概率统计复习

1、概率论复习第一章 1.基本概念：基本概念：随机事件，随机现象、随机试验、统计规律性、样本点随机事件，随机现象、随机试验、统计规律性、样本点样本空间、不可能事件、基本事件、随机事件、必然事件样本空间、不可能事件、基本事件、随机事件、必然事件S。2.事件的关系与运算事件的关系与运算ABAB发生发生事件事件A A 与事件与事件B B 中中至少至少有一个发生有一个发生AB AB 发生发生事件事件 A A 与事件与事件B B 同时发生同时发生AB发生发生事件事件 A A 发生，但事件发生，但事件 B B 不发生不发生事件事件A A 与事件与事件B B互不相容（互斥）互不相容（互斥）AB 事件事件A A

2、与事件与事件B B互为逆事件互为逆事件AB SBA ，注：注：“A A 与与B B 互相对立互相对立”与与“A A 与与B B 互斥互斥”是不是不同的概念同的概念对偶律对偶律 ABA B ABAB , 0( )1P A( )1;()0 P SP()1()P AP A ()()()()P ABP AP BP AB 注注:(1) A,B互不相容（互斥）互不相容（互斥）)()()(BPAPBAP 3.概率的定义和性质概率的定义和性质(4) 若若A和和B相互独立，则有相互独立，则有(2)( )0,P A 则则A未必是不可能事件未必是不可能事件.(3)( )1,P A 则则A未必是必然事件未必是必然事件

3、.()() ()P ABP A P B (5)()( )()P B AP BP AB 思考：什么条件下，思考：什么条件下，?)()()(APBPABP （6）0)()()()( ABPBPAPBAP思考：若思考：若A与与B相互独立，则相互独立，则P(AB)=?P(AB)=0，则，则AB未必为未必为.4. 古典概型古典概型（1）拿球模型）拿球模型10个球中有个球中有4个白球，个白球，6个黑球，从中任取个黑球，从中任取5个，其中个，其中2个白球，个白球，3个黑球的概率为多少？个黑球的概率为多少？（2）生日问题）生日问题一个宿舍有一个宿舍有4个学生，个学生，:A只有只有1人生日在人生日在12月份；月

4、份；:B4个人的生日在同一个月份；个人的生日在同一个月份；:C4个人的生日不在同一个月份；个人的生日不在同一个月份； :D4人的生日在不同月份；人的生日在不同月份； :E4人中至少有人中至少有2人生日在同一个月份；人生日在同一个月份；5.条件概率与乘法定理条件概率与乘法定理6.全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式P(AB)P(A|B)P(B) ()(|) (), ( ()0)P ABP B A P AP A ()(|) (), ( ()0)P ABP A B P BP B 1122nnB )P(BB )P(BB )P(B P P( (A A) )= =P P( (A A） P P( (

5、A A）P P( (A A）kkbiii 1P(A B )P(B )k1,2,n.P(A|B )P(B ) = =kP(AB )P(A)k kP P( (B BA A) )= =7.事件的独立性事件的独立性)()()(BPAPABP (|)( )( ( )0)P A BP AP B AB事件事件与与相互独立相互独立(|)( )( ( )0)P B AP BP A 也也相相互互独独立立与与与与与与BABABA,)()(1)(BPAPBAP 8. n重贝努利试验重贝努利试验knkknnppCkP )1()(nk,2 , 1 , 0 ，1 1、已知、已知 ()0.4,()0.3 ,P AP B (1

6、)当当A、B互不相容时，互不相容时，(2)当当A、B相互独立时，相互独立时，(3)当当 时，时，() _, () _ ;P ABP A B () _, () _ ;P ABP A B () _, () _ ;P ABP A B BA 练习：练习： 2、设三次独立试验中，事件、设三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若出现的概率相等，若已知已知A至少出现一次的概率为至少出现一次的概率为 ，则在一次试验中，则在一次试验中事件事件A出现的概率为出现的概率为 。 19273. 两个学生参加某个公司的招聘会，被聘用的概率两个学生参加某个公司的招聘会，被聘用的概率分别为分别为0.6和和0.7，则两个学生至

