高中数学函数知识点总结(经典收藏)(20211121064227)

1、高中数学函数知识点总结1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性。女口：集合 Ax|y lg x， B y | y Ig x，C (x, y)| y Ig x，A、B、C中元素各表示什么？A表示函数y=lgx的定义域，B表示的是值域，而 C表示的却是函数上的点的轨迹2进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。八，2女口 ：集合 Ax|x 2x 3 0 ， B x|ax 1假设B A，那么实数a的值构成的集合为 1(答：1，0，-)3显然，这里很容易解出 A=-1,3

2、.而B最多只有一个元素。故B只能是-1或者3。根据条件，可以得到a=-1,a=1/3.但是，这里千万小心，还有一个 B为空集的情况，也就是 a=0,不要把它搞忘记了。3.注意以下性质：(1) 集合a1， a2， ，an的所有子集的个数是 2n ；当然，我们也要注意到,这2n种情况之中包含了这n个元素全部在何全部不在的情况,故真子集个数为2n 1，要知道它的来历：假设B为A的子集，那么对于元素a1来说，有2种选择在或者不在。同样，对于元素a2, aa,an,都有2种选择，所以，总共有2n种选择，即集合A有2n个子集非空真子集个数为2n 2(2)假设A B ABA，A B B;3德摩根定律：Cu

3、A B CuA CuB，Cu A BCuACuB有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂4.你会用补集思想解决问题吗？排除法、间接法女口：关于x的不等式axp50的解集为M，假设3 M且5 M,求实数ax a的取值范围。(T 3 M ，T 5 M ，32 a9，2552 an实际上就是方程 的2个根5、熟悉命题的几种形式、可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或，“且和“非.假设p q为真，当且仅当p、q均为真假设p q为真，当且仅当p、q至少有一个为真假设p为真，当且仅当p为假命题的四种形式及其相互关系是什么？互为逆否关系的命题是等价命题。原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同

4、假。6、熟悉充要条件的性质高考经常考A x | x满足条件p， B x | x满足条件q，假设；那么p是q的充分非必要条件AB；假设；那么p是q的必要非充分条件AB；假设；那么p是q的充要条件AB；假设；那么p是q的既非充分又非必要条件；7、对映射的概念了解吗？映射 f: A - B，是否注意到A中元素的任意性和 B中与之对应元素的唯一性，哪几种对 应能构成映射？一对一，多对一，允许 B中有元素无原象。注意映射个数的求法。如集合 A中有m个元素，集合B中有n个元素，那么从A到B的映射个数有nm个。女口：假设A 1,2,3,4，B a,b,c;问：A到B的映射有个，B到A的映射有个；A到B的函数

5、有个，假设A 1,2,3，那么A到B的一一映射有个函数y x的图象与直线x a交点的个数为 个8. 函数的三要素是什么？如何比拟两个函数是否相同？定义域、对应法那么、值域 相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一两点必须同时具备9. 求函数的定义域有哪些常见类型？-j x 4 x例：函数y 2的定义域是答：0, 22，33，4 lg x 3函数定义域求法：分式中的分母不为零；偶次方根下的数或式大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；数式的底数大于零且不等于一，真数大于零正切函数y tanx x R,且x k余切函数y cotx x R,且x k , k反三角函数的定义域函数y = arcs

6、inx的定义域是1, 1,值域是 J w ,函数y = arccosx的定义域是1, 1,值域是0, n 函数y = arctgx的定义域是 R，值域是:.，函数y = arcctgx的定义域是 R，值域是(0, n).当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时, 得到函数的定义域。10.如何求复合函数的定义域？先分别求岀满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就如：函数f(x)的定义域是a，b a 0，那么函数 F(x) f (x) f(x)的定义域是(答: a，复合函数定义域的求法:yf (x)的定义域为 m,n，求yf g(x)的定义域，可由m g(x) n解出x的范围，即为yf g

7、(x)的定义域。例假设函数y的定义域为1f (x)的定义域为 2，那么f (log2 x)2，分析：由函数f(x)的定义域为 -2 可知：2,x 2 ；所以yf (log 2 x)中有1log2 xlog 2 x 2。解：依题意知:解之，得f (log 2 x)的定义域为 x| 2 x 411、函数值域的求法1、直接观察法对于一些比拟简单的函数，其值域可通过观察得到。1例求函数y= 的值域x2、配方法配方法是求二次函数值域最根本的方法之一。例、求函数 y x -2x+5 , x -1 , 2的值域。3、判别式法对二次函数或者分式函数分子或分母中有一个是二次都可通用，但这类题型有时也可以用其他方

