高中数学公式大全人教版

1、高中数学常用公式及常用结论1. 元素与集合的关系x6 A <=> x e Q4 , .vg CL A <=> xe A.2. 德摩根公式Cv(ArB) = CuAJCuB;Cu(AJB) = CuAQCuB.3. 包含关系ACB = A<> AJB = B <=> A c B <=> CVB c CaAO ArCL!B = oCL!AJB = R4. 容斥原理cardA JB) = cardA + cardB -card (A Q B)card (A U 3 U C) = cardA + cardB + cardC 一 card(A

2、A B)一 card (4 Pl 3) - card (B Cl C) 一 card (C C| A) + card(A D 3 D C).5. 集合q,冬，,a的子集个数共有2个；真子集有2个；非空子集有2" -1个；非空的真子集有22个.6. 二次函数的解析式的三种形式(1) -般式 f (x) = ax当 a>0 时， 假 设X = -ep.q, 那么2a/Wmin = /(-X/Wnnx =m« /()，/($)； X = - £化p,g, f(x)m =m /(p),.f ，/(X) =& f(p)9f(q) +bx + c(d H 0)；

3、(2) 顶点式 f(x) = ci(x -h)2 + k(a h 0)；零点式 f(x) = a(x- xj(x- xj(a h 0).7. 解连不等式N<f(x)<M常冇以下转化形式N<f(x)<M O/(x) M/(x) Nv0<M-N1 1« >.f(x)-N M-N8. 方程f(x) = 0在伙忍)上有且只有一个实根，与f(kjf(k2)< 0不等价，前者足后 者的-个必要而不是充分条件.特别地，方程ax2+bx + c = 0(a丰0)有且只有一个实根在b k + k(也)内,等价于/(W2)<o,或/伙j = o且人 <

4、;-冷<乞尹,或弘)=o且 k、+k、h.<vh.2 la9. 闭区间上的二次函数的最值二次函数/(兀)=卅+加+ 4。工0)在闭区间伏切上的最值只能在x = 处及区 2a间的两端点处取得，具体如下：(2) 当 a<0 时，假设 x = -£wp,q,那么 /(x)min=mmf(p),/(q),假设 2-舟点切，那么 /(仏=max /(“),/(§), /(x) = nun /(/?),/(<7).10. 一元二次方程的实根分布依据：假设/(/?/)/(/?) <0,贝ij方程/(x) = 0在区间(m)内至少有一个实根.设 f(x) =

5、x2 + px + q,那么fp2 -4<7>0(1) 方程f(x) = 0在区间(7,+s)内有根的充要条件为/(/«) = 0或p；->77?I 2 了 (加)> 0/(") > 0 方程f(x) = 0在区间(切)内有根的充要条件为<0或卩一q“p2-4q>Q<m2ni <-<n 2 方程/(x) = 0在区间(-8 j)内有根的充要条件为f(m) v 0或彳11. 定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据在给定区间(一°+8)的子区间厶(形如乞0,久*0)不同)上含参数 的二次不等式fxd) &

6、gt;0(/为参数)恒成立的充要条件是> O(X电L).在给定区间(一0+8)的子区间上禽参数的匸次不等式f(Xj)>0(t为参数)恒成立的充要条件是/CM)® <0(xeL). /(x) = ax4 + bx2+ c> 0恒成立的充要条件是(a>0< b n o 或 <c > 0a <0lr 一 4ac < 012. 真值表Pq非PP或qp且q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假13 常见结论的否认形式原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有个至多有5-1)个小于

7、不小于至多有个至少有5 + 1)个对所有X, 成立存在某兀. 不成立p或q且一it/对任何X,存在某X,不成立成立p且qr?或f14.四种命题的相互关系15 充要条件(1) 充分条件：假设pnq，那么是g充分条件.(2) 必要条件：假设q = p,那么p是q必要条件.(3) 充要条件：假设p=>q 且那么是q充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，那么乙是甲的必要条件；反之亦然.16 函数的单调性设xzxi H x2那么3 儿)/(兀)一/(：)> 0 o /("/(“)> o O f (x)在a.b上是增函数；X1_X2V 0 O /(山)一几3 V 0 o /(x)

8、在a,切上是减函数.(2) 设函数y = /(x)在某个区间内可导，如果fx) > 0,那么/(x)为增函数：如果 fx) < 0,那么/(x)为减函数.17. 如果函数/(X)和g(x)都是减函数，那么在公共定义域内，和函数/(x)+g(x)也是减 函数；如果用数y = /(")和“ =g(x)在其对血的定义域上都是减函数，那么复合pKi数 y = /g(x)是增函数18. 奇偶函数的图彖特征奇函数的图彖关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图 象关于原点对称，那么这个函数是奇函数：如果一个函数的图彖关于y轴对称，那么这个函 数是偶函数.19.

