数值分析4.1 引言及Langrage插值法)

1、第第4章章 插值法插值法 4.1 引言引言 4.2 Lagrange 插值插值 4.3 Newton 插值插值 4.4 Hermite 插值插值 4.5 分段多项式插值分段多项式插值 4.6 三次样条插值三次样条插值问题的提出问题的提出 在科学研究和工程计算中，经常要研究变在科学研究和工程计算中，经常要研究变量之间的函数关系，但是在很多情况下，又很量之间的函数关系，但是在很多情况下，又很难找到具体的解析表达式，往往只能通过测量难找到具体的解析表达式，往往只能通过测量或者观察，获得一张数据表，即或者观察，获得一张数据表，即x0 x1x2xnxy0y1y2yny4.1 引言引言 这种用表格形式给出

2、的函数，无法求出不在表这种用表格形式给出的函数，无法求出不在表中的点的函数值，也不能进一步研究函数的分析性中的点的函数值，也不能进一步研究函数的分析性质，如函数的导数及积分等。为了解决这些问题，质，如函数的导数及积分等。为了解决这些问题，我们设法通过这张表格求出一个简单的函数我们设法通过这张表格求出一个简单的函数P(x)( )iiP xy(0,1, )in这种求这种求P(x)的方法称为的方法称为插值法。插值法。使使4.1.1 插值问题插值问题 设设 y= f(x) 是区间是区间a , b 上的一个实函数上的一个实函数, xi ( i=0, 1, . ,n)是是a,b上上n+1个互异实数个互异实

3、数,已知已知 y=f(x) 在在 xi 的的值值 yi=f(xi) (i=0,1,.,n), 求一个求一个次数不超过次数不超过n的多项式的多项式Pn(x)使其满足使其满足Pn(xi)=yi (i=0,1, ., n) (4-1)这就是这就是多项式插值问题多项式插值问题.4.1 引言引言其中其中Pn(x) 称为称为 f(x) 的的n次插值多项式次插值多项式, f(x) 称为称为被插函被插函数数, xi(i=0,1, .,n)称为称为插值节点插值节点, (xi, yi) (i=0,1, ,n) 称为称为插值点插值点, a,b 称为称为插值区间插值区间, 式式(4-1)称为称为插值条件插值条件。 从

4、几何意义来看从几何意义来看,上上述问题就是要求一条多述问题就是要求一条多项式曲线项式曲线 y=Pn(x), 使它使它通过已知的通过已知的n+1个点个点(xi,yi) (i=0,1, ,n),并用并用Pn(x)近似表示近似表示f(x).即即 P(x)=a0+a1x+a2x2+.+anxn其中其中ai为实数，就称为实数，就称P(x) 为为 插值多项式插值多项式，相应的插，相应的插值法称为值法称为多项式插值多项式插值，若，若P(x)为分段的多项式，就为分段的多项式，就称为称为分段插值分段插值，若，若P(x)为三角多项式为三角多项式,就称为就称为三角插三角插值值，本章只讨论插值多项式与分段插值。，本章

5、只讨论插值多项式与分段插值。 本章主要研究如何本章主要研究如何求出求出插值多项式，分段插值插值多项式，分段插值函数，样条插值函数函数，样条插值函数；讨论插值多项式；讨论插值多项式P(x)的的存在存在唯一性、收敛性及误差估计唯一性、收敛性及误差估计等。等。定理定理1 设节点设节点 xi (i=0,1, ,n)互异互异, 则则满足插值条件满足插值条件 Pn(xi)=yi (i=0,1, ., n)的次数不超过的次数不超过n的多项的多项 式存在且唯一式存在且唯一.证证 设所求的插值多项式为设所求的插值多项式为 Pn(x)=a0+a1x+a2x2+.+anxn (4-2)则由插值条件式则由插值条件式P

6、n(xi)=yi (i=0,1, ., n) 可得可得关于系数关于系数a0 ,a1 , ,an的线性代数方程组的线性代数方程组4.1.2 插值多项式的存在性和唯一性插值多项式的存在性和唯一性 nnnnnnnnnyxaxaayxaxaayxaxaa101111000010此方程组有此方程组有n+1个方程个方程, n+1个未知数个未知数, 其系数行列式是其系数行列式是范德蒙范德蒙(Vandermonde)行列式：行列式：（4-3）20002111211()01nnjij innnnxxxxxxxxxxx 由克莱姆法则知方程组由克莱姆法则知方程组 (4-3) 的解存在唯一的解存在唯一. 证毕。证毕。

