第6章电磁感应

1、第六章第六章 电磁感应电磁感应 主主 要要 内内 容容电磁感应定律，自感与互感，能量与力。电磁感应定律，自感与互感，能量与力。1. 电磁感应定律电磁感应定律 由物理学知，穿过闭合线圈中的磁通发生变化时，线圈中产生由物理学知，穿过闭合线圈中的磁通发生变化时，线圈中产生的感应电动势的感应电动势 e 为为 tedd式中电动势式中电动势 e 的的正方向正方向规定为与磁通方向构成规定为与磁通方向构成右旋右旋关系。关系。 因此，当磁通因此，当磁通增加增加时，感应电动势的实际方向与磁通方向构成时，感应电动势的实际方向与磁通方向构成左旋左旋关系；反之，当磁通关系；反之，当磁通减少减少时，电动势的实际方向与磁通

2、方向构时，电动势的实际方向与磁通方向构成成右旋右旋关系。关系。 感应电流产生的感应电流产生的感应磁通感应磁通方向总是方向总是阻阻碍碍原有磁通的变化，所以感应磁通又称为原有磁通的变化，所以感应磁通又称为反磁通反磁通。 感应电流产生意味着导线中存在感应电流产生意味着导线中存在电场电场，这种电场称为，这种电场称为感应电场感应电场，以以E 表示。感应电场强度沿线圈回路的闭合线积分等于线圈中的感应表示。感应电场强度沿线圈回路的闭合线积分等于线圈中的感应电动势，即电动势，即 telddd lE又知又知 ，得，得SSB dSSBlEdd tl上式称为上式称为电磁感应定律电磁感应定律，它表明穿过线圈中的磁场变

3、化时，导线中产，它表明穿过线圈中的磁场变化时，导线中产生感应电场。生感应电场。它表明，它表明，时变磁场可以产生时变电场时变磁场可以产生时变电场。 eI（书中负号丢失（书中负号丢失！）根据斯托克斯定理，由上式得根据斯托克斯定理，由上式得 0d)( SBESt 由于该式对于由于该式对于任一任一回路面积回路面积 S 均成立，因此，其被积函数均成立，因此，其被积函数一定为零，即一定为零，即t BE此式为电磁感应定律的此式为电磁感应定律的微分形式微分形式。它表明。它表明某点某点磁感应强度的时间磁感应强度的时间变化率变化率负负值等于值等于该点该点时变电场强度的旋度时变电场强度的旋度。 电磁感应定律是时变电

4、磁场的基本定律之一，也是下一章将电磁感应定律是时变电磁场的基本定律之一，也是下一章将要介绍的描述时变电磁场著名的要介绍的描述时变电磁场著名的麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组中方程之一。中方程之一。 2. 自感与互感自感与互感 在在线性线性媒质中，媒质中， 单个闭合回路电流产生的磁感应强度与回路电单个闭合回路电流产生的磁感应强度与回路电流流 I 成成正比正比，因此穿过回路的，因此穿过回路的磁通磁通也与回路也与回路电流电流 I 成正比。成正比。IL式中式中L 称为回路的称为回路的电感电感，单位为，单位为H （亨利）。由该定义可见，电感又（亨利）。由该定义可见，电感又可理解为与可理解为与单位单位电流交链

5、的电流交链的磁通链磁通链。 单个回路的电感仅与回路的单个回路的电感仅与回路的形状形状及及尺寸有关尺寸有关，与回路中，与回路中电流无关电流无关。 与回路电流与回路电流 I 交链的磁通称为回路电流交链的磁通称为回路电流 I 的的磁通链磁通链，以，以 表示，表示，令令 与与 I 的比值为的比值为L，即，即应注意，磁通链与磁通应注意，磁通链与磁通不同不同，磁通链是指与某磁通链是指与某电流交链电流交链的磁通的磁通。 若交链若交链 N 次，则磁通链增加次，则磁通链增加N 倍；若倍；若部分部分交链，则必须给予适当交链，则必须给予适当的的折扣折扣。因此，与。因此，与N 匝回路电流匝回路电流 I 交链的磁通链为

