北京市朝阳区青苗国际学校常营学区2024-2025学年高二上学期阶段性测试数学试题

2024—2025学年第一学期阶段性测试试卷命题人：王恩广审题人：王恩广科目：高二数学姓名（中文）：_班级（中文）：高二班成绩:考试说明：本考试为笔试，时间为90分钟；备注：本试卷共3大题，共2页，满分100分，请作答所有问题。一、单选题（共10小题；共40分）1.12a A.-52 C.-522.如图，在底面为正方形的平行六面体ABCD-AʹBʹCʹDʹ A.0个 B.3个 C.7个 D.9个3.已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60∘，那么∣a A.13 B.13 C.2 D.54.在平面直角坐标系中，斜率为3的直线倾斜角为   A.30∘ B.60∘ C.905.已知A4,8，B2,4，C3,y三点共线，则y A.4 B.5 C.6 D.76.下列命题正确的是   A.若a=1,-2,-1，b= B.若a=1,-2,-1，b= C.若a=1,-2,2，b= D.若a=1,-2,2，b=7.已知A1,0,0，B0,1,0，C0,0,1，则下列向量是平面ABC A.-1,1,1 B. C.-33,-38.如图，在四面体OABC中，G是BC的中点，设OA=a，OB=b，OC=c A.a-12b-19.已知A，B，C，D，E是空间中的五个点，其中点A，B，C不共线，则“存在实数x，y，使得DE=xAB+yAC”是 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件10.已知三点A2,2，B3,1，C-1,-1，则过点A的直线l与线段BC有公共点时（公共点包含端点），直线l的斜率k A.-1,1 B. C.-1,1 D.二、填空题（共6小题；共30分）11.已知空间三点A1,1,1，B-1,0,4，C2,-2,3，则AB与CA12.已知点A2,-5,-1，B-1,-4,-2，Cλ+3,-3,μ13.已知向量a=1,-1,0，b=1,0,2，若a+kb与b14.已知两点A-3,3，B3,-1，则直线15.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，则点P在线段D1E 16.如图，在棱长都相等的四面体SABC中，给出如下三个命题： ①异面直线AB与SC所成的角为60∘ ②BC与平面SAB所成角的余弦值为33 ③二面角S-BC-A的余弦值为三、解答题（共4小题；共30分）17.已知空间中三点A-2,0,2，B-1,1,2，C-3,0,4（1）求向量a与向量b的夹角的余弦值；（2）若ka+b与ka-218.已知A3,3，B-4,2，（1）求直线AB和AC的斜率；（2）若点D在线段BC（包括端点）上移动，求直线AD的斜率的变化范围．19.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AA1 （1）求直线BD1与平面BDE（2）求平面BD1E与平面（3）求点F到平面BDE的距离．20.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，AD （1）求证：AM⊥（2）求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值；（3）求点D到平面APM的距离.答案一单选题1.C2.C【解析】向量模相等即向量的长度相等．根据平行六面体的性质可知，与向量AAʹ模相等的向量为AʹA，BBʹ，BʹB，CCʹ，CʹC故选C．3.B【解析】a+3b2=a24.B【解析】设此直线的倾斜角为θ，θ∈因为tanθ所以θ=5.C【解析】方法一：因为A，B，C三点共线，所以直线AB与直线BC斜率相等，因为kAB所以kAB所以y=6方法二：因为A，B，C三点共线，所以AB∥因为AB-2,-4，所以-2所以y=66.A【解析】A选项：若a=1,-2,-1，b=-2,4,2，则a=-B选项：若a=1,-2,-1，b=-2,4,2，则a⋅bC选项：若a=1,-2,2，b=2,-4,1，则不存在m使得a=mbD选项：若a=1,-2,2，b=2,-4,1，则a⋅b=2+8+2=12≠07.C8.B【解析】AC=OC-所以AG=故选：B．9.B【解析】若DE∥平面ABC，则DE，AB，故存在x，y使得DE=若存在x，y使得DE=则DE，AB，AC共面，则DE∥平面ABC或所以“存在x，y使得DE=xAB+yAC10.B【解析】如图，过A作AD⊥x轴，交x轴于因为三点A2,2，B3,1，直线AC的斜率kAC直线AB的斜率kAB所以结合图象，得：直线l的斜率kl的取值范围是-∞二填空题11.120【解析】因为AB=-2,-1,3所以cosAB又因为0∘所以AB,12.-13.-【解析】因为a=1,-1,0，所以a+因为a+kb与所以a+所以1+kk=-14.515.2【解析】如图所示，过P作PQ⊥则PQ⊥平面ABCD，所以所以P到CC1的距离即为CQ当P在线段ED1上运动时，距离的最小值为C到线段DE所以最小值为△CDE中DE边上的高，其长度为2×116.②③三解答题17.（1）因为a=1,1,0，所以a⋅又a=12所以cosa即向量a与向量b的夹角的余弦值为-10

（2）（方法1）因为ka+b且ka+b与所以k-所以k=2或k所以当ka+b与ka-2b互相垂直时，实数k的值为（方法2）由（1）知a=2，b=所以ka得k=2或k所以当ka+b与ka-2b互相垂直时，实数k的值为18.（1）由斜率公式可得直线AB的斜率kAB=2-3-4-3=17

（2）如图所示，当点D由点B运动到点C时，直线AD的斜率由KAB增大到KAC，所以直线AD的斜率的变化范围是19.（1）以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z则D0,0,0，B1,1,0，D10,0,2，C0,1,0可得BD1=-1,-1,2设平面BDE的法向量为n=x,y,z，则取x=1，可得y=-1，z=1，所以设直线BD1与平面BDE所成的角为则sinα即直线BD1与平面BDE所成角的正弦值为

（2）因为BD1=设平面BD1E的法向量为则m⋅BD1=0,m⋅BE=0,即-所以m=设平面BD1E与平面BDE的夹角为则cosθ即平面BD1E与平面BDE的夹角的余弦值为

（3）由（1）知，平面BDE的一个法向量为n=又由DF=所以点F到平面BDE的距离d=即点F到平面BDE的距离为3320.（1）（方法一综合法）因为PD⊥面ABCD所以PD⊥在矩形ABCD中，ADAB所以△ABD所以∠ABD则∠AOB所以BD⊥又因为BD∩所以AM⊥（方法二坐标法）因为PD⊥所以PD⊥AD，又因为底面ABCD是矩形，AD⊥以D为原点，分别以DA，DC，DP为x，y，z轴建立平面直角坐标系．设B2则A22,0,0，M所以AM=-2,2,0，所以AM⋅所以AM⊥因为PD⊥平面ABCD所以AM⊥又因为BD∩所以AM⊥

（2）（方法一）由（Ⅰ）可知AP=-2平面ABCD的一个法向量为m=设平面APM的法向量为n=x,y取x=2得到则平面ABCD与APM所成角的余弦值为cos⟨（方法二综合法）由因为A