确定二次函数的解析式

1、 山东东营市胜利六中：石爱英课前复习课前复习二次函数解析式有哪几种表达式？二次函数解析式有哪几种表达式？ 一般式：一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：顶点式：y=a(x-h)2+k 两根式：两根式：y=a(x-x1)(x-x2)例题例题封面封面例题选讲一般式：一般式： y=ax2+bx+c两根式：两根式：y=a(x-x1)(x-x2)顶点式：顶点式：y=a(x-h)2+k解：解： 设所求的二次函数为设所求的二次函数为y=ax2+bx+c由条件得：由条件得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解方程得：解方程得：因此：所求二次函数是：因此：所求二次函数是：a=2, b=-3, c=

2、5y=2x2-3x+5 已知一个二次函数的图象过点（已知一个二次函数的图象过点（1,10）、）、（1,4）、（）、（2,7）三点，求这个函数的解析式？）三点，求这个函数的解析式？oxy例例 1例题例题封面封面例题选讲解：解：设所求的二次函数为设所求的二次函数为y=a(x1)2-3由条件得：由条件得： 已知抛物线的顶点为（已知抛物线的顶点为（1，3），与轴交点为），与轴交点为（0，5）求抛物线的解析式？）求抛物线的解析式？yox点点( 0,-5 )在抛物线上在抛物线上a-3=-5, 得得a=-2故所求的抛物线解析式为故所求的抛物线解析式为 y=2(x1)2-3即：即：y=2x2-4x5一般式：一

3、般式： y=ax2+bx+c两根式：两根式：y=a(x-x1)(x-x2)顶点式：顶点式：y=a(x-h)2+k例例 2例题例题封面封面例题选讲解：解： 设所求的二次函数为设所求的二次函数为y=a(x1)(x1）由条件得：由条件得：已知抛物线与已知抛物线与X轴交于轴交于A（1，0），），B（1,0）并经过点并经过点M（0,1），求抛物线的解析式？），求抛物线的解析式？yox点点M( 0,1 )在抛物线上在抛物线上所以所以：a(0+1)(0-1)=1得：得： a=-1故所求的抛物线解析式为故所求的抛物线解析式为 y=- (x1)(x-1)即：即：y=x2+1一般式：一般式： y=ax2+bx+c

4、两根式：两根式：y=a(x-x1)(x-x2)顶点式：顶点式：y=a(x-h)2+k例题例题例例 3封面封面例题选讲有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为为16m16m，跨度为，跨度为40m40m现把它的图形放在坐标系里现把它的图形放在坐标系里( (如图所示如图所示) )，求抛物线的解析式，求抛物线的解析式 例例 4设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为y=ax2bxc，解：解：根据题意可知根据题意可知抛物线经过抛物线经过(0，0)，(20，16)和和(40，0)三点三点 可得方程组可得方程组 通过利用给定的条件通过利用给定的条件列出列出a、b

5、、c的三元的三元一次方程组，求出一次方程组，求出a、b、c的值，从而确定的值，从而确定函数的解析式函数的解析式过程较繁杂，过程较繁杂， 评价评价封面封面练习练习例题选讲有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为为16m16m，跨度为，跨度为40m40m现把它的图形放在坐标系里现把它的图形放在坐标系里( (如图所示如图所示) )，求抛物线的解析式，求抛物线的解析式 例例 4设抛物线为设抛物线为y=a(x-20)216 解：解：根据题意可知根据题意可知 点点(0，0)在抛物线上，在抛物线上， 通过利用条件中的顶通过利用条件中的顶点和过原点选用顶点点和

6、过原点选用顶点式求解，方法比较灵式求解，方法比较灵活活 评价评价 所求抛物线解析式为所求抛物线解析式为 封面封面练习练习例题选讲有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为为16m16m，跨度为，跨度为40m40m现把它的图形放在坐标系里现把它的图形放在坐标系里( (如图所示如图所示) )，求抛物线的解析式，求抛物线的解析式 例例4设抛物线为设抛物线为y=ax(x-40 ）解：解：根据题意可知根据题意可知 点点(20，16)在抛物线上，在抛物线上， 选用两根式求解，选用两根式求解，方法灵活巧妙，过方法灵活巧妙，过程也较简捷程也较简捷 评价评价封面封

7、面练习练习例例5、已知二次函数、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大的最大值是值是2，图象顶点在直线，图象顶点在直线y=x+1上，并上，并且图象经过点（且图象经过点（3，-6）。求）。求a、b、c。解：解：二次函数的最大值是二次函数的最大值是2抛物线的顶点纵坐标为抛物线的顶点纵坐标为2又又抛物线的顶点在直线抛物线的顶点在直线y=x+1上上当当y=2时，时，x=1 顶点坐标为（顶点坐标为（ 1 ， 2）设二次函数的解析式为设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2又又图象经过点（图象经过点（3，-6）-6=a (3-1)2+2 a=-2二次函数的解析式为二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+