6、交链的磁通链为 = N 。那么，。那么，由由 N 匝回路组成的线圈的电感为匝回路组成的线圈的电感为 INIL 与回路电流与回路电流 I1交链的交链的磁通链磁通链是由是由两部分磁通形成的，其一是两部分磁通形成的，其一是 I1本身本身产产生的磁通形成的磁通链生的磁通形成的磁通链 11 ，另一是，另一是电流电流 I2 在回路在回路 l1 中产生的磁通形成中产生的磁通形成的磁通链的磁通链 12 。 dl10zyxdl2l2l1I2I1r2 - r1r2r1那么，与电流那么，与电流 l1 交链的磁通链交链的磁通链1为为12111同理，与回路电流同理，与回路电流 I2 交链的磁通链为交链的磁通链为2221

7、2 在线性媒质中，比值在线性媒质中，比值 ， ， 及及 均为常数。均为常数。111I212I222I121I式中式中L11称为回路称为回路 l1的的自感自感，M12称为回路称为回路 l2 对对 l1 的的互感互感。同理定义同理定义22222IL12121IM式中式中L22 称为回路称为回路 l2的的自感自感，M21称为回路称为回路 l1对对 l2的的互感互感。 11111IL21212IM令令将上述参数将上述参数 L11，L22，M12 及及 M21 代入前式，得代入前式，得 2121111IMIL2221212ILIM可以证明，在线性均匀媒质中可以证明，在线性均匀媒质中 2112MM因为可以

8、导出任意两个回路之间的互感公式为因为可以导出任意两个回路之间的互感公式为 21 122121dd4llMrrll 12 211212dd4llMrrll考虑到考虑到 ，所以由上两式可见，所以由上两式可见，21121221,ddddrrrrllll2112MM 21 122121dd4llMrrll 12 211212dd4llMrrll若若 dl1与与 dl2处处处处保持保持垂直垂直，则互感，则互感 。02112 MM 因此，在电子电路中，如果需要增强两个线圈之间的耦合，应因此，在电子电路中，如果需要增强两个线圈之间的耦合，应彼此平行放置；若要避免两个线圈相互耦合，则应相互垂直。彼此平行放置；

9、若要避免两个线圈相互耦合，则应相互垂直。 互感可正可负互感可正可负，其值正负取决于两个线圈的电流方向，但，其值正负取决于两个线圈的电流方向，但电感电感始终应为正值始终应为正值。若处处保持若处处保持平行平行，则互感，则互感 M 值达到值达到最大最大。 若互磁通与原磁通方向相同时，则使磁通链若互磁通与原磁通方向相同时，则使磁通链增加增加，互感应为，互感应为正正值；反之，若互磁通与原磁通方向相反时，则使磁通链值；反之，若互磁通与原磁通方向相反时，则使磁通链减少减少，互感，互感为为负负值。值。例一例一 计算无限长直导线与矩形线圈之间的互感。设线圈与导线平行，计算无限长直导线与矩形线圈之间的互感。设线圈

10、与导线平行，周围媒质为真空，如图示。周围媒质为真空，如图示。abdrrD0I1I2zS2解解 建立圆柱坐标系，令建立圆柱坐标系，令 z 轴方向与电流轴方向与电流 I1一一致，则致，则 I1 产生的磁感应强度为产生的磁感应强度为 eBrI 2101与线圈电流与线圈电流 I I2 交链的磁通链交链的磁通链 21 为为 2d121SSB 若线框电流如图所示的顺时针方向，则若线框电流如图所示的顺时针方向，则dS 与与B1方向相同。那么方向相同。那么bDDDbDaIrraI 101021ln2d12求得求得0ln2012121DbDaIM 若线圈电流为逆时针方向时，则若线圈电流为逆时针方向时，则B1与与

