数字信号处理第一章

1、1数字信号处理 昆明理工大学理学院电子科学与技术专业第一章 离散时间信号与系统2数字信号处理系统数字信号处理系统 接收装置接收装置（天线、接收机、换能（天线、接收机、换能器）器） 本课程重点讨论本课程重点讨论的部分的部分3如何学习这门课程？如何学习这门课程？数字信号处理数字信号处理离散时间系统离散时间系统差分方程 差分方程差分方程卷积和卷积和Z变换，离变换，离散傅里叶散傅里叶变换变换信号与系统信号与系统连续时间系统连续时间系统微分方程微分方程卷积卷积拉普拉斯拉普拉斯变换，傅变换，傅里叶变换里叶变换4参考书参考书数字信号处理教程数字信号处理教程， 程佩青，程佩青， 清华大学出版清华大学出版社社信

2、号与系统信号与系统下册，下册， 郑君里等主编，郑君里等主编， 高等教育出版社高等教育出版社数字信号处理及应用数字信号处理及应用， 卢光跃等主编，人民邮电出版社卢光跃等主编，人民邮电出版社51.1 离散时间信号序列离散时间信号序列 信号通常是一个自变量或几个自变量的函数。如果仅有一个自变量，则称为一维信号；如果有两个以上的自变量，则称为多维信号。 本课程仅研究一维数字信号处理的理论与技术。关于信号的自变量，有多种形式，可以是时间、距离、温度、电压等，本课程一般地把信号看作时间的函数。6 对模拟信号xa(t)进行等间隔抽样，抽样间隔为T，得到 ( )(),at nTax tx nTn n取整数。对

3、于不同的n值， xa(nT)是一个有序的数字序列： xa(-T)、 xa(0)、 xa(T)，该数字序列就是时域离散信号。实际信号处理中，这些数字序列值按顺序放在存贮器中，此时nT代表的是前后顺序。7 为简化，抽样间隔可以不写，形成x(n)信号，x(n)可以称为序列。这里n取整数，非整数时无定义。对于具体信号，x(n)代表第n个序列值，在数值上等于信号的抽样值，即 x (n)= x a (nT)， -n 信号随n的变化规律可以用公式表示，也可以用图形表示。如果x(n)是通过观测得到的一组离散数据，则其可以用集合符号表示，例如： x (n)=1.3,2.5,3.3,1.9,0,4.18 序列的表

4、现形式：x(n)的两层两层含义1、表示序列x(n)2、表示n处的量值x(n)：,2,7,3,-1,0,5,9,6 在在Matlab中，可以用一个列向量来表示一个有限中，可以用一个列向量来表示一个有限长度的序列长度的序列n=-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,4; x=2, 7, 3, -1, 0, 5, 9,6公式；集合；公式；集合； 图形图形91. 单位抽样序列 (n) 一、几种常用序列一、几种常用序列 单位抽样序列也可以称为单位冲激序列，特点是仅在n=0时取值为1，其它均为零。它类似于模拟信号和系统中的单位冲激函数(t)，但不同的是(t)在t=0时，取值无穷大，t0时取值为零，对

5、时间t的积分为1。单位抽样序列和单位冲激信号如图11所示。1, 0( ) (1-2)0, 0nnn10移序：移序：( )()nnm1 n=m0 nmn0 1 2 3 4 5 m1( )n 101231n (n) (t)t0( a )( b ) 图11 单位抽样序列和单位冲激信号(a)单位抽样序列； (b)单位冲激信号 11用单位抽样序列表示任意序列用单位抽样序列表示任意序列 对于任意序列，常用单位抽样序列的移位加对于任意序列，常用单位抽样序列的移位加权和表示，即权和表示，即( )( ) () mx nx mnm（1-16）因为只有因为只有m=n时，时，（n -m）=1.这种任意序列的表示方法，

