1.2极限的概念.ppt课件

1、二二 、函数的极限、函数的极限一、数列的极限一、数列的极限 第二节极限的概念 第二章 一一 、数列的极限、数列的极限1. 数列极限的定义数列极限的定义(1) 数列：数列：简记作简记作),(nfxn .nxnx称为通项称为通项(一般项一般项) .数列也称为整标函数数列也称为整标函数.自变量取正整数的函数自变量取正整数的函数,例如例如,1,43,32,21 nn1 nnxn,)1(,43,34,21,21nnn nnxnn1)1( ,2,8,4,2nnnx2 ,)1( ,1,1,11 n1)1( nnx设有数列设有数列,nx如果当如果当n无限增大时无限增大时, xn无限趋近于某个确定的常数无限趋近

2、于某个确定的常数a ,的极限的极限, ,limaxnn 这时这时,也称数列也称数列 xn 收敛于收敛于a.否则否则, 称数列称数列 xn 发散发散.则称则称a为数列为数列 xn 记作记作).( naxn或或(2) 数列极限的定义数列极限的定义定义定义2.1例如例如,1,43,32,21 nn1 nnxn)(1 n,)1(,43,34,21,21nnn nnxnn1)1( )(1 n,2,8,4,2nnnx2 )( n,)1( ,1,1,11 n1)1( nnx趋势不定趋势不定收收 敛敛发发 散散“无限增大无限增大”，“无限接近意味着什么无限接近意味着什么?如何用数学语言定量地刻划它？如何用数学

3、语言定量地刻划它？a接近接近b的程度用绝对值：的程度用绝对值：ab 表示表示. 1)1(1,1无无限限接接近近于于无无限限增增大大时时当当nxnnn 问题问题:.1)1(1,1”无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时“当“当nxnnn “当当n变得任意大时，变得任意大时，1 nx变得任意小变得任意小”“要使要使1 nx任意小，只要任意小，只要n充分大充分大”“任意大与任意大与“任意小并非彼此无关任意小并非彼此无关.1(1)11nnxnn ，给给定定1001100 n只只要要，给定给定100011000 n只要只要，给定给定991019910 n只只要要，要使要使100111 nxn,1000

4、111 nxn要要使使,1011199 nxn要使要使由此可见：由此可见：“充分大由充分大由“任意小所确任意小所确定定.如何定量刻划如何定量刻划“任意小任意小”？用抽象记号用抽象记号 表示表示“任意小的正数任意小的正数.注意：注意：任何固定的很小的正数都不能表示任何固定的很小的正数都不能表示“任意小任意小”.如何刻划如何刻划 n “充分大充分大”？0, 只要只要要使要使成成立立11nxn 1n 不一定是正整数，注意到：不一定是正整数，注意到：1111 时时，而而当当 1n从而有从而有于是于是 nxn11, 0 1N使得当使得当Nn 时，有时，有 1nx 1 111 n“充分大充分大”定义定义2

5、.2若数列若数列nx及常数及常数 a 有下列关系有下列关系 :,0 ,N正整数正整数 当当 n N 时时, 总有总有记作记作此时也称数列收敛此时也称数列收敛 , 否则称数列发散否则称数列发散.axnn lim或或)( naxn则称该数列则称该数列 xn 的极限为的极限为 a ,axn :)(定义定义数列极限的数列极限的N 3 N 由由所确定，故记所确定，故记但不唯一但不唯一. 4不能与不能与n 有关有关.给给定定的的；时时又又看看成成是是任任意意的的，但但是是在在确确定定 N02 5 数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.注注的的无无限限接接近近；与与刻刻划划了了不

6、不等等式式axaxnn 1( ),NN ( ),NN 一般来说，一般来说， 越小，越小， N 越大越大;3. 几何解释几何解释axnn lim axn axan),( aaxn),( aU使使,0,0 N Nn 时，时， axn恒有恒有.,.,),(21Nxxxaa至至多多只只有有有有限限项项：外外在在 .的前有限项无关的前有限项无关是否收敛与是否收敛与nnxx注注例例1 知知,)1(nnxnn 证明数列证明数列 nx的极限为的极限为1. 证证 1nx1)1( nnnn1 ,0 要使要使,1xn 即即,1n 只要只要n1 因而因而 , 取取, 1N 则当则当Nn 时时, 就有就有nnn 1)1