11、dS 反向，反向， M21 为负。为负。例例2 计算载有计算载有直流直流电流的同轴线电流的同轴线单位单位长度内的电感。长度内的电感。 解解 设同轴线内导体的半径为设同轴线内导体的半径为b，外半径，外半径为为c，如图示。，如图示。bcaOabdrrD0I1I2zS2但在任何线性媒质中，但在任何线性媒质中， M21 = M12 。 在同轴线中取出单位长度，沿长度在同轴线中取出单位长度，沿长度方向形成一个方向形成一个矩形回路矩形回路。 内导体中电流归并为矩形回路的内内导体中电流归并为矩形回路的内边电流，外导体中电流归并为外边电流。边电流，外导体中电流归并为外边电流。 同轴线单位长度的电感定义为同轴线

12、单位长度的电感定义为 IL1式中式中I 为同轴线中的电流，为同轴线中的电流， 是单位长是单位长度内与度内与电流电流 I 交链的交链的磁通链磁通链。 该磁通链由三部分磁通形成：该磁通链由三部分磁通形成：外外导体中的磁通，内外导体导体中的磁通，内外导体之间之间的磁通以及的磁通以及内内导体中的磁通。导体中的磁通。由于外导体通常很簿，穿过其内的磁通可以忽略。由于外导体通常很簿，穿过其内的磁通可以忽略。aIObcrcbaOdrIIe已知内外导体之间的磁感应强度已知内外导体之间的磁感应强度 Bo 为为 eBrI20o该磁场形成的磁通称为该磁场形成的磁通称为外磁通外磁通，以，以 表示，则单位长度内的外磁通表

13、示，则单位长度内的外磁通为为oabIrBbabaSmln2ddd0 o o ooreBSB该外磁通与电流该外磁通与电流 I 完全完全交链，故外磁通与磁通链交链，故外磁通与磁通链相等相等。 又知内导体中的磁感应强度又知内导体中的磁感应强度 Bi 为为20i2 aIrB这部分磁场形成的磁通称为这部分磁场形成的磁通称为内磁通内磁通，以，以 表示。那么穿过宽度为表示。那么穿过宽度为dr的单位长度截面的内磁通的单位长度截面的内磁通 d 为为iiraIrd2d20i 该该部分部分磁通仅与内导体中自内导体磁通仅与内导体中自内导体轴线位置轴线位置 0 至至 r 之间之间部分部分电流电流 I 交链，交链，不不是

14、与是与总总电流电流 I 交链。因此，对于交链。因此，对于总总电流电流 I 来说，这部分磁通折合成与总电流来说，这部分磁通折合成与总电流 I形形成的磁通链应为成的磁通链应为raIrIId2dd430ii由此求得内导体中的磁场对由此求得内导体中的磁场对总总电流电流 I 提供的磁通链提供的磁通链 i 为为aI 0 0ii8daIObcrcbaOdrIIeraIrd2d20i那么，与总电流那么，与总电流 I 交链的总磁通链为交链的总磁通链为（o + i） 。因此，同轴线的。因此，同轴线的单位长度内电感为单位长度内电感为8ln200io1abIL式中第一项称为式中第一项称为外电感外电感，第二项称为，第二

15、项称为内电感内电感。 当同轴线传输当同轴线传输电磁波电磁波时，内外导体中的磁通皆可忽略，同轴线单时，内外导体中的磁通皆可忽略，同轴线单位长度内的电感等于位长度内的电感等于外外电感，即电感，即 abLln2013. 磁场的能量磁场的能量 若在回路中加入若在回路中加入外源外源，回路中产生电流。在电流建立过程中，回路中产生电流。在电流建立过程中，回路中产生的反磁通企图阻碍电流增长，为了克服反磁通产生反回路中产生的反磁通企图阻碍电流增长，为了克服反磁通产生反电动势，电动势，外源外源必须必须作功作功。 由此可见，由此可见，磁场具有能量磁场具有能量。 若电流变化非常若电流变化非常缓慢缓慢，可以不计，可以不

