第四章_插值法及曲线拟合

1、1第四章第四章 插值与曲线拟合插值与曲线拟合1 引言引言2 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式3 牛顿插值多项式牛顿插值多项式4 分段低次插值分段低次插值5 最小二乘拟合最小二乘拟合21 引引 言言1. 1插值问题的提法插值问题的提法 在生产和科研中出现的函数是多种多样的。常遇到这种情况：在某个实际问题中，虽然可以断定所考虑的函数 在区间 上存在且连续，但却难以找到它的解析表达式，只能通过实验和观测得到在有限个点上的函数值（即一张函数表）。显然，要利用这张函数表来分析函数 的性态、甚至直接求出其 xfba ,3它一些点上的函数值是非常困难的。在有些情况下，虽然可以写出函数 的解析表达式，但由

2、于结构相当复杂，使用起来很不方便。面对这些情况，总希望根据所得函数表（或结构复杂的解析表达式），构造某个简单函数P(x)作为 的近似。 插值法插值法是解决此类问题的一种比较古老的、然而却是目前常用的方法，它不仅直接广泛地应用于生产实际和科学研究中，而且也是进一步学习数值计算方法的基础。 xf xf4定义定义 设函数 y = f(x) 在区间 a,b上连续，且在n+1个不同的点 上分别取值 ，在一个性质优良、便于计算的函数类 中，求一简单函数p(x) ，使 而在其它点 上，作为 f(x) 的近似。称区间为插值区间插值区间，点 为插插值节点值节点，称（1.1）为 f(x)的插值条件插值条件，称函数

3、类 为插值函数类插值函数类，称 p(x)为函数在bxxxan,10nyyy,10 niyxPii, 1 , 0(1.1)ixx nxxx,105节点 处的插值函数插值函数。求插值函数 p(x) 的方法称为插值法插值法。插值函数类的取法不同，所求得的插值函数p(x)逼近f(x)的效果就不同它的选择取决于使用上的需要。常用的有代数多项式、三角多项式和有理函数等。 当选用代数多项式作为插值函数时，相应的插值问题就称为多项式插值。多项式插值。 在多项式插值中，最常见、最基本的问题是：求一次数不超过n的代数多项式nxxx,106 (1.2) nnnxaxaaxP10使其中 为实数。满足插值条件(1.3)

4、的多项式(1.2)，称为函数f(x) 在节点 处的n次插值值多项式次插值值多项式。 n次插值多项式次插值多项式 的几何意义的几何意义：过曲线y = f(x) 上的n+1个点 作一条n次代数曲线 ，作为曲线y = f(x) 的近似，如图图2-1。 niyxPiin, , 1 , 0naaa,10 xPn)(xPyn), 1 , 0)(,(niyxii (1.3)7 xPyn xfy 0 x1xnxXab0y1yny0Y8 1 .2 插值多项式存在唯一性插值多项式存在唯一性 由插值条件（1.3）知，插值多项式 的系数满足线性方程组 （1.4）由线性代数知，线性方程组的系数行列式（记为V）是n+1阶

5、范德蒙（Vandermonde）行列式，且 xPnniai, 1 , 0nnnnnnnnnyxaxaayxaxaayxaxaa101111000010niijjinnnnnnxxxxxxxxxxxV1102121102001119 因 是区间 上的不同点不同点，上式右端乘积中的每一个因子 ，于是 ，方程组（1.4）的解存在且唯一。故有下面的结论：定理定理1 若节点 互不相同，则满足插值条件（1.3）的n次插值多项式（1.2）存在且唯一。 0Vnxxx, 1, 0ba,0jixxnxxx, 1,0102 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式 在上一节里，我们不仅指出了插值多项式的存在唯一性，而且

6、也提供了它的一种求法，即通过解线性方程组（1.4）来确定其系数 ，但是，这种作法的计算工作量大，不便于实际应用，下面介绍几种简便的求法。 2.1 插值基函数插值基函数 先考虑一下简单的插值问题：对节点 中任一点 ,作一n次多项式 , 使它在该点上取值为1,而在其余点 上取值为零, 即 （2.1）（2.1）表明n个点 都是n次多项式 的零点，故可设)(xlkianixi, 1 , 0nkxk0nkkixi, 1, 1, 1 , 0kikixlik01)()(xlknkkixi, 1, 1, 1 , 0)()()()(1110nkkkkxxxxxxxxxxAxl11其中 为待定系数，由条件 可得