7、少有一人被该公司聘用，则两个学生至少有一人被该公司聘用的概率为的概率为 4.设设，0)( ABP，0)( AP 则下列结论中错误的是（则下列结论中错误的是（ ） (A)事件事件A与与B互不相容；互不相容；)()()(BPAPBAP (B)(C)；)()(APBAP (D)(|)0P B A (1) (1)甲、乙两人同时命中目标的概率；甲、乙两人同时命中目标的概率； (2)(2)恰有一人命中目标的概率；恰有一人命中目标的概率； (3)(3)目标被命中的概率。目标被命中的概率。 三、三、计算题：计算题： 、甲、乙两人各自向同一目标射击，已知甲、甲、乙两人各自向同一目标射击，已知甲命中目标的概率为命

8、中目标的概率为 0.70.7，乙命中目标的概率为，乙命中目标的概率为0.8 0.8 求：求：解解:设设 分别表示甲乙命中目标分别表示甲乙命中目标。则。则BA、 0.70.8P AP B 1P AB 、0.7 0.80.56, P A P B 2P ABAB 、 P ABP AB0.70.20.8 0.3 0.38 3P AB 、 P AP BP AB0.70.80.56 0.94 2、 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为，且三家工

9、厂的次品率分别为 2、1、3，试求市场上该品牌产品的次品率。试求市场上该品牌产品的次品率。第二章 1离散型随机变量的分布律及其性质离散型随机变量的分布律及其性质注：求注：求r.v分布律的步骤分布律的步骤(1)(1)列出列出X的所有可能取值；的所有可能取值； (2)(2)求出求出X的对应取值的概率；的对应取值的概率；(3)(3)列表列表 （1）离散型随机变量的分布律）离散型随机变量的分布律 一个口袋中有一个口袋中有5 5个球，个球，2 2个白球，个白球，3 3个红球，从个红球，从中任取三个球，以中任取三个球，以X表示取到的白球的个数，求表示取到的白球的个数，求其其分分布律布律. . 从编号为从编

10、号为1 1，2 2，3 3，4 4，5 5的的5 5个球中任取个球中任取3 3个，个，记记 X X为为3 3个球中的最大号码，求随机变量个球中的最大号码，求随机变量X X的分布律。的分布律。(2) 三个常用的离散型随机变量三个常用的离散型随机变量（0-1）分布，二项分布，泊松分布）分布，二项分布，泊松分布（熟记分布律，数学期望和方差）（熟记分布律，数学期望和方差）2分布函数的定义与性质分布函数的定义与性质( ) F xP Xx)()(aFbFbXaP)(11aFaXPaXP注意注意:（1）)()(aXPaFbFbXaP )()(bXPaFbFbXaP )()(bXPaXPaFbFbXaP （2

11、）若）若)()(21xFxF，21, XX分别为随机变量分别为随机变量的分布函数，则的分布函数，则 )()(21xFxF 不是任何随机变量的分布函数。不是任何随机变量的分布函数。因为因为12)()(lim21 xFxFx10)(- )(lim21 xFxFx3连续型随机变量的分布律及其性质连续型随机变量的分布律及其性质（1）连续型随机变量的概率密度）连续型随机变量的概率密度；1)( dxxf0P Xa 对于任何实数对于任何实数 a,注意：对连续性随机变量，有注意：对连续性随机变量，有121212= = P xXxP xXxP xXx2121()()( ) xxF xF xf x dx（2）三个

