1.2多元函数的概念ppt课件

1、Ch7.2 多元函数的概念一一. .二元函数定义与几何意义二元函数定义与几何意义1.1.定义定义，平平面面上上的的一一个个平平面面点点集集为为设设xoyD,),(Dyx 若若,f按按照照某某个个对对应应法法则则应应，总总有有唯唯一一的的数数值值与与之之对对变变量量z的的二二元元函函数数，和和为为变变量量则则称称yxz记为记为Dyxyxfz),(),(为定义域。为定义域。为应变量，为应变量，为自变量，为自变量，其中其中Dzyx,类似地可推广到类似地可推广到n n元函数元函数),(21nxxxfz两点解释：两点解释：fD和和对对应应法法则则定定义义有有两两要要素素：定定义义域域)1(几几何何意意义

2、义：)2(表表示示一一张张曲曲面面。点点集集),)(,(| ),(Dyxyxfzzyx 第七章 2.2.定义域：定义域：使得二元函数有意义的自变量的集合使得二元函数有意义的自变量的集合11)4(4)1ln()3()1ln()5(1)2(53)1()(. 12222222 xyxyzyxyxzxzyxzyxz：略略图图并并在在平平面面上上作作定定义义域域的的求求下下列列函函数数的的定定义义域域，例例,| ),()1(2RyRxyxRD 1| ),()2(22yxyxD401)3(2222yxyx41| ),(22yxyxD01101)4(xyxy01| ),(xyxyyxD解:01| ),()5

3、(2xyxD11| ),(xyxD3.K3.K次齐次函数：次齐次函数：),(),(2121nknxxxfttxtxtxf若若),(21nxxxfy设有函数设有函数次齐次函数。次齐次函数。为为则称则称kf32352yyxxz例如：例如：次齐次函数。次齐次函数。为为3xyyyxxz252323不为齐次函数。不为齐次函数。经经济济函函数数多多为为齐齐次次函函数数 LAKYDouglas生生产产函函数数如如),(为正常数为正常数劳力投入劳力投入资本投入，资本投入，为产量，为产量， ALKY次齐次函数。次齐次函数。为为 称为规模报酬不变。称为规模报酬不变。时时,1 。递递减减称称为为规规模模报报酬酬递递

4、增增时时)(,)1(1 二二. .二元函数极限二元函数极限的的领领域域内内有有定定义义，在在定定义义：设设函函数数DyxPPfz ),()(000时的极限，时的极限，当当函数函数0)(PPPf记为记为Ayxfyyxx),(lim00Ayxfyxyx ),(lim),(),(00或或注：注：Ayxfyyxx ),(lim)1(00,二二元元极极限限一一般般不不可可记记为为 )(0，无无限限趋趋于于数数时时，且且无无限限趋趋于于当当APfPDP 。收收敛敛于于时时也也称称APfPP)(0是是则则称称A)()()(lim 0PP0PPAPfAPf 或或在在直直角角坐坐标标系系下下有有.,)3(仅仅可

5、可用用初初等等方方法法用用求求极极限限无无罗罗必必塔塔法法则则可可的的方方式式是是任任意意的的。趋趋于于）（02PPyxxayxyxyxxxxyxyyxy 21lim)3( ,11lim)2( ,)sin(lim)1(:. 2)0,0(),()0,1(),(求求下下列列极极限限例例)1(xyxyxyxyyxyx)sin(lim)sin(lim)0,1(),()0,1(),( 型型001)2(型型00)11)(11()11(lim11lim)0,0(),()0,0(),(xyxyxyxyxyxyyxyxxyxyxyyx)11(lim)0,0(),(2解:)3(型型1yxxayxxx 21lim)

6、3(yxxxayxyxxayxxxx 11lim1lim2e的极限的极限求求例例222)0,0(),(lim. 3yxxyyx型型00 xyxyyx 222)0,0(),(lim原式原式, 1222 yxy,为无穷小量为无穷小量x. 0限限为为之之积积为为无无穷穷小小量量可可知知极极由由无无穷穷小小量量与与有有界界变变量量解:.,)4(0的的路路径径有有无无穷穷多多条条在在平平面面上上PP ),(0的的方方式式不不同同若若存存在在两两条条相相异异的的路路径径PP .在在则此二元极限一定不存则此二元极限一定不存.lim. 4242)0,0(),(的极限的极限讨论讨论例例yxyxyx)0 , 0(

7、)1(轴轴沿沿x, 0始终为始终为此时此时y. 0故极限为故极限为)0 , 0()2(2 xy沿沿抛抛物物线线4422)0,0(),(2limxxxxxx 原式原式21,使得极限不相同使得极限不相同两不同路径两不同路径 极限不同极限不同.故故极极限限不不存存在在242)0,0()0,(00lim xxx原式原式解:设设 P(x , y) 沿直线沿直线 y = k x 趋于点趋于点 (0, 0) ,22),(yxyxyxf 在点在点 (0, 0) 的极限的极限.则有则有21kkk 值不同极限不同值不同极限不同 !在在 (0,0) 点极限不存在点极限不存在 .例例5. 讨论函数讨论函数),(yxf

8、故故222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx例：例：),(lim0,0yxfyx),(lim0,0yxfxy0 ,0但由例但由例2 知它在知它在(0,0)点二重极限不存在点二重极限不存在 .,),(22yxyxyxf.lim,lim,lim)5(000000,不同不同与二重极限与二重极限表示累次极限表示累次极限记号记号yyxxxxyyyyxx.,极限存在极限存在不可推出沿任意的路径不可推出沿任意的路径这两个极限存在这两个极限存在解:,),(:0的某领域内有定义的某领域内有定义在在设设定义定义Pyxfz 三三. .二元函数连续性二元函数连续性定义定义+ +结论结论),()(lim

9、00PfPfPP若若.)(0处处连连续续在在点点则则称称PPf.否则为间断否则为间断此时，此时，0P称为间断点称为间断点 .0P为连续点为连续点 .如果函数在如果函数在 D 上各点处都连续上各点处都连续, 则称此函数在则称此函数在 D 上上连续连续.1)结论结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续一切多元初等函数在定义区域内连续.2) 闭域上的多元连续函数的性质闭域上的多元连续函数的性质:有界定理有界定理 ;最值定理最值定理 ; 介值定理介值定理函数函数上间断上间断.122 yx在圆周在圆周00)2(11)1(:. 6222222222yxxyxyxxyzyxz集集确定下列函数的间断点确定下列函数的间断点例例)1(11),(22yxyxf1| ),(22 yxyx间间断断点点集集为为.)0 , 0()2(处处的的连连续续性性只只需需考考察察分分点点),0 , 0(轴轴沿沿x, 0始终为始终为此时此时y. 0