9、假设函数y = f(x)是偶函数，那么/(x + d) = /(x a)：假设函数y = f(x+a)是 偶函数，那么 f(x + a) = f(-x + a).20. 对于函数)，=f(x)(xeR), f(x-a) = f(b-x)恒成立，那么函数/(x)的对称轴是 函数兀=3乜；两个怖数歹=f(x + a)与，=f(b-x)的图彖关于直线兀=2对称.21假设/(X) = -f(-x + a),那么函数y = /(犬)的图象关于点(-.0)对称；假设/(a) = -f(x + a),那么函数y = f(x)为周期为2a的周期换数22. 参项式函数P(x) =+ an_Lxnl +心的奇偶性

10、幺项式曲数P(x)是奇甫数O P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.幺项式函数P(x)是偶函数<=> P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.23. 函数y = /(x)的图象的对称性(1) 函数y = /(x)的图象关于直线x = a对称O f(a + x) = f(a-x) O/(2a-x) = /(x).(2) 换数y = /(x)的图象关于直线x = +对称O f(q + tnx) = f (b一mx)2<=> /(d + b_ir) = f (nix).24. 两个函数图象的对称性(1) 函数y = f(x)与函数y = /(-x)的图象关于直线x =

11、0 (即y轴)对称.(2) 函数y = f(nvc-a)与函数y = f(b-nix)的图象关于直线兀=匕对称.2m(3) 函数y = /(x)和y = /_1(x)的图象关于直线尸x对称.25. 假设将函数y = /(x)的图象右移d、上移b个单位，得到函数y = f(x-a) + h的 图彖；假设将曲线/(x,y) = 0的图象右移上移b个单位，得到曲线f(x-a,y-b) = 0 的图象.26. 互为反函数的两个函数的关系f(a) = bO 厂(b) = a.27. 假设函数y = f(kx+b)存在反函数，那么其反函数为y = Lf-x)-b，并不是kV = fl伙X+ b),而函数y

12、 =伙X+ b)是y = 1/(x) -b的反函数k28. 几个常见的函数方程正比例函数/(x) = CX, /(% + y) = /(X)+ /(>%/=C.(2)指数函数 f(x) = ax9 /(x+y) = /W/(jX/(D = * 0. 对数函数 f (x) = logd x, f(xy) = /(X)4-/(y),/(a) = l(a>0,a# 1).幕函数 /(x) = x°, fxy) = /(x)/(y),/(1) = a.(5)余弦函数/(x) = cosx,正弦函数 g(x) = sinx, f(x-y) = f(x)f(y)+g(x)g(y),

13、/(0) = l,lmi= 1.滾TO X29. 几个函数方程的周期(约定a>0)(1) /(x)=/(X+a),那么/(X)的周期 T二a；(2) /(x) = /(% + «) = 0 >或/(x + a) =17u)或 f(x+a) =命皿0),或* +J/(X)-厂(X) = /(x + d),(/(x)wo,l),那么/(x)的周期 T=2a；(3) /(X) = 1 一一) (/(X)工 0),那么 /(X)的周期 T=3a：/(x+a)(4) f(X + xJ=严且/(Q)= lCAxJ.f(xjHl,0v|X|-“|v2a),那么/(A)的周期T=4u；(

14、5) f(x)+f(x+a)+f(x+2a)f(x+3a)+f(x+4a)=f(x)f(x+a)f(x+2a)f(x+3a)f(x+4a).那么 f(x)的周期 T=5a：(6) f(x + a) = /(x)-/(x+a),那么/(x)的周期 T二6a.30. 分数指数幕更 1(1) an = = ( a >0jnjie 且 >1).1(2) a rt = ( a > Qjtiji e 且.aH31. 根式的性质(1) ) =a.aQO -ci,a <0(2) 当"为奇数时，0 = d：当为偶数时，V=|«|=32. 有理指数帚的运算性质(1) a

