第8章 第3课时 空间点、线、面间位置关系

1、第八章立第八章立 体体 几几 何何第第3课时空间点、线、面间位置关系课时空间点、线、面间位置关系 1理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解作为推理理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解作为推理依据的公理和定理依据的公理和定理 2能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题系的简单命题 请注意请注意 平面的基本性质是立体几何的基础，而两条异面直线所成平面的基本性质是立体几何的基础，而两条异面直线所成的角和距离是高考热点，在新课标高考卷中频频出现的角和距离是高考热点，在新课标高考卷中频频出现 1平面的基本性质平面的基本性质 公理公

2、理1：如果一条直线上的：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直在一个平面内，那么这条直线就在此平面内线就在此平面内 公理公理2：经过：经过 的三点，有且只有一个平面的三点，有且只有一个平面 公理公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有且只有 条通过条通过 的公共直线的公共直线两点不在同一直线上一该点 2用集合语言描述点、线、面间的关系用集合语言描述点、线、面间的关系 (1)点与平面的位置关系：点与平面的位置关系： 点点A在平面在平面内记作内记作 ，点，点A不在平面不在平面内记作内记作 . (2)点与线的位置关系：点与线的位置关

3、系： 点点A在直线在直线l上记作上记作 ，点，点A不在直线不在直线l上，记作上，记作 . (3)线面的位置关系：线面的位置关系： 直线直线l在平面在平面内记作内记作 ，直线，直线l不在平面不在平面内记作内记作_. (4)平面平面与平面与平面相交于直线相交于直线a，记作，记作 . (5)直线直线l与平面与平面相交于点相交于点A，记作，记作 . (6)直线直线a与直线与直线b相交于点相交于点A，记作，记作 .AA AlA lll alAabA 3直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类位置关系的分类 (2)异面直线所成的角异面直线所成的角 定义：设定义：设a，b是两条异面直线

4、，经过空间中任一点是两条异面直线，经过空间中任一点O作作直线直线aa，bb，把，把a与与b所成的所成的 叫做异面叫做异面直线直线a，b所成的角所成的角(或夹角或夹角)锐角或直角 1判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确(打打“”或或“”) (1)如果两个不重合的平面如果两个不重合的平面，有一条公共直线有一条公共直线a，那么就，那么就说平面说平面，相交，并记作相交，并记作a. (2)两个平面两个平面，有一个公共点有一个公共点A，就说，就说，相交于过相交于过A点点的任意一条直线的任意一条直线 (3)两个平面两个平面，有一个公共点有一个公共点A，就说，就说，相交于相交于A点，点，并记作并记作A.

5、(4)两个平面两个平面ABC与与DBC相交于线段相交于线段BC. (5)经过两条相交直线，有且只有一个平面经过两条相交直线，有且只有一个平面 答案答案(1)(2)(3)(4)(5) 2空间四点中，三点共线是这四点共面的空间四点中，三点共线是这四点共面的() A充分不必要条件充分不必要条件B必要不充分条件必要不充分条件 C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 答案答案A 3(2014广东文广东文)若空间中四条两两不同的直线若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是，则下列结论一定正确的是() Al1l4 B

6、l1l4 Cl1与与l4既不垂直也不平行既不垂直也不平行 Dl1与与l4的位置关系不确定的位置关系不确定 答案答案D 解析解析在正六面体中求解，也可以借助教室中的实物帮助在正六面体中求解，也可以借助教室中的实物帮助求解求解 在如图所示的正六面体中，不妨设在如图所示的正六面体中，不妨设l2为直线为直线AA1，l3为直线为直线CC1，则直线，则直线l1，l4可以是可以是AB，BC；也可以是；也可以是AB，CD；也；也可以是可以是AB，B1C1，这三组直线相交，平行，垂直，异面，这三组直线相交，平行，垂直，异面，故选故选D. 4已知直线已知直线a，b，c，有下面四个命题：，有下面四个命题： 若若a，