8、法进行化简, 不必拘泥在判别式上面下面，我把这一类型的详细写岀来，希望大家能够看懂a . yJ型：直接用不等式性质k+x 2b. ybxr型，先化简，再用均值不等式xmx n例：x11y1+x 212x+ x2c. y二_一L型 通常用判别式xmx nx2mx n d. y型x n法一:用判别式法二:用换元法，把分母替换掉例：x2x1( x+1) 2( x+1 ) +11y( x+1 )1211x 1x 1x 14、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。3x 4例求函数y=值域。5x 65、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，

9、来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例求函数y=2sin 11 sin2si n1的值域。cosyx e1xe1 y0ex1 -1 yy2sin11 sin|11y |1sin1 2yy2sin12 sin1y(11cos2 siny cos1 y42ysin(x) 1y,即sin(1,cosx)又由|sin(1知1 y4 y2解不等式，求出y，就是要求的答案6、函数单调性法通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容例求函数y=rlog x 1 2< x< 10的值域7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角

10、函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发 挥作用。例求函数y=x+ x 1的值域。8数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这 类题目假设运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例：点Px.y丨在圆x2+y2=1 上,(1) 的取值范围x 2(2) y-2 x的取值范围解：(1)令丄 k,那么y k(x2),是一条过(-2,0)的直线.x 2dR(d为圆心到直线的距离,R为半径)(2)令y-2x b,即y 2x b 0,也是直线d d R例求函数y= '(x 2)2 +(X 8)2的值域。B F乳-

11、8 0 <解：原函数可化简得：y= I x-2 I +1 x+8 I上式可以看成数轴上点 Px到定点A 2，B-8间的距离之和 由上图可知：当点 P在线段AB上时，y= I x-2 I + I x+8 I = I AB I =10当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y= I x-2 I + I x+8 I>I AB I =10故所求函数的值域为：10，+s 例求函数y= %2 6x 13 + x 4x 5的值域故所求函数的值域为43 ，+<注：求两距离之和时，要将函数9、不等式法利用根本不等式a+b>2 jab，a+b+c>33 JabCa，b，c R丨，求

12、函数的最值，其题型特征解析式是 和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。0)例：x 2x=x3 3 x2x应用公式a+b+cx3 3 abc时，注意使3者的乘积变成常数(3-2x)(0<x<1.5)=xx (3-2x)应用公式abcx+3-2x3(a b c )3时，应注意使3)3 13者之和变成常数倒数法有时，直接看不岀函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况例求函数Jx 2 y=x 3的值域yx 2x 3x20时，1x2111-"220 y 2y,x2.x 2x20时，y =001y2多种方法综合运用总之，在具

13、体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考 虑直接法，函数单调性法和根本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？切记：做题，特别是做大题时，一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误，与到手的总分值失之交臂如：f . X 1exx，求 f(x)令 tx 1,那么t0 x t21 f(t)1t21 f(x) ex2 1x21 x 013. 反函数存在的条件是什么？一一对应函数求反函数的步骤掌握了吗？反解x；互换x、y;注明定义域如：求函数f(X)2的反函数

14、X X 0(答:f 1(X)在更多时候，反函数的求法只是在选择题中岀现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看这个例题:(2004.全国理)函数yJX11(X 1)的反函数是 B A . y=X2- 2x+2(x<1)B. y=x2 - 2x+2(x> 1)C. y=X2- 2x (x<1)D. y=x2- 2x (x> 1)当然，心情好的同学，可以自己慢慢的计算，我想，一番心血之后，如果不岀现计算问题的话，答案还是可以做岀来的。可惜，这个不合我胃口，因为我一向懒散惯了，不习惯计算。下面请看一下我的思路：原函数定义域为 X=1，那反函数值域也为y>=1.排除

