考研数学二模拟414

考研数学二模拟414一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.

下列反常积分收敛的是______．

A．

B．

C．

D．正确答案：B[解析]因为且α=1≥1，所以发散．

因为且α=1≤1，所以发散；

对任意的ε＞0，，由得发散．

选B．

2.

设f(x)连续，且，则下列结论正确的是______．A.f(1)是f(x)的极大值B.f(1)是f(x)的极小值C.(1，f(1))不是曲线y=f(x)的拐点D.f(1)不是f(x)的极值，但(1，f(1))是曲线y=f(x)的拐点正确答案：B[解析]因为，所以由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜|x-1|＜δ时，有，即当x∈(1-δ，1)时，f'(x)＜0；当x∈(1，1+δ)时，f'(x)＞0．

根据极值的定义，f(1)为f(x)的极小值，选B.

3.

设f(x)在[a，+∞)内二阶可导，f(a)=A＞0，f'(a)＜0，f"(x)≤0(x＞a)，则f(x)在[a，+∞)内______．A.无根B.有两个根C.有无穷多个根D.有且仅有一个根正确答案：D[解析]，其中ξ介于a与x之间．

因为f(a)=A＞0，，所以f(x)在[a，+∞)上至少有一个根．

由单调不增，所以当x＞a时，在[a，+∞)为单调减函数，所以根是唯一的，选D.

4.

下列结论正确的是______．A.若f(x)可导且单调增加，则f'(x)＞0B.若f(x)，g(x)皆可导且f'(x)＞g'(x)，则f(x)＞g(x)C.若f(x)，g(x)皆可导且f(x)＞g(x)，则f'(x)＞g'(x)D.若f'(x)＞0，则f(x)单调增加正确答案：D[解析]f(x)=x3为单调增加的函数，f'(x)=3x2，因为f'(0)=0，所以f'(x)≥0，A不对；

令f(x)=x，g(x)=2(x＜1)，显然f'(x)＞g'(x)，但f(x)＜g(x)，B不对；

令f(x)=2，g(x)=x(x＜2)，显然f(x)＞g(x)，但f'(x)＜g'(x)，C不对；

由微分中值定理得f(x2)-f(x1)=f'(ξ)(x2-x1)，因为f'(x)＞0，所以x2-x1与f(x2)-f(x1)同号，即f(x)单调增加，选D.

5.

设t＞0，则当t→0时，是t的n阶无穷小量，则n为______．A.2B.4C.6D.8正确答案：C[解析]

因为

所以，即n=6，选C．

6.

设y1(x)，y2(x)是微分方程y"+py'+qy=0的解，则由y1(x)，y2(x)能构成方程通解的充分条件是______．A.y'1y2-y1y'2=0B.y'1y2-y1y'2≠0C.y'1y2+y1y'2=0D.y'1y2+y1y'2≠0正确答案：B[解析]y1(x)，y2(x)能构成微分方程y"+py'+qy=0通解的充分必要条件是不是常数，即，选B．

7.

设A为三阶矩阵，为非齐次线性方程组的解，则______A.当t≠2时，r(A)=1B.当t≠2时，r(A)=2C.当t=2时，r(A)=1D.当t=2时，r(A)=2．正确答案：A[解析]方法一：

当t≠2时，为AX=0的两个线性无关的解，

从而3-r(A)≥2，r(A)≤1，又由A≠0得r(A)≥1，即r(A)=1，选A．

方法二：

令，由已知条件得，r(AB)=1，

当t≠2时，B为可逆矩阵，从而r(AB)=r(A)=1，选A．

8.

设n阶矩阵A=(α1，α2，…，αn)，B=(β1，β2，…，βn)，AB=(γ1，γ2，γn)，

令向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αn；(Ⅱ)：β1，β2，…，βn；(Ⅲ)：γ1，γ2，…，γn，若向量(Ⅲ)线性相关，则______．A.向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)都线性相关B.向量组(Ⅰ)线性相关C.向量组(Ⅱ)线性相关D.向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)至少有一个线性相关正确答案：D[解析]当向量组(Ⅰ)线性相关时，r(A)＜n，由r(AB)≤r(A)得r(AB)＜n，即向量组(Ⅲ)线性相关；

同理，当向量组(Ⅱ)线性相关时，r(B)＜n，由r(AB)≤r(B)得r(AB)＜n，即向量组(Ⅲ)线性相关，选D．

二、填空题1.

设D：(x2+y2)2≤4(x2-y2)，则正确答案：[解析]由对称性得

令则

于是

2.

设t＞0，Dt={(x，y)|0≤x≤y，t≤y≤1}，则正确答案：[解析]由得

3.

正确答案：[解析]

4.

设z=f(x，y)连续，且，则dz|(1，2)=______．正确答案：2dx-dy[解析]令，由f(x，y)连续得f(1，2)=3，

由得f(x，y)-2x+y-f(1，2)=o(ρ)，

即Δz=f(x，y)-f(1，2)=2(x-1)-(y-2)+o(p)，

故dz|(1，2)=2dx-dy.