7、故 (2.2)对应于每一节点 ，都能求出一个满足插值条件（2.1）的n次插值多项式（2.2），这样，由（2.2）式可以求出n+1个n次插插多项式 。容易看出，这组多项式仅与节点的取法有关，称它们为在n+1个节点上的n次基本插值多项式次基本插值多项式或n次插值次插值基函数。基函数。kA1)(kkxl)(,),(),(10 xlxlxln)()()(1110nkkkkkkkxxxxxxxxA)()()()()()()(110110nkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxlnkxk012 2.2 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式 利用插值基函数立即可以写出满足插值条件（1.3）的

8、n次插值多项式 （2.3） 事实上，由于每个插值基函数 都是n次多项式，故其线性组合（2.3）必是不高于n次的多项式，同时，根据条件（2.1）容易验证多项式（2.3）在节点 处的值为 ，因此，它就是待求的n次插值多项式 。 形如(2.3)的插值多项式称为拉格朗日插值多项式，记为 （2.4)ix xLn)()()(1100 xlyxlyxlynn), 1 , 0)(nkxlkniyi, 1 , 0 xPn)()()(1100 xlyxlyxlynnnknkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxy0110110)()()()()()(13 作为的特例，令n=1，由（2.4）即得两点插值

9、公式两点插值公式即这是一个线性函数，用线性函数 近似代替函数 ，在几何上就是通过曲线 上两点 作一直线 近似代替曲线 (见图图2-2)，故两点插值又名线性插值线性插值。 若令n=2，由（2.4）又可得常用的三点插值公式 （2.5） （2.6）（2.7）)()()()()()()(1202102210120120102102xxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxL010110101)(xxxxyxxxxyxL)()(0010101xxxxyyyxL)(1xL),(00yx),(11yx)(1xyL)(xfy )(xfy )(xf14这是一个二次函数，用二次函数 近似代替函数 ，

10、在几何上就是通过曲线 上的三点 ，作一抛物线 近似地代替曲线 （图图2-3），故三点插值三点插值(二次插二次插值值)。例例1 已知 分别用线性插值和抛物插值 求 的值。 xLy1 xfy x0 x0 x1),00(yx),11(yxy图图2-2)(2xL)(xf)(xfy )(xfy ),(),(),(221100yxyxyx)(2xLy 12144,11121,1010011515解解 因为115在100和121之间，故取节点x0=100，x1=121相应地有 y0=10，y1=11，于是，由线性插值公式（2.5）可得 故用线性插值求得的近似值为图图2-3 xLy2 xfy ),11(yx)

11、,00(yxyxx0 x10),22(yx714.10100121100115*11121100121115*10)115(1151L100121100*11121100121*10)(1xxxL 16723.10)121144)(100144()121115)(100115(*12)144121)(100121()144115)(100115(*11)144100)(121100()144115)(121115(*10)115(1152 L115仿上，用抛物插值公式（2.7）所求得的近似值为将所得结果与 的精确值10.7238相比较，可以看出抛物插值的精确度较好。 为了便于上机计算，我们常将

12、拉格朗日插值多项式（2.4）改写成公式（2.8）的对称形式 可用二重循环来完成 值的计算，先通过内循环，即先固定k，令j从0到 ，累乘求得 nknkjjjkjknxxxxyxL00)(（2.8）)(kjn)(xLn17 然后再通过外循环，即令k从0到n，累加得出插值结果 。 2.3 插值余项插值余项 在插值区间a,b上用插值多项式 近似代替 ，除了在插值节点xi上没有误差外，在其它点上一般是存在有误差的。若记则 就是用 近似代替 时所产生的截断误差，称 为插值多项式 的余项余项。 nkjjjkjkxxxxxl0)()()()(xPxfxRnn)(xLn)(xPn)(xf)(xRn)(xPn)(

13、xPn)(xf18 的n次插值多项式，则对于任何 ，有其中 且依赖于 。 （2.9）b)(a, )()(01niinxxx)()!1()()(1)1(xnfxRnnn), 1 , 0)()(nixfxPiinbax,x关于误差有如下定理2中的估计式。定理定理2 设 在区间 上有直到n+1阶导数， 为区间 上n+1个互异的节点， 为满足条件:)(xfba,nxxx,10)(xPnba,19例例2 在例1中分别用线性插值和抛物插值计算了的 近似值，试估计它们的截断误差。解解 用线性插值求 的近似值，其截断误差由插值余项公 式（2.9）知现在x0=100，x1=121，x=115，故115xxf)(

