高等数学课件暑期讲课线性代数

1、一、行列式一、行列式二、矩阵二、矩阵三、三、n 维向量维向量四、线性方程组四、线性方程组五、矩阵的特征值和特征向量五、矩阵的特征值和特征向量六、二次型六、二次型把把 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 个元个元素的全排列（或排列）素的全排列（或排列）nn个不同的元素的所有排列的种数用个不同的元素的所有排列的种数用 表示，表示，且且 nnP!nPn 1.8.1 行列式行列式逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列偶数的排列称为偶排列在一个排列在一个排列 中，若数中，若数 ，则称这两个数组成一个逆序则称这两个数组成一个逆

2、序 nstiiiii21stii 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数序数 nnnpppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD2121212122221112111., 2 , 1;, 2 , 12121列取和列取和的所有排的所有排表示对表示对个排列的逆序数个排列的逆序数为这为这的一个排列的一个排列为自然数为自然数其中其中ntnppppppnn 余子式与代数余子式余子式与代数余子式.,)1(1 的代数余子式的代数余子式叫做元素叫做元素；记；记的余子式，记作的余子式，记作阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素列划去后，留下来的列划去后，留下来的行和第

3、行和第所在的第所在的第阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素在在aAMAManjianijijijjiijijijij . ,)()4.,)()3.),()2.DD,1)T乘此行列式乘此行列式等于用数等于用数一数一数中所有的元素都乘以同中所有的元素都乘以同列列行列式的某一行行列式的某一行等于零等于零则此行列式则此行列式完全相同完全相同列列如果行列式有两行如果行列式有两行行列式变号行列式变号列列互换行列式的两行互换行列式的两行即即式相等式相等行列式与它的转置行列行列式与它的转置行列kk ., )( , )( )8., )( )7., )( )6. )( )5行列式的值不变行列式的值不变对应的元素上

4、去对应的元素上去行行后加到另一列后加到另一列然然的各元素乘以同一数的各元素乘以同一数行行把行列式的某一列把行列式的某一列式之和式之和此行列式等于两个行列此行列式等于两个行列则则的元素都是两数之和的元素都是两数之和行行若行列式的某一列若行列式的某一列式为零式为零则此行列则此行列元素成比例元素成比例列列行列式中如果有两行行列式中如果有两行提到行列式符号的外面提到行列式符号的外面以以的所有元素的公因子可的所有元素的公因子可列列行列式中某一行行列式中某一行., , 2 , 1., 2 , 1, 0 .,122112222212111212111所得到的行列式所得到的行列式，换成常数项换成常数项列列中第

5、中第）是把系数行列式）是把系数行列式（其中其中那么它有唯一解那么它有唯一解的系数行列式的系数行列式如果线性方程组如果线性方程组bbbjDnjDnjDDxDbxaxaxabxaxaxabxaxaxanjjjnnnnnnnnnn ., 0. 0, 0, 0 221122221211212111那么它没有非零解那么它没有非零解的系数行列式的系数行列式如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 Dxaxaxaxaxaxaxaxaxannnnnnnnn. 它的系数行列式必为零它的系数行列式必为零组有非零解，则组有非零解，则如果上述齐次线性方程如果上述齐次线性方程定理定理定理定理4.行列式计算二阶、三阶行列式用

6、对角线法二阶、三阶行列式用对角线法利用行列式性质化为上下三角利用行列式性质化为上下三角利用展开定理降阶利用展开定理降阶P54 例例1-49,1-50. 094321112 xx求解方程求解方程方程左端方程左端1229184322 xxxxD, 652 xx解得解得由由052 xx3.2 xx或或例例2 2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性奇偶性. .217986354解解453689712544310010 t18 此排列为偶排列此排列为偶排列.54 0100134 例例33351110243152113 D03550100131111115 312