7、(故故. 1)1(limlim nnxnnnnN是正整数是正整数,所以要取整所以要取整.lim),(CxCCxnnn 证证明明为为常常数数设设证证Cxn CC ,成立成立 , 0 所以所以0 ,n对于一切自然数对于一切自然数.limCxnn 结论结论: 常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.例例2.0lim1 nnqq，证证明明设设证证,0 nnqx,lnln qn,时时则则当当Nn ,0 nq就就有有. 0lim nnq, 0 q若若;00limlim nnnq则则, 10 q若若(1)(2),0lnlnln qqn（ ,lnlnqN 取取, 0 要使要使即即只要只要例例3例例4

8、证证. 11lim nnn试试证证分析分析1111 nnn要要使使, .1即即可可n .1 N取取, 0 时时，就就有有则则当当Nn 111nnxn11 n, N不唯一不唯一,证明证明时可以适当放时可以适当放大大n1 故得证故得证.，取取 1N也可由也可由 111nxn取取 11 N证明：证明：02cos1lim nnn证证21nnxncos nnnnnxn1210210 coscos, 0 要使要使 0nx只要只要， n1即即1 n，取取 1N则当则当 n N 时，时，有有， n1从而从而 nxn101limcos0.2nnn 例例5考虑考虑:对于例对于例5, 下列推导是否正确：下列推导是否

9、正确：, 0 要使要使 0nx210nnxncos 只要只要 21nncos 2cosnn 即即故取故取,cos2 nN N 不能与不能与 n 有关！有关！注注 将将0 nx适当放大的目的，是为了适当放大的目的，是为了易于求易于求 N. 放大时，应该注意适当放大时，应该注意适当 ！即要求：即要求：)(nbxn 00)(lim nbn否则，假否则，假设设，0lim( )0nb nb 那么那么 b(n)就不可能任意小就不可能任意小.其中其中小结小结: : 用定义证明数列极限存在时用定义证明数列极限存在时, 关键是任意关键是任意给定给定 0, 寻找寻找 N, 但不必求最小的但不必求最小的N.对对(

10、),yf x 0)1(xx 0)2(xx 0)3(xx x)4( x)5( x)6(自变量的变化过程有六种形式自变量的变化过程有六种形式:二、函数的极限二、函数的极限1. x 时函数时函数 f (x)的极限的极限(1) 定义定义2.3 设函数设函数)(xf当当Mx (M为某一正数）为某一正数）时有定义时有定义 ,如果存在常数如果存在常数 A , ,0 X当当Xx 时时, 有有Axf )(则称常数则称常数 A 为函数为函数当当 x时的极限时的极限,Axfx )(lim)()( xAxf当当或或记作记作,0 )(xfXX AA oxyA,0 X当当Xx 时时, 有有Axf )(：Axfx )(li

11、mAxfA )(XxXx 或或,0 )(xfy (2) 几何解释几何解释注注Axfx )(lim,0 ,0 X当当Xx 时时, 有有Axf )(Axfx )(lim,0 ,0 X当当Xx 时时, 有有Axf )(1时函数时函数 f(x) 的极限：的极限：xx及及 Axfx)(lim.)(lim)(limAxfAxfxx 且且定理定理2或或则称直线则称直线 y = A为曲线为曲线 y = f (x) 的水平渐近线的水平渐近线.假设假设Axfx )(limAxfx )(lim()(limAxfx xxgxxf 11)(,1)(例如，例如，都有水平渐近线都有水平渐近线;0 yx1x 11oyx都有水

12、平渐近线都有水平渐近线. 1 y又如，又如，oxyxxf 21)(xxg21)( x 21x21 xxfarctan)( 再如，再如，oxy2 2 都有水平渐近线都有水平渐近线.2 y例例6 证明证明. 01lim xx证证010)( xxfx1 取取,1X ,时时当当Xx x 01因而因而01lim xx注注就有就有故故,0 欲使欲使,01x 即即,1x oxyxy1 为为的的水水平平渐渐近近线线10.yyx 2. x x0时函数时函数 f (x)的极限的极限(1)0 xx 时函数极限的定义时函数极限的定义定义定义2.4 设函数设函数)(xf在点在点0 x的某去心邻域的某去心邻域,0 ,0

13、xx 00,)(Axf 则称常数则称常数 A 为函数为函数)(xf当当0 xx 时的极限时的极限,Axfxx )(lim0或或).()(0 xxAxf当当当当),(0 xNx 时时, 总有总有内有定义内有定义. 如果存在常数如果存在常数 A,记作记作),(0rxN几何解释几何解释:Axfxx )(lim0在在点点是是否否存存在在，与与极极限限)()(lim30 xfxfxx的的值值为为多多少少无无关关；是是否否有有定定义义以以及及)(00 xfx.),()()(lim400内内有有定定义义在在某某的的前前提提：rxNxfAxfxx 注注无无关关，不不唯唯一一；有有关关，但但与与与与x 2给定的