7、b异面，异面，b，c异面，则异面，则a，c异面；异面； 若若a，b相交，相交，b，c相交，则相交，则a，c相交；相交； 若若ab，则，则a，b与与c所成的角相等；所成的角相等； 若若ab，bc，则，则ac. 其中真命题的序号是其中真命题的序号是_ 答案答案 解析解析a，c可能相交、平行或异面；可能相交、平行或异面；a，c可能相交、可能相交、平行或异面；平行或异面；正确；正确；a，c可能相交、平行或异面可能相交、平行或异面 5.如图所示，在正方体如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，M，N分别是分别是A1B1，B1C1的中点问：的中点问： (1)AM和和CN是否是异面直线？是否是异面

8、直线？ (2)D1B和和CC1是否是异面直线？是否是异面直线？ 思路思路(1)易证易证MNAC，所以，所以AM与与CN不是异面直线；不是异面直线；(2)由图易判断由图易判断D1B和和CC1是异面直线，证明时常用反证法是异面直线，证明时常用反证法 例例1下列命题：下列命题： 空间不同三点确定一个平面；空间不同三点确定一个平面； 有三个公共点的两个平面必重合；有三个公共点的两个平面必重合； 空间两两相交的三条直线确定一个平面；空间两两相交的三条直线确定一个平面； 三角形是平面图形；三角形是平面图形； 平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；平行四边形、梯形、四边形都是平面图形； 垂直于同一直线的两直

9、线平行；垂直于同一直线的两直线平行；题型一题型一 平面的性质平面的性质 一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交； 两组对边相等的四边形是平行四边形两组对边相等的四边形是平行四边形 其中正确的命题是其中正确的命题是_ 【解析解析】由公理由公理3知，不共线的三点才能确定一个平面，知，不共线的三点才能确定一个平面，所以知命题所以知命题错，错，中有可能出现两平面只有一条公共线中有可能出现两平面只有一条公共线(当这三个公共点共线时当这三个公共点共线时)，错错空间两两相交的三条空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点，若为三个交点，则这三线共直

10、线有三个交点或一个交点，若为三个交点，则这三线共面，若只有一个交点，则可能确定一个平面或三个平面，若只有一个交点，则可能确定一个平面或三个平面面中平行四边形及梯形由公理中平行四边形及梯形由公理2可得必为平面图形，而可得必为平面图形，而四边形有可能是空间四边形，如图四边形有可能是空间四边形，如图(1)所示所示 在正方体在正方体ABCDABCD中，直线中，直线BBAB，BBCB，但但AB与与CB不平行，不平行，错错ABCD，BBABB，但，但BB与与CD不相交，不相交，错如图错如图(2)所示，所示，ABCD，BCAD，四边形，四边形ABCD不是平行四边形，故不是平行四边形，故也错也错 【答案答案】

11、 探究探究1对于空间几何中的一些概念、公理、定理和推论的对于空间几何中的一些概念、公理、定理和推论的理解一定要结合图形，理解其本质，准确把握其内涵，特理解一定要结合图形，理解其本质，准确把握其内涵，特别是定理、公理中的限制条件，如公理别是定理、公理中的限制条件，如公理3中中“不共线的三不共线的三点点”，“不共线不共线”是很重要的条件另外，对于平面几何是很重要的条件另外，对于平面几何中的一些正确命题，包括一些定理推论，在空间几何中应中的一些正确命题，包括一些定理推论，在空间几何中应当重新认定，有些命题因为空间中位置关系的变化，可能当重新认定，有些命题因为空间中位置关系的变化，可能变为错误命题，学

12、习中要养成分类讨论的习惯，再就是结变为错误命题，学习中要养成分类讨论的习惯，再就是结合较熟悉的立体几何图形或现实生活中的实物进行辨析，合较熟悉的立体几何图形或现实生活中的实物进行辨析，也可利用手中的笔、书本等进行演示，验证也可利用手中的笔、书本等进行演示，验证(2013安徽理安徽理)在下列命题中，不是公理在下列命题中，不是公理的是的是() A平行于同一个平面的两个平面相互平行平行于同一个平面的两个平面相互平行 B过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所