16、计辐射辐射损失，则损失，则外源输出的能量外源输出的能量全部全部储藏在回路电流周围的储藏在回路电流周围的磁场磁场中。中。根据根据外源外源在建立磁场过程中作的在建立磁场过程中作的功功即可计算磁场即可计算磁场能量能量。 设设单个单个回路的回路的电流电流从从零零开始逐渐开始逐渐缓慢缓慢地增加到最终值地增加到最终值 I，因而回，因而回路路磁通磁通也由零值逐渐缓慢地增加到最终值也由零值逐渐缓慢地增加到最终值 。tUdd若时刻若时刻 t 回路中的电流为回路中的电流为 i(t) ，则此时刻回路中的，则此时刻回路中的瞬时功率瞬时功率为为 ttiUtitPdd)()()(在在dt 时间内外源作的时间内外源作的功功

17、为为 d)(d)(dtittPWtedd 已知反电动势为已知反电动势为 为了克服这个反电动势，外源必须在回路中产生的为了克服这个反电动势，外源必须在回路中产生的电压电压 U = -e ，即即 已知单个回路的磁通链与回路电流的关系为已知单个回路的磁通链与回路电流的关系为 )()(tLit )()(tLit 那么，在那么，在线性线性媒质中，由于回路电感媒质中，由于回路电感 L 与电流与电流 i无关无关，求得，求得 d t 时间时间内外源作的内外源作的功功为为 itLiWd)(d当回路电流增至最终值当回路电流增至最终值 I 时，外源作的时，外源作的总功总功 W 为为ILIitLiW 0 221d)(

18、 这个总功在回路中建立的这个总功在回路中建立的电流电流为为 I ，在其周围建立，在其周围建立磁场磁场。因电。因电流增长很慢，辐射损失可以忽略，外源作的功流增长很慢，辐射损失可以忽略，外源作的功完全完全转变为周围磁场的转变为周围磁场的能量。能量。单个回路电流的磁通链即是穿过回路的磁通，因此单个回路电流的磁通链即是穿过回路的磁通，因此 若以若以 Wm 表示表示磁场能量磁场能量，那么，那么2m21LIW2m2IWL 此式又可改写为此式又可改写为由此可见，若已知回路电流及其磁场能量，那么利用上式由此可见，若已知回路电流及其磁场能量，那么利用上式计算电感计算电感十十分方便。分方便。 考虑到考虑到 ，则，

19、则单个单个回路电流周围的磁场能量又可表示为回路电流周围的磁场能量又可表示为ILIW21m式中式中 为与电流为与电流 I 交链的交链的磁通链磁通链。 对对 N 个回路，可令各个回路电流均以个回路，可令各个回路电流均以同一比例同时同一比例同时由零值缓慢由零值缓慢地增加到最终值。根据能量守恒原理，最终的总能量与建立地增加到最终值。根据能量守恒原理，最终的总能量与建立过程无过程无关关，因此这样的假定是允许的。，因此这样的假定是允许的。NjNjjjjjjIMILIMIM2211 设第设第j个回路在某一时刻个回路在某一时刻 t 的电流的电流 ，式中，式中Ij 为电流最为电流最终值，终值， 为比例系数，其范

20、围为为比例系数，其范围为 。那么，在。那么，在 dt 时间内，时间内，外源外源在在 N 个回路中作的个回路中作的功功为为jjItti)()(10NjjjNjjjIttiW11d)(d)(d 已知各回路已知各回路磁通链磁通链与各个回路与各个回路电流电流之间的关系是之间的关系是线性线性的，第的，第j 个个回路的磁通链回路的磁通链 j 为为当各个回路电流均达到当各个回路电流均达到最终值最终值时，外源作的时，外源作的总功总功 W 为为WWd那么，具有最终值电流的那么，具有最终值电流的 N 个回路产生的磁场能量为个回路产生的磁场能量为 1 0 1mdNjjjIWNjjjIW1m21即即 若已知各个回路的