12、常用的连续型随机变量）三个常用的连续型随机变量均匀分布，指数分布（参数为均匀分布，指数分布（参数为 ），正态分布），正态分布（熟记（熟记 概率密度，数学期望和方差）概率密度，数学期望和方差）（3）正态分布）正态分布标准正态分布标准正态分布的分布函数的分布函数)(x ()1( )xx500.)( abbXaP),(2 NX若若，则，则)a(F)aX(P 1 1a已知已知1.23,4.PXP X 求求(1,4),XN例例4. 设某种零件的长度服从参数为设某种零件的长度服从参数为 01. 010 ，求这种零件的合格率；求这种零件的合格率； 的正态分布，规定长度误差在的正态分布，规定长度误差在0.02

13、 范围内的为合格品，范围内的为合格品，若任意抽取若任意抽取20个这种零件，个这种零件， 问其中不合格品不超过问其中不合格品不超过2个的个的概率是多少？概率是多少？3随机变量函数的分布随机变量函数的分布（1）离散型随机变量函数的分布）离散型随机变量函数的分布随机变量取值从小到大排列，相同值对应概率相加。随机变量取值从小到大排列，相同值对应概率相加。 （2）连续型随机变量函数的分布）连续型随机变量函数的分布)(xg若若不单调，则先求随机变量不单调，则先求随机变量 )(XgY 的分布函数的分布函数 ，)(yYPyF 再求出随机变量再求出随机变量 Y的概率密度的概率密度 )()(yFyf 其其它它 (

14、 )( )( )0XYfh yh yyfy )(xg若若单调，则利用如下公式求单调，则利用如下公式求)(yfY其中其中 h(y) 是是g(x) 的反函数的反函数，（具体的请参照教材（具体的请参照教材 P56 ）（3）正态分布的线性函数仍服从正态分布）正态分布的线性函数仍服从正态分布 若若则则22( ,), (0), (,() )XN YaXb aYN aba 2( ,),(0,1)XXNN 若则第三章 1二维随机变量的联合分布，边缘分布，独立性二维随机变量的联合分布，边缘分布，独立性（1）二维随机变量关于）二维随机变量关于X,Y的边缘分布函数分别为的边缘分布函数分别为),()(),()(yFy

15、FxFxFYX ),()()(yxFyFxFYX X和和Y相互独立，则相互独立，则（2）二维离散型随机变量关于）二维离散型随机变量关于X,Y 的边缘分布律分别为的边缘分布律分别为 1.1.,iijjjijippppX和和Y相互独立，则相互独立，则jiijppp. , 2 , 1, ji（3）二维连续型随机变量关于）二维连续型随机变量关于X,Y的边缘概率密度分别为的边缘概率密度分别为)(yfY dxyxf),()(xfX dyyxf),(X和和Y相互独立，则相互独立，则)()(),(yfxfyxfYX dxdyyxfDYXPD),(),( （4）两个常用的二维连续型随机变量）两个常用的二维连续型

16、随机变量 其其它它0),(1),(GyxAyxf若二维随机变量（若二维随机变量（X,Y）在区域）在区域G 上服从上服从 均匀分布，则均匀分布，则其概率密度为其概率密度为其中其中A为为G的面积的面积.),(),(222121 NYX若若, ),(211 NX),(222 NY，则，则X和和Y相互独立相互独立0 （5）两个随机变量函数的分布）两个随机变量函数的分布221122(,), (,), XN YN 若若一般，一般，且且X和和Y相互独立相互独立, ,则则 有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布正态分布结论：结论：),(222212

17、21 bacbaNcbYaX 例例1.1. 二维连续型随机变量二维连续型随机变量（X，Y）的概率密度为的概率密度为6(1- )01( , )0yxyf x y 其其它它试求试求(X,Y)X和和的边缘概率密度，并判断独立性的边缘概率密度，并判断独立性例例2.2.设随机变量设随机变量X和和Y相互独立，且相互独立，且XN(0,1),Y在区间在区间(0,2)上服从均匀分布，求上服从均匀分布，求(X,Y)的概率密度的概率密度第四章 1数学期望的概念，性质和计算数学期望的概念，性质和计算（1）离散型随机变量）离散型随机变量 122)(kkkpxXE 二维二维 1.)(iiipxXE 1.)(jjjpyYE

