紧致差分格式报告

1、五点紧致差分格式的原理与应用汇报学生：吴广智指导老师：孙建安教授一，基本原理介绍二，实际应用：数值求解RLW方程 1.方程介绍 2.数值格式的建立 3.算例与数值结果的对比三，未来方向 1.紧致差分格式的隐式应用1 2.紧致差分格式的隐式应用2 四，致谢 主要内容一，基本原理介绍 紧致有限差分方法是使用函数值的某种线性组合来表示该函数导数值的线性组合的一类差分方法, 该方法能有效增加差分格式的精度与稳定性。其基本原理如下： 对于函数 ，将自变量区间n等分, 插入n+1个节点 , 相邻节点间距为h, 则函数一阶导数的对称紧致差分格式为：内点六阶精度： ,),(baxxf)(,),(121bxxa

2、xn2,4, 3)(121)(373221111niffhffhfffiiiiiii（1）1,2)(341111niffhfffiiiii)45(212)45(21221121010nnnnnfffhfffffhff边界点三阶精度 近边界点四阶精度：（2）（3）（4） 同样的，函数二阶导数的紧致差分格式可表示为： 内点六阶精度：24 , 3i434810248321122211211 nhffffffffiiiiiiii， 1,2i)2(121011211 nfffhfffiiiiii近边界点四阶精度（5）（6）2321123210101527131115271311hffffffhfffff

3、fnnnnnn 边界点三阶精度 虽然一阶导数和二阶导数的差分格式精度的理论值一样，但是实际一阶导数的数值解更接近精确值。 其次，由于紧致差分格式是使用函数在离散点上的函数值计算该函数在单个离散点处的一阶或高阶导数值的线性组合，所以导数值的求出需要求解线性方程组，所以该方法很难用于求解时间空间混合导数项，或用于建立求解某一方程的隐式格式。（7）（8）二，实际应用：数值求解RLW方程1，方程介绍 RLW方程是由Peregrine提出的一类非线性演化方程, 是描述许多物理现象(如浅水波、等离子体声波等)的一种非常好的模型, 尤其是在研究非线性色散波方面起了非常重要的作用, 因此对其数值解法的研究十分

4、重要. 众多数值方法都曾经用于求解RLW方程, 例如五次和二次B样条Petrov-Galerkin有限元法、伽辽金线性有限元法、二次B样条集中伽辽金有限元法等。 其具体形式如下： 0 xxtxxtuuuuu（9） 2.数值格式的建立 对时间差分采用四阶龙格库塔方法，对空间差分采用五点紧致差分格式，由于混合导数项的存在龙格库塔方法与紧致差分方法都无法直接作用与方程，采用如下方法处理。 引入变量将方程（9）改写为xxuuz（10）xxtuuuutGztgztgz), (), (), (（11）对方程（对方程（1111）使用四阶龙格库塔方）使用四阶龙格库塔方法法: : ),()2,()2,(),(6

5、)22(3422/1312/12143211kztgkkztgkkztgkztgkkkkkzznnnnnnnnnn（1212）其中 表示 在第n时间层的值，由于 已知, 由式（1）和式（5）可解得nzznxnxnnuuuztgk)()(),(1nunxu )(nxxu )(进而可得到进而可得到 与与 的值。下面以的值。下面以 为例说明为例说明的求解方法。的求解方法。 nz1k2k432,kkk 记 由（10）式可得 利用（5）式可得：12kzznxxuuznihuuuuuuuuuuuuuuzzziiiiiiiiixxixxixxiiiiii, 1,4348102483)2112()(2)(11

6、)(2)2112(21122211211111111（13）由于 已知求解（13）式确定的线性方程组即可求得 ，利用（1）式可得到 ，继而得到：同样的可以求得 ，代入（12）式可求出 再将（13）式中的 替换为 重新求解（13）式即可得到 ，到此完成求解。zuxuxxnnuuuutGztgk),(),(2/12/1243,kk1nzz1nz1nu3.算例数值结果的对比考虑如下初始条件的考虑如下初始条件的RLWRLW方程方程120,80,)(hsec3)0 ,(2xxxkdxuc其对应的方程的精确解为其对应的方程的精确解为)(hsec3),(2vtxxkdtxuc其中 ，实际计算时取由于算例为孤