15、选项C,D.现在看值域。原函数至于为y>=1,那么反函数定义域 为x>=1,答案为B.我题目已经做完了，好似没有动笔除非你拿来写*书。思路能不能明白呢？14. 反函数的性质有哪些？反函数性质：1、反函数的定义域是原函数的值域可扩展为反函数中的 X对应原函数中的y2、反函数的值域是原函数的定义域可扩展为反函数中的y对应原函数中的X3、反函数的图像和原函数关于直线 =x对称难怪点x,y和点y, X关于直线y=x对称 互为反函数的图象关于直线y= X对称； 保存了原来函数的单调性、奇函数性；1 设yf(x)的定义域为A，值域为C，a A，b C,那么f(a) = b f (b) af 1

16、 f (a) f 1(b) a， f f 1(b) f (a) b由反函数的性质，可以快速的解岀很多比拟麻烦的题目如口4“04.上海春季高考函数f(x) log3( 2)，那么方程f 1(x) 4的解x .X15.如何用定义证明函数的单调性？取值、作差、判正负判断函数单调性的方法有三种：(1)定义法：根据定义，设任意得 X1,X 2，找出f(x 1),f(X 2)之间的大小关系可以变形为求 少一的正负号或者 里勺丄与1的关系X1X2f(X2)参照图象： 假设函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间具有相同的单调性；特例：奇函数 假设函数f(x)的图象关于

17、直线x= a对称，贝U函数f(x)在关于点(a , 0)的对称区间里具有相反的单调性。特例:偶函数(3)利用单调函数的性质： 函数f(x)与f(x) + c(c是常数)是同向变化的 函数f(x)与cf(x)(c 是常数)，当c>0时，它们是同向变化的；当 CV 0时，它们是反向变化的。 如果函数f1(x) , f2(x)同向变化，那么函数f1(x) + f2(x)和它们同向变化；函数相加 如果正值函数f1(x)，f2(x)同向变化，贝U函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化，那么函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；函数相乘 函数f(x)与L

18、在f(x)的同号区间里反向变化。f (x) 假设函数(x) ,X a，B 与函数 y = F(U) ,u © ( a )，© ( B )或 u © ( B ), © ( a )同向变化，那么在a，B 上复合函数y = F © (x)是递增的；假设函数 u=© (x),x a，B 与函数y= F(u)，u © ( a )，© ( B )或Uf(g)g(x)fg(x)f(x)+g(x)f(x)*g(x)都是正数增增增增增增减减/减增减/减减增减减e © ( B )，© ( a )反向变化，那么在a，

19、B 上复合函数y= F © (x)是递减的。同增异减假设函数y= f(x)是严格单调的，那么其反函数 x = f1(y)也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。如：求y log1 x2 2x 的2(设ux22x,由 u且 log 1 u1,如图:当 x (0,1时,当 x 1,2)时,又 log1又 log1,-y,-y16. 如何利用导数判断函数的单调性？在区间a, b内，假设总有f'(x)0那么f(x)为增函数。(在个别点上导数等于零，不影响函数的单调性)，反之也对，假设f'(x) 0呢？女口：a 0，函数f(x) x3 ax在 1,上是单调增函数，那么a的最大值

20、是A. 0(令 f'(x) 3x2 a 3 x £ x £0那么x由f(x)在1,)上为增函数，那么J- 1,即a 3V 3a的最大值为317. 函数f(x)具有奇偶性的必要非充分条件是什么？f(x)定义域关于原点对称假设f( x) f(x)总成立f(x)为奇函数函数图象关于原点对称假设f( x) f(x)总成立f(x)为偶函数函数图象关于y轴对称注意如下结论：1在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘 积是奇函数。(2) 假设f(x)是奇函数且定义域中有原点，那么f(0)0。女口：假设f(x)a一-为奇函数，那么实

21、数 a2x 1 f(x)为奇函数，x R,又 0 R,： f(0)0a0 , a20 11)又如:f(x)为定义在(1,1)上的奇函数，当x(0, 1)时，f(x)2x4x 1，求f (x)在1, 1上的解析式。(令 x1, 0，贝yx0, 1 , f(又f (x)为奇函数， f (x)2x4x0)2又 f(0)0，二 f(x )412 x 歹 1判断函数奇偶性的方法一、定义域法一个函数是奇偶函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇偶函数的必要条件假设函数的定义域不关于原点对称，那么函数为非奇非偶函数 .奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算f( X)，然后根据函数的奇偶