15、r -as =ar's(a>0. r.seQ).(2) (ar)s =a°(67>0,r,seQ).(3) (ah)r = arbr(a > 0./? > 0,r 6 0).注：假设a > 0 , p是一个无理数，那么aP表示一个确定的实数.上述有理指数幕的运 算性质,对于无理数指数幕都适用.33. 指数式与对数式的互化式log“ N = b U> 沙=n (° > 0卫 H1, N > 0)34. 对数的换底公式log Nlog“ N =-(a>0,且 ghI,加0,且加 Hi, N >0).1°

16、;亦a推论 log b" = logub (a >0,且且加N>0).m35. 对数的四那么运算法那么假设 a>0, aHl, M>0, N>0,那么(1) log. (MN) = log“ M +log“ N ；M log-亓=晦 M - log. N ；(3) log. Mn = nlogfl M(n e R).36. 设函数 f(x) = logm(ax' + bx + ca h 0),记 = / 一4观.假设/(x)的定义域 为心那么a>0,且<()；假设/(x)的值域为R,那么a>0,且?().对于d = 0的情形,

17、需要单独检验.37. 对数换底不等式及其推广假设d0, b>0, x>0, xh 丄，那么函数y = logav(bx)当a>b时，在(0,丄)和(-,+oo)上y = logbx)为增函数.a a.当a<b时,在(0,)和(一,2)上y二log<M(Z?x)为减函数.推论:设/?>/?> 1 p>0, a>0，IlaHl，那么 log*p("+")vlog logjllogj V10g,一 38. 平均增长率的问题如果原来产值的根底数为N,平均增长率为"，那么对于时间X的总产值y,冇 y = N(1 + p)

18、x.39. 数列的同项公式与前n项的和的关系S.,/? = 1r (数列%的前n项的和为匚=q + a + + a)S厂心2初.等差数列的通项公式an = q + (-l)d = dn + a -d(n e N4)；其前n项和公式为ia.+a)n(n -1)sn = =na. + a=n2 +(a -d)n.2 1 241. 等比数列的通项公式q其前n项的和公式为ch (1 q"). 詡工加/ = 1a. - a a ._.(/Hl或_qg,q = l42. 等比差数列%: a+i = qaii+d,a = b(q丰0)的通项公式为(b +(H_l)d、q = 1I q_i其前n项和

19、公式为 nb + n(n-l)d,(q = 1)»= < f d l-qn d z t (b)+ 儿(QHl) i-q q_i i_g43.分期付款(按揭贷款)每次还款x=ab()n-元(贷款d元/次还清，每期利率为b).(1 + b) 1n=hq" +(d-b)qn'l-d 旷】；44 常见三角不等式(1)假设xw(0,号)，那么sm.v<x<taiix.(2) 假设 XG (0,y),那么 1 V Sill 兀 +cos(3) |smx| + |cosx|> 1.45. 同角三角因数的根本关系式sm2 8+ cos，0 = 1, taii

20、= SU1 , tanO cof。= 1.COS&46. 正弦、余弦的诱导公式(-1)2 sm a,/l-l(-1)2 cosa. J17Tsin( + a) =n为偶数n为奇数n为偶数(一 1)'cos a,n为奇数n+l (-1) 2 sin a.47. 和角与差角公式sin(a±0) = suiacos0土COSQS1110 ； cos(a ±p) = cos a cos J3sma sm p ； tan(a±0)=士加“.lq:taiiatansin(a + 0)sm(a-0) = sm'a-sin0 (平方正弦公式)； cos(a

21、+ 0)cos(a 0) = cos' a-sm2 0.dsina + bcosa = Ja2-b2 sin(a +卩)(辅助角0所在象限由点(ab)的彖限决 b 、定,tan = -).a48. 二倍角公式sm 2a = smacos a cos2a = cos' a-sin2a = 2cos2 a- = l-2sm2 a 宀2 tanatan 2a =；.1-tan* a49. 三倍角公式sin 3& = 3 sin &一 4 sin3 & = 4 sin & sin(y 一 0) sin(y + 0). cos 30 = 4 cos3 &a

22、mp; - 3 cos 0 = 4 cos 0 COS(y - 0) COS(y + 6)tan 3& = 3皿曲& =& tail(£ _ &)+ &).l-3tan- 03350. 三角函数的周期公式函数 y sill69X+ p , xWR 及函数COS0Y4 0, xGRA, 3, 0 为常数且 AHO.3>0)的周期T =；函数y = tan(er+0), xhR;t+兰,R wZ (A, 3, °为常数，且 a co2HO, 3>O)的周期T =-CD51. 正弦定理 亠亠= = 2R.sm A sm B sm