14、xxxxxxxfxR10102/321,)(81)()( 21)(3558. 010*6*15*81max)121115)(100115(*81)115(232/3121,1001R20 当用抛物插值求 的近似值时，其截断误差为 将 代入，即得 0178. 010*)144115)(121115)(100115(161)115(252RxxxxxRxxxxfx,202102/532),)()(161)()( ! 31)(xxf)(115,144,121,100210 xxxx 3 牛顿插值多项式牛顿插值多项式 由线性代数可知，任何一个不高于n次的多项式，都可表示成函数 的线性组合，即可将满足插

15、值条件 的n次多项式写成形式其中 为待定系数。这种形式的插值多项式称为牛顿牛顿Newton插值多项式插值多项式，我们把它记成nx,即 （3.1)21 )()()()(110102010nnxxxxxxaxxxxaxxaa 11012010nnonxxxxxxaxxxxaxxaaxNnkak, 1 , 0)()(,),)(, 1110100nxxxxxxxxxxxx), 1 , 0()(niyxPii22 因此，牛顿插值多项式 是插值多项式 的另一种表示形式,与拉格朗日插值多项式相比较，不仅克服了“增加一个节点时整个计算机工作必须重新开始”见例1的缺点，而且可以节省乘除法运算次数。同时，在牛顿插

16、值多项式中用到的差分与差商等概念，又与数值计算的其它方面有着密切的关系. 3.1 向前差分与牛顿插值公式向前差分与牛顿插值公式 设函数x 在等距节点 处的函数值 为已知，其中h是正常数，称为步长步长，称两个相邻点 和 处函数值之差 为函数x在点 处以h为步长的一阶向前差分一阶向前差分简称一阶差分，记作 ，即于是，函数x 在各节点处的一阶差分依次为 又称一阶差分的差分为二阶差分二阶差分。 xNn xPnnkkhxxk, 1 , 00kkyxf1kxkkyy1kxkykkkyyy1。11121010,nnnyyyyyyyyykkkkyyyy12kx23kmkmkmyyy111一般地，定义函数 x在

17、点 处的m阶差分阶差分为 为了便于计算与应用，通常采用表格形式计算差分，如表表2-1所示。表表2-1xkykykyk2yk3yk4x0 x2x3x4x1y0y1y2y3y4y0y1y2y3y02y12y22y03y13y04kx24 在等距节点 情况下，可以利用差分表示牛顿插值多项式3.1 的系数，并将所得公式加以简化。事实上，由插值条件 立即可得 再由插值条件 可得由插值条件 可得 一般地，由插值条件 可得 2020121202020022! 222hyhhyyyxxxxhxxyyya), 1 , 0(0nkkhxxk00yxNn00ya 11yxNnhyxxyya001011kknyxN2

18、2yxNn25 于是，满足插值条件 的插值多项式为令 ,并注意到 ，则可简化为 这个用向前差分表示的插值多项式，称为牛顿向前插值公式牛顿向前插值公式，简称前插公式前插公式。它适用于计算表头 附近的函数值。 由插值余项公式2.9，可得前插公式的余项为：), 2 , 1(!nkhkyakokk iinyxN 110010202000!2nnnnxxxxxxhnyxxxxhyxxhyyxN)0(0tthxxkhxxk0002000!11!21ynntttyttytythxNnn0 x3226 （3.3)例例4 从给定的正弦函数表表表2-2左边两列出发计算 ,并估计截断误差。 ),(,!110110n

19、nnnxxfhnntttthxR)12. 0sin(表表22xxsinyy2y30.10.20.30.40.50.60.295520.198670.099830.479430.389420.564640.098840.096850.093900.090010.08521-0.00389-0.00295-0.00094-0.00096-0.00480-0.00091-0.0019927解解 因为0.12介于0.1与0.2之间，故取 ，此时 。为求 ,构造差分表表22。表中长方形框中各数依次为 在 处的函数值和各阶差分。若用线性插值求sin0.12的近似值，则由前插公式3.2立即可得用二次插值得用