6、在信号分析中是一个这种任意序列的表示方法，在信号分析中是一个很有用的公式。很有用的公式。12例：x (n)的波形如图所示，可以用(1-16)式表示成： x (n)=-2(n+2)+0.5(n+1)+2(n)+(n-1)+1.5(n-2)-(n-4)+2(n-5)+(n-6)13 单位阶跃序列如图12所示。它类似于模拟信号中的单位阶跃函数u (t)。 (n)与u (n)之间的关系如下式所示： 1, 0( ) (1-3)0, 0nu nn2. 单位阶跃序列u (n)0( )( )(1) (1-4)( )()( )(1)(2) (1-5)mnu nu nu nnmnnn14( )( ) (1-6)n

7、ku nk令n -k=m，代入上式得到u(n)01231n图12 单位阶跃序列 15 上式中N称为矩形序列的长度。当N=4时，R4(n)的波形如图13所示。矩形序列可用单位阶跃序列表示，如下式： R N (n) =u (n) -u (n-N) (1-8) 1, 01( ) (1-7)0, NnNRnn其他3. 矩形序列R N (n)16R4(n)01231n图1-3 矩形序列 17 如果|a|1，则称为发散序列。其波形如图1-4所示。( )( ) (1-10)nx na u na为实数4. 实指数序列 图1- 4 实指数序列 18 5. 复指数序列 x(n)=e(+j0)n 式中0为数字域频率

8、，设=0，用极坐标和实部虚部表示如下式： x(n)=e j0n x(n)=cos(0n)+jsin(0n) 由于n取整数，下面等式成立： e j(0+2M)n= e j0n, M=0,1,219 real(x)求x的实部 imag(x)求x的虚部 abs(x)求x的模值 angle(x)求x的幅角20 6. 正弦序列 x(n)=Asin(n0) 式中A为幅度，为起始相位，0称为正弦序列的数字频率，单位是弧度，它表示序列变化的速率，或者说表示相邻两个序列值之间变化的弧度数。21jeeteettjtetjtetjtjtjtjtjtj2sin2cossincossincostKejtKetjtKee

9、KeKeKetfttttjttjstsincos)sin(cos)()(复指数信号与正余弦信号之间的关系：补充：补充：22二、序列的周期性二、序列的周期性( )sin()4x nn如果对所有如果对所有n存在一个最小的正整数存在一个最小的正整数N，使下面等式成立：，使下面等式成立： x (n)=x (n +N), -n0时，x(n-m)：延迟/右移m位x(n+m)：超前/左移m位2. 移位、翻转及尺度变换移位、翻转及尺度变换30 x(n)x(n+m)左移x(n)x(n-m)右移-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7x(n)m=4m=3 反折反折 x(-n)则是x(n)的翻转序列，是以n

10、=0的纵轴为对称轴将序列x(n)翻转。 fliplr(x) 尺度变换尺度变换 x(mn)是x(n)序列每隔m点取一点形成的，相当于时间轴n压缩了m倍。31反折：反折：323.卷积和卷积和 1212( )( )()( )( ) (1-1)my nx m x nmx nx n(1)(1)图解法：图解法：画图(2)(2)列表法：列表法：适用于有限长序列(3)(3)解析法：解析法：适用于有解析表达式的确定信号(4)(4)变换域：变换域：频域法33(1)图解法步骤步骤2、3中，量值不变，仅位置变化中，量值不变，仅位置变化4、对每一个、对每一个n值求和：值求和：1、n m：步骤：步骤：2、反折：反折：3、

11、以、以n为参量平移：为参量平移：1122( )( ),( )( )x nx m x nx m22( )()x mxm22()()x n mxm nn：12()()( )mxm xnmy n341, 040.5, 0n5 ( ) ( )0, n0, n( )( )( ).nx nh ny nx nh n例1.1.2 设其他其他求35结论：1、两个有限长序列卷积后结果还是有限长，长、两个有限长序列卷积后结果还是有限长，长度为度为L=N1+N2-1。 “线性卷积”2、n-m中的中的n为反折后的序列平移的位置，和为反折后的序列平移的位置，和y(n)对应。对应。3、卷积结果的起始位置为两序列起始位置之和

