高中数学 第二章《平面向量》教学课件 新人教A版必修4

1、平平 面面 向向 量量 复复 习习平平 面面 向向 量量 复复 习习平平 面面 向向 量量 表示表示 运算运算 实数与向量的积实数与向量的积 向量加法与减法向量加法与减法 向量的数量积向量的数量积 平行四边形法则平行四边形法则向量平行的充要条件向量平行的充要条件平面向量的平面向量的基本定理基本定理三三 角角 形形 法法 则则向量的三种表示向量的三种表示向量定义：向量定义：既有既有大小大小又有又有方向方向的量叫向量。的量叫向量。重要概念：重要概念：（1）零向量：）零向量：长度为长度为0的向量，记作的向量，记作0.（2）单位向量：）单位向量：长度为长度为1个单位长度的向量个单位长度的向量.（3）平

2、行向量：）平行向量： 也叫共线向量，方向相同也叫共线向量，方向相同或相反的非零向量或相反的非零向量.（4）相等向量：）相等向量： 长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量.（5）相反向量：）相反向量：长度相等且方向相反的向量长度相等且方向相反的向量.几何表示 : 有向线段有向线段向量的表示字母表示 : aAB 、等坐标表示 : (x，y)若若 A(x1,y1), B(x2,y2)则则 AB = (x2 x1 , y2 y1)平平 面面 向向 量量 复复 习习a向量的模（长度）向量的模（长度）1. 设设 = ( x , y ),则则2. 若表示向量若表示向量 (x1,y1)、B (x2,

3、y2) ，则，则 ABa22yx 221221yyxx已知向量已知向量三、向量的运算三、向量的运算（一）向量的加法（一）向量的加法ABC三角形法则：ABCD平行四边形法则：ab2、坐标运算、坐标运算：），（，），（设2211yxbyxa b ba a则），（2121yyxx1、作图、作图（二）向量的减法（二）向量的减法DBADAB2、坐标运算：），（，），（设2211yxbyxa b ba a则），（2121yyxx1、作图、作图平行四边形法则：abab+ab+ACBCABOAB3 3.加加法减法运算律法减法运算律a+b=b+a（a+b)+c=a+(b+c)1）交换律：）交换律：2）结合律：）

4、结合律：例例1 化简化简（1）（）（AB + MB）+ BO + OM （2） AB + DA + BD BCCA分析分析利用加利用加法减法运算法则，借助结论法减法运算法则，借助结论AB=AP+PB；AB=OBOA；AB+BC+CA=0进行变形进行变形.解：解：原式原式= AB +（BO + OM + MB）= AB + 0 = AB（1）（2）原式原式= AB + BD + DA （BC + CA）= 0BA = AB练习练习2 如图，正六边形如图，正六边形ABCDEF中，中，AB=a、BC=b、 AF=c，用，用a、b、c表示向量表示向量AD、BE、BF、FC. AFEDCB答案：答案：A

5、D=2 bBE=2 cBF= caFC=2 a思考：思考： a、b、c 有何关系？有何关系？b =a + c平平 面面 向向 量量 小小 复复 习习练习练习3 已知点已知点A（2，1）、）、B（1，3）、）、C（2，5）求）求 （1）AB、AC的坐标；（的坐标；（2）AB+AC的坐标；的坐标； （3） ABAC的坐标的坐标.（1） AB=（3，4），）， AC =（4， 4 ）（2）AB+AC=（ 7，0 ）（3） ABAC= （1，8）实数实数 与向量与向量 的积的积定义定义：坐标运算：坐标运算：其实质就是向量的伸长或缩短！其实质就是向量的伸长或缩短！若若 = (x , y), 则则(x ,

6、 y)= ( x , y)(3)=0(3)=0呢呢? ?非零向量平行（共线）的充要条件非零向量平行（共线）的充要条件aba=b （R且且b0）向量表示：向量表示：坐标表示：坐标表示：设设a = ( x1, y1 ) , b = ( x2, y2 )，则，则abx1y2x2y1=0平平 面面 向向 量量 复复 习习平面向量的基本定理平面向量的基本定理 设设 e1和和 e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任何一个向量平面内的任何一个向量 ，有且只有一对实数，有且只有一对实数1、2 使使 =1 e1 +2 e2 不共线的向量不共线的向量 e1和和