13、有的点都在此平面内上所有的点都在此平面内 D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线只有一条过该点的公共直线 【解析解析】B，C，D都是公理都是公理 【答案答案】A思考题思考题1 例例2已知在正方体已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E，F分别为分别为D1C1，C1B1的中点，的中点，ACBDP，A1C1EFQ. 求证：求证：(1)D，B，F，E四点共面；四点共面； (2)若若A1C交平面交平面DBFE于于R点，则点，则P，Q，R三点共线；三点共线； (3)DE，BF，CC1三线交于一点三线交于一点题型二题型二

14、 平面基本性质的应用平面基本性质的应用 【证明证明】(1)如图所示如图所示 因为因为EF是是D1B1C1的中位线，所以的中位线，所以EFB1D1.在正方体在正方体AC1中，中，B1D1BD，所以，所以EFBD.所以所以EF，BD确定一个确定一个平面，即平面，即D，B，F，E四点共面四点共面 (2)在正方体在正方体AC1中，设中，设A1CC1确定的平面为确定的平面为， 又设平面又设平面BDEF为为.因为因为QA1C1，所以，所以Q. 又又QEF，所以，所以Q.所以所以Q是是与与的公共点同理，的公共点同理，P是是与与的公共点所以的公共点所以PQ. 又又A1CR，所以，所以RA1C，R，且，且R.

15、则则RPQ，故，故P，Q，R三点共线三点共线 (3)EFBD且且EFBD， DE与与BF相交设交点为相交设交点为M， 则由则由MDE，DE平面平面D1DCC1， 得得M平面平面D1DCC1，同理，点，同理，点M平面平面B1BCC1.又平面又平面D1DCC1平面平面B1BCC1CC1，MCC1. DE，BF，CC1三线交于点三线交于点M. 【答案答案】(1)略略(2)略略(3)略略 探究探究2(1)点共线问题的证明方法：点共线问题的证明方法： 证明空间点共线，一般转化为证明这些点是某两个平面的证明空间点共线，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再依据公理公共点，再依据公理3证明这些点都在这

16、两个平面的交线证明这些点都在这两个平面的交线上上 (2)线共点问题的证明方法：线共点问题的证明方法： 证明空间三线共点，先证两条直线交于一点，再证第三条证明空间三线共点，先证两条直线交于一点，再证第三条直线经过这点，将问题转化为证明点在直线上直线经过这点，将问题转化为证明点在直线上 (3)点线共面问题的证明方法：点线共面问题的证明方法： 纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内；面内； 辅助平面法：先证有关点、线确定平面辅助平面法：先证有关点、线确定平面，再证明其余点、，再证明其余点、线确定平面线确定平面，最后证明平面，最后证明平面，

17、重合重合(1)下列各图是正方体和正四面体，下列各图是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是()思考题思考题2 【解析解析】在在A中易证中易证PSQR， P，Q，R，S四点共面四点共面 在在C中易证中易证PQSR，P，Q，R，S四点共面四点共面 在在D中，中，QR平面平面ABC， PS面面ABC P且且P QR， 直线直线PS与与QR为异面直线为异面直线 P，Q，R，S四点不共面四点不共面 在在B中中P，Q，R，S四点共面，证明如下：四点共面，证明如下： 取取BC中点中点N，可证，可证PS，NR交于直线交于直线B1C1

18、上一点，上一点，P，N，R，S四点共面，设为四点共面，设为. 可证可证PSQN，P，Q，N，S四点共面，设为四点共面，设为. ，都经过都经过P，N，S三点，三点，与与重合，重合，P，Q，R，S四点共面四点共面 【答案答案】D (2)如图所示，在正方体如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E，F分别是分别是AB和和AA1的中点求证：的中点求证： E，C，D1，F四点共面；四点共面； CE，D1F，DA三线共点三线共点 【证明证明】如图所示，连接如图所示，连接EF，CD1，A1B. E，F分别是分别是AB，AA1的中点，的中点，EFBA1. 又又A1BD1C，EFCD1. E，C，D1