12、，、卷积结果的起始位置为两序列起始位置之和，截止位置为两序列截止位置之和。截止位置为两序列截止位置之和。36（2）列表法(适用于两有限长序列)x1(0)x1(1)x1(2)x1(3)x2(0)x1(0) x2(0) x1(1) x2(0) x1(2) x2(0) x1(3) x2(0)x2(1)x1(0) x2(1) x1(1) x2(1) x1(2) x2(1) x1(3) x2(1)x2(2)x1(0) x2(2) x1(1) x2(2) x1(2) x2(2) x1(3) x2(2)n=0n=1n=2n=3n=4n=537( )0.5 (1)(2) 1.5 (3)( )( )(1)(2)

13、( )( )( )0.5 (1)(2) 1.5 (3)0.5 (2)(3) 1.5 (4)0.5 (3)(4) 1.5 (5)0.5 (1) 1.5 (2)3 (3)2.5 (4) 1.5 (5)x nnnnh nnnny nx nh nnnnnnnnnnnnnnn例例1.1.3另解：用单位抽样序列来表示另解：用单位抽样序列来表示x(n)和和h(n)进行求解进行求解38（3）解析法适用于因果序列、单边序列、有限长序列39 对因果序列:x(n)=x1(n)u(n), y(n)=x2(n)u(n) 12121120( )( )()()()()()()()()()()()mmnmnmx ny nx

14、my nmx mu mxnmu nmx mxnmRmx mxnm1( )()( ) ()( )(1)( )nu mu nmu mumnu mu mnRm40小结：2、结果的起止位置、结果的起止位置: u(n)12()()()()mx mu mxnmu nm1、求和的上下限、求和的上下限: 0nm =u(m-0)=u-(m-n)y(n)也是因果序列m + n-m =n41211212( )()()n Nm Nx m x nm u nNN例1.1.5： 1122( )()( )()x nu nNx nu nN求和上下限结果的起始位置1122( )()()()mx m u m Nx n m u n

15、m N 对单边序列:42例1.1.6：12( )( ),( )( )nnx nau n x nbu n( )( )( )()()mnmmy nx nx nau mbu nm0( )nmn mmabu n0()( )nnmmba bu n11()( )1nnba bu na b一个常用公式：一个常用公式：1011NNmmxxx|x|143利用(n)的偶函数特性，抽样特性1 ( )( )( )()mx nnx mnm、( )()mx mmn( )x n偶函数特性偶函数特性单位抽样序列的卷积特性：442 ( )()( )()mx nnkx mnmk、( ) ()mx mmnk( )()mx mmnk

16、()x nk偶函数特性抽样特性45卷积和的运算规律：( )* ( )( )* ( )ax nh nh nx n、交换律1212 ( )*( )*( )( )* ( )*( )bx nh nh nx nh nh n、结合律：1212( )*( )( )*( )( )* ( )( )cx nh nx nh nx nh nh n、分配律461.2 线性移不变系统线性移不变系统 设时域离散系统的输入为x(n)，经过规定的运算，系统输出序列用y(n)表示。设运算关系用T表示，输出与输入之间关系用下式表示： y(n)=Tx(n) 其框图如图1.2.1所示。y(n)x(n)T图1.2.1离散时间系统 47一

17、、线性系统一、线性系统对于y1(n)=Tx1(n)，y2(n)=Tx2(n) 可加性 比例性/齐次性/均匀性满足叠加原理的系统满足叠加原理的系统121212( )( ) ( ) ( )( )( )T ax nbx naT x nbT x nay nby n121212( )( ) ( ) ( ) ( )( )y ny nT x nT x nT x nx n( ) ( )T ax naT x n48 例1.2.1 证明y(n)=ax(n)+b(a和b是常数)，所代表的系统是非线性系统。 证明： y1(n)=Tx1(n)=ax1(n)+b y2(n)=Tx2(n)=ax2(n)+b y(n)=Tx