20、三次插值得：1 . 00 x2 . 01 . 01 . 012. 00hxxtyyy03020,1 . 00 x11960. 009884. 02 . 009983. 0)12. 0()12. 0sin(1 N11976. 000016. 0)12. 0()00199. 0(2) 12 . 0(2 . 009884. 02 . 009983. 0)12. 0()12. 0sin(12NNxsin28 因 很接近，且由差分表表22可以看出，三阶差分接近于常数（即 接近于零），故取 作为 的近似值，此时由余项公式（3.3）可知其截断误差 3.2 向后差分与牛顿向后插值公式向后差分与牛顿向后插值公式

21、 在等距节点 下， 除了向前差分外，还可引入向后差分和中心差分，其定义和记号分别如下： 在点 处以h为步长的一阶向后差分一阶向后差分和m阶向后差阶向后差分分分别为)12. 0sin( 11971.000096.0622 .012 .02 .0)12.0()12.0()12.0sin(23NN)12. 0()12. 0(23NN与04y11971. 0)12. 0(3N xfy kx000002. 0)4 . 0sin() 1 . 0(24)32 . 0()22 . 0() 12 . 0(2 . 0)12. 0(43R), 1 , 0(0nkkhxxk29 在 点处以为步长的一阶中心差分和m阶中

22、心差分分别为其中 各阶向后差分与中心差分的计算，可通过构造向后差分表与中心差分表来完成?参见表表2?。 利用向后差分，可简化牛顿插值多项式（.1），导出与牛顿前插公式?3.2?类似的公式，即，若将节点的排列次序看作 ，那么?.1)可写成 xfy kx), 3 , 2(2112112121myyyyyykmkmkmkkk.2,22121hxfyhxfykkkk01,xxxnn), 3 , 2(1111myyyyyykmkmkmkkk30根据插值条件 , 可得到一个用向后差分表示的插值多项式其中 t0，插枝多项式(3.4)称为牛顿向后插值公式牛顿向后插值公式，简称后插公式。它适用于计算表尾 附近的

23、函数值。由插值余项公式（.9），可写出后插公式的余项(3.4) 111210 xxxxxxbxxxxbxxbbxNnnnnnnn )0 , 1 , 1,(nniyxNiinnnnnnnnynntttyttytythxN!11! 212nxnxxth31 (3.5)例例已知函数表同例，计算 ，并估算截断误差。解解因为.58位于表尾 附近，故用后插公式（3.4）计算sin(0.58)的近似值。 一般地为了计算函数在 处的各阶向后差分，应构造向后差分表。但由向前差分与向后差分的定义可以看出，对同一函数表来说，构造出来的向后差分表与向前差分表在数据上完全相同。因此，表表-用“”线标出的各数依次给出了

24、在 处的函数值和向后差分值。因三阶向后差分接近于常数，故用三次插值进行计算，且 ，于是由后插公式（3.4）得 ),(!11011nnnnnxxfhnntttthxR)58. 0sin(6 . 05x5xxsin6 . 05x2 . 01 . 0/ )6 . 058. 0(/ )(5hxxt32 因为在整个计算中，只用到四个点 上的函数值，故由余项公式（.5）知其截断误差 54802. 000091. 0622 . 012 . 02 . 000480. 0212 . 02 . 03 . 0 , 4 . 0 , 5 . 06 . 0 ，x58. 058. 0sin3N08521. 02 . 056

25、464. 0000002. 06 . 0sin1 . 04 2432 . 022 . 012 . 02 . 058. 03R33 3.3 差商与牛顿基本插值多项式差商与牛顿基本插值多项式 当插值节点非等距分布时，就不能引入差分来简化牛顿插值多项式，此时可用差商这个新概念来解决。 设函数 在一串互异的点 上的值依次为 。我们称函数值之差 与自变量之差 的比值为函数 关于 点的一阶差商一阶差商，记作例如210iiixxx、)()()(210iiixfxfxf、0101)()(iiiixxxfxf,10iixxf,)()(,)()(,121221010110 xxxfxffxxxfxffxxxx01

26、iixx )(xf)()(01iixfxf)(xf01,iixx34称一阶差商的差商 为函数 关于点 的二阶差商二阶差商（简称二阶差商二阶差商），记作 ，例如 一般地，可通过函数 的m-1阶差商定义的m阶差商如下：021021,iiiiiixxxxfxxf xf210iiixxx、021021210,xxxxfxxfxxxf,210ixxxfii010110,iiiiiiiiixxxxfxxfxxxfmmmm)(xf35 差商计算也可采用表格形式（称为差商表），如表表23所示， 表表23 1xf 0 xf32,xxf 一阶差商 二阶差商 三阶差商 kxf10,xxf210,xxxf21,xxf

