得到二面角的余弦值.【详解】证明：(1)E,F分别为正方形ABC

22、D的边BC,AD的中点，.EFDF,EFAF,又DF平面ADF,AF平面ADF,AFDFF,EF,平面ADF,DG平面ADF,EFDG,AFDF,DFA60，;ADF是等边三角形，.G为AF的中点.，AFDG.又EFDG,EF面ABEFAF面ABEF,EFIAFF,.DG平面ABEF.(2)设BE中点为Q,连结GQ,则GA,GQ,GD两两垂直，不妨设AB4.以G为原点，以GA,GQ,GD为坐标轴建立空间直角坐标系如图:则G(0,0,0),A(1,0,0),uuir(1,0,0),BC1,0,3),uuirBF(2,4,0)r设平面BCF的法向量为n(x,y,z),vn则vnuuu/BCuuvB

23、Fx、3z0r，令z2,得n(273,73,2)2x4y0uuu-而GD(0,0,、/3)为平面BEF的一个法向量.ruuurcos;：n,GDruuurnGDruuurnGD2,3,19；32.1919面角CBFE的余弦值为2巫19B(1,4,0).C(0,4,、,3),F(1,0,0).该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面垂直的判定，二面角的余弦值的求解，属于中档题目.121.点P(x,y)与定点F(1,0)的距离和它到直线l:x4距离的比是常数一.2(1)求点P的轨迹方程；(2)记点P的轨迹为C,过F的直线l与曲线C交于点M,N,与抛物线y24x交S2于点A,B,设D(1

24、,0),记VDMN与VDAB面积分别是S1,S2,求管的取值范围.Si2【答案】(1)4【解析】(1)根据题意可得-.(x1)2y2(2)当直线l的斜率存在时,将直线方程分别与椭圆和抛物线的方程联立,将两个三角形的面积比转化为弦长比，化为关于k的关系式，求最值求值域即可，之后将直线l的斜率不存在的情况求出，最后得到答案.【详解】(1)依题意有(xi)yi化简彳导：3x24y2i2,故Ci的方程为2y3-S2(2)依题意二SiABIMN当l不垂直于x轴时，设l的方程是联立ykxy24x一22，得kx2k2xk20xi,yiX2,y2,则XiX22k24k2ABXiX24k2ik-联立y3x24y

25、i2得:04k28k2x2_4ki20,X3,y3,NX4,y4,则X3X4JX3X434k24k2i234k2MNk2X32X44X3X4i2ik24k2则应SiABIMN4k23k2当l垂直于x轴时，易知此时名网SiMNAB4,MN空3,aS2,4综上，资的取值范围是-,G3该题考查的是有关解析几何的问题,涉及到的知识点有动点轨迹方程的求解,直线被椭圆截得的弦长，直线被抛物线截得的弦长，属于较难题目22.已知函数f(x)x2,g(x)Inx.(1)求函数yg(x)在xe处的切线方程；(2)若方程f(x)g(x)在区间(k,k1),kN上有实根，求k的值；(3)若不等式(xm)(x1)xf(x)g(x)对任意正实数x恒成立，求正整数m的取值集合.1【答案】(1)y-x(2)k0或3(3)1,2,3.e【解析】(1)由g(e)的值可得切点坐标，求出g'(e)的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线yg(x)在点xe处的切线方程；(2)令h(x)f(x)g(x),方程f(x)g(x)有实根等价于h(x)有零点，利用导数判断函数的单调性，然后根据零点存在性定理可判断h(x)在0,1和3,4上分别存在一个零点，从而可得结果；(3)