7、e2 叫做表示这一平面叫做表示这一平面 内所有内所有向量向量 的一组基底的一组基底1 e1 +1 e2 =2 e1 +2 e21= 2 1=2 向量相等的充要条件向量相等的充要条件 例例2 已知已知 分析分析 先求出向量先求出向量根据向量根据向量平行充要条件的坐标表示平行充要条件的坐标表示,解解: 思考思考: 此题还有没有其它解法此题还有没有其它解法?(k3,2k+2)(4(k3)10(2k+2)=0K=31 34,31031练习练习4 n为何值时为何值时, 向量向量思考思考: 何时何时 平平 面面 向向 量量 复复 习习例例3设设AB=2(a+5b)，BC= 2a + 8b，CD=3(a b

8、)，求证：求证：A、B、D 三点共线。三点共线。 要证要证A、B、D三点共线，可证三点共线，可证AB=BD关键是找到关键是找到解：解：BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5bAB=2 BD且且AB与与BD有公共点有公共点B A、B、D 三点共线三点共线AB BD平平 面面 向向 量量 小小 复复 习习练习练习5已知已知a=（1，0），），b=（1，1），），c =（10）求求和和，使，使 c =a +b.= 01、平面向量数量积的定义：、平面向量数量积的定义：bacos|ba 2、数量积的几何意义：、数量积的几何意义：.cos|的乘积方向上的投影在与的长度等于babaaOA

9、BB1(四四) 数量积数量积abba）（ 1）（）（）（bababa2cbcacba ）（34、运算律、运算律:2121yyxxba3、数量积的坐标运算、数量积的坐标运算四、向量垂直的判定四、向量垂直的判定01baba）（022121yyxxba）（五、向量平行的判定五、向量平行的判定(共线向量的判定共线向量的判定)）（）（0/1aabba），（），（，其中）（221112210/2yxbyxayxyxab向量表示向量表示坐标表示坐标表示向量表示向量表示坐标表示坐标表示11223|A xyB xyAB （）若（ ， ），（ ， ），则 |a22yx 221221）（）（yyxx），则，（）设（

10、yxa 2六、向量的长度六、向量的长度，）（2|1aaa2|aa 七、向量的夹角七、向量的夹角|cosbaba222221212121yxyxyyxx向量数量积的运算律向量数量积的运算律交换律成立：交换律成立：对实数的结合律成立：对实数的结合律成立：分配律成立：分配律成立：abba Rbababacbcacbabac特别注意：特别注意：（1 1）结合律不成立：）结合律不成立： ；（2 2）消去律不成立）消去律不成立 不能得到不能得到（3 3） =0=0不能得到不能得到 = = 或或 = =(4)(4)但是乘法公式成立：但是乘法公式成立： ； cbacbacaba cbbaa00b 2222ba

11、bababa2222bbaaba;222bbaa，则，、已知|10|8|6|2bababaDADCABDCDBAB）（）（线上填上适当的向量、根据图示，在下列横211ABDC练习练习同向还是反向？平行？平行时它们是与）（垂直？与）（为何值时，），当，（），（、已知babakbabakkba323123213.23,260,4212121的夹角与求若且夹角为为两个单位向量、设ba，eebeea，eeo解：解： 2 22 22 21 12 21 12 22 22 21 11 12 22 2a a= =2 2e e+ + e e= =2 2e e+ + e e= = 4 4 e e+ + 4 4 e

12、 e e e+ + e e 2 22 22 21 11 12 2= = 4 4 e e+ +e e+ + 4 4 e e e e c co o s s6 6 0 0 1 1= = 4 4 1 1 + + 4 4 1 1 1 1+ + 1 1 = = 7 72 2 7a同理可得同理可得 7b.23,260,4212121的夹角与求若且夹角为为两个单位向量、设ba，eebeea，eeo12122211222327622abeeeeee ee 217727cosbaba=1205.在在ABC中中 夹夹为为C CC CC CC Cm m = = ( (c co os s, ,s si in n) ),

13、 ,n n = = ( (c co os s, ,- - s si in n) )2 22 22 22 2且且 m m n n角角, ,3 3求求C；又又 21 1 1m m n n= =| |m m | | |n n| |c co os s = =c co os s = =3 33 32 2cosC= 3（1）解）解 c cc cc cc cm m = = ( (c co os s , ,s si i n n) ), ,n n = = ( (c co os s , ,- - s si i n n) )2 22 22 22 2 2 22 2c cc cm m n n = = c co os s