27、3210,xxxxf2xf321,xxxf3xfkx3x0 x2x1x36差商具有下列重要性质（证明略）：（1） 函数 的m阶差商 可由函数值 的线性组合表示，且（2） 差商具有对称性，即任意调换节点的次序，不影响差商的值。 例如（）当 在包含节点 的某个区间上存在时， 在 之间必有一点 使,10mxxxf mxfxfxf、10 mimiiiiiiimxxxxxxxxxfxxxf011010)()()(,.,021201210 xxxfxxxfxxxf xfmmjxji, 1 , 0miiixxx,10, !,10mfxxxfmiimi，)(xf37（）在等距节点 情况下，可同时引入 阶差分与

28、差商，且有下面关系： 引入差商的概念后，可利用差商表示牛顿插值多项式（.1）的系数。事实上，从插值条件出发，可以象确定前插公式中的系数那样，逐步地确定（.1）中的系数故满足插值条件 的n次插值多项式为nkkhxxk, 1 , 00nmmmnmmnnnmmmhmyxxxfhmyxxxf!,!,1010)(, 2 , 1,0010 xfankxxxfakk niyxNiin, 1 , 038 （3.6）（3.6）称为牛顿基本插值多项式牛顿基本插值多项式，常用来计算非等距节点上的函数值。例例 试用牛顿基本插值多项式按例要求重新计算 的近似值。解解 先构造差商表。 由上表可以看出牛顿基本插值多项式(3

29、.6)中各系数依次为11010,nnxxxxxxxxxf 102100100,xxxxxxxfxxxxfxfxNn115一阶商差 二阶商差xx10012111100.0434780.047619-0.0000941441239 故用线性插值所得的近似值为 用抛物插值所求得的近似值为所得结果与例1相一致。比较例1和例6的计算过程可以看出，与拉格朗日插值多项式相比较，牛顿插值多项式的优点是明显的。 由插值多项式的存在唯一性定理知，满足同一组插值条件的拉格朗日插值多项式（2.42.4）与牛顿基本插值多项式（3.63.6）是同一多项式。因此，余项公式（2.92.9）也适用于牛顿插值。但是在实际计算中，

30、有时也用差商表示的余项公式000094. 0,047619. 0,10)(210100 xxxxxxfff7143.10)100115(047619. 010)115(1151 N7228.10)121115()100115()000094. 0()115()115(11512NN40 （3.73.7）来估计截断误差（证明略）。注意注意： 上式中的n+1阶商差 与 的值有关，故不 能准确地计算出 的精确值，只能对它作一 种估计。例，当四阶差商变化不大时，可用 近似代替 。)(xf)(,)(110 xxxxxfxRnnn,10 xxxxfn,10 xxxxfn,43210 xxxxxf,3210

31、 xxxxxf 分段线性插值Runge现象v给定函数v取等距插值节点v建立10次插值多项式112511)(2xxxf)10,2, 1 ,0(1021iixi10010)()()(iiixlxfxL43 -1 0 1 x y 1y=1/(1+25x2)y=L5(x)图图2-52-5y=L10(x) 分段线性插值分段线性插值 分段线性插值就是通过插值节点用折线段连接分段线性插值就是通过插值节点用折线段连接起起来逼近来逼近f( (x) )。 设设f(x)f(x)在在n+1n+1个节点个节点 上的函数值为上的函数值为 , ,在每个小区间在每个小区间 ( (k=0,1,k=0,1,，n n）上作线性插值

32、，得上作线性插值，得 bxxxan10)(,),(),(10nxfxfxf1,kkxx)()()()(111111kkkkkkkkkkxxxxfxxxxxfxxxxxS y y=f(x) 0 x0 x1 x2 xn x 在几何上就是用折线在几何上就是用折线替代曲线替代曲线, ,如右图所示如右图所示若用插值基函数表示若用插值基函数表示, ,则在则在 a, ,b 上上 )()()()(0bxaxfxlxSinii11111111,0,)(iiiiiiiiiiiiixxxbaxxxxxxxxxxxxxxxxl其其中中显然，显然， 是分段线性连续函数，且是分段线性连续函数，且 称称S S( (x x)