14、；给定的；时又看成是时又看成是是任意的，在确定是任意的，在确定 01 )()(12 xxxf如如：.)(lim), 0()(00不不存存在在处处处处有有定定义义，所所以以内内不不可可能能在在任任何何是是孤孤立立点点，xfNxfxx xO1例例7 证明证明)(lim0为常数CCCxx 证证Axf )(CC 0 故故,0 对任意的对任意的,0 当当xx 00时时 , CC 0因而因而CCxx 0lim总有总有例例9 证明证明211lim21 xxx证证Axf )(2112 xx21 x,0 故取故取, 当当x 10时时 , 必有必有xx 2112因而因而. 211lim21 xxx1 x)1( x

15、，要要使使 Axf)(11 xx且且只只要要 .lim00 xxxx 证证0)(xxAxf , 0 ,min00 xx 故故取取00 xxxx ,)( Axf要要使使,00 xxx 0000 xxxxxx 且且即即 .lim,0:000 xxxxx 时时当当证证明明只要只要000 xxxx且且 ,0 xx就就有有,00时时则则当当 xx例例10注注0000 xxxxxx ，000 xxxxx ,为了确保为了确保xxf )(有意义，即有意义，即0),(0 xxUx时时，当当 只须只须00 x即即0 x O),(0 xU0 x 0 x 0 xx左极限左极限 : )(0 xfAxfxx )(lim0

16、,0 ,0 有有.)(Axf 极限存在的充要条件极限存在的充要条件: :(2) 单侧极限单侧极限Axfxx )(lim0Axfxfxxxx )(lim)(lim00当当),(00 xxx 时时,右右 )(0 xfAxfxx )(lim0),(00 xxx例例11 设函数设函数 0,10,00,1)(xxxxxxf讨论讨论 0 x时时)(xf的极限是否存在的极限是否存在 . xyo11 xy11 xy解解因为因为)(lim0 xfx )1(lim0 xx1 )(lim0 xfx )1(lim0 xx1 , )0()0( ff所以所以)(lim0 xfx不存在不存在.内容小结内容小结1. 数列极限

17、的数列极限的 “ N ” 定义及应定义及应用用2. 函数极限的函数极限的”“ 或或”“X 定义及应用定义及应用思考与练习思考与练习1. 若极限若极限)(lim0 xfxx存在存在,)()(lim00 xfxfxx 2. 设函数设函数 )(xf且且)(lim1xfx存在存在, 那那么么. a3是否一定有是否一定有1,121,2 xxxxa3. 左、右极限定义及左、右极限相等的等价条件左、右极限定义及左、右极限相等的等价条件故故. 0)1()1(limlim2 nxnnnn时时, ,0 xn 例例4-1已知已知,)1()1(2 nxnn证明证明.0lim nnx证证 0nx0)1()1(2 nn2

18、)1(1 nnn111 , 0 要使要使,0 xn 只要只要,1 n即即 n取取, 1 N则当则当Nn .1 N不唯一不唯一,证明时证明时可以适当放大可以适当放大 也可由也可由 2) 1(10nxn取取 11 N有有例例5-1证证. 1lim1 nnaa时时，证证明明当当注意到注意到. 1 na, 0 为了使为了使 1na. 1 na, 01 nna 令令于是于是 a =nn)1( nnnn 1nnnn 1nan 因而因而,an , aN取取则当则当n N 时时,有有, n nna 1na . . 1lim nna即即只要使只要使设设且且求求证证0,lim0,lim.nnnnnxxaxa 证证

19、任任给给0, 故故 lim.nnxa ,limaxnn 使使得得当当时时恒恒有有1,nNnNxa 从从而而有有nnnxaxaxa aaxn a1 例例5-2xxysin .0sinlim xxx证证明明证证xxxxsin0sin x1 , ,1x 解解得得, 0 ,1X 取取时时恒恒有有则则当当Xx ,0sin xx. 0sinlim xxx故故例例6-1例例6-2证证.2121lim33 xxx用用定定义义证证明明 X故故取取 212133xx要要使使321 x只只要要, 0 ,213 时时，则则当当Xx ,212133 xx便便有有.2121lim33 xxx即即321x, 例例8证证.lim00 xxxx 证证明明：. 只只要要取取时时，则则当当xx 000)(xxAxf 便便有