21、若已知各个回路的电流电流及及磁通链磁通链，由上式即可计算这些回路共同产，由上式即可计算这些回路共同产生的生的磁场能量磁场能量。 已知回路磁通可用矢量磁位已知回路磁通可用矢量磁位 A 表示为表示为 ，因此第，因此第 j 个回路个回路的磁通链也可用矢量磁位的磁通链也可用矢量磁位 A 表示为表示为 l dlAj d ljlA NjljjIW1 md21jlA那么，那么，N 个回路周围的磁场能量又可个回路周围的磁场能量又可矢量磁位矢量磁位表示为表示为式中式中A 为周围回路电流在第为周围回路电流在第 j 个回路所在处产生的个回路所在处产生的合成合成矢量磁位。矢量磁位。 若电流分布在若电流分布在体积体积

22、V 中，电流密度为中，电流密度为 J ，已知，已知 ，则上式变，则上式变为体积分，此时磁场能量可以表示为为体积分，此时磁场能量可以表示为VIddJl VVW md21JA式中式中V 为体分布的电流密度为体分布的电流密度 J 所占据的体积。所占据的体积。 若电流分布在若电流分布在表面表面 S 上，则产生的磁场能量为上，则产生的磁场能量为 SSW md21SJA式中式中S 为面分布的电流密度所在的面积。为面分布的电流密度所在的面积。 磁场能量的分布密度磁场能量的分布密度已知已知 ，代入上式，得，代入上式，得 JH VVWd21mHA利用矢量恒等式利用矢量恒等式 ，上式又可写为，上式又可写为AHHA

23、AH)(VVWVVd21d )(21 mAHAH式中式中 V 为电流所在的区域。显然，若将积分区域扩大到无限远处，为电流所在的区域。显然，若将积分区域扩大到无限远处，上式仍然成立。令上式仍然成立。令 S 为半径无限大的球面，则由高斯定理知，上式为半径无限大的球面，则由高斯定理知，上式第一项的第一项的SAHAHd)(21d )(21 SVV 当电流分布在当电流分布在有限有限区域时，磁场强度与距离区域时，磁场强度与距离平方平方成成反比反比，矢量磁位，矢量磁位与距离与距离一次方一次方成成反比反比，因此无限远处的面积分，因此无限远处的面积分 0d)( SAHS再考虑到再考虑到 ，求得，求得BAVWVd

24、 )(21 mBH式中式中V 为磁场所占据的为磁场所占据的整个空间整个空间。可见，上式中的。可见，上式中的被积函数被积函数即是磁场能即是磁场能量的分布量的分布密度密度。 若以小写字母若以小写字母 wm 表示表示磁场能量密度磁场能量密度，则，则BH 21mw已知已知各向同性各向同性的的线性线性媒质，媒质， ，因此磁场能量密度又可表示为，因此磁场能量密度又可表示为 HB2m21Hw可见，磁场能量与磁场强度可见，磁场能量与磁场强度平方平方成正比，磁场能量也成正比，磁场能量也不符合不符合叠加原理。叠加原理。 例例 计算同轴线中计算同轴线中单位长度单位长度内的磁场能量。设同轴线中通过的恒定电流内的磁场能

25、量。设同轴线中通过的恒定电流为为 I ，内导体的半径为，内导体的半径为a ，外导体的厚度可以忽略，其半径为，外导体的厚度可以忽略，其半径为 b ，内外，内外导体之间为真空。导体之间为真空。 解解 已知同轴线单位长度内的已知同轴线单位长度内的电感电感为为abLln2800因此，单位长度内同轴线中磁场能量为因此，单位长度内同轴线中磁场能量为 abIILIWln41621202021m 我们也可以通过我们也可以通过磁场密度磁场密度计算同轴线的磁场能量。已知内导体中的计算同轴线的磁场能量。已知内导体中的磁场强度为磁场强度为 20ii2 aIrBH因此内导体中单位长度内的磁场能量为因此内导体中单位长度内