7、cc 34cc 0551111115)1(33 055026115 5526)1(31 5028 .40 12rr 1.8.2 1.8.2 矩阵矩阵1.矩阵的概念矩阵的概念mnmmnnaaaaaaaaa212222111211列的数表行成的排个数由定义nmnjmianmij), 2 , 1;, 2 , 1(mnmn称为 行 列矩阵，简称矩阵,记作 mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211简记为简记为 .ijnmijnmaaAA 元元的的矩阵矩阵nmA,.,简简称称为为元元的的元元素素个个数数称称为为这这Anm 2 2）两个矩阵）两个矩阵 为同型矩阵为同型矩阵, ,并且并且对应元

8、素相等对应元素相等, ,即即 ijijbBaA与与 , 2 , 1;, 2 , 1njmibaijij 则称矩阵则称矩阵 相等相等, ,记作记作BA与与.BA 同型矩阵与矩阵相等同型矩阵与矩阵相等1 1）两个矩阵的行数相等）两个矩阵的行数相等, ,列数相等时列数相等时, ,称为同型矩阵称为同型矩阵. .2.几种特殊矩阵几种特殊矩阵(2)(2)只有一行的矩阵只有一行的矩阵 ,21naaaA 称为行矩阵称为行矩阵( (或行向量或行向量).).(1)(1)行数与列数都等于行数与列数都等于 的矩阵的矩阵 ，称为，称为 阶阶nnA.nA方阵方阵. .也可记作也可记作,21 naaaB只有一列的矩阵只有一

9、列的矩阵称为列矩阵称为列矩阵( (或列向量或列向量).). 称为对角称为对角矩阵矩阵(或对角阵）或对角阵）. n 00000021（3）形如形如 的方阵的方阵, ,OO不全为不全为0记作记作 .,21ndiagA （4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，）元素全为零的矩阵称为零矩阵， 零零矩阵记作矩阵记作 或或 .nm nmo o注意注意000000000,0,0,0 .00000000不同阶数的零矩阵是不相等的不同阶数的零矩阵是不相等的.例如例如(5)单位阵：对角线上全为单位阵：对角线上全为1的对角阵的对角阵 100010001nEE称为单位矩阵（或单位阵）称为单位矩阵（或单位阵）. .OO全为全

10、为1(6)对称矩阵对称矩阵定义定义设设 为为 阶方阵，如果阶方阵，如果A的元素满足的元素满足 那末那末 称为对称阵称为对称阵.An n,j , iaajiij21 A.A为对称阵为对称阵例如例如 6010861612对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等等.说明说明定义定义行列式行列式 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 所所构成的如下矩阵构成的如下矩阵AijA nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111性质性质.EAAAAA 称为矩阵称为矩阵 的伴随矩阵的伴随矩阵.A(7）伴随矩阵）伴随矩阵 mnmnmmmmnnnnbababab

11、abababababaBA221122222221211112121111设有两个设有两个 矩阵矩阵 那末矩阵那末矩阵 与与 的和记作的和记作 ，规定为，规定为nm ,bB,aAijij ABBA 3.矩阵的运算矩阵的运算 ;1ABBA .2CBACBA mnmmnnaaaaaaaaaA1122221112113 ., 04BABAAA ,ija .负矩阵负矩阵的的称为矩阵称为矩阵A.112222111211mnmmnnaaaaaaaaaAA规定为规定为或或的乘积记作的乘积记作与矩阵与矩阵数数, AAA ;1AA ;2AAA .3BABA矩阵相加与数乘矩阵合起来矩阵相加与数乘矩阵合起来, ,统

12、称为矩阵的线性运算统称为矩阵的线性运算. . skkjiksjisjijiijbabababac12211 , 2 , 1;, 2 , 1njmi 并把此乘积记并把此乘积记作作.ABC 设设 是一个是一个 矩阵，矩阵， 是一个是一个 矩阵，那末规定矩阵矩阵，那末规定矩阵 与矩阵与矩阵 的乘积的乘积是一个是一个 矩阵矩阵 ，其中，其中 ijaA sm ijbB ns nm ijcC AB注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘的行数时，两个矩阵才能相乘.例例4222263422142 C22 16 32 816?注：（注：（1 1