14、- - s si i n n= = c co os sC C2 22 2且且c为为ABC-内角内角 C= 夹为夹3 3例例3、3、已已知知 a = 2,b = 1,a与a = 2,b = 1,a与b的b的角角，求求向向量量2 a+ 3 b2 a+ 3 b与与3 a- b的3 a- b的角角的的余余弦弦值值; ;2831 3728 1147cos1147373237912432222babbaaba28376332;31323169322222bbaababababbaaba)4(),2.()4(),3.()3(),2.()2(),1.()(49)23()23)(4()()(3()2(0)()(

15、1 ( ,1.22DCBAbababacbacacbbababaccbacba其其中中正正确确的的有有垂垂直直不不与与有有下下列列命命题题且且它它们们相相互互不不共共线线，是是任任意意的的非非零零平平面面向向量量设设例例典例讲解D)3()2(60) 1 (3, 42.0babababa，求，求的夹角是的夹角是与与若若已知已知例例的夹角的夹角与与求求若若bababa,61)2()32()2(?2 呢呢ba?3 呢呢ba?)3()2(呢呢baba?)3(c (2) c (1),2,2,120, 3, 43.的的夹夹角角为为锐锐角角与与为为何何值值时时问问且且的的夹夹角角为为与与已已知知例例dcdd

16、kbkadbacbaba.0 :的的夹夹角角为为锐锐角角与与不不能能保保证证向向量量注注baba!同同向向的的情情况况与与还还要要考考虑虑向向量量ba例例4已知：如图所示，已知：如图所示，ABCD是菱形，是菱形，AC和和BD是它的是它的两条对角线。求证两条对角线。求证 ：ACBD分析：对于线段的垂直，可以联想到两个向量垂直的分析：对于线段的垂直，可以联想到两个向量垂直的充要条件，而对充要条件，而对 于这一条件的应用，可以考虑向量于这一条件的应用，可以考虑向量式式 的形式，也可以考虑坐标的形式，也可以考虑坐标 形式的充要条件。形式的充要条件。证法一：证法一： ， ， （ ）（ ） =0 ACAC

17、ACABABABABADADADADBDBDBD22|ADAB 证法二：以证法二：以OC所在直线为所在直线为x轴，以轴，以B为原点建立直角坐标为原点建立直角坐标 系，设系，设B(0，0)， A(a，b)，C（c，0） 则由则由ABBC得得a2+b2=c2 （c，0）（）（a，b)（ca，b），），（a，b）（）（c，0）（）（ca，b） c2 - a2 - b2 0 ，即，即 ACBD评述：如能熟练应用向量的坐标表示及运算，则将给解评述：如能熟练应用向量的坐标表示及运算，则将给解 题题 带来一定的方便通过向量的坐标表示，可以把几带来一定的方便通过向量的坐标表示，可以把几何问题的证明转化成代数式

18、的运算，体现了向量的数与何问题的证明转化成代数式的运算，体现了向量的数与形的桥梁作用，有助于提高学生对于形的桥梁作用，有助于提高学生对于“数形结合数形结合”解题思解题思想的认识和掌握想的认识和掌握.ACBCBA BDBCBA ACACBDBD例例5 若非零向量若非零向量a和和b满足满足abab,证明：证明：ab分析：此题在综合学习向量知识之后，解决途径较多，分析：此题在综合学习向量知识之后，解决途径较多， 可以考虑两可以考虑两 向量垂直向量垂直 的充要条件的应用，也可考虑面图的充要条件的应用，也可考虑面图形的几何性形的几何性 质，下面给出此题的三质，下面给出此题的三 种证法种证法:证法一：证法

19、一： (根据平面图形的几何性质根据平面图形的几何性质)设设 a， b，由已知可得由已知可得a与与b不平行，不平行，由由abab得以得以 为邻边的平为邻边的平行四边形行四边形OACB的对角的对角 线线 和和 相等相等平行四边形平行四边形OACB是矩形，是矩形， ，abOAOAOAOCBAOBOBOB证法二：证法二：abab (a+b)2=(a-b)2 a2+b2+2ab= a 2+b 2-2ab ab0，即，即ab证法三：设证法三：设a（，），（，），b（，），），ab ，ab ， ， 化简得：化简得：0，ab0，ab22()()m pn q 22()()m pn q22()()mpnq22()