18、1(n)+x2(n)=ax1(n)+ax2(n)+b y(n)y1(n)+y2(n) 因此，该系统不是线性系统。用同样方法可以证明以下系统是线性的： 0( )( )sin()4( )( )nmy nx nny nx m49例例1.2.2： 判断系统判断系统y(n)=x(n)sin( 0n)是否线性系统。是否线性系统。令x(n)=a1x1(n)+a2x2(n)则y(n)=a1x1(n)+a2x2(n) sin (0 n) = a1x1(n) sin(0 n) +a2x2(n) sin(0 n) = a1y1(n)+a2y2(n)所以系统是线性系统。解：解：50二、移不变系统二、移不变系统 如果系

19、统对输入信号的运算关系T在整个运算过程中不随时间变化，或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关，则这种系统称为移不变系统，用公式表示如下： y(n)=Tx(n) y(n-m)=Tx(n-m) (1.16) LSI(Linear ShiftInvariant)LTI(Linear TimeInvariant)51例1.2.3 检查y(n)=ax(n)+b代表的系统是否是移不变系统，上式中a和b是常数。 解 y(n)=ax(n)+b y(n-m)=ax(n- m)+b y(n- m)=Tx(n- m) 因此该系统是时不变系统。 52例1.2.4 检查y(n)=nx(n)所代表的系统是否

20、是移不变系统。 解：y(n)=nx(n) y(n-m)=(n- m)x(n- m) Tx(n- m)=nx(n- m) y(n- m)Tx(n- m) 因此该系统不是移不变系统。同样方法可以证明 以下系统不是移不变系统： 0( )( )sin()4y nx nn53三、单位抽样响应与卷积和三、单位抽样响应与卷积和 线性时不变系统输入与输出之间的关系： 设系统的输入x(n)=(n)，系统输出y(n)的初始状态为零，定义这种条件下系统输出称为系统的单位抽样响应，用h(n)表示。换句话说，单位抽样响应即是系统对于(n)的零状态响应。用公式表示为 h(n)=T(n) (1.17) h(n)和模拟系统中

21、的h(t)单位冲激响应相类似，都代表系统的时域特征。54( )() ()my nTx mnm根据线性系统的叠加性质有：根据线性系统的叠加性质有：则系统输出为：则系统输出为：又根据移不变性质有：又根据移不变性质有： 设系统的输入用设系统的输入用x(n)表示，根据任一序列可表示成单位抽样序表示，根据任一序列可表示成单位抽样序列移位加权和，即列移位加权和，即 ( )( ) ()mx nx mnm( )( ) ()my nx m Tnm( )( ) ()( )( )my nx m h nmx nh n55例1.2.5 设x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。 解：

22、 上式中矩形序列长度为4，求解上式主要是根据矩形序列的非零值区间确定求和的上、下限，R4(m)的非零值区间为：0m3， R4(n-m)的非零值区间为：0n-m3，其乘积值的非零区间，要求m同时满足下面两个不等式： 44( )( )()my nR m R nm03303, ( )1146, ( )17nmm nny nnny nn 当当 0m3 n-3mn 因此， 56卷积过程以及y(n)波形如图所示，y(n)用公式表示为 n+1 0n3 y(n)= 7-n 4n6 0 其它 R4(n)0123n01mR4( m)23R4(n)0123nmR4(m)0123mR4(1 m)2111110123m

23、R4(2 m)11023ny(n)111234456757四、线性移不变系统的性质四、线性移不变系统的性质（1）交换律( )( )( )( ) ()my nx nh nx m h nm因为：( )( )( )( )x nh nh nx n( )( )() ()( )( )mmnmx nh nx nm h mh nx n 令，则证明：证明：5812212121( ) ( )( )( ) ( )( )( )()()( )( ) ()mmkx nh nh nx nh nh nx m h nmh nmx mh k h nmk1212( ) ( )( ) ( )( )( )x nh nh nx nh n

24、h n1221212112( ) ( )( )( )( ) ()( ) ()()( ) ( )( ) ( )( )( )kmkx nh nh nh kx m h nmkh k x nkh nkh nx nh nx nh nh n利用上面已证明的结果，得到：利用上面已证明的结果，得到：交换求和号的次序，得到交换求和号的次序，得到:（2）结合律591212( ) ( ( )( )( )( )( )( )x nh nh nx nh nx nh n12121212( ) ( ( )( )( ) ()()( ) ()( ) ()( )( )( )( )mmmx nh nh nx m h nmh nmx