13、）矩阵乘法一般不满足交换律；）矩阵乘法一般不满足交换律；. 00, 0,)2(BAABBA或不能得出满足若矩阵 ;1BCACAB ,2ACABCBA ;CABAACB BABAAB 3（其中（其中 为数）为数）; ;4AEAAE 若若A是是 阶方阵，则阶方阵，则 为为A的的 次幂，即次幂，即 并且并且 5nkAk 个个kkAAAA ,AAAkmkm .mkkmAA 为为正正整整数数k,m（注：单位矩阵（注：单位矩阵E在矩阵乘法中的作用类似于数在矩阵乘法中的作用类似于数1）注：一般来说kkkBAAB)(定义定义 把矩阵把矩阵 的行换成同序数的列得到的的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做新矩阵，叫

14、做 的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作 . AAA例例,854221 A;825241 TA,6,18B.618 TB转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质 ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTABAB 注：若A为对称阵，则TAA5）方阵的行列式）方阵的行列式定义定义 由由 阶方阵阶方阵 的元素所构成的行列式，的元素所构成的行列式，叫做方阵叫做方阵 的行列式，记作的行列式，记作 或或nAAA.det A 8632A例例8632 A则则. 2 运算性质运算性质 ;1AAT ;2AAn ;3BAAB .BAAB 定义定义 对于对于 阶方阵阶方阵 ，如果有一个，如果有一个 阶方阵阶

15、方阵 则说方阵则说方阵 是可逆的，并把方阵是可逆的，并把方阵 称为称为 的逆矩阵的逆矩阵.nAB,EBAAB BAnA使得使得.1 AA的逆矩阵记作的逆矩阵记作定理定理1 1 方阵方阵 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 ，且且 ,11 AAAA0 A.的的伴伴随随矩矩阵阵为为矩矩阵阵其其中中AA 二阶矩阵的逆矩阵用该公式求，三阶及以上矩阵二阶矩阵的逆矩阵用该公式求，三阶及以上矩阵的逆矩阵用初等变换求。的逆矩阵用初等变换求。 且且可逆可逆则则数数可逆可逆若若, 0,2AA 且且亦可逆亦可逆则则为同阶方阵且均可逆为同阶方阵且均可逆若若,3ABBA 1ABB1 1 A .111 AA 逆矩阵的运算性

16、质逆矩阵的运算性质 .,1111AAAA 且且亦可逆亦可逆则则可逆可逆若若 .,0,10kkAAEAA 定义定义时时当当另外另外 为正整数为正整数k .,4AAAAT 且且亦可逆亦可逆则则可逆可逆若若TT1 1 有有为整数时为整数时当当, 0 A, AAA . AA .AA,A115 则有则有可逆可逆若若AAAA32, 1,.51且为三阶矩阵设例解：11*AAAA33115155*32AAAAP57 例例1-51定义定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换: ）；）；记作记作两行两行对调两行（对调对调两行（对调jirrji,1 ;02乘乘以以某某一一行行的的所所有

17、有元元素素以以数数 k）记作记作行乘行乘（第（第krkii , .3 ）记记作作行行上上倍倍加加到到第第行行的的对对应应的的元元素素上上去去（第第倍倍加加到到另另一一行行把把某某一一行行所所有有元元素素的的jikrrikjk 定义定义2 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类且变换类型相同型相同 同理可定义矩阵的初等列变换同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是所用记号是把把“r”换成换成“c”)jirr kri 逆变换逆变换;jirr 逆变换逆变换;)1(krkrii 或或jik

