初中数学创新性开放性问题(1)ppt课件

1、创新型、开放型问题创新型、开放型问题第二讲第二讲 第一类：找规律问题第一类：找规律问题 这类问题要求大家经过这类问题要求大家经过察看察看,分析分析,比较比较,概括概括,总结出题总结出题设反映的某种规律设反映的某种规律,进而利用进而利用这个规律处置相关问题这个规律处置相关问题例例1 1：察看以下算式：察看以下算式： 21=2 22=4 23=8 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=64 24=16 25=32 26=64 27=128 28=256 27=128 28=256经过察看，用他所发现的规律写出经过察看，用他所发现的规律写出8989的末位数的末位数字是字是。第一

2、列第一列第二列第二列第三列第三列第四列第四列第一行第一行2 21 1=2=22 22 2=4=42 23 3=8=82 24 4=16=16第二行第二行2 25 5=32=322 26 6=64=642 27 7=128=1282 28 8=256=256第三行第三行8 第二类第二类: :探求条件问题探求条件问题 这种问题是指所给这种问题是指所给问题结论明确问题结论明确, ,而寻求使而寻求使结论成立的条件结论成立的条件. .大致有大致有三种类型三种类型 1 1条件未知需探条件未知需探求求 2 2条件缺乏需补条件缺乏需补充条件充条件 3 3条件多条件多余或有错余或有错, ,需排除条件或需排除条件

3、或修正错误条件修正错误条件例例2:2:如图如图,AB,AB、 AC AC 分别是分别是OO 分析：要知分析：要知PCPC与与00相切，需知相切，需知PCOCPCOC，即，即PCO=90PCO=90，CAB+AFHCAB+AFH=90=90，而，而CAB=OCACAB=OCA，AFH=PFCAFH=PFC，PFC+OCAPFC+OCA=90=90，当当PFC=PCFPFC=PCF时，时，PCO=90PCO=90. .解解 : :1 1当当PC=PFPC=PF或或PCF=PFC,PCF=PFC,或或PCFPCF为等边三角形时为等边三角形时,PC,PC与与 OO相切相切. . 连结连结OC,OC,那

4、么那么OCA=FAH.OCA=FAH.PC=PF PCF=PFC=AFHPC=PF PCF=PFC=AFHDE AB DE AB OCA+PCF=FAH+AFH=900OCA+PCF=FAH+AFH=900即即OC PC, PCOC PC, PC与与OO相切相切. .2 2当点当点D D在劣弧在劣弧ACAC的什么位的什么位置时，才干使置时，才干使AD2=DE DF.AD2=DE DF.为什么为什么? ?分析分析: :要使要使AD2=DE DFAD2=DE DF需知需知ADFADFEDAEDA证以上两三角形类证以上两三角形类似似, ,除公共角外除公共角外, ,还还需证需证DAC=DEADAC=D

5、EA故应知故应知AD=CDAD=CD 解：解：2 2当点当点D D是是ACAC的中点时，的中点时， AD2=DE DF. AD2=DE DF. 连结连结AE.AE. AD=CD DAF=DEA AD=CD DAF=DEA 又又ADF=EDA ADF=EDA DAFDAFDEADEA即即AD2=DE DFAD2=DE DFADDFDEAD 第三类第三类: :探求结论问题探求结论问题 这类问题是指标这类问题是指标题中的结论不确定题中的结论不确定, ,不不独一独一, ,或结论需求经过或结论需求经过类比类比, ,引申引申, ,推行或由推行或由特殊结论特殊结论, ,归纳出普通归纳出普通结论结论例3：，O

6、1经过O2的圆心O2，且与O2相交于A、B两点，点C为AO2B上的一动点不运动至A、B连结AC，并延伸交O2于点P，连结BP、BC .1先按题意将图1补完好,然后操作,察看.图1供操作察看用,操作时可运用量角器与刻度尺.当点C在AO2B 上运动时,图中有哪些角的大小没有变化;2请猜测BCP的外形,并证明他的猜测图2供证明用3如图3,当PA经过点O2时,AB=4,BP交O1于D,且PB、DB的长是方程x2+kx+10=0的两个根，求O1的半径. 例3：，O1经过O2的圆心O2，且与O2相交于A、B两点，点C为AO2B上的一动点不运动至A、B连结AC，并延伸交O2于点P，连结BP、BC .1先按题

7、意将图1补完好,然后操作,察看.图1供操作察看用,操作时可运用量角器与刻度尺.当点C在AO2B 上运动时,图中有哪些角的大小没有变化;2请猜测BCP的外形,并证明他的猜测图2供证明用2 2证明：连结证明：连结O2AO2A、O2BO2B，那么那么BO2A=ACB BO2A=ACB BO2A=2P BO2A=2PACB=2PACB=2PACB=P+PBCACB=P+PBCP=PBCP=PBCBCPBCP为等腰三角形为等腰三角形. .3如图3,当PA经过点O2时,AB=4,BP交O1于D,且PB、DB的长是方程x2+kx+10=0的两个根，求O1的半径. 连结连结O2O1O2O1并延伸交并延伸交AB