7、 考虑最简单、最基本的插值问题考虑最简单、最基本的插值问题.求求n次插值多项式次插值多项式 l i(x) (i=0,1, ,n),使其满足使其满足插值条件插值条件0,()(0,1, )1,ijjil xjnji 4.2.1 基函数基函数可知可知, 除除 xi点外点外, 其余都是其余都是 li(x)的零点的零点, 故可设故可设0( )()()inl xA xxxx 11()()iixxxx 4.2 Lagrange(拉格朗日拉格朗日)插值插值其中其中A为常数为常数, 由由li(xi)=1可得可得)()()(1110niiiiiixxxxxxxxA 称之为称之为拉格朗日基函数拉格朗日基函数, 都是

8、都是n次多项式次多项式 。00()()( )()()(0,1, )niiinxxxxl xxxxxin 11()()iixxxx 11()()iiiixxxx 0( )()()inl xA xxxx 11()()iixxxx nijjjijxxxx0 n=1时的时的一次基函数一次基函数为为: 0 x1xy1 O x)(0 xl y 10 x1x)(1xlO x.)(,)(01011010 xxxxxlxxxxxl 如果已知函数如果已知函数 f(x)在点在点x0和和x1点的函数值点的函数值 y0=f(x0)，y1=f(x1).求线性函数求线性函数 L(x)=a0+ a1x使满足条件：使满足条件：

9、L(x0)=y0 , L(x1)=y1. .)()(001010 xxxxyyyxL 或用或用直线的两点式表示为：直线的两点式表示为：0011()()lxxlxx则则 称称 ： 叫叫 做做 点点的的 一一 次次 插插 值值 基基 函函 数数 , ,为为 点点的的 一一 次次 插插 值值 基基 函函 数数 . .插值基函数的特点插值基函数的特点： x0 0 x1 1l0 01 10 0l1 10 01 11x0 x1l0 0l1 1.)(,)(01011010 xxxxxlxxxxxl 记记.)(010110101xxxxyxxxxyxL 1200102()()( ),()()xxxxlxxxx

10、x n=2时的时的二次基函数二次基函数为为 : 0211012()()( ),()()xxxxlxxxxx 0122021()()( ).()()xxxxlxxxxx 0 01 10( )( )( )( )( )nnn ni iiL xy lxy l xy lxy l x 可知其满足可知其满足4.2.2 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式利用拉格朗日基函数利用拉格朗日基函数l i(x), 构造次数构造次数不超过不超过n的多项式的多项式njyxLjjn, 1 , 0)( )()(xLxPnn 称为称为拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式,再再由插值多项式的唯一性由插值多项式的唯一性,得得 特别

11、地特别地, 当当 n =1时又叫时又叫线性插值线性插值,其几何意义为其几何意义为过两点的直线过两点的直线. 当当 n =2时又叫时又叫抛物（线）插值抛物（线）插值, 其几其几何意义为过三点的抛物线何意义为过三点的抛物线.1)(0 niixl注意注意 :(1) 对于插值节点对于插值节点,只要求它们只要求它们互异互异,与大小次序无关与大小次序无关; 以以 xi (i=0,1,n)为插值节点为插值节点, 函数函数 f(x) 1作插值多作插值多项式项式, 由插值多项式的唯一性即得由插值多项式的唯一性即得基函数的一个性质基函数的一个性质(2) 插值基函数插值基函数l i(x) 仅由插值节点仅由插值节点x

12、i (i=0,1, ,n)确定确定, 与被插函数与被插函数 f(x)无关无关;1)(0 niixl这是因为若取这是因为若取 (x)=xk (k=0,1,n),由插值多项式的唯由插值多项式的唯一性有一性有0( ),0,1,nkkiiil x xxkn 特别当特别当 k=0 k=0 时时, ,就得到就得到所以所以019141( )(9), ( )(4)495945xxlxxlxx 10 01 111( )( )( )2(9)3(4)55L xy lxy lxxx 1137(7)2.65L01,4,9,yx xx7例例1 已知已知 用线性插值用线性插值(即一次插即一次插值多项式值多项式)求求 的近似