33、 )为为f f( (x x) )的的分段线性插值函数。分段线性插值函数。由线性插值的余项估计式知由线性插值的余项估计式知, ,f f( (x x) )在每个子段在每个子段上有误差估计式上有误差估计式其中其中 )(xlikikixlki, 0, 1)(1,iixx)(max8)()(12xfhxSxfiixxxi iiixxh1例例5.19 5.19 已知已知f(x)f(x)在四个节点上的函数值如下表所示在四个节点上的函数值如下表所示 ix)(ixf 30 45 60 902122231求求f(x)f(x)在区间在区间 30,9030,90 上的上的分段连续线性插值函数分段连续线性插值函数S(x

34、)S(x) 解解 将将插值区间插值区间 30,9030,90 分成连续的三个小区间分成连续的三个小区间 30,4530,45 , , 45,6045,60 , , 60,9060,90 则则S(x)在区间在区间 30,4530,45 上的上的线性插值为线性插值为 2233012)()()(10100101xxfxxxxxfxxxxxSS(x)在区间在区间 45,6045,60 上的上的线性插值为线性插值为 323223023)()()(21211212xxfxxxxxfxxxxxSS(x)S(x)在区间在区间 60,9060,90 上的线性插值上的线性插值为为 22336032)()()(32

35、322323xxfxxxxxfxxxxxS将各小区间的将各小区间的线性插值函数连接在一起，得线性插值函数连接在一起，得 906022336032604532322302345302233012)(xxxxxxxS三次Hermite插值v问题: 已知函数f(x)在两个节点 x0, x1上 的函数值分别为 y0, y1 及一阶导数值分别为 m0, m1构造一个插值函数H3(x) ，使满足条件 1H3(x)是次数3的多项式 2H3(x0)=y0 , H3(x1)=y1 ,H3 (x0)=m0 H3(x1)=m1 称这类插值问题为三次Hermite插值问题.v首先求做三次多项式h0(x),h1(x),

36、h0(x),h1(x),使其满足 h0(x0)=1, h0(x1)=0, h0(x0)=0, h0(x1)=0 h1(x0)=0, h1(x1)=1, h1(x0)=0, h1(x1)=0 h0(x0)=0, h0(x1)=0, h0(x0)=1, h0(x1)=0 h1(x0)=0, h1(x1)=0, h1(x0)=0, h1(x1)=1设 由h0(x0)=1 ，得a=1, 再由h0(x0)=0 ，得 ，于是210100)()(xxxxxxbaxh012bxx 21010100)(21 ()(xxxxxxxxxh同理有设 由h0(x0)=1 ，得a=1, 于是同理有20101011)(21

37、 ()(xxxxxxxxxh210100)()(xxxxxxaxh210100)()(xxxxxxxh201011)()(xxxxxxxhv显然H3(x)= y0h0(x)+y1h1(x)+m0h0(x)+m1h1(x)其中210100)()(xxxxxxxh21010100)(21 ()(xxxxxxxxxh20101011)(21 ()(xxxxxxxxxh201011)()(xxxxxxxh三次Hermite插值多项式的余项v定理3 设H3(x) 是以x0, x1为插值节点的三次Hermite插值多项式，若f(x)C3a, b ， f(4)(x)在(a, b)上存在，其中 a, b是包含

38、(x0, x1)的任一区间，则对任意给定的xa,b ，总存在一点(a, b)（依赖于x）使2120)4(3)()(!4)()()()(xxxxfxHxfxR 曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法 如果已知函数如果已知函数f(x)f(x)在若干点在若干点x xi i(i=1,2,(i=1,2,n),n)处处的值的值y yi i, ,便可根据插值原理来建立插值多项式作为便可根据插值原理来建立插值多项式作为f(x)f(x)的近似。但在科学实验和生产实践中，往往会的近似。但在科学实验和生产实践中，往往会遇到这样一种情况，即节点上的函数值并不是很精遇到这样一种情况，即节点上的函数值并不是很精确的，这