18、rr 逆变换逆变换.)(jijikrrrkr 或或初等变换的作用初等变换的作用1)求逆矩阵求逆矩阵2)求矩阵和向量组的秩求矩阵和向量组的秩3)解线性方程组解线性方程组等等价价，记记作作与与就就称称矩矩阵阵，矩矩阵阵经经有有限限次次初初等等变变换换变变成成如如果果矩矩阵阵BABABA., 12阶阶子子式式的的称称为为矩矩阵阵阶阶行行列列式式，的的中中所所处处的的位位置置次次序序而而得得变变它它们们在在不不改改元元素素处处的的个个），位位于于这这些些行行列列交交叉叉列列（行行中中任任取取矩矩阵阵在在定定义义kAkAknkmkkkAnm .)( 子子式式的的最最高高阶阶数数中中不不等等于于零零的的是

19、是的的秩秩矩矩阵阵AARAnm 求矩阵秩的方法：求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例例6的秩求矩阵设AA,41461351021632305023 阶阶梯梯形形矩矩阵阵：作作初初等等行行变变换换，变变成成行行对对A解解 41461351021632305023 A 0502335102163234146141rr 41461351021632305023 A 050233510211340414614241rrrr 128121601179120113404

20、1461 41461351021632305023 A4241rrrr 141332rrrr 84000840001134041461 00000840001134041461 由阶梯形矩阵有三个非零行可知由阶梯形矩阵有三个非零行可知. 3)( AR233rr 244rr 34rr . , 21个分量称为第数个个分量，第个数称为该向量的维向量，这为所组成的数组称个有次序的数iainnnaaanin1.8.3 n 1.8.3 n 维向量维向量 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组的集合叫做向量组1. 向量及向量组的概念向量及

21、向量组的概念mmb 22112.向量组的线性相关性向量组的线性相关性1) 线性组合线性组合2) 一个向量能由一个向量组线性表示一个向量能由一个向量组线性表示3) 两个向量组等价两个向量组等价.),(),( 2121的的秩秩，的的秩秩等等于于矩矩阵阵，条条件件是是矩矩阵阵线线性性表表示示的的充充分分必必要要能能由由向向量量组组向向量量bBAAbmm 定理定理1 1其中线性表示能否由向量组：判别向量例,7Ab;102,324,171321 ：A,3140 b解：考虑解：考虑 8329001152002413131140270241)(bAB3)()( BRAR.线性表示能由向量组向量Ab0 ,:

22、22112121 mmmmkkkkkkA 使使全全为为零零的的数数如如果果存存在在不不给给定定向向量量组组定义定义则称向量组则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关A由定义可得：由定义可得：1、任一向量组不是线性相关就是线性无关。、任一向量组不是线性相关就是线性无关。2、含零向量的向量组一定线性相关。3、单个非零向量一定是线性无关。、单个非零向量一定是线性无关。4、两个向量线性相关的充分必要条件是对应分量、两个向量线性相关的充分必要条件是对应分量成比例。成比例。.)(; ),( , 2121mARmAmm 必必要要条条件件是是向向量量组组线线性性无无关关的的充充

23、分分于于向向量量个个数数的的秩秩小小矩矩阵阵条条件件是是它它所所构构成成的的线线性性相相关关的的充充分分必必要要向向量量组组 定理定理2 2维维向向量量组组n TnTTeee1 , 0 , 0,0 , 1 , 0,0 , 0 , 121 ，.,讨讨论论其其线线性性相相关关性性维维单单位位坐坐标标向向量量组组称称为为n解解.),( 21阶阶单单位位矩矩阵阵是是的的矩矩阵阵维维单单位位坐坐标标向向量量组组构构成成neeeEnn .)(01 nERE ，知，知由由.2)(向量组是线性无关的向量组是线性无关的知此知此，故由定理，故由定理等于向量组中向量个数等于向量组中向量个数即即ER例例8定理定理 （