20、()mpn q例例6 、已知向量、已知向量a是以点是以点A(3，1)为起点，且与向量为起点，且与向量b（3，4）垂直的单位向量，求）垂直的单位向量，求a的终点坐标。的终点坐标。分析：此题若要利用两向量垂直的充要条件，则需假设分析：此题若要利用两向量垂直的充要条件，则需假设a的终点坐标，然后表示的终点坐标，然后表示a的坐标，再根据两向量垂直的的坐标，再根据两向量垂直的充要条件建立方程充要条件建立方程解：设解：设a的终点坐标为（的终点坐标为（，）则则a（3，1）由题意）由题意由由得：得：（313）代入）代入得得1) 1() 3(0) 1( 4) 3( 322nmnm41 25m21502090 解

21、得解得 a的终点坐标是（的终点坐标是（评述：向量的坐标表示是终点坐标减去起始点的坐标，评述：向量的坐标表示是终点坐标减去起始点的坐标，所以向量的坐标与点的坐标既有联系又有区别，二者所以向量的坐标与点的坐标既有联系又有区别，二者不能混淆。不能混淆。上述例题，主要体现了两向量垂直的充要条件的应上述例题，主要体现了两向量垂直的充要条件的应用，在突出本章这一重点知识的同时，应引导学生注用，在突出本章这一重点知识的同时，应引导学生注意解题方法的灵活性，尤其是向量的坐标化思路在解意解题方法的灵活性，尤其是向量的坐标化思路在解题时的应用，将几何与代数知识沟通起来。题时的应用，将几何与代数知识沟通起来。.58

22、,511.52,5192211nmnm或)58,511()52,519或.,2321)( ) 2( ; ) 1 ( 2, 0,2sin,2cos,23sin,23cos 4.的的值值求求实实数数的的最最小小值值为为若若函函数数和和求求已已知知向向量量例例babaxfbabaxxxbxxa., 0,320),23(cos2 ,(cos),0 , 1 ( (2); ) 1 (. 1,43),1 , 1 ( .2的的取取值值范范围围求求若若其其中中向向量量设设向向量量求求向向量量且且的的夹夹角角为为与与向向量量向向量量已已知知向向量量变变式式bnanxxxbannmmnm 用两根等长的细绳挂一个物体

23、。绳子的最用两根等长的细绳挂一个物体。绳子的最大拉力为大拉力为T,物体重量为物体重量为G,分析绳子受到的拉力大分析绳子受到的拉力大小小F1与两绳子间的夹角与两绳子间的夹角的关系？的关系？问题问题:F1F2FG 建立数学模型建立数学模型:（1） 逐渐增大时，逐渐增大时， |F1|如何变化？如何变化？（2） 为何值时，为何值时， |F1|最小，最小值是多少？最小，最小值是多少？（3） |F1|能等于能等于|G|吗？为什么？吗？为什么？（4）如果绳子的最大承受力恰与重物）如果绳子的最大承受力恰与重物G的的重量相等重量相等 ，在什么范围内，绳子才不会断？在什么范围内，绳子才不会断？CBOAD探求探求|

24、F1|与夹角与夹角之间的关系之间的关系（5）如果绳子的最大承受力为）如果绳子的最大承受力为200N，G=200 N ， 在什么范围内，绳子才不会断？在什么范围内，绳子才不会断？ 3F1FG F2cos2 F1解：不妨设解：不妨设 = ，由向量的，由向量的 平平行四边形法则，力的平衡以及直角三角行四边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道：形的知识，可以知道： = 通过上面的式子，有：当通过上面的式子，有：当由由0到到180逐渐变大时，逐渐变大时， 由由0到到90逐渐变大，逐渐变大， 的值由大逐渐变小，因此的值由大逐渐变小，因此 ： 由小逐渐变大，即由小逐渐变大，即F1 ，F2之间之间

25、的夹角越大越费力，夹角越小越省的夹角越大越费力，夹角越小越省力！力！ F2 F1 Gcos22cos22 F1F2F1FG F2cos2探究：探究：（1）为何值时，为何值时， 最小，最小值是多少？最小，最小值是多少？ F1（2） 能等于能等于 吗？为什么？吗？为什么？ F1 G= F1 Gcos22答：在式中，当答：在式中，当 =0时，时， 最大，最大， 最小且等于最小且等于cos2 F1 G2答：在（答：在（*）中，当）中，当 = 即即=120时，时， = cos212 F1 GF2小结：小结： （1）、为了能用数学描述这个问题，我们）、为了能用数学描述这个问题，我们要先把这一物理问题转化成