18、 11)(jijjiipyxXYE 1)(kkkpxXE一维一维（2）连续型随机变量）连续型随机变量dxxfxXE)()( )(2XEdxxfx)(2 ,二维二维 dxdyyxfxXE),()( dxdyyxfyYE),()( dxdyyxyfxXYE),()( ,（3） cYbEXaEcbYaXE )()()(一维一维2方差的概念，性质和计算方差的概念，性质和计算（1） 222)()()()(XEXEXEXEXD ),cov(2)()()(YXYDXDYXD （2） （3） X 与与Y 相互独立相互独立 )()()(22YDbXDacbYaXD 3协方差、相关系数的概念，性质和计算协方差、相

19、关系数的概念，性质和计算),cov(),cov(YXXY ),cov(),cov(),cov(ZYbZXaZcbYaX (1) )()()()()(),cov(YEXEXYEYEYXEXEYX （2） )()(),cov(YDXDYXXY 11 XY )0(11 abaXYPXY )0(11 abaXYPXY 例例1 . 长度为长度为l的细棒随意折成两段，长度分别为的细棒随意折成两段，长度分别为X,Y,则则 xy （3） 不相关不相关与与YX)()()(YEXEXYE 0),cov( YX0 XY )()()(YDXDYXD （4） 相互独立相互独立与与YX不相关不相关与与YX不相关不相关与与

20、YX相互独立相互独立与与YX但是，若但是，若 ( X ,Y ) N ( 1, 2, 12, 22, ), 则则XY ，即若，即若 ( X ,Y ) N ( 1, 2, 12, 22, ),则则X ,Y 相互独立相互独立X ,Y不相关不相关例例2 . 设设),(YX在区域在区域 ( , )|,01Gx yyxx上服从均匀分布，写出上服从均匀分布，写出 ),(YX的联合概率密度，并求关于的联合概率密度，并求关于 YX,的边缘概率密度，判断的边缘概率密度，判断 YX,是否相互独立；又是否相互独立；又 YX,是否互不相关是否互不相关?第五章 1大数定律（了解）大数定律（了解）)()(APAfPn)(1

21、1kPnkkXEXn 2中心极限定理中心极限定理（1）独立同分布下的中心极限定理）独立同分布下的中心极限定理 ，2)(,)( kkXDXE设设 ，nk, 2 , 1 nXXX,21且且相互独立，则相互独立，则 nkkX1近似近似服从服从 ).,(2 nnN nkkXn11近似近似服从服从 ),(2nN 设设 ),(pnBX，则，则 X 近似近似服从服从 (,(1)N np npp 二项分布的正态近似与二项分布的泊松近似，两者相二项分布的正态近似与二项分布的泊松近似，两者相比，一般在较小时，用泊松分布近似较好；而在比，一般在较小时，用泊松分布近似较好；而在5np 和和(1)5np 时，用正态分布

22、近似较好时，用正态分布近似较好注：泊松分布也可作为二项分布的近似分布当注：泊松分布也可作为二项分布的近似分布当很大，很小，很大，很小，(1),!kkkn knC ppek其中其中.np 例例1. 射击不断进行，设每次射中的概率为射击不断进行，设每次射中的概率为0.1。试求试求500次射击中，射中的次数在区间次射击中，射中的次数在区间49，55之之间的概率。间的概率。数理统计复习第六章第六章1 基本概念基本概念个体，总体，样本（简单随机样本），样本容量，个体，总体，样本（简单随机样本），样本容量， 样本样本nXXX,21的联合分布，统计量的联合分布，统计量 2样本均值样本均值 niiXnX11性