8、AB于于E E，交，交O1O1于于F F设设O1O1、O2O2的半径的半径分别为分别为r r、R R，O2FABO2FAB，EB=1/2AB=2EB=1/2AB=2，PDBPDB、PO2APO2A是是O1O1的割线，的割线，PDPB=PO2PA=2PDPB=PO2PA=2R2R2，PBPB、BDBD是方程是方程x2+kx+10=0 x2+kx+10=0的两根，的两根，PBBD=10PBBD=10，13EFEO2=AEBEEFEO2=AEBE，EF=4/3EF=4/3，r=1/2r=1/23+4/33+4/3=13/6=13/6O1O1的半径为的半径为13/613/6PDPB=PDPB=PBPB

9、BDBDPB=PB2PB=PB2PBBD=PB2PBBD=PB210PB210PB210=2R210=2R2，APAP是是O2O2的直径，的直径，PBA=90PBA=90，PB2=PA2PB2=PA2AB2AB2，PB2=4R2PB2=4R21616得得R=R=在在RtRtO2EBO2EB中，中，O2E= O2E= 由相交弦定理得，由相交弦定理得，3413222 BEBO13第四类： 存在性问题存在性问题是指在一定件下某数学对象能否存在的问题例例4 4：抛物线：抛物线y=axy=ax2 2+ +bxbx+c+ca a0 0过过P P1 1，- -2 2，Q Q- -1,21,2，且与且与X X

10、轴交于轴交于A,BA,B两点两点 A A在在B B的左的左侧侧, , 与与Y Y轴交于轴交于C C点，连结点，连结ACAC，BCBC1.1. 求求a a与与c c的关系式的关系式2.2. 假设假设 O O为坐标原点为坐标原点, , 求抛物线的解析式求抛物线的解析式3.3.能否存在满足条件能否存在满足条件tantanCABCAB穧穧 cotcotCBA=1CBA=1的的抛物抛物线线? ?假设存在假设存在, , 恳求出抛物线的解析式。假设不存恳求出抛物线的解析式。假设不存在，请阐明理由在，请阐明理由。OCOBOA411 + +分析（分析（1 1）因为）因为P P，Q Q在抛物线上，在抛物线上，所以

11、有所以有解方程组得：解方程组得：a+c=0a+c=0，b=b=2 2+cbacba22解解1 1将将P P1 1，-2-2，Q Q-1-1，2 2代入解析式得代入解析式得 解方程组得解方程组得a+c=0a+c=0，b=b=2 2 aa，c c的关系式是的关系式是a+c=0a+c=0或或a=a=c c+cbacba22例例4 4：抛物线：抛物线y=ax2+bx+cy=ax2+bx+ca a0 0过过P P1 1，-2-2，Q Q-1,2-1,2，且与，且与X X轴交于轴交于A,BA,B两点两点A A在在B B的左侧的左侧, ,与与Y Y轴交于轴交于C C点，连结点，连结ACAC，BCBC求求a

12、a与与c c的关系式的关系式假设假设 O O为坐标原点为坐标原点, ,求抛物线的解析式求抛物线的解析式3.3.能否存在满足条件能否存在满足条件tanCABcotCBA=1tanCABcotCBA=1的抛物线的抛物线? ?假设存假设存在在, , 恳求出抛物线的解析式。假设不存恳求出抛物线的解析式。假设不存在，请阐明理由。在，请阐明理由。 OCOBOA411 + +2由1知b=2，所以y=ax22x+c设Ax1，0Bx2，0那么x1x2=c/a，但a=c，所以x1x20这阐明A，B在原点两侧A在B的左侧所以OA=x1，OB=x2，OC=|c|=|a|，已知 故有即 平方后得 而x2-x12=x1+

13、x224x1x2把x1+x2=2/a，x1x2=1代入上式中，得到关于a的方程，解方程求得a，c从而求出解析式OCOBOA411 + +|42121axxxx 222121216)()(axxxx axx41121 + + 2 2设设A A，B B的坐标分别为的坐标分别为x1x1，0 0, ,x2x2，0 0, ,那么那么x1x1，x2x2是方程是方程 ax2 ax22x+c=02x+c=0的两个根的两个根 x1+x2=2/a x1+x2=2/a，x1x2=x1x2=1 1因此因此A A，B B两点分别在原点两侧，由于两点分别在原点两侧，由于A A在在B B的左侧，所以的左侧，所以x1x10

14、0，x2x20 0，故，故OA=OA=x1x1，OB=x2OB=x2，OC=|c|=|a|OC=|c|=|a|，由，由 得得 即即 OCOBOA411 + +|42121axxxx axx41121 + + 平方后得平方后得 又又 于是得于是得4/a2+4=16/a2,4/a2+4=16/a2,解之得解之得a= a= ，c= c= 所以解析式为所以解析式为222121216)()(axxxx x2-x1x2-x12=2=x1+x2x1+x22 2 4x1x24x1x232332322+ + xxyxxy33 例例4 4：抛物线：抛物线y=ax2+bx+cy=ax2+bx+ca a0 0过过P P1 1，-2-2，Q Q-1,2-1,2，且与，且与X X轴交于轴交于A,BA,B两点两点, ,与与Y Y轴交于轴交于C C点，连结点，连结ACAC，BCBC求求a a与与c c的关系式的关系式假设假设 (O (O为坐标原点为坐标原点),),求抛物线的解析式求抛物线的解析式3.3.能否存在满足条件能否存在满足条件tanCABcotCBA=1tanCABcotCBA=1的抛物线的抛物线? ?假设存假设存在在, , 恳求出抛物线的解析式。假设不存恳求出抛物线的解析式。假设不存在，请阐明理由。在，请阐明理由。 OCOBOA411 + +3 3 假设满足条件的