23、 C52. 余弦定理a2 =b2 +c2 -2bccosA；b2 =c2 + a2 - 2cacos B ；c2 =a2 +h2 - 2ah cos C.53. 面积定理(1) S = -aha=-bhh = -ch (ha.他、九分别表示a、b、c边上的高).<2(2) S = -absinC = besinA = casmB.2 2 2=yl(OAOBf-(pAOB)2.54. 三角形内角和定理在AABC 中，有 A + B+C=?roC = /r-(A + B)o C=£_4 + B <_>2C = 2_2 2 255. 简单的三角方程的通解sinx = a

24、o x = Rr+ (-1)* arcsin a(k e Z,| 咋 1) cosx = a o x = 2k 托土 arccosa 伙 e ZJ n |< 1). tanx = a=>x = k/r+aictana伙 gZ,«g R).特别地，有sin a = sin 0 o a = k/r + ( l)k /3(k e Z).co s a = cos 0 O a = 2k兀土 p(k e Z).tan a = tan 0 => a = k/r + 0伙 g Z).56. 最简单的三角不等式及其解集smx > a(|«|< 1) <=&

25、gt; xe Qk托+ arcsina.2R/r+/raicsma),keZ .sinx <a( n|<l)<=>xe (2k/r-兀一arcsina.2k/r+ aicsma),k eZ. cosx > a( a < 1) <=> xg (2ktt-aiccosa.2k;r+aiccosa).k g Z. cosx <t/(| d |< 1) <=> g (2R;r+aiccosa2R;r+2/r-aiccosd),R g Z.taiix>d(67G /?) => x e+ aictan a,k7r+),k

26、e Z.tailx <a(ci g /?)=>xg 伙龙一彳，R;r+aictand).R g Z.57. 实数与向量的积的运算律设入、为实数，那么(1) 结合律：X(ua) = (A u)a；(2) 第一分配律：(X + P)a"a+Ua;(3) 第二分配律：X (a+b)=Xa+Xb.58向最的数呈枳的运算律：(1) a b= b a (交换律)；(2) ( A a) b= A fa b) =2 a b= a ( A b);(3) Mb) c= a c +b c.59. 平面向量根本定理如果e,、e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且 只

27、有一对实数入1、X使得q= ：e：+入:e：.不共线的向量e：、e；叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.60. 向量平行的坐标表示设 a=(x1,y1),b=(x,y2).且 bHO,那么 a|b(bH0)O 心儿=0.53."与b的数量枳(或内枳)a b= a 丨 b jcos 0 .61. ab的几何意义数量枳ab等丁 a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 0的乘积.62. 平面向最的坐标运算(1) 设 8二(召，yj, b二(£,儿)，那么 a+b=(Xj + x2,y + y2).(2) 设 a二(旺,), b=(x2,y2),那么 ab=(X -x2

28、,- y2).(3) 设 A3，%), B(w)，那么 AB = OB-OA = (x2-xL,y2-y).设 a 二(x,y),人 w/?,那么 Aa=(2x,2>).(5)设 a二(X, yj, b=(A, yj,那么 a b=(x1x: +)y2).63. 两向量的夹角公式cos 0 =A- + 12i=(干(兀，yj,b二(兀，yj)yjx; + yyx;y;64. 平面两点间的距离公式dAB=AB= A8-AB=J(W xj' + O, (A(兀,yj，B(x:,y,).65. 向量的平行与垂直设 a=(X1,y1),b=(X：,).且 b=0那么A lbCb=&quo

29、t; O5儿一兀>=0.alb(a 0) <=>a b=0O xkx2 + yj2 =0.66. 线段的定比分公式设片(兀,牙)，人(壬,儿)，P(x,y)是线段片人的分点，人是实数，且Pf=APP2,那么X. + 兄 X、X = <1+2。丽=°人+久理丫_儿+兄儿+21 + 2-,、1OOP = tOP(-t)OP2 (/=).1+267 三角形的更心坐标公式ABC三个顶点的坐标分别为A(“yJ、B(x2,y2). C(x3,y3),那么AABC的重心的坐)标是G(6&点的半移公式x = x+h x = x - h-r ?IOOP =OP+PP .