23、质：性质： ()()(),()D XE XE XD Xn 212)(11XXnSnii 样本方差样本方差 )()(2XDSE 性质：性质： 注意注意：必须学会用计算器计算样本均值：必须学会用计算器计算样本均值 2SX 和和考试时在没有得到监考教师允许时使用他人的计算器考试时在没有得到监考教师允许时使用他人的计算器可视为作弊，因此考试时务必带好计算器。可视为作弊，因此考试时务必带好计算器。3.2分布、分布、t分布、分布、F分布的定义、及性质分布的定义、及性质 上上 分位点以及查表分位点以及查表4抽样分布定理抽样分布定理定理定理1 定理定理2、3、4 （教材（教材P134）第七章第七章1矩估计法（

24、用样本的矩作为总体的矩的估计）矩估计法（用样本的矩作为总体的矩的估计）（1）样本均值）样本均值 niiXnX11是总体均值是总体均值 )(XE的矩估计的矩估计（2） 21)(1XXnnii 是总体方差是总体方差 )(XD的矩估计的矩估计注意注意：样本方差：样本方差 2S不是总体方差不是总体方差 )(XD的矩估计的矩估计2极大似然估计法极大似然估计法极大似然估计法的步骤：极大似然估计法的步骤： （1）写出似然函数）写出似然函数 ),()(1 niixfL或或 ),()(1 niixpL（2）似然函数取对数，化简）似然函数取对数，化简 )(ln L（3）求导数）求导数 dLd)(ln（4）令）令

25、0)(ln dLd，解得参数，解得参数 的极大似然估计的极大似然估计 L 其其它它）（0101),(xxxf1 ，其中，其中为待估参数，为待估参数，),(21nxxx是取自总体是取自总体X 的样本值，的样本值，例例1. 设总体设总体X的概率密度为的概率密度为的矩估计值和最大似然估计值的矩估计值和最大似然估计值. 求参数求参数3估计的无偏性和有效性估计的无偏性和有效性（1）样本均值）样本均值 niiXnX11是总体均值是总体均值 )(XE的无偏估计的无偏估计 （2）样本方差）样本方差 2S21)(11XXnnii 是总体方差是总体方差 )(XD的无偏估计的无偏估计 注意：注意： 21)(1XXn

26、nii 不是总体方差不是总体方差 )(XD的无偏估计，的无偏估计， 样本标准差样本标准差 S21)(11XXnnii 不是总体标准差不是总体标准差 )(XD的无偏估计的无偏估计 （2）试判断）试判断g1和和g2哪一个更有效？哪一个更有效？例例2.已知总体的数学期望已知总体的数学期望 和方差和方差 都存在，都存在， X1，X2，X3是总体的样本是总体的样本.设设2（1）证明）证明g1和和g2都是都是 的无偏估计的无偏估计3212613121XXXg ，3211313131XXXg 4参数的区间估计参数的区间估计单个正态总体均值单个正态总体均值 的置信区间的置信区间 （方差（方差 2 已知，已知，

27、 方差方差 2 未知）未知） 单个正态总体方差单个正态总体方差 2 的置信区间（均值的置信区间（均值 未知）未知） 两个正态总体均值之差两个正态总体均值之差 21 的置信区间的置信区间（方差（方差 2221, 已知，方差已知，方差 2221, 未知但未知但 2221 ） 上述上述5种置信区间的公式附在试卷上，重点训练如何选择种置信区间的公式附在试卷上，重点训练如何选择正确的公式正确的公式例例1. 用一个仪表测量某一物理量用一个仪表测量某一物理量9次，得样本均值次，得样本均值56.32,x样本标准差样本标准差0.22,s假设测量值假设测量值X服从服从正态分布，试求均值正态分布，试求均值 的的0.95置信区间置信区间.第八章第八章1假设检验的原理及其含义，两类错误假设检验的原理及其含义，两类错误2（1）方差）方差 2 未知时，单个正态总体均值未知时，单个正态总体均值 的假设检验的假设检验 ， 00: H01: H 00: H01: H， 00: H01: H（2）方差）方差 2221, 未知但未知但 2221 时两个正态总体均值时两个正态总体均值 21, 的假设检验的假设检验210: H211: H210: H211: H210: H211: H（3）均值）均值 21 ，未知未知