25、m h nmx m h nmx nh nx nh n（3）分配律）分配律证明：证明：60h1(n)h2(n)y(n)x(n)m(n)例1.2.5 在下图中，h1(n)系统与h2(n)系统级联，设 x(n)=u(n) h1(n)=(n)-(n-4) h2(n)=anu(n)， |a|1 求系统的输出y(n)。 61 解：先求第一级的输出m(n)，再求y(n)。 m(n)=x(n)*h1(n) =u(n)*(n)-(n-4) =u(n)*(n)-u(n)*(n-4) =u(n)-u(n-4) =R4(n) y(n)=m(n)*h2(n) =R4(n)*anu(n) =anu(n)*(n)+(n-1

26、)+(n-2)+(n-3) =anu(n)+a n-1 u(n-1)+a n-2 u(n-2)+a n-3 u(n-3)62五、因果系统五、因果系统 如果系统n时刻的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，而和n时刻以后的输入序列无关，则称该系统具有因果性质，或称该系统为因果系统。如果n时刻的输出还取决于n时刻以后的输入序列，在时间上违背了因果性，系统无法实现，则系统被称为非因果系统。因此系统的因果性是指系统的可实现性。 线性时不变系统具有因果性的充分必要条件是系统的单位抽样响应满足下式： h(n)=0， n0 (1.19) 63例例1.2.6：系统的单位抽样响应系统的单位抽样响应h(n

27、)为：为：3nu(n)，判断系判断系统的因果性。统的因果性。n0时，时，u(n)=0， n0时，时，h(n)=0，所以系统为所以系统为因果系统。因果系统。例例1.2.7：判断系统判断系统Tx(n)=x(n-n0)的因果性。的因果性。当当n00时，如时，如n0=2，则，则y(n)=Tx(n)=x(n-2)，此时此时2时刻的时刻的输出由输出由0时刻的输入决定，即当前的输出由以前的输入决时刻的输入决定，即当前的输出由以前的输入决定，因此系统为因果系统。定，因此系统为因果系统。64( )nh n （1.20）( )( ) ()( )( )()kky nh k x nky ny kx nk BIBO：有

28、界输入产生有界输出系统稳定的充分必要条件是系统的单位抽样响应绝对可和。用公式表示为:六、稳定系统六、稳定系统证明：证明： 先证明充分性。65( )( )ky nBh k 因为输入序列x(n)有界，即 |x(n)|B,-n， B为任意常数 因此 如果系统的单位抽样响应h(n)满足(1-20)式，那么输出y(n)一定也是有界的，即 |y(n)| 输出有界，系统稳定。原条件是充分条件。66( )nh n 下面用反证法证明其必要性。已知系统稳定，假设 ，那么总可以找到一个或若干个有界的输入引起无界的输出，例如：1,()0( )1,()0(0)( ) ()()( )mmmhnx nhnyx m h nm

29、hmh m 则即在n=0输出无界，这不符合稳定的条件，因而假设不成立。 是系统稳定的必要条件。( )nh n 67例例1.2.8：设线性时不变系统的单位取样响应：设线性时不变系统的单位取样响应h(n)=anu(n)，式中式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。是实常数，试分析该系统的因果稳定性。解解 ：由于：由于n0时，时，h(n)=0，所以系统是因果系统。所以系统是因果系统。 0( )nnnh na只有当只有当|a|1时时 ，1( )1nh na 因此系统稳定的条件是|a|1；否则，|a|1时，系统不稳定。系统稳定时，h(n)的模值随n加大而减小，此时序列h(n)称为收敛序列。如果系统不稳