7、波解，所以边界处近似满足一阶导数值为0.因此, 为了简化边界点与近边界点的处理方式, 实际计算时在求解区间左右端点的外侧分别外插了四个节点，且该四个节点处函数值为0，这样只使用公式（1）（5）即可。)1 (21,1ddkdv0, 1, 1cxhxhxhxhxnn2120,120,80,2803201 为了方便比较引入误差范数与守恒量，定义为：21122njnjexactjuuhLnjexactjjuuLmax-udxI表表1 1给出了本文算法与几种其他算法求解给出了本文算法与几种其他算法求解RLWRLW方程孤波解所方程孤波解所得到的数值结果在时间得到的数值结果在时间t t=20=20时的误差范

8、数与守恒量对比时的误差范数与守恒量对比. . 表表2 2给出本文算法所得的数值结果与伽辽金有限元方法与余弦给出本文算法所得的数值结果与伽辽金有限元方法与余弦微分求积所得的数值结果在不同时刻的误差范数与守恒量对微分求积所得的数值结果在不同时刻的误差范数与守恒量对比比. . 表表3 3给出在振幅不同的情况下本文算法所得的数值结果给出在振幅不同的情况下本文算法所得的数值结果与余弦微分求积法得到的的数值结果在不同时刻的误差范数与余弦微分求积法得到的的数值结果在不同时刻的误差范数与守恒量对比与守恒量对比. .表表1 1 误差范数与守恒量比较误差范数与守恒量比较(RLW(RLW方程孤波解方程孤波解) )数

9、值方法L2LI紧致差分0.59910-50.21410-53.97995有限差分0.79610-30.28110-33.97996CDQM0.20910-30.07810-33.98002线性伽辽金0.51110-30.19810-33.98206伽辽金有限元0.21910-30.08610-33.97988分裂法196.110-367.3510-34.41219二次B样条有限元法0.22710-30.08110-33.97986B样条配置法0.53210-30.22710-33.97804三次样条0.71910-30.25410-33.97989 注注: , ,守恒量精确值为守恒量精确值为3

10、.97995120,80,10,25. 0, 1 . 03xhd表表2 2 误差范数比较误差范数比较(RLW(RLW方程孤波解方程孤波解) )时间数值方法L2LIt=4紧致差分0.12010-50.39010-63.97995CDQM0.04410-30.01610-33.97996文献线性噶辽金0.11610-30.05410-33.98039t=8紧致差分0.24010-50.80010-63.97995CDQM0.08710-30.03310-33.97998文献线性噶辽金0.22410-30.10010-33.98083t=12紧致差分0.35910-50.12310-53.97995

11、CDQM0.12910-30.04910-33.98001文献线性噶辽金0.32510-30.13910-33.98125 , ,守恒量精确值为守恒量精确值为3.97995注注: 120,80,10,25. 0, 1 . 03xhd表表3 3 误差范数比较误差范数比较(RLW(RLW方程孤波解方程孤波解) )时间数值方法L2LIt=4紧致差分0.50010-70.30010-72.10941CDQM0.24110-30.19710-32.10864t=8紧致差分0.10010-60.20010-72.10941CDQM0.54410-30.29410-32.11002t=12 紧致差分0.14

12、010-60.30010-72.10941CDQM0.84710-30.34210-32.11127t=16紧致差分0.19010-60.50010-72.10941CDQM1.10910-30.36610-32.11218t=20 紧致差分0.23010-60.60010-72.10941CDQM1.34410-30.41910-32.11241注：注： , , 守恒量精确值为守恒量精确值为2.10941120,80,10,25. 0,03. 03xhd三，未来方向1，紧致差分格式的隐式应用1 以Kdv方程为例简要说明紧致差分格式的隐式应用，方程形式如下：0 xxxxtuuuu（14） 方程

13、（14）的隐式格式可写为： 0221111nxxxnxxxnxnnxnnnuuuuuuuu上式可改写为：nxxxnnxxxnxnnxnnuuuuuuuu2)(21111（15）对（15）式要做类似（13）式的处理，但是对于n+1时间层的一阶导数项与三阶导数项应配备不同的系数，因此引入新变量 （15）式可改写为：xxuv 1111112)(2nxxnnxnnxnxnnxnnuvvuvuuuuu（16）使用（1,5）式对（16）式做类似（13）式的处理：212111111211111111112121111111111111111111111143481024832112)3(2)3(2)(121

14、)(37)()(3)()()(3)()3(2huuuuuvvvvvvuuuvvhvvhuuuuuuuuuuuuuuuninininininininininininininininininininixninixninixninixninixninixninini（17）由于非线性项的限制（17）式无法直接求解，对（1）式做如下变换。2,4, 3)(121)(37)()(3)(2122121111111111111niuuuuhuuuuhuuuuuunininininininininininininini（18）（17）式与（18）式联合可以确定一组线性方程组，求解可得1nu2，紧致差分格式的隐式