30、y=y+i<y = y-注：图形f上的任意一点p(x, y)在平移后图形F上的对应点为P(?,y),且两的 坐标为(力,R).69. “按向量平移的几个结论点P(x,y)按向最a= (/?,k)平移后得到点Px +h、y + k).(2) 函数y = f(x)的图彖C按向最平移后得到图彖C',那么C'的函数解析式 为丁=/(兀-力)+R(3) 图象C'按向呈a=(h.k)平移后得到图彖C,假设C的解析式y = /(x)，那么C'的前 数解析式为y = f(x+h)-k.曲线C : f(x9y) = 0按向量/从)平移后得到图象C',那么C'

31、的方程为 f(x-h,y-k) = O.(5)向量(X, y)按向量a=(九A)平移后得到的向量仍然为m=(X,刃.70. 三角形五“心向量形式的充要条件设O为AABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a、b,c,那么(1)(2)(3)(5)O 为 AABC 的外心O OA =OB =OCO 为 AABC 的重心 <>OA + OB + OC = 6.O 为 SABC 的垂心O OA OB = OB OC=OC OA.O 为 ABC 的内心 O aOA + bOB + cOC = 6.O 为 AABC 的 Z4 的旁心 O= bOB + cOC 71 常用不等式:(1) a

32、.heR>a2+b2>2ab(当且仅当 a=b 时取“二号).(2) n他(当且仅当a=b时取“二号).<x <x2 <=> (x-x1)(x-x2) <0(, <x2)；x <xrx> x2 <=> (x-xJGv-xJ > 0( <x2).74. 含有绝对值的不等式 当3> 0时，有|x| <aO x2 <a2 O-a <x <a.W > d O X? > / o x > d 或 x v a 75. 无理不等式/Gv)>0> Jg(x)o g(x)

33、n ob(x)> g(x) J/(x)>g(x)o/(x) n 0 g(x)nof(Q > g(x)F/(V) > og(x)v°/Cv)>0 Jf(x) V g O < g(x) > 0 丿(x)vg(x)F76. 指数不等式与对数不等式(1) 当d>l 时，af(x) > ax> <=> f(x)> g(x)；|7(x)>0log“ /(x) > log “ g(x) O g(x) > 0 l/W > g(Q(2) 当 0 <a< 1 时， aHx) > ax&

34、lt;x) <=> /(x) < g(x)；|V(x)>0log。/(x) > log“ g(x) o g(x) > 0fW < g(x)77. 斜率公式k= £州,、P2x2,y2.X2X17&直线的五种方程1点斜式，一开=*兀一兀直线/过点片兀,儿，且斜率为R.2斜截式y = k.x+bb为直线/在y轴上的截距.3两点式丄=- 开工yJ 片兀,开、只&,yj XHx、儿一1 兀一兀4截距式 上+ £ = 14、b分别为直线的横、纵截距，a、bHOa b5一般式 Av + By + C = 0其中A、B不同时为0.

35、79. 两条直线的平行和垂直假设ll:y = klx+blt l2ty = k2x+b2®/j |/2 U> k严 k：,b H 化；/j ±/2 <=>kk2 =-l.(2) 假设lL: Ax+ Bly + Cl = 0,/2: A2x+ B2y + C2 =0,且 Ai、A：、Bi、B?都不为零,111 - A B、 C h 丄 12A1A2-fB1B2 = 0：80. 夹角公式、kr 匕-(A : y = k"*, l2:y = k2x+h2,叭 h 1)i ABr A.B |(2) tan a =| 1 - 1 |.人九+ BB,(/1:

36、 Ax+Qy + q = 0丄:A2x-B2y + C2 =0,AA2 + BlB2 h0).直叫丄側，宜线的夹角是号.81. A到人的角公式(l)tana =k十&1 + k2kt(/!:y = klx+bi, l2: y = k2x+h2,kLk2 工-1)(2) tan a =A、B厂 A& A, + BB、(ll :Alx+Biy + Cl = Oj2: Ax+2y + C2 =0,& + Bfi2 hO).直线A丄人时,直线/】到b的角是兰. 282. 四种常用直线系方程定点直线系方程：经过定点匕(X。)的直线系方程为y-y0 = (x-x0)(除直线 x =

37、 x0 ),其中R是待定的系数；经过定点心(兀,凡)的直线系方程为 A(A-xo)+B(y-yo) = O,其中A,3是待定的系数.(2) 共点直线系方程:经过两直线ll:AlxBy + Cl = O,l2:A2x + B2y + C2= 0的交点的直线系方程为(Arx+ CJ +A(A:x+ B2y + C2) = 0 (|/2),其中入是待定的系数.(3) 平行直线系方程：直线y = kx-b中当斜率& 一定而b变动时，表示平行直线 系方程.与直线Ax + Bv + C = 0平行的直线系方程是Ai + B.y + /l = O(久工0),入是 参变量.(4) 垂直直线系方程：与直