19、，F四点共面四点共面 EFCD1，EFCD1， CE与与D1F必相交，设交点为必相交，设交点为P. 则由则由PCE，CE平面平面ABCD，得，得P平面平面ABCD. 同理同理P平面平面ADD1A1. 又平面又平面ABCD平面平面ADD1A1DA， P直线直线DA，CE，D1F，DA三线共点三线共点 【答案答案】略略略略 例例3在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E，F分别为棱分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交都相交的直线有的直线有_条条题型三题型三 空间两直线的位置关系空间两直线的位置关系 【解析解析】方法一：在

20、方法一：在EF上任意取一点上任意取一点M，直线，直线A1D1与与M确定一个平面，这个平面与确定一个平面，这个平面与CD有且仅有有且仅有1个交点个交点N，当，当M取取不同的位置就确定不同的平面，从而与不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点有不同的交点N，而直线而直线MN与这与这3条异面直线都有交点如图所示条异面直线都有交点如图所示 方法二：在方法二：在A1D1上任取一点上任取一点P，过点，过点P与直线与直线EF作一个平面作一个平面，因，因CD与平面与平面不平行，所以它们相交，设它们交于点不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接连接PQ，则，则PQ与与EF必须相交，即必须相交，即PQ

21、为所求直线由点为所求直线由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都都相交相交 【答案答案】无数无数 探究探究3解决立体几何问题常用的方法是空间问题的平面化，解决立体几何问题常用的方法是空间问题的平面化，转化为平面问题后就可以用我们熟悉的方法来解决，这体转化为平面问题后就可以用我们熟悉的方法来解决，这体现了空间立体几何的转化与化归的思想现了空间立体几何的转化与化归的思想(2014广东广东)若空间中四条两两不同的直若空间中四条两两不同的直线线l1，l2，l3，l4，满足，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一，则下列结论一定正确的是定正

22、确的是() Al1l4 Bl1l4 Cl1与与l4既不垂直也不平行既不垂直也不平行 Dl1与与l4的位置关系不确定的位置关系不确定思考题思考题3 【解析解析】如图，在正方体如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，取中，取l1为为BC，l2为为CC1，l3为为C1D1.满足满足l1l2，l2l3.若取若取l4为为A1D1，则有则有l1l4；若取；若取l4为为DD1，则有，则有l1l4.因此因此l1与与l4的位置关系的位置关系不确定，故选不确定，故选D. 【答案答案】D 例例4在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E为为AB的中点的中点 (1)求证：求证：AC平面平面BDD1； (2)

23、求求BD1与与CE所成角的余弦值所成角的余弦值题型四题型四 异面直线所成的角异面直线所成的角 探究探究4高考中对异面直线所成角的考查，一般出现在综合高考中对异面直线所成角的考查，一般出现在综合题的某一步，其步骤为：题的某一步，其步骤为： (1)平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线线中的一条或两条成为相交直线 (2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角证明：证明所作的角是异面直线所成的角 (3)寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之并解之 (4)

24、取舍：因为异面直线所成角取舍：因为异面直线所成角的取值范围是的取值范围是090，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角的角(1)如图所示，在底面为正方形，侧棱垂如图所示，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，中，AA12AB，则异，则异面直线面直线A1B与与AD1所成角的余弦值为所成角的余弦值为()思考题思考题4【答案】D 【解析解析】如图，设如图，设G是是AC的中点，的中点， 连接连接EG，FG. 【答案答案】90 1公理公理2是立体几何最基本、最重要的定理，它的主要作是立体几何最基

25、本、最重要的定理，它的主要作用是确定平面用是确定平面 2不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线不共线”条件条件 3两条异面直线所成角的范围是两条异面直线所成角的范围是(0，90 1(2015沧州七校联考沧州七校联考)若直线若直线l不平行于平面不平行于平面，且，且l ，则则() A内的所有直线与内的所有直线与l异面异面 B内不存在与内不存在与l平行的直线平行的直线 C内存在唯一的直线与内存在唯一的直线与l平行平行 D内的直线与内的直线与l都相交都相交 答案答案B 解析解析若在平面若在平面内存在与直线内存在与直线l平行的直线，因平行的直线，因l ，故，故l，这与题意矛盾，故选，这与题意