39、些函数值是由实验或观测得到的数据，不确的，这些函数值是由实验或观测得到的数据，不可避免地带有测量误差，如果要求所得的近似函数可避免地带有测量误差，如果要求所得的近似函数曲线精确无误地通过所有的点曲线精确无误地通过所有的点( (x xi i, ,y yi i),),就会使曲线保就会使曲线保留着一切测试误差。当个别数据的误差较大时留着一切测试误差。当个别数据的误差较大时, ,插值插值效果显然是不理想的。此外效果显然是不理想的。此外, ,由实验或观测提供的数由实验或观测提供的数据个数往往很多据个数往往很多, ,如果用插值法如果用插值法, ,势必得到次数较高势必得到次数较高的插值多项式，这样计算起来很

40、烦琐。的插值多项式，这样计算起来很烦琐。为此为此, ,我们希望从给定的数据我们希望从给定的数据( (x xi i, ,y yi i) )出发出发, ,构造构造一个近似函数一个近似函数 , ,不要求函数不要求函数 完全通过所完全通过所有的数据点，只要求所得的近似曲线能反映数有的数据点，只要求所得的近似曲线能反映数据的基本趋势，如图据的基本趋势，如图5-75-7所示。所示。)(x)(x y o x 图图5-7 5-7 曲线拟合示意曲线拟合示意图图 换句话说换句话说: :求一条曲线求一条曲线, ,使数据点均在离此曲线的使数据点均在离此曲线的上方或下方不远处上方或下方不远处, ,所求的曲线称为拟合曲线

41、所求的曲线称为拟合曲线, ,它它既能反映数据的总体分布既能反映数据的总体分布, ,又不至于出现局部较大又不至于出现局部较大的波动的波动, ,更能反映被逼近函数的特性更能反映被逼近函数的特性, ,使求得的逼使求得的逼近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种方近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种方法度量达到最小法度量达到最小, ,这就是曲线拟合。这就是曲线拟合。 与函数插值问题不同与函数插值问题不同, ,曲线拟合不要求曲线通过曲线拟合不要求曲线通过所有已知点所有已知点, ,而是要求得到的近似函数能反映数据的而是要求得到的近似函数能反映数据的基本关系。在某种意义上基本关系。在某种意义上, ,曲线

42、拟合更有实用价值。曲线拟合更有实用价值。 在对给出的实验在对给出的实验( (或观测或观测) )数据数据作曲线拟合时作曲线拟合时, ,怎样才算拟合得最好呢？一般希望各怎样才算拟合得最好呢？一般希望各实验实验( (或观测或观测) )数据与拟合曲线的偏差的平方和最小数据与拟合曲线的偏差的平方和最小, ,这就是最小二乘原理。这就是最小二乘原理。 两种逼近概念两种逼近概念: : 插值插值: : 在节点处函数值相同在节点处函数值相同. . 拟合拟合: : 在数据点处误差平方和最小在数据点处误差平方和最小), 1 , 0)(,(niyxii 函数插值是插值函数函数插值是插值函数P(x)P(x)与被插函数与被

43、插函数f(x)f(x)在节在节处函数值相同处函数值相同, ,即即 而而曲线拟合函数曲线拟合函数 不要求严格地通过所有数据点不要求严格地通过所有数据点 , ,也就是说拟合函数也就是说拟合函数 在在x xi i处的偏差处的偏差( (亦称残差亦称残差） 不都严格地等于不都严格地等于零。但是零。但是, ,为了使近似曲线能尽量反映所给数据点为了使近似曲线能尽量反映所给数据点的变化趋势的变化趋势, ,要求要求 按某种度量标准最小。若记按某种度量标准最小。若记向量向量 , ,即要求向量即要求向量 某种范数某种范数 最小最小, ,如如 的的1-范数范数 或或-范数范数即即 )()(iixfxP), 1 , 0

44、(ni)(x),(iiyx)(x)()(iiixfx), 1 ,0(niiTne,10eee1eeniiiniixfxe001)()()()(maxmaxiiiiixfxe或或 最小。为了便于计算、分析与应用，通常要求最小。为了便于计算、分析与应用，通常要求的的2-2-范数范数 e212021022)()(niiiniixfxe200222)()(niiiniixfxe即即 为最小。这种要求误差（偏差）平方和最小的为最小。这种要求误差（偏差）平方和最小的拟合称为曲线拟合的最小二乘法。拟合称为曲线拟合的最小二乘法。 （1）直线拟合直线拟合设已知数据点设已知数据点 , ,分布大致为一分布大致为一条