38、线Ar+Bv + C = O (AHO, BH0)垂直的直线系方程是 Bx-Av + 2 = 0,入是参变量.r83. 点到直线的距离d = M'o foY (点pg,儿)，直线/: A"By + C = 0).y/A2 + B81. Av+Bv + C>0或vO所表示的平面区域r设直线/:Av+Bv + C = O,那么Ay + Bv + C>0或<0所表示的平面区域是：FOr假设BhO,当与Ar+Bv + C同号时，丧示直线/的上方的区域：当与 Av+By + C异号时，表示直线/的下方的区域简言之，同号在上，异号在下.假设B = 当4与Av+Bv +

39、C同号时，表示直线/的右方的区域：当4与 FAv+By + C异号时，表示直线/的左方的区域.简言之，同号在右，异号在左.85. (Ax+ 3+ (7)(4/+ B + CJ > 0或<0所表示的平面区域设曲线C:Bky + CjXAx+B2y + C2) = 0 ( AlA2BlB2 0 ),那么(&x + B y + QXAx + y + C J > 0或v 0所表示的平而区域是：(Ax+ Bly + Cl)(A2x+B2y + C2) > 0所表示的平面区域上下两局部：(Arr +By + C)(Ax +B2y + C2)< 0所表示的平面区域上下两

40、局部.86. 圆的四种方程(1) 圆的标准方程(x-a)2 +(y-b)2 = r2.(2) 陨I的一般方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 (D2 + E2 -4F >0),“(x = a + rcosO(3) 圆的参数方程y = p+rsm(4) 圆的直径式方程(x_.Yj(x_兀)+ (y_yJ(y_yJ = O (圆的直径的端点是 力(人,儿)、B(x29y2).87. 圆系方程(1) 过点A(Ar>), B(x2,y2)的圆系方程是O(x-xJ(兀一xj + (y-yj(y儿)+2(ox+by + c) = 0 ,其中 ax+by + c = 0 是直

41、线 43的方程，入是待定的系数.(2) 过直线/: Av+By + C = 0与圆C :x2 + y2 + Dx+Ey + F = 0的交点的圆系方程 是x: + / + Dx+Ey + F-i-A(AA+By + C) = 0,入是待定的系数.(3) 过圆 Q : x2 + y2 + Dtx+ E$ + F = 0 与圆 C?: x2 + y2 + D2x+E2y+ F2=0 的交点的圆系方程是x2 + y2 + 8+疋+存+久(疋+ D+ Ej + FJ = 0 , X是待定的系数.88. 点与圆的位置关系点卩(兀,儿)与(x-a)2 +(y-b)2 =r2的付罟关系有三种假设d = J(

42、a-Xo)，+ (b-yo)'，那么d >厂0点卩在圆外；J = r <=>点P在圆上； </*<=>点P在圆内.89. 直线与圆的位置关系直线Ax+By+C = 0与圆(x - a)2 + (y - b)2 =尸的位置关系有三种：d > 厂 <=> 相离 O < 0 ；d = rO 相切 <=> = ()；d <r<=> 相交 O 0.其中d =卑翌凶JaSb290. 两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为0“ 0：,半径分别为门，r：, 10，! = d > /; + 口 O外离O 4条

43、公切线；=人+厂二O外切O 3条公切线；|斤一也vdv斤+心U*相交u>2条公切线；d = r-r O内切O1条公切线； 0<J<|/-r2|<=>内含O无公切线.91. 圆的切线方程(1) 圆 x2 + Dx+ Ey + F = 0 . 假设己知切点在圆上，那么切线只有一条，其方程是D(x0 4- x) E(yQ + y)厂 八X。X + y0y + ； +； + F = 0当(兀，儿)圆外时，3 +)叨+ %；+恥：+刃+ F = 0表示过两个切点 的切点弦方程. 过圆外一点的切线方程可设为y-yQ = k(x-x0).再利用相切条件求k,这时必 有两条切线，