24、1）部分相关整体相关。）部分相关整体相关。 （2）线性无关的向量组，将分量）线性无关的向量组，将分量 延长后仍然线性无关。延长后仍然线性无关。 （3）m 个个n 维向量，当维数维向量，当维数n 小小 于向量个数于向量个数m 时一定线性相关。时一定线性相关。.,:,: (4) 121且且表表示示式式是是唯唯一一的的线线性性表表示示必必能能由由向向量量组组向向量量则则线线性性相相关关组组而而向向量量线线性性无无关关设设向向量量组组AbbBAmm ，满满足足个个向向量量中中能能选选出出，如如果果在在设设有有向向量量组组rrAA , 21定义定义线线性性无无关关；）向向量量组组（rA ,:1 210关

25、关，个个向向量量的的话话）都都线线性性相相中中有有个个向向量量（如如果果中中任任意意）向向量量组组（112 rArA0AA那么称向量组是向量组 的一个最大线性无关组（简称最大无关组）最大无关组所含向量个数r称为向量组A的秩，注：只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩注：只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为为0. 它的行向量组的秩量组的秩，也等于矩阵的秩等于它的列向. 的秩的秩不大于向量组量组线性表示，则向能由向量组设向量组ABAB. 等价的向量组的秩相等等价的向量组的秩相等推论推论1 1).()(),()( BRCRARCRBACnssmnm ，则则设设推论推论2 2. 3的的

26、一一个个最最大大无无关关组组是是向向量量组组则则向向量量组组线线性性表表示示，能能由由向向量量组组线线性性无无关关，且且向向量量组组组组的的部部分分组组，若若向向量量是是向向量量组组设设向向量量组组推推论论ABBABAB .01nARxAnnm 矩矩阵阵的的秩秩的的充充分分必必要要条条件件是是系系数数有有非非零零解解元元齐齐次次线线性性方方程程组组定定理理 .,2的的秩秩阵阵的的秩秩等等于于增增广广矩矩矩矩阵阵的的充充分分必必要要条条件件是是系系数数有有解解元元非非齐齐次次线线性性方方程程组组定定理理bABAbxAnnm 的基础解系。称为齐次线性方程组则0 ,21Axt.,0)2(21线性表示

27、的任一解都可由tAx基础解系的定义基础解系的定义; 0,) 1 (21的解的一组线性无关是Axt的的通通解解可可表表示示为为那那么么的的一一组组基基础础解解系系为为齐齐次次线线性性方方程程组组如如果果0 AxAxt,0,21 ttkkkx 2211.,21是任意常数其中tkkk满足：若向量组t,21.,)(,0 rnSrARSxAnnmnm的维数为解空间时当系数矩阵的秩是一个向量空间集合的全体解所构成的元齐次线性方程组);0,(,)( 维维向向量量空空间间为为向向量量此此时时解解空空间间只只含含一一个个零零系系故故没没有有基基础础解解方方程程组组只只有有零零解解时时当当nAR .,)(1111

28、221121RkkkkxSkkkkkxrnnrARrnrnrnrnrnrnrn 解解空空间间可可表表示示为为为为任任意意实实数数其其中中方方程程组组的的解解可可表表示示为为此此时时基基础础解解系系个个向向量量的的方方程程组组必必有有含含时时当当.11 rnrnkkx其中其中 为对应齐次线性方程为对应齐次线性方程组的通解，组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特为非齐次线性方程组的任意一个特解解.rnrnkk 11 非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组非齐次线性方程组Ax=b的通解为的通解为齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩

29、阵，便可写出其通解；便可写出其通解；非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；简形矩阵，便可写出其通解；3. 线性方程组的解法线性方程组的解法例例9 9 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组.034022202432143214321 xxxxxxxxxxxx解解 341122121221A 463046301221施行初等行变换：施行初等行变换：对系数矩阵对系数矩阵 A13122rrrr 0000342101221)3(223 rrr212rr 00003421035201即得与原方程组同解的方程组即得与原方程组同解的方程组 , 0342, 0352432431xxxxxx ,342,3522413212211cxcxccxccx).,(43可任意取值可任意取值xx由此即得由此即得 ,342,352432431xxxxxx形式形式，把它写成通常的参数，把它写成通常的参数令令2413,cxcx .103435012