8、2即：即： y=-2x2+4x例例6.6.已知抛物线已知抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与抛物线与抛物线y=-xy=-x2 2-3x+7-3x+7的形状相同的形状相同, ,顶点在直线顶点在直线x=1x=1上上, ,且顶点到且顶点到x x轴的距离为轴的距离为5,5,请写出满足请写出满足此条件的抛物线的解析式此条件的抛物线的解析式. .解解: :抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与抛物线与抛物线y=-xy=-x2 2-3x+7-3x+7的形状相同的形状相同 a=1a=1或或-1-1 又又 顶点在直线顶点在直线x=1x=1上上, ,且顶点到且顶点到x x轴的距离为

9、轴的距离为5,5, 顶点为顶点为(1,5)(1,5)或或(1,-5)(1,-5) 所以其解析式为所以其解析式为: : (1) y=(x-1) (1) y=(x-1)2 2+5 (2) y=(x-1)+5 (2) y=(x-1)2 2-5-5 (3) y=-(x-1) (3) y=-(x-1)2 2+5 (4) y=-(x-1)+5 (4) y=-(x-1)2 2-5-5 展开成一般式即可展开成一般式即可. .练习一已知抛物线的顶点为已知抛物线的顶点为A(-1，-4)，又知它与，又知它与x 轴轴的两个交点的两个交点B、C间的距离间的距离为为4，求其解析式。，求其解析式。yxo-321 1 2AB

10、C5-3-4 解解:以AB的垂直平分线为y轴，以过顶点O的y轴的垂线为x轴，建立如图所示直角坐标系这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以设它的函数关系式是y=ax2(a0)由题意，得点B的坐标为（0.8，-2.4），又因为点B在抛物线上，所以28 . 04 . 2a解得:415a因此，函数关系式是 2415xy实际应用实际应用1某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽AB为1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？xyOAB实际应用实际应用2已知二次函数的图象经过点A(0,-1)、B(1,0)、C(-1

11、,2)；求它的关系式分析分析:根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为yax2bxc的形式实际应用实际应用2已知二次函数的图象经过点A(0,-1)、B(1,0)、C(-1,2)；求它的关系式ab1ab3解解:设二次函数关系式yax2bxc ，由已知，这个函数的图象过（0，-1），可以得到c= -1又由于其图象过点（1，0）、（-1，2）两点，可以得到解这个方程组，得 a=2，b= -1所以，所求二次函数的关系式是y2x2x1实际应用实际应用3已知抛物线的顶点为(1，-3)，且与y轴交于点(0，1)，求这个二次函数的解析式分析:根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为ya(x1)23

12、，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值； 实际应用实际应用4已知抛物线的顶点为(3，-2)，且与x轴两交点间的距离为4，求它的解析式分析:根据已知抛物线的顶点坐标(3，-2)，可设函数关系式为ya(x3)22，同时可知抛物线的对称轴为x=3，再由与x轴两交点间的距离为4，可得抛物线与x轴的两个交点为（1，0）和（5，0），任选一个代入 ya(x3)22，即可求出a的值 课堂小结课堂小结求二次函数解析式的一般方法：求二次函数解析式的一般方法：已知图象上三点或三对的对应值，已知图象上三点或三对的对应值， 通常选择一般式通常选择一般式y = ax2 + bx + c已知图象的顶点坐标已知图象的顶点坐

13、标(对称轴和最值对称轴和最值) 通常选择顶点式通常选择顶点式ya(xh)2k已知图象与已知图象与x轴的两个交点的横坐标轴的两个交点的横坐标x1、x2， 通常选择交点式通常选择交点式ya(x-x1)(x-x2)yxo确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式，恰当地选用一种函数表达式， 课堂练习一个二次函数，当自变量一个二次函数，当自变量x= -3时，函数值时，函数值y=2当自变量当自变量x= -1时，函数值时，函数值y= -1，当自变量，当自变量x=1时时，函数值，函数值y= 3，求这个二次函数的解析式？，求这个二次函数的解析式？已知抛物线与已知抛物线与X轴的两个交点的横坐标是、，轴的两个交点的横坐标是、，与与Y轴交点的纵坐标是，求这个抛物线的解析式？轴交点的纵坐标是，求这个抛物线的解析式？32121、2、封面封面小结小结课堂小结课堂小结求二次函数解析式的一般方法：求二次函数解析式的一般方法：已知图象上三点或三