44、注意不要漏掉平行于y轴的切线. 斜率为k的切线方程可设为y = kx+b,再利用相切条件求b,必有两条切线.(2) Hl x2 + y2 = r.过圆上的心(兀,儿)点的切线方程为兀。/+ yoj = r2 ；斜率为k的圆的切线方程为y二kx± ,1 + F .x = acos0 y = hsin0Jr92. 椭圆(+=l(db0)的参数方程是 cr lr93. 椭圆2 +真=1(。b0)焦半径公式 cr lr2 2Pg = e(x+)9 PFA = e(-x).cc94椭圆的的内外部JT11)点 P(x0, yo)在椭圆一+ 亍r = 1(。> b > 0)的内部 U&

45、gt; t + yr < 1 “cr lrit lr222 2(2)点Pg讥)在椭圆存+其= l(d>b>0)的外部o 算+典>1./ lrcr b95. 椭圆的切线方程2椭圆二+匚= l(a>b>Q)上一点P(x0,凡)处的切线方程是卑+孚=1.cr lr(T lrr v 过椭圆+ = l(n>/?>0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是 cr trxox+ yoyCT b2=1.r* V*(3 )椭圆 r + K = l(a>b>0)与直线 Ar+Bv + C = 0相切的条件是A2a2 + B2b2 = c2.96

46、. 双曲线二-冥=1(0 > O.b > 0)的焦半径公式 6F ir|Pf；|=|x+y)|, PF2=e(-x).97 双曲线的内外部点P(x0,y0)在双曲线二-賽= l(a>0,b>0)的内部。冬_典>1. CTb，CTb>>22点P(A0,y0)在双曲线二一 = l(a>0,b>0)的外部o其一冀V1. crlrcrlr98. 双曲线的方程与渐近线方程的关系2 2 2 2(1) 假设双曲线方程为二一兵=1=>渐近线方程：(一其=0O v，= ±£x. / bcr lra(2) 假设渐近线方程为，=

47、77;2xO±£ = 0=>双曲线可设为二一吴=入.aa b茁 b'(3) 假设双曲线与匚一兵=1有公共渐近线，可设为匚-=九(入>0,焦点在xa ba' b轴上，九vO,焦点在y轴上).99. 双曲线的切线方程(1) 双曲线二=1>0小>0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是M 孚=1.>JC V*(2) 过双曲线=1(«>0,/?>0)外一点P(A0,y0)所引两条切线的切点弦方程是亍 ，一.*» 、(3 )双曲线匚一匚= l>0,b>0)与直线Ay+Bv + C = O相切的条

48、件是 a bA2a2- B2b2 = c2.100. 抛物线y2=2px的焦半径公式抛物线尸=2px(p > 0)焦半径|CF| = x0 +号.过焦点弦长CD = £ +彳+兀+ # = a; + w + p.2101. 抛物线y =2px±.的动点可设为P(,y.)或P(2pt2pt)或P(x、,y ),其中2py; = 21叫a>2102. -次函数yG+加+c = c心+与 + "工0)的图象是抛物线：(1)顶2a 4。点坐标为(丄严-/；(2)焦点的坐标为(丄,"H)；(3)准线方程是 2a 4a2a 4a4ac-b2 -Iy =.

49、4d103. 抛物线的内外部点P(x0,y0)在抛物线y2 = 2px(p > 0)的内部o尸v 2px(p > 0).点 P(x°, y0)在抛物线才=2px(p > 0)的外部O y2 > 2px(p > 0).点 F(.v0,y0)在抛物线 =-2px(/? >0)的内部O y2 <-2px(p>0).点 P(.v0, y0)在抛物线 y2 = -2px(p > 0)的外部U> y2 > 一2px(p > 0).(3) 点 P(x0,y0)在抛物线 x2 =2py(p>0)的内部 Ox' &l

50、t;2py(p>0).点 P(x°，几)在抛物线 X = 2py(p > 0)的外部o X2 > 2py(p > 0).(4) 点P(x0,y0)在抛物线=2py(p>Q)的内部Ox' <2py(p>0).点 P(x°，儿)在抛物线 X = -2py(p > 0)的外部o X2 > -2py(p > 0).104 抛物线的切线方程(1) 抛物线= 2px上一点P(x0,y0 )处的切线方程是yQy = p(.x + xQ).过抛物线y2=2px外一点P(x°,y°)所引两条切线的切点弦方

51、程是yoy=p(x+xo).(3) 抛物线r = 2px(p > 0)与直线Av+ By + C = 0相切的条件是pB = 2AC.105. 两个常见的曲线系方程过曲线/(x,y) = 0,厶(x) = 0的交点的曲线系方程是fl(x,y) + Af2(x,y) = Q (2 为参数).共焦点的有心圆锥曲线系方程卓 +二匚 =1,其中k vmax，,，.当 cr _k !r _kk >niin<72,Z?2Ibt,表示椭圆，当 iiiina29b2 <k vmaxa',，时,表示双曲线.106. 直线与圆锥曲线相交的眩长公式|4B| = Jg_xJ+(y厂儿尸