22、性的定义判断其奇偶性这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x) =0 f(x)-f(-x)=0f(x)倾f(x)奇函数偶函数偶函数奇函数复合函数奇偶性f(g)g(x)fg(x)f(x)+g(x)f(x)*g(x)奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶18.你熟悉周期函数的定义吗?(假设存在实数T (T 0)，在定义域内总有fx T f (x)，那么f(x)为周期函数，T是一个周期。如：假设f x a f(x)，(答：f(x)是周期函数，T2a为f(x)的一个周期)我们在做题的时候,经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=O,我们要马上反响过来，这时说这个函数周期 2t

23、.推f (x) f 导：f(x t)(x t)f (x2t)0f (x) f (x 2t)f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关于直线对称,同时可能也会遇到这种样子：对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比方，f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。为保守起见 ，我加了一个绝对值如:即 f (a x )f ( a f (2 a f (2 bx)，x)x)f (b xf (2)f(b x)a x)f (2 bf (x)f (x)令t2ax ,那么 2bxt 2b2a, f (t

24、)f(t即f(x) f(x 2b2 a)所以,函数f ( x)以 2|ba |为周期(因不知道a,(x )图象有两条对称轴xx)b的大小关系2b 2 a)又如：假设 fa， x b19. 你掌握常用的图象变换了吗?f(X)与f ( X)的图象关于y轴 对称 联想点x,y，(-x,y)f(x)与 f (x)的图象关于X轴对称 联想点x,y，(x,-y)f(x)与f( x)的图象关于 原点对称 联想点X,y，(-x,-y)f (x)与f 1 (x)的图象关于 直线y x对称 联想点x,y，(y,x)f (x)与f(2a x)的图象关于 直线x a对称 联想点x,y，(2a-x,y)f(x)与f(2

25、a x)的图象关于 点(a, 0)对称 联想点x,y，(2a-x,0)将yf(x)图象左移a(a 0)个单位y f(xa)右移a(a 0)个单位y f(xa)上移b(b 0)个单位y f (x a) b下移b(b 0)个单位y f (x a) b这是书上的方法，虽然我从来不用，但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目，其实根本不用这么麻烦。你要判断函数y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到，可以直接令y-b=O,x+a=O,画出点的坐标。 看点和原点的关系, 就可以很直观的看岀函数平移的轨迹了。注意如下“翻折变换：f ( x)| f ( x) |把x轴下方的图像翻到上面f ( x)

26、f (| x |)把y轴右方的图像翻到上面女口： f (x) log 2 x 1作出ylog2 x 1及y log? x 1的图象y=log 2X19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?(1) 一次函数：y kx b k 0(k为斜率，b为直线与y轴的交点)二次函数的几种表达形式:f (x)2 axbx c 一般式 f (x)a (xm)2n 顶点式，m，n为顶点f (X)a (xXi )( xX2 )( Xi - X2是方程的2个根f (X)a (xXi )( Xx2h 函数经过点Xi, h )(X2 - h )应用：“三个二次二次函数、二次方程、二次不等式的关系二次方程2反比例函数：kk

27、yk 0推广为y bk 0是中心O'(a，b)xx a的双曲线23二次函数y2axbxb2a4ac b2b图象为抛物线4a顶点坐标为4ac b2开口方向:根的关系:XiX22a4a向上，函数a 0，向下，ymax，对称轴x4acymin4 a4ac b24aYbA2ab、xiac .x2-1 xiaX2b22a2ax bx c 0,2 .0时，两根Xi、X2为二次函数y ax bx c的图象与x轴的两个交点，也是二次不等式ax2 bx c 0 0解集的端点值求闭区间m, n上的最值。区间在对称轴左边nb2a区间在对称轴2 边(n2ba4a cb2f min-f maxmax(4a也可以

28、比拟m,n和对称轴的关系，只讨论 a0的情况区间在对称轴右边mf max f (m ), f min f ( n )f max f (n ), f min f ( m )m)f ( m ), f ( n )距离越远，值越大 求区间定动，对称轴动定的最值问题。 一元二次方程根的分布问题。2 如：二次方程ax bx c 0的两根都大于kb a f(k)一根大于k，一根小于kf(k)在区间(m，n)在区间(m，n)0内有2根内有1根0bn2af (m)0f(n) 0f (m)f(n)0(4)指数函数：y(5)对数函数yloga x a 0,由图象记性质!1a(6) “对勾函数丄/ O岳十X均值不等式