26、的磁场能量为16d2221d2120 0 2202imIrraIrVHWaV又知内外导体之间的磁场强度又知内外导体之间的磁场强度 Ho 为为rIBH20oo所以内外导体之间单位长度内的磁场能量为所以内外导体之间单位长度内的磁场能量为 abIrrHWbaln4d22120 2o0mo单位长度内同轴线的磁场能量应为单位长度内同轴线的磁场能量应为 ，此结果与前式完全相同。，此结果与前式完全相同。 )(momiWW已知已知 ，可见，通过磁场能量也可计算电感。，可见，通过磁场能量也可计算电感。2m2IWL 4. 磁场力磁场力 dl1Ozyxdl2l2l1I2I1r2 - r1r2r1 已知已知BlF d

27、I12221ddBlF I式中磁感应强度式中磁感应强度B1为为1 312121101)(d4)(lIrrrrlrB因此，因此， B1 对于整个回路对于整个回路 l2 的作用力的作用力F21 为为 1 2 312121122021)(dd4llIIrrrrllF那么，由回路电流那么，由回路电流 I1 产生的磁场产生的磁场 B1对于电流元对于电流元 I2dl 的作用力的作用力 dF21为为 同理，回路电流同理，回路电流 I2 产生的磁场产生的磁场 B2 对于整个回路对于整个回路 l1 的作用力的作用力F12 为为 1 2 321212211012)(dd4llIIrrrrllF上述两式称为上述两式

28、称为安培定律安培定律。 根据根据牛顿定律牛顿定律得知，应该得知，应该 。这个结论也可。这个结论也可直接直接由上式由上式获得证明。获得证明。1221FF 如果回路形状如果回路形状复杂复杂，上述积分计算是很困难的，甚至无法求得严，上述积分计算是很困难的，甚至无法求得严格的解析表达式。格的解析表达式。 为了计算磁场力，类似计算电场力一样，也可采用为了计算磁场力，类似计算电场力一样，也可采用虚位移虚位移方法，方法，利用能量关系可以获得计算磁场力的简便方式。利用能量关系可以获得计算磁场力的简便方式。 下面直接利用前述下面直接利用前述广义力广义力和和广义坐标广义坐标的概念，导出计算磁场力的的概念，导出计算

29、磁场力的一般公式。一般公式。 设在电流设在电流 I1产生的磁场广义力产生的磁场广义力 F 的作用下，使得回路的作用下，使得回路 l2的某一广的某一广义坐标变化的增量为义坐标变化的增量为dl，同时磁场能量的增量为，同时磁场能量的增量为 dWm 。lFWWdddm下面分为两种情况：下面分为两种情况： 第一第一，若电流，若电流 I1 和和 I2 不变，这种情况称为不变，这种情况称为常电流常电流系统，则磁场系统，则磁场能量的增量为能量的增量为 2211md21d21dIIW两个回路中外源作的功分别为两个回路中外源作的功分别为 111ddIW 222ddIW 两个回路中的外源作的总功两个回路中的外源作的

30、总功dW应该等于磁场广义力作的功与磁场应该等于磁场广义力作的功与磁场能量的增量之和，即能量的增量之和，即m21d2dddWWWW由此可见，两个回路中的外源作的总功由此可见，两个回路中的外源作的总功 dW 为为求得常电流系统中的广义力求得常电流系统中的广义力F 为为 lFWWdd2dmm即即常数IlWFm 第二第二，若各回路中的磁通链不变，即磁通未变，这种情况称为，若各回路中的磁通链不变，即磁通未变，这种情况称为常常磁通磁通系统。由于各个回路的系统。由于各个回路的磁通未变磁通未变，因此，各个回路位移过程中不，因此，各个回路位移过程中不会产生会产生新的新的电动势，因而外源作的功为零，即电动势，因而外源作的功为零，即lFWdd0m那么，求得那么，求得常磁通系统中广义力为常磁通系统中广义力为常数lWFm 注意，注意，广义力广义力的方向规定为的方向规定为广义坐标广义坐标的的增加增加方向。方向。 磁场力的应用比电场力更为广泛，而且力量更强。例如，电磁铁