45、直线。作拟合直线条直线。作拟合直线 , ,该直线不是通该直线不是通过所有的数据点过所有的数据点 , ,而是使偏差平方和而是使偏差平方和miyxii,2, 1,xaaxy10)(iiyx ,miiiyxaaaaF121010)(),(为最小，其中每组数据与拟合曲线的偏差为为最小，其中每组数据与拟合曲线的偏差为根据最小二乘原理，应取根据最小二乘原理，应取 和和 使使 有极有极小值，故小值，故 和和 应满足下列条件：应满足下列条件：iiiiyxaayxy10)(mi,2, 10a1a),(10aaF1a0a0)(2),(0)(2),(110110110010imiiimiiixyxaaaaaFyxa

46、aaaaF即得如下正规方程组即得如下正规方程组 miiimiimiimiimiiyxxaxayxama1121101110(5.45) 例例 设有某实验数据如下：设有某实验数据如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 1.36 1.37 1.95 2.28 1.36 1.37 1.95 2.28 14.094 16.844 18.475 20.96314.094 16.844 18.475 20.963iixiy 用最小二乘法求以上数据的拟合函数用最小二乘法求以上数据的拟合函数 解解: :把表中所给数据画在坐标纸上把表中所给数据画在坐标纸上, ,将会看到数据点将会看到数据点的分布可以用一条直线来

47、近似地描述的分布可以用一条直线来近似地描述, ,设所求的设所求的 拟合直线为拟合直线为 记记x x1 1=1.36, =1.36, x x2 2=1.37, =1.37, x x3 3 =1.95=1.95x x4 4 =2.28, y =2.28, y1 1 =14.094, y =14.094, y2 2= 16.844, y= 16.844, y3 3=18.475, =18.475, y y4 4=20.963=20.963则正规方程组为则正规方程组为 xaaxy10)(4141214104141104iiiiiiiiiiiyxxaxayxaa32. 741iix8434.13412i

48、ix376.7041iiy12985.13241iiiyx其中其中 将以上数据代入上式正规方程组将以上数据代入上式正规方程组, ,得得12985.1328434.1332. 7376.7032. 741010aaaa解得解得 4626.7,9374.310aa即得拟合直线即得拟合直线 xy4626.79374.3（2 2）多项式拟合）多项式拟合 有时所给数据点的分布并不一定近似地呈一条有时所给数据点的分布并不一定近似地呈一条直线直线, ,这时仍用直线拟合显然是不合适的这时仍用直线拟合显然是不合适的, ,可用多项可用多项式拟合。对于给定的一组数据式拟合。对于给定的一组数据寻求次数不超过寻求次数不

49、超过m (mN ) m (mN ) 的多项式，的多项式， Niyxii,2,1,mmxaxaxaay2210来拟合所给定的数据，与线性拟合类似，使偏差的来拟合所给定的数据，与线性拟合类似，使偏差的平方和平方和201)(jimjjNiixayQ为最小为最小由于由于Q Q可以看作是关于可以看作是关于 ( ( j=0,1,2,j=0,1,2, m), m)的的多元函数多元函数, , 故上述拟合多项式的构造问题可故上述拟合多项式的构造问题可归结为多元函数的极值问题。令归结为多元函数的极值问题。令201)(jimjjNiixayQmkaQk,2, 1 ,0,0得得 mkxxaykijimjjNii, 1

50、 , 0, 0)(01即有即有 imimimmimiiimimiiimimiyxxaxaxayxxaxaxayxaxaNa2110121010这是关于系数这是关于系数 的线性方程组，通常称为正的线性方程组，通常称为正规方程组（法方程组）。可以证明，正规方程组规方程组（法方程组）。可以证明，正规方程组有惟一解。有惟一解。 ja 例设某实验数据如下：例设某实验数据如下： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 5 2 1 1 2 3 5 2 1 1 2 3iixiy用最小二乘法求一个多项式拟合这组数据用最小二乘法求一个多项式拟合这组数据 解：将已给数据点描在坐标系中，可以看出这些点解：将已给数据点描在坐标系中，可以看出这些点 接近一条抛物线，因此设所求的多项式为接近一条抛物线，因此设所求的多项式为 2210 xaxaay由法方程组，由法方程组，经计算得经计算得 N=6, 612616161461361261122,30,14,979,225,55,15iiiiiiiiiiiiiiiiyxyxyxxxx其法方程组为其法方程组为 122979225553022555151455156210210210aaaaaaaaa解之得解之得 5000