5.

正确答案：[解析]令

于是

故

6.

设A为三阶实对称矩阵，为方程组AX=0的解，为方程组(2E-A)X=0的一个解，|E+A|=0，则A=______．正确答案：[解析]显然为A的特征向量，其对应的特征值分别为λ1=0，λ2=2，因为A为实对称阵，所以，解得k=1，

于是

又因为|E+A|=0，所以λ3=-1为A的特征值，令λ3=-1对应的特征向量为，

由即得

令，由

三、解答题共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1.

计算极限正确答案：[解]当x→0时，，则

2.

设u=f(x+y，x-y，z)由确定z为x，y的函数，又f连续可偏导，p可导，且p(y+z)-p(x+z)-1≠0，求．正确答案：[解]将u=f(x+y，x-y，z)及两边对x求偏导得

解得

故

3.

设f(x)在[0，2]上二阶可导，且f"(x)＜0，f'(0)=1，f'(2)=-1，f(0)=f(2)=1．证明：

正确答案：[解]首先f"(x)＜0，所以f(x)在(0，2)内不可能取到最小值，从而f(0)=f(2)=1为最小值，故f(x)≥1(x∈[0，2])，从而．

又

因为f"(x)＜0，所以有

所以

设抛物线y=x2与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为S，其中一条切线与抛物线相切于点A(a，a2)(a＞0)．4.

求S=S(a)的表达式；正确答案：[解]设另一个切点为，则抛物线y=x2的两条切线分别为

因为L1⊥L2，所以，两条切线L1，L2的交点为y1=ax0，L1，L2及抛物线y=x2所围成的面积为

5.

当a取何值时，面积S(a)最小?正确答案：[解]

因为当时，S'(a)＜0，

当时，S'(a)＞0，

所以当时，面积S(a)取最小值．

6.

计算，其中D={(x，y)|x2+y2≤1，x≥0，y≥0}．正确答案：[解]

7.

设曲线y=y(x)位于第一卦限且在原点处的切线与x轴相切，P(x，y)为曲线上任一点，该点与原点之间的弧长为l1，点P处的切线与y轴交于点A，点A，P之间的距离为l2，又满足x(3l1+2)=2(x+1)l2，求曲线y=y(x)．正确答案：[解]由已知条件得y(0)=0，y'(0)=0，

P(x，y)处的切线为Y-y=y'(X-x)，

令X=0，则Y=y-xy'，A的坐标为(0，y-xy')，

由x(3l1+2)=2(x+1)l2得

两边对x求导整理得1+y'2=2(x+1)y'y"，

令y'=p，，代入得

变量分离得

积分得ln(1+p2)=ln(x+1)+lnC1，即1+p2=C1(x+1)，

由初始条件得C1=1，即，从而，

再由y(0)=0得C2=0，故所求的曲线为．

设曲线y=y(x)(x＞0)是微分方程2y"+y'-y=(4-6x)e-x的一个特解，此曲线经过原点且在原点处的切线平行于x轴．8.

求曲线y=y(x)的表达式；正确答案：[解]微分方程的特征方程为

2λ2+λ-1=0，

特征值为λ1=-1，，则微分方程2y"+y'-y=0的通解为

令非齐次线性微分方程2y"+y'-y=(4-6x)e-x的特解为y0(x)=x(ax+b)e-x，代入原方程得a=1，b=0，故原方程的特解为y0(x)=x2e-x，原方程的通解为

由初始条件y(0)=y'(0)=0得C1=C2=0，故y=x2e-x．

9.

求曲线y=y(x)到x轴的最大距离；正确答案：[解]曲线y=x2e-x到x轴的距离为d=x2e-x，

令d'=2xe-x-x2e-x=x(2-x)e-x=0，得x=2．

当x∈(0，2)时，d'＞0；

当x＞2时，d'＜0，

则x=2为d=x2e-x的最大值点，最大距离为

10.

计算积分正确答案：[解]

设非齐次线性方程组

有三个线性无关解α1，α2，α3．11.

证明系数矩阵的秩r(A)=2；正确答案：[解]令r(A)=r，因为系数矩阵至少有两行不成比例，所以r(A)≥2．α1-α2，α1-α3为对应的齐次线性方程组的两个解．

令k1(α1-α2)+k2(α1-α3)=0，即(k1+k2)α1-k1α2-k2α3=0．

因为α1，α2，α3线性无关，所以k1=k2=0，即α1-α2，α1-α3线性无关，于是对应的齐次线性方程组的基础解系至少含两个线性无关解向量，即4-r≥2或r≤2，故r(A)=2．

12.

求常数a，b的值及通解．正确答案：[解]

因为，所以

解得a=2，b=-3，于是

通解为

13.

设，其中AT=A．又