52、或AB = J(l + R')(X2兀)'=| Xj -x21J1 + tan2 a =| y - y2 yjl + cov a (弦 端点V = kx + br,由方程消去y得到av + bx+c = 0 , A>0, a为直线F(x,y) = 0A3的倾斜角，k为直线的斜率).107. 圆锥曲线的两类对称问题(1)曲线F(x,y) = 0关于点Pg,y° )成中心对称的曲线是F(2x0-x,2y0-y) = 0. 曲线F(x, y) = 0关于直线Av + By + C = 0成轴对称的曲线是24(Aa + B.v + C)、，2B(/h + By + C)

53、、_a108. M四线 一方程对于一般的二次曲线 Av2 + Bxy + Cy2 + Dx+ Q + F = 0,用,vox 代x',用 yoy 代 y2, 用代好,用号:代X,用号!:代y即得方程A.X+B.直于比+ 0,0，+£>洱工+E丄宁+尸=0,曲线的切线，切点弦，中点 弦，弦中点方程均是此方程得到.109证明直线与直线的平行的思考途径(1) 转化为判定共而二直线无交点：(2) 转化为二直线同与第三条直线平行：(3) 转化为线面平行：(4) 转化为线面垂直；(5) 转化为面面平行.110证明直线与平面的平行的思考途径(1) 转化为直线与平面无公共点：(2) 转

54、化为线线平行；(3) 转化为而面平行.111.证明平面与平面平行的思考途径(1) 转化为判定二平面无公共点：(2) 转化为线面平行；(3) 转化为线面垂直112证明直线与直线的垂直的思考途径(1) 转化为相交垂直；(2) 转化为线面垂直：(3) 转化为线与另一线的射影垂直；(4) 转化为线与形成射影的斜线垂II.113 证明直线与平面垂直的思考途径(1) 转化为该直线与平面内任一直线垂直：(2) 转化为该直线与平面内柑交二直线垂直：(3) 转化为该直线与平面的-条垂线平行：(4) 转化为该直线垂直于另一个平行平面：(5) 转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.114证明平面与平面的垂直的思考途

55、径(1) 转化为判断二而角是直二面角；(2) 转化为线面垂直.115. 空间向量的加法耳数乘向量运算的运算律(1) 加法交换律：a+b二b+a(2) 加法结合律：(a+b)+cp+(b+c)(3) 数乘分配律：X (a+b)=Xa+Xb.116. 平面向量加法的平行四边形法那么向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向最之和等于以这三个向量为棱的平行六面体的 以公共始点为始点的对角线所表示的向量.117 共线向最定理对空间任意两个向量a. b(bHO), abU>存在实数入使a=hb.P、4、B 三点共线 <=> AP|AB<=>AP = t AB <=

56、> OP = (l t)OA + tOBABCD<>AB. CQ共线且A3、CD不共线u>AA = /CQ且A3、CD不共线. 118.共面向量定理向最P与两个不共线的向最a. b共面的O存在实数对也儿使p = ax+by .推论 空间一点P位于平面MAB内的O存在有序实数对圮y，使MP = xMA + yMB 或对空间任一定点0,有序实数对X，使OP = OM+xMA+yMB.119对空间任一点O和不共线的二点A、B、C,满足 OP = xOA + yOB + zOC(X+y+Z = R),那么当R = 1时.对于空间任一点O总有氏A. B、C四点共面；当 5 时，假

57、设OW平面ABC,那么P、A、B、C四点共面；假设O住平面ABC,那么P、A、B、C四点 不共面.4、BC D四点共面O方万与AB. 疋共面<> AD = xAB + yAC <>OD = (i-x-y)OA + xOB+yOC(O右平面ABC)120空间向量根本定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x, y> z> 使 p=xa+yb+zc推论 设0、A、B、C是不共面的四点.那么对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实使 OP = xOA + yOB + zOC.121.射影公式己知向量ABa和轴/, e是/上与/同方向的单位向量作A点在/上的射影A,作B点在/上的射影X,那么A B = AB | cos“ e) e122 向量的直角坐标运算设 a= (opa2,a5)> b=(勺厶厶)那么(1) a+b=(q