26、数学问题。如上题要先把这一物理问题转化成数学问题。如上题目，只考虑绳子和物体的受力平衡，画出相关目，只考虑绳子和物体的受力平衡，画出相关图形！图形！（2）、由物理中的矢量问题化成数学中）、由物理中的矢量问题化成数学中的向量问题，用向量的有关法则解决问题！的向量问题，用向量的有关法则解决问题！（3）、用数学的结果解决物理问题，回答相）、用数学的结果解决物理问题，回答相关的物理现象。关的物理现象。情景1：两人一起提一个重物时,怎样提它最省力?夹角越小越省力两臂的夹角越小,手臂就越省力情景2:一个人在单杠上做引体向上时, 手臂怎样握杠才省力?求：求：1 1）FF1 1，FF2 2随角随角 的变化而变

27、化的情况；的变化而变化的情况；2 2）当）当FF1 1 2G 2G时，求时，求 的取值范围。的取值范围。练习：如图，在细绳练习：如图，在细绳O O处用水平力处用水平力F F2 2缓慢拉起所受重力为缓慢拉起所受重力为 G G物体，绳子与垂直方向的夹角为物体，绳子与垂直方向的夹角为绳子所受的拉力为绳子所受的拉力为F1 F1 ，GF2F1 O问题延伸：问题延伸：解解:1:1）如图，由力的平衡及向量加法的平行四边形）如图，由力的平衡及向量加法的平行四边形 法则知：法则知：G = FG = F1 1 + F + F2 2OF2F1 GtanFF2 2GG1cos 解直角三角形得解直角三角形得FF1 1G

28、，FF1 1，FF2 2皆逐渐增大；皆逐渐增大；1cos 0 ， 2 21cos2 0,3 2 2）令）令FF1 1GG2G2G，得得090 当当 由由趋趋向向于于时时，例例4：如图如图，一条河流的两岸平行，河的宽度，一条河流的两岸平行，河的宽度d = 500m，一，一艘船从艘船从A处出发到河对岸。已知船的速度处出发到河对岸。已知船的速度 =10km/h，水流，水流的速度的速度 = 2km/h。 问：问：（1）行驶航程最短时，所用的时间是多少？行驶航程最短时，所用的时间是多少？ （2）行驶时间最短时，所用的时间是多少？）行驶时间最短时，所用的时间是多少？ v1 v2分析：分析：（1）因为两平行

29、线之间的最短距离是它们的公垂线段。所）因为两平行线之间的最短距离是它们的公垂线段。所以只有当小船的实际运动方向（即合运动方向）是垂直于河岸的以只有当小船的实际运动方向（即合运动方向）是垂直于河岸的方向时，小船的航程最小。方向时，小船的航程最小。 （2）小船过河的问题有一个特点，就是小船在垂直于河）小船过河的问题有一个特点，就是小船在垂直于河岸的方向上的位移是不变的，我们只要使得在垂直于河岸方向上岸的方向上的位移是不变的，我们只要使得在垂直于河岸方向上的速度最大，小船过河所用的时间就最短，河水的速度是沿河岸的速度最大，小船过河所用的时间就最短，河水的速度是沿河岸方向的，这个分速度和垂直于河岸的方

30、向没有关系，所以使小船方向的，这个分速度和垂直于河岸的方向没有关系，所以使小船垂直于河岸方向行驶（小船自身的速度，方向指向河对岸），小垂直于河岸方向行驶（小船自身的速度，方向指向河对岸），小船过河所用时间才最短。船过河所用时间才最短。500mA把物理问题转化为数学模型为：把物理问题转化为数学模型为：解（解（1） = = 所以所以 t = = 60 答：行驶的航程最短时，所用的时间答：行驶的航程最短时，所用的时间是是3.1min。 v- v12 v2296d v0.5963.1（min） （2） t = = 60 = 3 （min）答：行驶的时间最短时，所用的时间是答：行驶的时间最短时，所用的时间是3mind v10.510（1）ABv1v2v（2）v2v1v （1）如图所示，用两条成）如图所示，用两条成120的等长的绳子悬挂一的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为个灯具，已知灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力是，则每根绳子的拉力是。12010N如图，今有一艘小船位于如图，今有一艘小船位于d = 60m宽的河边宽的河边P处，从这里起，在下游处，从这里起，在下游 =80m处河流有一处河流有一处瀑布，若河水的流速方向由上游指向下游处瀑布，若河水的流速方向由上游指向下游（与河岸平行），水速大小为（与河岸平行），水速大小为5m/s为了使小为了使小船能安全过河