第十一章 扭转

1、第十一章第十一章 扭扭 转转郑州大学化工学院郑州大学化工学院过程装备与控制工程系过程装备与控制工程系 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 圆轴扭转应力圆轴扭转应力 圆周扭转变形圆周扭转变形 极惯性矩与抗扭截面系数极惯性矩与抗扭截面系数 扭转强度和刚度条件扭转强度和刚度条件轴：轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。传动轴、石油钻机中的钻杆等。扭转：扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，杆发生的变形为扭转变形。杆的轴线垂直，杆发生的变形为扭转变

2、形。ABOmmOBA扭转角（扭转角（ ）：）：任意两横截面绕轴线转动而发生的任意两横截面绕轴线转动而发生的角位移。角位移。剪应变（剪应变（ ）：）：直角的改变量。直角的改变量。外力偶矩的计算外力偶矩的计算 传动轴的外力偶矩通常并不直接给定，需要根传动轴的外力偶矩通常并不直接给定，需要根据给定的传递功率和转速加以换算。据给定的传递功率和转速加以换算。 传递轴的外力偶矩与传递功率、转速的关系传递轴的外力偶矩与传递功率、转速的关系：m)(kN55. 9nPM其中：其中： M 外力偶矩，外力偶矩，kN.m P 功率，功率，kW n 转速，转速，r/min扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图3 扭矩的符号规定：扭矩

3、的符号规定： “T”的转向与截面的转向与截面外法线外法线方向满足右手螺旋规则为正，方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。反之为负。 1 扭矩：扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2 截面法求扭矩截面法求扭矩MMMTMTMTMx00 x4 扭矩扭矩图图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。扭矩变化规律；扭矩变化规律；|T|max值及其截面位置值及其截面位置 强度计算（危险截面）。强度计算（危险截面）。xT例例11-1已知：一传动轴，已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入主动轮输入

4、P1=500kW，从动轮输出从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩试绘制扭矩图。图。nA B C DM2 M3 M1 M4解解：计算外力偶矩计算外力偶矩m)15.9(kN 3005009.5555. 911nPMm)(kN 78. 43001509.5555. 9232nPMMm)(kN 37. 63002009.5555. 944nPMnA B C DM2 M3 M1 M4112233求扭矩（扭矩按正方向设）求扭矩（扭矩按正方向设）m)kN(78. 4 0 , 02121MTMTMCm)kN(56. 9)78. 478. 4( , 0 322322MMT

5、MMTm)kN(37. 6 , 0 4343MTMTxT4.789.566.37绘制扭矩图绘制扭矩图圆轴扭转应力圆轴扭转应力等直圆轴横截面应力等直圆轴横截面应力变形几何方面变形几何方面物理关系方面物理关系方面静力学方面静力学方面 1. 横截面变形后仍为平面，横截面变形后仍为平面， 大小、形状、间距不变大小、形状、间距不变 （平面假设）；（平面假设）； 2. 轴向无伸缩；轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行。纵向线变形后仍为平行。一、等直圆轴扭转实验观察：一、等直圆轴扭转实验观察：二、等直圆轴扭转时横截面上的应力：二、等直圆轴扭转时横截面上的应力：1. 变形几何关系：变形几何关系：xxGGd

6、ddtg1xdd距圆心为距圆心为 任一点处的任一点处的 与到圆心的距离与到圆心的距离 成正比。成正比。xdd 扭转角沿长度方向变化率。扭转角沿长度方向变化率。2. 物理关系：物理关系：剪切胡克定律：剪切胡克定律：代入上式得：代入上式得： GxGxGGddddxGdd G 剪切模量，反映材料抗剪切模量，反映材料抗剪切变形的能力，剪切变形的能力，MPa。剪应力互等定理：剪应力互等定理： 0故dxdytdxdytMz上式称为上式称为剪应力互等定理剪应力互等定理。 该定理表明该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面

7、的交力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。线，其方向则共同指向或共同背离该交线。acddxb dy tz3. 静力学关系：静力学关系：OdAAxGAxGATAAAddd ddd d22AIApd2令xGI Tpdd pGITx dd 代入物理关系式代入物理关系式 得：得：xGdd pITpIT横截面上距圆心为横截面上距圆心为 处任一点剪应力计算公式。处任一点剪应力计算公式。 式中：式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。该点到圆心的距离。 Ip极惯性矩极惯性矩，m4，纯几何

8、量，只与横截面尺寸有关。，纯几何量，只与横截面尺寸有关。该公式仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的该公式仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。等圆截面直杆。确定最大剪应力确定最大剪应力：pIT由知：当max , R) ( maxRIWWTRITIRTptpp令tWTmaxWt 抗扭截面系数抗扭截面系数，几何量，几何量，m3，只与，只与横截面尺寸有关。横截面尺寸有关。圆轴扭转变形圆轴扭转变形由公式由公式pGITx dd 知：长为知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角一段杆两截面间相对扭转角 为值不变）若 ( d d0TGITlxGITplpxGI Tpdd 单位扭转角单位扭

9、转角 ：(rad/m) dd pGITx /m)( 180 dd pGITx 或或GIp反映了轴抵抗扭转变形的能力，称为反映了轴抵抗扭转变形的能力，称为轴的抗扭刚度轴的抗扭刚度。极惯性矩与抗扭截面系数极惯性矩与抗扭截面系数32 d2 d42022DAIDApDdO3162DDIW对于实心圆截面：对于实心圆截面：对于空心圆截面：对于空心圆截面：)1 (32 )(32 d2 d44442222DdDAIDdAp)(DddDOd)1 (16243DDIW扭转强度和刚度条件扭转强度和刚度条件强度条件强度条件对于等截面圆轴：对于等截面圆轴：maxmaxtWT( 称为许用剪应力。)强度计算的三个方面：强度

10、计算的三个方面： 校核强度： 设计截面尺寸： 计算许可载荷：maxmaxtWTmaxTWtmaxtWT）（空：实：433116 16 DDWt例例11-2 功率为功率为150kW，转速为转速为15.4转转/秒的电动机转子轴如图，秒的电动机转子轴如图，许用剪应力许用剪应力 =30M Pa, 试校核其强度。试校核其强度。nNmTBC2103m)(kN551m)(N4151432101503.Tm解解：求扭矩及扭矩图求扭矩及扭矩图计算并校核剪应力强度计算并校核剪应力强度此轴满足强度要求。此轴满足强度要求。D3 =135D2=75 D1=70ABCmmxMPa23160701055133max.WTt

11、刚度条件刚度条件 (rad/m) maxpGIT /m)( 180 maxpGIT 或 称为许用单位扭转角。刚度计算的三个方面：刚度计算的三个方面： 校核刚度： 设计截面尺寸： 计算许可载荷： max max GT Ip max pGIT 例例11-3 长为长为 L=2m 的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如的作用，如图，若杆的内外径之比为图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，G=80GPa ，许用剪应力许用剪应力 =30MPa，试设计杆的外径；若试设计杆的外径；若 =2/m ，试校核此杆的刚试校核此杆的刚度，并求右端面转角。度，并求右端面转角。解解：设计杆的外径设计杆的外径maxTWt 116D 43）（tW314max 116）（TDmaxtWT314