30、定，h(n)的模值随n加大而增大，则称为发散序列。68 例1.2.9： 设系统的单位取样响应h(n)=u(n)，求对于任意输入序列x(n)的输出y(n)，并检验系统的因果性和稳定性。 解： h(n)=u(n) 因为当n-k0的方向递推，是一个因果解。但对于差分方程，其本身也可以向n0的方向递推，得到的是非因果解。因此差分方程本身并不能确定该系统是因果还是非因果系统，还需要用初始条件进行限制。下面就是向n0，求输出序列y(n)。 解: y(n-1)=a-1(y(n)-(n) n=1时， y(0)=a-1(y(1)-(1)=0 n=0时， y(-1)=a-1(y(0)-(0)=-a-1 n=-1时

31、， y(-2)=a-1(y(-1)-(-1)=-a-2 n=n时， y(n-1)=-a n-1u(-n) 将n-1用n代替，得到 y(n)=-anu(-n-1)77图图1.4.1 模拟信号数字处理框图模拟信号数字处理框图 1.6 1.6 连续时间信号的抽样连续时间信号的抽样 78 对模拟信号进行抽样可以看作一个模拟信号通过一个电子开关S。设电子开关每隔周期T合上一次，每次合上的时间为T，在电子开关输出端得到其抽样信号 。( )axt一、理想抽样一、理想抽样 问题：问题：信号被抽样后其频谱怎样变化？信号被抽样后其频谱怎样变化？从抽样信号中不失真地恢复出原来信号的条件是什么？从抽样信号中不失真地恢

32、复出原来信号的条件是什么？79图1.4.2 对模拟信号进行抽样 实际抽样实际抽样理想抽样理想抽样80( )( )( )( ) ()() ()aaananx tx tP tx ttnTx nTtnT用一个周期冲激函数序列表示抽样序列：用一个周期冲激函数序列表示抽样序列：理想抽样后的输出：理想抽样后的输出：( )( )()Tnp tttnT81 在傅里叶变换中，两信号在时域相乘的傅里叶变换在傅里叶变换中，两信号在时域相乘的傅里叶变换等于两个信号分别的傅里叶变等于两个信号分别的傅里叶变换的卷积。换的卷积。 ()( )jtaaaXjFTxtxt edt连续时间信号的傅立叶变换为：连续时间信号的傅立叶变

33、换为： aaXjDTFTxt理想抽样信号的傅立叶变换为：理想抽样信号的傅立叶变换为：()( )TTjDTFTt 周期冲激函数用傅立叶级数表示为：周期冲激函数用傅立叶级数表示为：则有：则有：1()2aTaXjjXj82周期冲激函数用傅立叶级数表示：周期冲激函数用傅立叶级数表示：2( )(),sjktTksnkttnTa eT其 中/2/2/2/2/2/21( )1()11( )sssTjktkTTTjktTnTjktTat edtTtnT edtTt edtTT1( )sjktTkteT 傅里叶级数的系数：傅里叶级数的系数：抽样角频率抽样角频率83周期冲激函数的频谱为：周期冲激函数的频谱为：()

34、1()( )1112()2()sssjktTTkjktjktj tkkskskjDTFTtDTFT eTeedtedtTTkTkT 841()21()212()21()1aaTaTaskaskaskXjXjjXjjjdXjkdTXjkdTXjjkT 理想抽样信号的傅立叶变换为：理想抽样信号的傅立叶变换为：85 抽样信号的频谱是原模拟信号的频谱沿频率轴，每间隔抽样角频率s重复出现一次； 或者说抽样信号的频谱是原模拟信号的频谱以s为周期进行周期性延拓而成的； 频谱幅度是原信号频谱幅度的1/T倍。1()()aaskXjXjjkT 结论：结论：86图图1.4.3 抽样信号的频谱抽样信号的频谱 0 c cXa(j )P (j ) s s0Xa(j )0Xa(j ) c s（ a ）（ b ）（ c ）（ d ）2s0 s s s2s2s设xa(t)是限带信号（频谱有限带宽）c为截止频率， s/2称为折叠频率，当c s/2，则|Xa(j)|周期延拓后会产生混叠。87奈奎斯特抽样定理：奈奎斯特抽样定理：要使实信号抽样后能够不失真还原，抽样频率必须要使实信号抽样后能够不失真还原，抽样频率必须大于两倍信号谱的最高频率。大于两倍信号谱的最高频率