13、值。的近似值。012,3,yy 基函数分别为基函数分别为:解解插值多项式为插值多项式为23(9)(4)55xx 1(6)5x( )4, 3, 1, 13210 xxxx)4)(3)(1(401)41)(31)(11()4)(3)(1()(0 xxxxxxxl)4)(3)(1(121)41)(31)(11()4)(3)(1()(1 xxxxxxxl)4)(1)(1(81)43)(13)(13()4)(1)(1()(2 xxxxxxxl)3)(1)(1(151)34)(14)(14()3)(1)(1()(3 xxxxxxxl例例2 求过点求过点(- -1,- -2), (1,0), (3,- -6

14、), (4,3)的抛物线插值的抛物线插值(即即三次插值多项式三次插值多项式).解解 以以以为节点的基函数以为节点的基函数分别为分别为:)()()()()(332211003xlyxlyxlyxlyxL ) 3)(1)(1(1513)4)(1)(1(81)6()4)(3)(1(1210)4)(3)(1(401) 2( xxxxxxxxxxxx)3)(1)(1(51)4)(1)(1(43)4)(3)(1(201 xxxxxxxxx3423 xx()则拉格朗日则拉格朗日的三次插值多项式为的三次插值多项式为 截断误差截断误差Rn(x)=f (x) Ln(x)也称为也称为n n次次Lagrange插插值

15、多项式的余项值多项式的余项。以下为。以下为拉格朗日余项定理拉格朗日余项定理。 定理定理2 设设 f (x) 在区间在区间 a ,b上存在上存在 n+1 阶导数阶导数, xi a, b (i=0,1, , n) 为为 n+1个互异节点个互异节点, 则对任何则对任何x a ,b, 有有(1)1( )( )( )( )( )(1)!nnnnfR xf xL xxn 4.2.3 插值余项插值余项( , )a b 且与且与x有关有关)10( )()nniixxx 其其中中证证 由插值条件和由插值条件和 n+1(x) 的定义的定义, 当当x=xk 时时 , 式子显式子显然成立然成立, 并且有并且有 n+1

16、(xk)=0 ( k=0,1,n ), 这表明这表明x0 , x1, , xn 都是函数都是函数Rn(x)的零点的零点, 从而从而 Rn(x)可表示为可表示为 1( )( )( )( )( )nntf tL tK xt (1)1( )( )( )( )( )(1)!nnnnfR xf xL xxn 1( )( )( )( )( )nnnRxf xLxK xx 其中其中K(x)是是待定函数待定函数。 对于对于任意固定的任意固定的x a,b, x xk ,构造自变量构造自变量 t 的辅的辅助函数助函数1( )( )( )( )( )nntf tL tK xt 由式由式 n+1(xk)=0 和式和式

17、 Ln(xk)=yk ( k=0,1,n ),以及以及1( )( )( )( )( )nnnRxf xLxK xx 可知：可知：x0 , x1, , xn 和和 x 是是 (t) 在区间在区间a,b上的上的 n+2个个互异零点互异零点, 因此根据罗尔因此根据罗尔 (Rolle) 定理定理, 至少存在一点至少存在一点 = (x) (a,b),使使 (1)( )0n (1)( )( )(1)!nfK xn 即即(1)1( )( )( )( )( )(1)!nnnnfR xf xL xxn 所以所以估计误差式：估计误差式：),(, )()!1()(01baxxxnMxRniinn 或或),(, )(

18、max)!1()(01baxxxnMxRniibxann 。其中：其中：)(max)1(1xfMnbxan niinnnxxnfxLxfxR0) 1()()!1()()()()( 25. 0)4(, 4 . 0)5 . 2(, 5 . 0)2(210 fyfyfy)45 . 2)(25 . 2()4)(2(4 . 0)42)(5 . 22()4)(5 . 2(5 . 0)(2 xxxxxL)5 . 24)(24()5 . 2)(2(25. 0 xx15. 1425. 005. 02 xx,1)(xxf ，节点节点4, 5 . 2, 2210 xxx)(xf求求的抛物插值多项式的抛物插值多项式,且计算且计算f (3)的近似值并估计误差。的近似值并估计误差。例例3 设设解解 插值多项式为插值多项式为,6)(4xxf