29、一定要注意等号成立的条件ky x k 0x利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么?20. 你在根本运算上常岀现错误吗?指数运算：a01(a0), a1p (a 0)amaFVam (a 0),mn(a 0)对数运算：lOga(MN)loga M logaN M 0, N 0Mloga log a Nlog a N , log an M1log a M n对数恒等式:loga对数换底公式:logalogcb logcalogambn loga b m1loga xlogxa21. 如何解抽象函数问题？赋值法、结构变换法如：(1)R, f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f

30、 (x)为奇函数。(先令x0f(0)0 再令 yx,)(2) xR,f (x)满足 f (xy) f(x)f (y)，证明f (x)是偶函数。(先令xt f ( t)( t) f(t t) f( t)f(t) f(t) f(t) f( t)f(t)(3) 证明单调性：f(x2) f x2 x1 x2对于这种抽象函数的题目其实简单得都可以直接用死记了1、代 y=x,2、令x=0或1来求出f(0)或f(1)3、求奇偶性，令y= x ；求单调性：令 x+y=X1几类常见的抽象函数1. 正比例函数型的抽象函数fx= kx k工 0 fx± y= fx土 f y2. 幂函数型的抽象函数xf (

31、x)fx= xa- fxy= fxfy； f 一=yf(y)3.指数函数型的抽象函数fx= axfx+ y= f xf y； fx y=f(x)f(y)4. 对数函数型的抽象函数xfx= logax a>0 且 a工 1fx y= fx+ fy； f 一= fx一 fyy5. 三角函数型的抽象函数f x= tgxf x+ yf(x) f(y)1 f(x)f(y)f x= cotxf x + y=f(x)f(y) 1f(x) f(y)例1函数fx对任意实数x、y均有f x+ y= f x+ f y，且当x>0时，f(x)>0, f( 1) = 2求f(x) 在区间2,1上的值域

32、.分析：先证明函数f X在R上是增函数注意到 f X2= f X2 X1丨+ X1 = f x2 X1+ f X1；再根据 区间求其值域.例2函数f X对任意实数x、y均有fx+y+ 2 = fX+ f y，且当x>0时，f(x)>2 , f(3)= 5,求 不等式f a2 2a 2<3的解.分析：先证明函数fX在R上是增函数仿例1；再求出f 1= 3;最后脱去函数符号.例 3 函数 fX对任意实数 x、y 都有 fxy= fxfy，且 f一 1= 1, f 27= 9，当 0< x< 1时，f X 0，1.(1)判断f X的奇偶性；(2)判断f X在0 ,+3上

33、的单调性，并给出证明;(3)假设a > 0且f a +1w 3 9，求a的取值范围分析：11 令 y= 1;2 丨利用 f X1= f鱼 X2= f鱼f X2；X2X230< a< 2.例4设函数fx的定义域是 3，+®，满足条件：存在X1工X2，使得fX1工fX2；对任何x和y，fx+ y= fxfy成立.求:(1) f0；(2) 对任意值x,判断fX值的符号.分析：1令 x= y= 0; 2令 y = x工 0.例5是否存在函数fx，使以下三个条件：fx>0,x N;fa+ b= f af b，a、b N;f2 =4.同时成立？假设存在，求出f X的解析式

34、，假设不存在，说明理由.分析：先猜出fx= 2X;再用数学归纳法证明.例6设fX是定义在0,+d 上的单调增函数，满足 fx y= fX+ fy，f 3= 1,求:(1)(2)分析:f 1；假设fx+ fx-8w 2,求x的取值范围.1利用 3= 1 X 3；2利用函数的单调性和关系式.例 7 设函数 y= fx的反函数是 y= gx.如果 fab= f a+ f b，那么 ga + b= g a g b 是否正确，试说明理由.分析：设 fa= m, f b= n,_KU g m= a, gn= b, 进而 m + n = f a丨+ f b= f ab= f gmg n.例8函数f x的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件:X1、X2是定义域中的数时，有f X1- X2f(Xf(X2)1f(X2) f(xjf a= -1a>0, a是定义域中的一个数；当 0 v xv 2a 时，f xv 0.试问:(1)(2)f X的奇偶性如何？说明理由； 在0, 4a上，fx的单调性如何？说明理由.分析:(3)1利用 f -